關注三角形的外角

1、第六章證明(一)6 .關注三角形的外角一、學生知識狀況分析學生技能基礎：學生在前面的幾何學習中，已經學習過平行線的判定定理與平行線的性 質定理以及它們的嚴格證明，學習了三角形內角和定理的證明以及相關應用，有相關知 識的基礎，并具有一定的邏輯思維能力和嚴謹推理習慣，為今天的學習奠定了良好的基 礎.活動經驗基礎：本節(jié)課主要采取的活動形式是學生非常熟悉的自主探究與合作交流相結 合、實踐和理性證明相結合的學習方式，學生具有較熟悉的活動經驗.二、教學任務分析在前面的學習中，學生對于平行線相關知識以及三角形內角和定理的靈活運用已經 有了深入的了解，為今天的學習奠定了知識基礎，并且他們已經具有初步的幾何意識

2、， 形成了一定的邏輯思維能力和推理能力，本節(jié)課安排關注三角形的外角旨在利用已經學習過的知識來推導出新的定理以及運用新的定理解決相關問題。為此，本節(jié)課的教 學目標是：知識與技能目標:(1)掌握三角形外角的兩條性質;(2)進一步熟悉和掌握證明的步驟、格式、方法、技巧.(3)靈活運用三角形的外角和兩條性質解決相關問題。數(shù)學能力目標:情感與態(tài)度目標:進一步培養(yǎng)學生的邏輯思維能力和推理能力，培養(yǎng)學生的幾何意識。通過在數(shù)學活動中進行教學，使學生能自主地“做數(shù)學”，特別是培 養(yǎng)有條理的想象和探索能力，從而做到強化基礎，激發(fā)學習興趣.三、教學過程分析本節(jié)課的設計分為四個環(huán)節(jié)：情境引入一一探索新知一一反饋練習一

3、一課堂反思與小結第一環(huán)節(jié)：情境引入活動內容: 在證明三角形內角和定理時，用到了把 ABC的一邊BC延長得到/ ACD ,這個角叫做 什么角呢？下面我們就給這種角命名，并且來研究它的性質.活動目的: 引出三角形外角的概念，并對其進行研究，激發(fā)學生學習興趣。注意事項: 教師應在學生充分展示自己的意見之 后，有意識地引導學生從三角形的外角的角度進行 思考。第二環(huán)節(jié)：探索新知 活動內容:角，結合圖形指明外角的特征有三:(1)頂點在三角形的一個頂點上.三角形的外角定義：三角形的一邊與另一邊的延長線所組成的角，叫做三角形的外(2) 一條邊是三角形的一邊.(3) 另一條邊是三角形某條邊的延長線.兩個推論及其

4、應用 由學生探討三角形外角的性質: 問題 1:如圖， ABC中，/ A=70,/ B=60,/ ACDgABC的一個外角，能由/ A、/ B求出/ACD嗎？如果能，/ ACD與/ A、/ B有什么關系?問題2:任意一個 ABC的一個外角/ ACD與/ A、/ B的大小會有什么關系呢?E由學生歸納得出: 推論1:三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和.推論2:三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角.例1、已知：/ BAF , / CBD, / ACE是 ABC的三個外角.求證：/ BAF+ / CBD+ / ACE=360 分析：把每個外角表示為與之不相鄰的兩個內角之和即得證.證明：

5、（略）.例2、已知：D是AB上一點,E是AC上一點，BE、CD相交于F,/ A=62 , / ACD=35 ,/ ABE=20。.求：（1） / BDC 度數(shù)；（2）/ BFD 度數(shù).解:（略）.活動目的: 通過三角形內角和定理直接推導三角形外角的兩個推論，引導學生從內和外、相等和不 等的不同角度對三角形作更全面的思考.注意事項: 新的定理的推導過程應建立在學生的充分思考和論證的基礎之上，教師切勿越俎代庖。第三環(huán)節(jié)：課堂練習 活動內容: 已知，如圖，在三角形 ABC中，AD平分外角/ EAC，/ B= / C .求證：AD / BC分析：要證明AD / BC,只需證明“同位角相等”,即需證明/

6、 DAE= / B.證明：/ EAC=/ B+/C （三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和）/ B= / C （已知）C/ B= - / EAC （等式的性質）2 AD平分/ EAC （已知）/ DAE=- / EAC （角平分線的定義）2 / DAE=/ B （等量代換） AD / BC （同位角相等，兩直線平行）想一想，還有沒有其他的證明方法呢?這個題還可以用“內錯角相等，兩直線平行”來證證明/ EAC=Z B+Z C （三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和）/ B=Z C （已知） Z C= 1 Z EAC （等式的性質）2V AD平分/ EAC （已知）Z DAC=1

7、Z EAC （角平分線的定義）2 Z DAC=Z C （等量代換） AD / BC （內錯角相等，兩直線平行）還可以用“同旁內角互補，兩直線平行”來證證明：/ EAC=Z B+Z C （三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和）Z B=Z C （已知） Z C=1 Z EAC （等式的性質）2V AD平分Z EAC （已知） Z DAC=- Z EAC2 Z DAC=Z C （等量代換）V/ B+ / BAC+Z C=180Z B+ Z BAC+Z DAC=180即：Z B+Z DAB=180 AD / BC （同旁內角互補，兩直線平行） 已知：如圖，在三角形 ABC中，/ 1是它的一個外

8、角，E為證明：VZ 1是ABC的一個外角（已知）邊AC上一點，延長BC到D，連接DE .求證：/ 1Z 2.Z 1Z ACB （三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰 的內角）VZ ACB是 CDE的一個外角（已知）Z ACB Z 2 （三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角）Z 1Z 2 （不等式的性質） .如圖，求證：（1）Z BDCZ A.（2）/ BDC=/B+/C+/A.A如果點D在線段BC的另一側，結論會怎樣?分析通過學生的探索活動，使學生進一步了解輔助線的作法及重要性，理解掌 握三角形的內角和定理及推論.A證法一：（1）連接AD,并延長AD，如圖，則/ 1是 ABD的一個外

9、角，/ 2是ACD的一個外角./ 1/3./ 2 / 4 （三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角）/ 1 + / 2/ 3+/4 （不等式的性質）即：/ BDC/ BAC.（2）連結AD，并延長AD，如圖.則/ 1是 ABD的一個外角，/ 2是 ACD的一個外角./ 仁/3+/ B/ 2=/ 4+/ C （三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和）/ 1 + / 2=/ 3+/4+/ B+/ C （等式的性質）即：/ BDC=/ B+/ C+/ BACA證法二：（1）延長BD交AC于E （或延長CD交AB于E），如圖.則/ BDC是 CDE的一個外角./ BDC/DEC.（三角形的

10、一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角）V/ DEC是 ABE的一個外角（已作）/ DEC/A （三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角）/ BDC/A （不等式的性質）（2）延長BD交AC于E,則/ BDC是 DCE的一個外角. / BDC=/C+/ DEC （三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和）V/ DEC是 ABE的一個外角/ DEC= / A+ / B （三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和） / BDC= / B+ / C+/ BAC （等量代換） 活動目的: 讓學生接觸各種類型的幾何證明題，提高邏輯推理能力，培養(yǎng)學生的證明思路，特別是 不等關系的證明題，因為學

11、生接觸較少，因此更需要加強練習.注意事項:學生對于幾何圖形中的不等關系的證明比較陌生，因此有必要在證明第2小題中，要引導學生找到一個過渡角/ ACB，由/ 1/ ACB，/ ACB / 2,再由不等關系的傳遞性得出/ 1/ 2。第四環(huán)節(jié)：課堂反思與小結 活動內容: 由學生自行歸納本節(jié)課所學知識:推論1:三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和.推論2:三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角.活動目的: 復習鞏固所學知識，理清思路，培養(yǎng)學生的歸納概括能力.注意事項: 學生對于三角形外角的兩個推論以及它們的應用有一定的了解。課后練習：課本第244頁的隨堂練習第1題，習題6.7題第1, 2, 3題。思考題：課本245頁第4題（給學有余力的同學做）四、教學反思教學中，幫助學生找三角形的外角是難點，特別是當一個角是某個三角形的內角,同時又是另一個三角形的外角時，困難就更大，解決這個