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1、傳播優(yōu)秀Word版文檔 ,希望對(duì)您有幫助,可雙擊去除!利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線和公切線一.求切線方程【例1】.已知曲線f(x)=x3-2x2+1.(1)求在點(diǎn)P(1,0)處的切線l1的方程;(2)求過(guò)點(diǎn)Q(2,1)與已知曲線f(x)相切的直線l2的方程.提醒:注意是在某個(gè)點(diǎn)處還是過(guò)某個(gè)點(diǎn)!2. 有關(guān)切線的條數(shù)【例2】(2014北京)已知函數(shù)f(x)=2x33x()求f(x)在區(qū)間2,1上的最大值;()若過(guò)點(diǎn)P(1,t)存在3條直線與曲線y=f(x)相切,求t的取值范圍;()問(wèn)過(guò)點(diǎn)A(1,2),B(2,10),C(0,2)分別存在幾條直線與曲線y=f(x)相切?(只需寫出結(jié)論)【解答】解:()由f(
2、x)=2x33x得f(x)=6x23,令f(x)=0得,x=或x=,f(2)=10,f()=,f()=,f(1)=1,f(x)在區(qū)間2,1上的最大值為()設(shè)過(guò)點(diǎn)P(1,t)的直線與曲線y=f(x)相切于點(diǎn)(x0,y0),則y0=23x0,且切線斜率為k=63,切線方程為yy0=(63)(xx0),ty0=(63)(1x0),即46+t+3=0,設(shè)g(x)=4x36x2+t+3,則“過(guò)點(diǎn)P(1,t)存在3條直線與曲線y=f(x)相切”,等價(jià)于“g(x)有3個(gè)不同的零點(diǎn)”g(x)=12x212x=12x(x1),g(0)=t+3是g(x)的極大值,g(1)=t+1是g(x)的極小值g(0)0且g(
3、1)0,即3t1,當(dāng)過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)P(1,t)存在3條直線與曲線y=f(x)相切時(shí),t的取值范圍是(3,1)()過(guò)點(diǎn)A(1,2)存在3條直線與曲線y=f(x)相切;傳播優(yōu)秀Word版文檔 ,希望對(duì)您有幫助,可雙擊去除!過(guò)點(diǎn)B(2,10)存在2條直線與曲線y=f(x)相切;過(guò)點(diǎn)C(0,2)存在1條直線與曲線y=f(x)相切【例3】已知函數(shù)f(x)=lnax(a0,aR),()當(dāng)a=3時(shí),解關(guān)于x的不等式:1+ef(x)+g(x)0;()若f(x)g(x)(x1)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;()當(dāng)a=1時(shí),記h(x)=f(x)g(x),過(guò)點(diǎn)(1,1)是否存在函數(shù)y=h(x)圖象的切線?若存在,有多少條?
4、若不存在,說(shuō)明理由【解答】解:(I)當(dāng)a=3時(shí),原不等式可化為:1+eln3x+0;等價(jià)于,解得x,故解集為()對(duì)x1恒成立,所以,令,可得h(x)在區(qū)間1,+)上單調(diào)遞減,故h(x)在x=1處取到最大值,故lnah(1)=0,可得a=1,故a的取值范圍為:1,+)()假設(shè)存在這樣的切線,設(shè)切點(diǎn)T(x0,),切線方程:y+1=,將點(diǎn)T坐標(biāo)代入得:即,設(shè)g(x)=,則x0,g(x)在區(qū)間(0,1),(2,+)上是增函數(shù),在區(qū)間(1,2)上是減函數(shù),故g(x)極大=g(1)=10,故g(x)極,小=g(2)=ln2+0,又g()=+1261=ln430,由g(x)在其定義域上的單調(diào)性知:g(x)=
5、0僅在(,1)內(nèi)有且僅有一根,傳播優(yōu)秀Word版文檔 ,希望對(duì)您有幫助,可雙擊去除!方程有且僅有一解,故符合條件的切線有且僅有一條【作業(yè)1】(2017莆田一模)已知函數(shù)f(x)=2x33x+1,g(x)=kx+1lnx(1)設(shè)函數(shù),當(dāng)k0時(shí),討論h(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù);(2)若過(guò)點(diǎn)P(a,4)恰有三條直線與曲線y=f(x)相切,求a的取值范圍3. 切線與切線之間的關(guān)系【例4】(2018綿陽(yáng)模擬)已知a,b,cR,且滿足b2+c2=1,如果存在兩條互相垂直的直線與函數(shù)f(x)=ax+bcosx+csinx的圖象都相切,則a+c的取值范圍是 .,b2+c2=1,故a+c,【例5】.已知函數(shù)f(x)=l
6、nxa(x1),g(x)=ex,其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)()設(shè),求函數(shù)t(x)在m,m+1(m0)上的最小值;傳播優(yōu)秀Word版文檔 ,希望對(duì)您有幫助,可雙擊去除?。ǎ┻^(guò)原點(diǎn)分別作曲線y=f(x)與y=g(x)的切線l1,l2,已知兩切線的斜率互為倒數(shù),求證:a=0或【解答】()解:,令t(x)0得x1,令t(x)0得x1,所以,函數(shù)t(x)在(0,1)上是減函數(shù),在(1,+)上是增函數(shù),當(dāng)m1時(shí),t(x)在m,m+1(m0)上是增函數(shù),當(dāng)0m1時(shí),函數(shù)t(x)在m,1上是減函數(shù),在1,m+1上是增函數(shù),t(x)min=t(1)=e()設(shè)l2的方程為y=k2x,切點(diǎn)為(x2,y2),則,x2=1
7、,y2=ek2=e由題意知,切線l1的斜率,切線l1的方程為,設(shè)l1與曲線y=f(x)的切點(diǎn)為(x1,y1),又y1=lnx1a(x11),消去y1,a后整理得,令,則,m(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+)上單調(diào)遞增,若x1(0,1),而,在單調(diào)遞減,若x1(1,+),m(x)在(1,+)上單調(diào)遞增,且m(e)=0,x1=e,傳播優(yōu)秀Word版文檔 ,希望對(duì)您有幫助,可雙擊去除!綜上,a=0或【作業(yè)2】(2017黃山二模)已知函數(shù)f(x)=(ax2+x1)ex+f(0)(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;(2)若g(x)=exf(x)+lnx,h(x)=ex,過(guò)O(0,0)分別作曲線y=g
8、(x)與y=h(x)的切線l1,l2,且l1與l2關(guān)于x軸對(duì)稱,求證:a四求公切線的方程【例6】(2018安陽(yáng)一模)已知函數(shù),g(x)=3elnx,其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)()討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性()試判斷曲線y=f(x)與y=g(x)是否存在公共點(diǎn)并且在公共點(diǎn)處有公切線若存在,求出公切線l的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由【解答】解:()由,得,令f(x)=0,得當(dāng)且x0時(shí),f(x)0;當(dāng)時(shí),f(x)0f(x)在(,0)上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;()假設(shè)曲線y=f(x)與y=g(x)存在公共點(diǎn)且在公共點(diǎn)處有公切線,且切點(diǎn)橫坐標(biāo)為x00,傳播優(yōu)秀Word版文檔 ,希望對(duì)您有幫助,可雙
9、擊去除!則,即,其中(2)式即記h(x)=4x33e2xe3,x(0,+),則h(x)=3(2x+e)(2xe),得h(x)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,又h(0)=e3,h(e)=0,故方程h(x0)=0在(0,+)上有唯一實(shí)數(shù)根x0=e,經(jīng)驗(yàn)證也滿足(1)式于是,f(x0)=g(x0)=3e,f(x0)=g(x0)=3,曲線y=g(x)與y=g(x)的公切線l的方程為y3e=3(xe),即y=3x【作業(yè)3】已知函數(shù)f (x)=lnx,g(x)=2(x0)(1)試判斷當(dāng)f(x)與g(x)的大小關(guān)系;(2)試判斷曲線 y=f(x)和 y=g(x)是否存在公切線,若存在,求出公切線方程,若不存在,
10、說(shuō)明理由;(3)試比較 (1+12)(1+23)(1+20122013)與 e4021的大小,并寫出判斷過(guò)程五.與公切線有關(guān)的參數(shù)取值范圍問(wèn)題【例7】已知函數(shù)f(x)=blnx,g(x)=ax2x(aR)()若曲線f(x)與g(x)在公共點(diǎn)A(1,0)處有相同的切線,求實(shí)數(shù)a、b的值;()當(dāng)b=1時(shí),若曲線f(x)與g(x)在公共點(diǎn)P處有相同的切線,求證:點(diǎn)P唯一;()若a0,b=1,且曲線f(x)與g(x)總存在公切線,求正實(shí)數(shù)a的最小值傳播優(yōu)秀Word版文檔 ,希望對(duì)您有幫助,可雙擊去除!【解答】解:()f(x)=,g(x)=2ax1曲線f(x)與g(x)在公共點(diǎn)A(1,0)處有相同的切線
11、,解得a=b=1 ()設(shè)P(x0,y0),則由題設(shè)有l(wèi)nx0=ax02x0,又在點(diǎn)P有共同的切線,f(x0)=g(x0),a=,代入得lnx0=x0,設(shè)h(x)=lnx+x,則h(x)=+(x0),則h(x)0,h(x)在(0,+)上單調(diào)遞增,所以 h(x)=0最多只有1個(gè)實(shí)根,從而,結(jié)合(1)可知,滿足題設(shè)的點(diǎn)P只能是P(1,0)()當(dāng)a0,b=1時(shí),f(x)=lnx,f(x)=,f(x)在點(diǎn)(t,lnt)處的切線方程為ylnt=(xt),即y=x+lnx1與y=ax2x,聯(lián)立得ax2(1+)xlnt+1=0曲線f(x)與g(x)總存在公切線,關(guān)于t(t0)的方程=+4a(lnt1)=0,即
12、=4a(1lnt)(*)總有解 若te,則1lnt0,而0,顯然(*)不成立,所以 0te,從而,方程(*)可化為4a=令H(t)=(0te),則H(t)=當(dāng)0t1時(shí),h(t)0;當(dāng)1te時(shí),h(t)0,即 h(t)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,e)上單調(diào)遞增傳播優(yōu)秀Word版文檔 ,希望對(duì)您有幫助,可雙擊去除!h(t)在(0,e)上的最小值為h(1)=4,要使方程(*)有解,只須4a4,即a1 正實(shí)數(shù)a的最小值為1【例8】(2017韶關(guān)模擬).已知函數(shù)f(x)=aex(a0),g(x)=x2()若曲線c1:y=f(x)與曲線c2:y=g(x)存在公切線,求a最大值()當(dāng)a=1時(shí),F(xiàn)(x)=
13、f(x)bg(x)cx1,且F(2)=0,若F(x)在(0,2)內(nèi)有零點(diǎn),求實(shí)數(shù)b的取值范圍【解答】解:()設(shè)公切線l與c1切于點(diǎn)(x1,a)與c2切于點(diǎn)(x2,),f(x)=aex,g(x)=2x,由知x20,代入:=2x2,即x2=2x12,由知a=,設(shè)g(x)=,g(x)=,令g(x)=0,得x=2;當(dāng)x2時(shí)g(x)0,g(x)遞增當(dāng)x2時(shí),g(x)0,g(x)遞減x=2時(shí),g(x)max=g(2)=,amax=()F(x)=f(x)bg(x)cx1=exbx2cx1,F(xiàn)(2)=0=F(0),又F(x)在(0,2)內(nèi)有零點(diǎn),F(xiàn)(x)在(0,2)至少有兩個(gè)極值點(diǎn),即F(x)=ex2bxc在
14、(0,2)內(nèi)至少有兩個(gè)零點(diǎn)F(x)=ex2b,F(xiàn)(2)=e24b2c1=0,c=,當(dāng)b時(shí),在(0,2)上,exe0=12b,F(xiàn)(x)0,F(xiàn)(x)在(0,2)上單調(diào)增,F(xiàn)(x)沒(méi)有兩個(gè)零點(diǎn)當(dāng)b時(shí),在(0,2)上,exe22b,F(xiàn)(x)0,傳播優(yōu)秀Word版文檔 ,希望對(duì)您有幫助,可雙擊去除!F(x)在(0,2)上單調(diào)減,F(xiàn)(x)沒(méi)有兩個(gè)零點(diǎn);當(dāng)b時(shí),令F(x)=0,得x=ln2b,因當(dāng)xln2b時(shí),F(xiàn)(x)0,xln2b時(shí),F(xiàn)(x)0,F(xiàn)(x)在(0,ln2b)遞減,(ln2b,2)遞增,所以x=ln2b時(shí),F(xiàn)(x)最小=F(ln2b)=4b2bln2b+,設(shè)G(b)=F(ln2b)=4b2bl
15、n2b+,令G(b)=22ln2b=0,得2b=e,即b=,當(dāng)b時(shí)G(b)0;當(dāng)b時(shí),G(b)0,當(dāng)b=時(shí),G(b)最大=G()=e+0,G(b)=f(ln2b)0恒成立,因F(x)=ex2bxc在(0,2)內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn),解得:b,綜上所述,b的取值范圍(,)【作業(yè)4】已知函數(shù)f(x)=a(x)blnx(a,bR),g(x)=x2(1)若a=1,曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線與y軸垂直,求b的值;(2)若b=2,試探究函數(shù)f(x)與g(x)在其公共點(diǎn)處是否有公切線,若存在,研究a的個(gè)數(shù);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由六公切線的條數(shù)問(wèn)題【例9】已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=ex(1)確定
16、方程f(x)=實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù);(2)我們把與兩條曲線都相切的直線叫作這兩條曲線的公切線,試確定曲線y=f(x),y=g(x)公切線的條數(shù),并證明你的結(jié)論傳播優(yōu)秀Word版文檔 ,希望對(duì)您有幫助,可雙擊去除!【解答】解:(1)由題意得lnx=1+,即lnx1=分別作出y=lnx1和y=的函數(shù)圖象,由圖象可知:y=lnx1和y=的函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn),方程f(x)=有兩個(gè)實(shí)根;(2)解:曲線y=f(x),y=g(x)公切線的條數(shù)是2,證明如下:設(shè)公切線與f(x)=lnx,g(x)=ex的切點(diǎn)分別為(m,lnm),(n,en),mn,f(x)=,g(x)=ex,化簡(jiǎn)得(m1)lnm=m+1,當(dāng)m=1時(shí),
17、(m1)lnm=m+1不成立;當(dāng)m1時(shí),(m1)lnm=m+1化為lnm=,由(1)可知,方程lnm=有兩個(gè)實(shí)根,曲線y=f(x),y=g(x)公切線的條數(shù)是2條【作業(yè)5】已知函數(shù)f(x)=x2+2(1a)x4a,g(x)=(a+1)2,則f(x)和g(x)圖象的公切線條數(shù)的可能值是 【作業(yè)1解答】解:(1)f(x)=(2x+1)(x1)2=0,x=或1,x=是h(x)的零點(diǎn);g(x)=k,k0,g(x)0,g(x)在1,+)上單調(diào)遞減,g(x)的最大值為g(1)=k+1傳播優(yōu)秀Word版文檔 ,希望對(duì)您有幫助,可雙擊去除!k1,g(1)0,g(x)在1,+)上無(wú)零點(diǎn);k=1,g(1)=0,g
18、(x)在1,+)上有1個(gè)零點(diǎn);1k0,g(1)0,g(e1k)=ke1k+k0,g(x)在1,+)上有1個(gè)零點(diǎn);綜上所述,k1時(shí),h(x)有1個(gè)零點(diǎn);1k0時(shí),h(x)有兩個(gè)零點(diǎn);(2)設(shè)切點(diǎn)(t,f(t),f(x)=6x26x,切線斜率f(t)=6t26t,切線方程為yf(t)=(6t26t)(xt),切線過(guò)P(a,4),4f(t)=(6t26t)(at),4t33t26t2a+6ta5=0由題意,方程有3個(gè)不同的解令H(t)=4t33t26t2a+6ta5,則H(t)=12t26t12at+6a=0t=或aa=時(shí),H(t)0,H(t)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,H(t)不可能有兩個(gè)零點(diǎn),方程不可能
19、有兩個(gè)解,不滿足題意;a時(shí),在(),(a,+)上,H(t)0,函數(shù)單調(diào)遞增,在(,a)上,H(t)0,函數(shù)單調(diào)遞減,H(t)的極大值為H(),極小值為H(a);a時(shí),在(,a),(,+)上,H(t)0,函數(shù)單調(diào)遞增,在(a,)上,H(t)0,函數(shù)單調(diào)遞減,H(t)的極大值為H(a),極小值為H();要使方程有三個(gè)不同解,則H()H(a)0,即(2a7)(a+1)(2a25a+5)0,a或a1傳播優(yōu)秀Word版文檔 ,希望對(duì)您有幫助,可雙擊去除!【作業(yè)2解答】解:由已知得f(x)=ax2+(2a+1)xex,f(0)=0,所以f(x)=(ax2+x1)ex(1)f(x)=ax2+(2a+1)xe
20、x=x(ax+2a+1)ex若a0,當(dāng)或x0時(shí),f(x)0;當(dāng)時(shí),f(x)0,所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為;單調(diào)遞減區(qū)間為若a=0,f(x)=(x1)ex,f(x)=xex,當(dāng)x0時(shí),f(x)0;當(dāng)x0時(shí),f(x)0,所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+);單調(diào)遞減區(qū)間為(,0)若,當(dāng)或x0時(shí),f(x)0;當(dāng)時(shí),f(x)0,所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為;單調(diào)遞減區(qū)間為若,故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(,+)若,當(dāng)或x0時(shí),f(x)0;當(dāng)時(shí),f(x)0,所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為;單調(diào)遞減區(qū)間為當(dāng)a0時(shí),f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為;單調(diào)遞減區(qū)間為當(dāng)a=0時(shí),f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+);單調(diào)
21、遞減區(qū)間為(,0),當(dāng)時(shí),f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為;單調(diào)遞減區(qū)間為傳播優(yōu)秀Word版文檔 ,希望對(duì)您有幫助,可雙擊去除!當(dāng)時(shí),f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(,+);當(dāng)時(shí),f(x)單調(diào)遞增區(qū)間為;單調(diào)遞減區(qū)間為,(0,+);(2)證明:g(x)=exf(x)+lnx=ex(ax2+x1)ex+lnx=ax2+x1+lnx,設(shè)l2的方程為y=k2x,切點(diǎn)為(x2,y2),則,所以x2=1,y2=e,k2=e由題意知k1=k2=e,所以l1的方程為y=ex,設(shè)l1與y=g(x)的切點(diǎn)為(x1,y1),則又,即,令,在定義域上,u(x)0,所以(0,+)上,u(x)是單調(diào)遞增函數(shù),又,所以,即,令,則,所
22、以,故【作業(yè)3解答】解:(1)證明:設(shè)F(x)=f(x)g(x),則F(x)=,由F(x)=0,得x=3,當(dāng)0x3時(shí),F(xiàn)(x)0,傳播優(yōu)秀Word版文檔 ,希望對(duì)您有幫助,可雙擊去除!當(dāng)x3時(shí)F(x)0,可得F(x)在區(qū)間(0,3)單調(diào)遞減,在區(qū)間(3,+)單調(diào)遞增,所以F(x)取得最小值為F(3)=ln310,F(xiàn)(x)0,即f(x)g(x);(2)假設(shè)曲線f(x)與g(x)有公切線,切點(diǎn)分別為P(x0,lnx0)和Q(x1,2)因?yàn)閒(x)=,g(x)=,所以分別以P(x0,lnx0)和Q(x1,2)為切線的切線方程為y=+lnx01,y=+2令 ,即2lnx1+(3+ln3)=0令h(x)
23、=2lnx1+(3+ln3)所以由h(x)=0,得x1=3顯然,當(dāng)0x13時(shí),h(x)0,當(dāng)x13時(shí),h(x)0,所以h(x)min=ln310,所以方程2lnx1+(3+ln3)=0無(wú)解,故二者沒(méi)有公切線所以曲線y=f(x)和y=g(x)不存在公切線;(3)(1+12)(1+23)(1+20122013)e4021理由:由(1)可得lnx2(x0),可令x=1+n(n+1),可得ln(1+n(n+1)22=23(),則ln(1+12)+ln(1+23)+ln(1+20122013)傳播優(yōu)秀Word版文檔 ,希望對(duì)您有幫助,可雙擊去除!220123(1+)=40243+4021即有(1+12)
24、(1+23)(1+20122013)e4021【作業(yè)4解答】解:()f(x)=xblnx,f(x)=1+,由于曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線垂直于y軸,故該切線斜率為0,即f(1)=0,即1+1b=0,b=2;(2)假設(shè)f(x),g(x)的圖象在其公共點(diǎn)(x0,y0)處存在公切線,由f(x)=a(x)2lnx,得f(x)=,g(x)=2x,由f(x0)=g(x0),得=2x0,即2x03ax02+2x0a=0,即(x02+1)(2x0a)=0,則x0=,又函數(shù)的定義域?yàn)椋?,+),當(dāng)a0時(shí),x0=0,則f(x),g(x)的圖象在其公共點(diǎn)(x0,y0)處不存在公切線;當(dāng)a0時(shí),令f()=g(),2ln2=,即=ln,令h(x)=ln(x0),h(x)=x=,則h(x)在(0,2)遞減,(2,+)遞增且h(2)=0,且當(dāng)x0時(shí),h(x)+;當(dāng)x+時(shí),h(x)+,h(x)在(0,+)有兩個(gè)零點(diǎn),方程=ln在(0,+)解的個(gè)數(shù)為2綜上:當(dāng)a0時(shí),函數(shù)f(x)與g(x)的圖象在其公共點(diǎn)處不存在公切線;傳播優(yōu)秀Word版文檔 ,希望對(duì)您有幫助,可雙擊去除!當(dāng)a0時(shí),函數(shù)f(x)與g(x)的圖象在其公共點(diǎn)處存在公切線,a的值有2個(gè)在導(dǎo)數(shù)的練習(xí)中,常見(jiàn)這一類題型:已知含有的一個(gè)不等式,以及的一些其他性質(zhì),
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