初中相似三角形基本知識(shí)點(diǎn)和經(jīng)典例題

1、初三相似三角形知識(shí)點(diǎn)與經(jīng)典題型知識(shí)點(diǎn)1 有關(guān)相似形的概念(1)形狀相同的圖形叫相似圖形，在相似多邊形中，最簡(jiǎn)單的是相似三角形. (2)如果兩個(gè)邊數(shù)相同的多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，這兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形相似多邊形對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)度的比叫做相似比(相似系數(shù))知識(shí)點(diǎn)2 比例線(xiàn)段的相關(guān)概念（1）如果選用同一單位量得兩條線(xiàn)段的長(zhǎng)度分別為，那么就說(shuō)這兩條線(xiàn)段的比是，或?qū)懗勺ⅲ涸谇缶€(xiàn)段比時(shí)，線(xiàn)段單位要統(tǒng)一。（2）在四條線(xiàn)段中，如果的比等于的比，那么這四條線(xiàn)段叫做成比例線(xiàn)段，簡(jiǎn)稱(chēng)比例線(xiàn)段注：比例線(xiàn)段是有順序的，如果說(shuō)是的第四比例項(xiàng)，那么應(yīng)得比例式為：a、d叫比例外項(xiàng)，b、c叫比例內(nèi)項(xiàng), a、c叫比例前項(xiàng)，

2、b、d叫比例后項(xiàng)，d叫第四比例項(xiàng)，如果b=c，即 那么b叫做a、d的比例中項(xiàng)， 此時(shí)有。（3）黃金分割：把線(xiàn)段分成兩條線(xiàn)段，且使是的比例中項(xiàng)，即，叫做把線(xiàn)段黃金分割，點(diǎn)叫做線(xiàn)段的黃金分割點(diǎn)，其中0.618即 簡(jiǎn)記為：注：黃金三角形：頂角是360的等腰三角形。黃金矩形：寬與長(zhǎng)的比等于黃金數(shù)的矩形知識(shí)點(diǎn)3 比例的性質(zhì)（注意性質(zhì)立的條件：分母不能為0） （1） 基本性質(zhì)：；注：由一個(gè)比例式只可化成一個(gè)等積式，而一個(gè)等積式共可化成八個(gè)比例式，如，除了可化為，還可化為，（2） 更比性質(zhì)(交換比例的內(nèi)項(xiàng)或外項(xiàng))：（3）反比性質(zhì)(把比的前項(xiàng)、后項(xiàng)交換)： （4）合、分比性質(zhì)：注：實(shí)際上，比例的合比性質(zhì)可擴(kuò)展

3、為：比例式中等號(hào)左右兩個(gè)比的前項(xiàng)，后項(xiàng)之間發(fā)生同樣和差變化比例仍成立如：等等 （5）等比性質(zhì)：如果，那么注：此性質(zhì)的證明運(yùn)用了“設(shè)法”（即引入新的參數(shù)k）這樣可以減少未知數(shù)的個(gè)數(shù)，這種方法是有關(guān)比例計(jì)算變形中一種常用方法應(yīng)用等比性質(zhì)時(shí)，要考慮到分母是否為零可利用分式性質(zhì)將連等式的每一個(gè)比的前項(xiàng)與后項(xiàng)同時(shí)乘以一個(gè)數(shù)，再利用等比性質(zhì)也成立如：；其中知識(shí)點(diǎn)4 比例線(xiàn)段的有關(guān)定理 1.三角形中平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理:平行于三角形一邊的直線(xiàn)截其它兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線(xiàn))所得的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例. 由DEBC可得：注：重要結(jié)論：平行于三角形的一邊,并且和其它兩邊相交的直線(xiàn),所截的三角形的三邊與原三角形三邊對(duì)應(yīng)成

4、比例. 三角形中平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理的逆定理：如果一條直線(xiàn)截三角形的兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線(xiàn))所得的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例.那么這條直線(xiàn)平行于三角形的第三邊. 此定理給出了一種證明兩直線(xiàn)平行方法,即：利用比例式證平行線(xiàn).平行線(xiàn)的應(yīng)用：在證明有關(guān)比例線(xiàn)段時(shí)，輔助線(xiàn)往往做平行線(xiàn),但應(yīng)遵循的原則是不要破壞條件中的兩條線(xiàn)段的比及所求的兩條線(xiàn)段的比. 2.平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理:三條平行線(xiàn)截兩條直線(xiàn),所截得的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例. 已知ADBECF, 可得等. 注：平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理的推論：平行線(xiàn)等分線(xiàn)段定理：兩條直線(xiàn)被三條平行線(xiàn)所截，如果在其中一條上截得的線(xiàn)段相等，那么在另一條上截得的線(xiàn)段也相等。知識(shí)點(diǎn)5 相似三

5、角形的概念對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的三角形，叫做相似三角形相似用符號(hào)“”表示，讀作“相似于” 相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比(或相似系數(shù))相似三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例注：對(duì)應(yīng)性：即兩個(gè)三角形相似時(shí)，一定要把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫(xiě)在對(duì)應(yīng)位置上，這樣寫(xiě)比較容易找到相似三角形的對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊 順序性：相似三角形的相似比是有順序的兩個(gè)三角形形狀一樣，但大小不一定一樣全等三角形是相似比為1的相似三角形二者的區(qū)別在于全等要求對(duì)應(yīng)邊相等，而相似要求對(duì)應(yīng)邊成比例知識(shí)點(diǎn)6 三角形相似的等價(jià)關(guān)系與三角形相似的判定定理的預(yù)備定理(1)相似三角形的等價(jià)關(guān)系：反身性：對(duì)于任一有 對(duì)稱(chēng)性：若，則 傳遞性：若，且，則(

6、2) 三角形相似的判定定理的預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線(xiàn)和其它兩邊(或兩邊延長(zhǎng)線(xiàn))相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似定理的基本圖形： 用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述是：， 知識(shí)點(diǎn)7 三角形相似的判定方法1、定義法：三個(gè)對(duì)應(yīng)角相等，三條對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形相似2、平行法：平行于三角形一邊的直線(xiàn)和其它兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線(xiàn))相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似3、判定定理1：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似簡(jiǎn)述為：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似4、判定定理2：如果一個(gè)三角形的兩條邊與另一個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)成比例，并且?jiàn)A角相等，那么這兩個(gè)三角形相似簡(jiǎn)述為：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且

7、夾角相等，兩三角形相似5、判定定理3：如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似簡(jiǎn)述為：三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似6、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各種判定均適用(2)如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似(3)直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原三角形相似注：射影定理：在直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)。每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)。如圖，RtABC中，BAC=90，AD是斜邊BC上的高，則AD2=BDDC，AB2=BDB

8、C ，AC2=CDBC 。知識(shí)點(diǎn)8 相似三角形常見(jiàn)的圖形 1、下面我們來(lái)看一看相似三角形的幾種基本圖形：（1） 如圖：稱(chēng)為“平行線(xiàn)型”的相似三角形（有“A型”與“X型”圖）(2) 如圖：其中1=2，則ADEABC稱(chēng)為“斜交型”的相似三角形。（有“反A共角型”、“反A共角共邊型”、 “蝶型”）（3） 如圖：稱(chēng)為“垂直型”（有“雙垂直共角型”、“雙垂直共角共邊型（也稱(chēng)“射影定理型”）”“三垂直型”） (4) 如圖：1=2，B=D，則ADEABC，稱(chēng)為“旋轉(zhuǎn)型”的相似三角形。2、幾種基本圖形的具體應(yīng)用：（1）若DEBC（A型和X型）則ADEABC（2）射影定理 若CD為RtABC斜邊上的高（雙直角圖

9、形） 則RtABCRtACDRtCBD且AC2=ADAB，CD2=ADBD，BC2=BDAB； （3）滿(mǎn)足1、AC2=ADAB，2、ACD=B，3、ACB=ADC，都可判定ADCACB（4）當(dāng)或ADAB=ACAE時(shí)，ADEACB 知識(shí)點(diǎn)9：全等與相似的比較：三角形全等三角形相似兩角夾一邊對(duì)應(yīng)相等(ASA)兩角一對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等(AAS)兩邊及夾角對(duì)應(yīng)相等(SAS)三邊對(duì)應(yīng)相等(SSS)直角三角形中一直角邊與斜邊對(duì)應(yīng)相等(HL)相似判定的預(yù)備定理兩角對(duì)應(yīng)相等兩邊對(duì)應(yīng)成比例，且?jiàn)A角相等三邊對(duì)應(yīng)成比例直角三角形中斜邊與一直角邊對(duì)應(yīng)成比例知識(shí)點(diǎn)10 相似三角形的性質(zhì)(1)相似三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例

10、(2)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比，對(duì)應(yīng)中線(xiàn)的比和對(duì)應(yīng)角平分線(xiàn)的比都等于相似比(3)相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比(4)相似三角形面積的比等于相似比的平方注：相似三角形性質(zhì)可用來(lái)證明線(xiàn)段成比例、角相等，也可用來(lái)計(jì)算周長(zhǎng)、邊長(zhǎng)等知識(shí)點(diǎn)11 相似三角形中有關(guān)證（解）題規(guī)律與輔助線(xiàn)作法1、證明四條線(xiàn)段成比例的常用方法：(1)線(xiàn)段成比例的定義(2)三角形相似的預(yù)備定理(3)利用相似三角形的性質(zhì)(4)利用中間比等量代換(5)利用面積關(guān)系2、證明題常用方法歸納：（1）總體思路:“等積”變“比例”，“比例”找“相似”(2)找相似：通過(guò)“橫找”“豎看”尋找三角形，即橫向看或縱向?qū)ふ业臅r(shí)候一共各有三個(gè)不同的字母，并且這幾

11、個(gè)字母不在同一條直線(xiàn)上，能夠組成三角形，并且有可能是相似的，則可證明這兩個(gè)三角形相似，然后由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可證的所需的結(jié)論.(3)找中間比：若沒(méi)有三角形(即橫向看或縱向?qū)ふ业臅r(shí)候一共有四個(gè)字母或者三個(gè)字母，但這 幾個(gè)字母在同一條直線(xiàn)上)，則需要進(jìn)行“轉(zhuǎn)移”(或“替換”)，常用的“替換”方法有這樣的三種：等線(xiàn)段代換、等比代換、等積代換.即：找相似找不到，找中間比。方法：將等式左右兩邊的比表示出來(lái)。(4) 添加輔助線(xiàn)：若上述方法還不能奏效的話(huà)，可以考慮添加輔助線(xiàn)(通常是添加平行線(xiàn))構(gòu)成 比例.以上步驟可以不斷的重復(fù)使用，直到被證結(jié)論證出為止. 注：添加輔助平行線(xiàn)是獲得成比例線(xiàn)段和相似三角

12、形的重要途徑。平面直角坐標(biāo)系中通常是作垂線(xiàn)（即得平行線(xiàn)）構(gòu)造相似三角形或比例線(xiàn)段。（5）比例問(wèn)題：常用處理方法是將“一份”看著k;對(duì)于等比問(wèn)題，常用處理辦法是設(shè)“公比”為k。（6）對(duì)于復(fù)雜的幾何圖形，通常采用將部分需要的圖形（或基本圖形）“分離”出來(lái)的辦法處理。知識(shí)點(diǎn)12 相似多邊形的性質(zhì)(1)相似多邊形周長(zhǎng)比，對(duì)應(yīng)對(duì)角線(xiàn)的比都等于相似比(2)相似多邊形中對(duì)應(yīng)三角形相似，相似比等于相似多邊形的相似比(3)相似多邊形面積比等于相似比的平方注意：相似多邊形問(wèn)題往往要轉(zhuǎn)化成相似三角形問(wèn)題去解決，因此，熟練掌握相似三角形知識(shí)是基礎(chǔ)和關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)13 位似圖形有關(guān)的概念與性質(zhì)及作法1. 如果兩個(gè)圖形不僅是

13、相似圖形，而且每組對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線(xiàn)都交于一點(diǎn)，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形. 2. 這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心，這時(shí)的相似比又稱(chēng)為位似比. 注： （1） 位似圖形是相似圖形的特例，位似圖形不僅相似，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線(xiàn)相交于一點(diǎn). （2） 位似圖形一定是相似圖形，但相似圖形不一定是位似圖形. （3） 位似圖形的對(duì)應(yīng)邊互相平行或共線(xiàn). 3.位似圖形的性質(zhì)： 位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比. 注：位似圖形具有相似圖形的所有性質(zhì).4. 畫(huà)位似圖形的一般步驟： （1） 確定位似中心（位似中心可以是平面中任意一點(diǎn)） （2） 分別連接原圖形中的關(guān)鍵點(diǎn)和位似中心，并延長(zhǎng)（或截?。? （3） 根

14、據(jù)已知的位似比，確定所畫(huà)位似圖形中關(guān)鍵點(diǎn)的位置. （4） 順次連結(jié)上述得到的關(guān)鍵點(diǎn)，即可得到一個(gè)放大或縮小的圖形. 注：位似中心可以是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，該點(diǎn)可在圖形內(nèi)，或在圖形外，或在圖形上（圖形邊上或頂點(diǎn)上）。 外位似：位似中心在連接兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線(xiàn)段之外，稱(chēng)為“外位似”（即同向位似圖形） 內(nèi)位似：位似中心在連接兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線(xiàn)段上，稱(chēng)為“內(nèi)位似”（即反向位似圖形） （5） 在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為k（k0）,原圖形上點(diǎn)的坐標(biāo)為（x,y）,那么同向位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(kx,ky), 反向位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(-kx,-ky),經(jīng)典例題透析類(lèi)型一、相似三角

15、形的概念1判斷對(duì)錯(cuò)： (1)兩個(gè)直角三角形一定相似嗎？為什么？(2)兩個(gè)等腰三角形一定相似嗎？為什么？(3)兩個(gè)等腰直角三角形一定相似嗎？為什么？(4)兩個(gè)等邊三角形一定相似嗎？為什么？(5)兩個(gè)全等三角形一定相似嗎？為什么？思路點(diǎn)撥：要說(shuō)明兩個(gè)三角形相似，要同時(shí)滿(mǎn)足對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例.要說(shuō)明不相似，則只要否定其中的一個(gè)條件.解：(1)不一定相似.反例直角三角形只確定一個(gè)直角，其他的兩對(duì)角可能相等，也可能不相等.所以直角三角形不一定相似.(2)不一定相似.反例等腰三角形中只有兩邊相等，而底邊不固定.因此兩個(gè)等腰三角形中有兩邊對(duì)應(yīng)成比例，兩底邊的比不一定等于對(duì)應(yīng)腰的比，所以等腰三角形不一定

16、相似.(3)一定相似.在直角三角形ABC與直角三角形ABC中 設(shè)AB=a， AB=b，則 BC=a，BC=b，AC=a，AC=bABCABC(4)一定相似.因?yàn)榈冗吶切胃鬟叾枷嗟?，各角都等?0度，所以?xún)蓚€(gè)等邊三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，因此兩個(gè)等邊三角形一定相似.(5)一定相似.全等三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等，所以對(duì)應(yīng)邊比為1，所以全等三角形一定相似，且相似比為1.舉一反三【變式1】?jī)蓚€(gè)相似比為1的相似三角形全等嗎？解析：全等.因?yàn)檫@兩個(gè)三角形相似，所以對(duì)應(yīng)角相等.又相似比為1，所以對(duì)應(yīng)邊相等.因此這兩個(gè)三角形全等.總結(jié)升華：由上可知，在特殊的三角形中，有的相似，有的不一定相似.(1

17、)兩個(gè)直角三角形，兩個(gè)等腰三角形不一定相似.(2)兩個(gè)等腰直角三角形，兩個(gè)等邊三角形一定相似.(3)兩個(gè)全等三角形一定相似，且相似比為1；相似比為1的兩個(gè)相似三角形全等.【變式2】下列能夠相似的一組三角形為( )A.所有的直角三角形 B.所有的等腰三角形C.所有的等腰直角三角形 D.所有的一邊和這邊上的高相等的三角形解析：根據(jù)相似三角形的概念，判定三角形是否相似，一定要滿(mǎn)足三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，三條對(duì)應(yīng)邊的比相等.而A中只有一組直角相等，其他的角是否對(duì)應(yīng)相等不可知；B中什么條件都不滿(mǎn)足；D中只有一條對(duì)應(yīng)邊的比相等；C中所有三角形都是由90、45、45角組成的三角形，且對(duì)應(yīng)邊的比也相等.答案選C.類(lèi)型

18、二、相似三角形的判定2如圖所示，已知中，E為AB延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn)，AB=3BE，DE與BC相交于F，請(qǐng)找出圖中各對(duì)相似三角形，并求出相應(yīng)的相似比. 思路點(diǎn)撥：由可知ABCD，ADBC，再根據(jù)平行線(xiàn)找相似三角形.解： 四邊形ABCD是平行四邊形， ABCD，ADBC， BEFCDF，BEFAED. BEFCDFAED. 當(dāng)BEFCDF時(shí)，相似比；當(dāng)BEFAED時(shí)，相似比；當(dāng)CDFAED時(shí)，相似比.總結(jié)升華：本題中BEF、CDF、AED都相似，共構(gòu)成三對(duì)相似三角形.求相似比不僅要找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)邊，還需注意兩個(gè)三角形的先后次序，若次序顛倒，則相似比成為原來(lái)的倒數(shù).3已知在RtABC中，C=90，AB=10，

19、BC=6.在RtEDF中，F(xiàn)=90，DF=3，EF=4，則ABC和EDF相似嗎？為什么？ 思路點(diǎn)撥：已知ABC和EDF都是直角三角形，且已知兩邊長(zhǎng)，所以可利用勾股定理分別求出第三邊AC和DE，再看三邊是否對(duì)應(yīng)成比例.解：在RtABC中，AB=10，BC=6，C=90.由勾股定理得.在RtDEF中，DF=3，EF=4，F(xiàn)=90.由勾股定理，得.在A(yíng)BC和EDF中， ， ABCEDF(三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似).總結(jié)升華：(1)本題易錯(cuò)為只看3，6，4，10四條線(xiàn)段不成比例就判定兩三角形不相似.利用三邊判定兩三角形相 似，應(yīng)看三角形的三邊是否對(duì)應(yīng)成比例，而不是兩邊.(2)本題也可以只求出AC的

20、長(zhǎng)，利用兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等，且?jiàn)A角相等，判定兩三角形相似.4如圖所示，點(diǎn)D在A(yíng)BC的邊AB上，滿(mǎn)足怎樣的條件時(shí)，ACD與ABC相似？試分別加以列舉. 思路點(diǎn)撥：此題屬于探索問(wèn)題，由相似三角形的識(shí)別方法可知，ACD與ABC已有公共角A，要使此兩個(gè)三角形相似，可根據(jù)相似三角形的識(shí)別方法尋找一個(gè)條件即可.解：當(dāng)滿(mǎn)足以下三個(gè)條件之一時(shí)，ACDABC.條件一：1=B.條件二：2=ACB.條件三：，即.總結(jié)升華：本題的探索鑰匙是相似三角形的識(shí)別方法.在探索兩個(gè)三角形相似時(shí)，用分析法，可先假設(shè)ACDABC，然后尋找兩個(gè)三角形中邊的關(guān)系或角的關(guān)系即可.本題易錯(cuò)為出現(xiàn)條件四：.不符合條件“最小化”原則，因?yàn)闂l件

21、三能使問(wèn)題成立，所以出現(xiàn)條件四是錯(cuò)誤的.舉一反三【變式1】已知：如圖正方形ABCD中，P是BC上的點(diǎn)，且BP=3PC，Q是CD的中點(diǎn) 求證：ADQQCP思路點(diǎn)撥：因ADQ與QCP是直角三角形，雖有相等的直角，但不知AQ與PQ是否垂直，所以不能用兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等判定而四邊形ABCD是正方形，Q是CD中點(diǎn)，而B(niǎo)P=3PC，所以可用對(duì)應(yīng)邊成比例夾角相等的方法來(lái)判定具體證明過(guò)程如下：證明：在正方形ABCD中，Q是CD的中點(diǎn)，=2=3，=4 又BC=2DQ，=2 在A(yíng)DQ和QCP中，=，C=D=90，ADQQCP【變式2】如圖，弦和弦相交于內(nèi)一點(diǎn)，求證：.思路點(diǎn)撥：題目中求證的是等積式，我們可以轉(zhuǎn)化為比例

22、式，從而找到應(yīng)證哪兩個(gè)三角形相似.同時(shí)圓當(dāng)中同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等要會(huì)靈活應(yīng)用.證明：連接 ，.在.【變式3】已知：如圖，AD是ABC的高，E、F分別是AB、AC的中點(diǎn) 求證：DFEABC思路點(diǎn)撥：EF為ABC的中位線(xiàn)，EF=BC，又DE和DF都是直角三角形斜邊上的中線(xiàn)，DE=AB，DF=AC因此考慮用三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似證明：在RtABD中，DE為斜邊AB上的中線(xiàn)，DE=AB，即=同理=EF為ABC的中位線(xiàn)，EF=BC，即=DFEABC總結(jié)升華：本題證明方法較多，可先證EDF=EDA+ADF=EAD+FAD=BAC，再證夾這個(gè)角的兩邊成比例，即=，也可證明FED=EDB=B，同

23、理EFD=FDC=C，都可以證出DEFABC類(lèi)型三、相似三角形的性質(zhì)5ABCDEF，若ABC的邊長(zhǎng)分別為5cm、6cm、7cm，而4cm是DEF中一邊的長(zhǎng)度，你能求出DEF的另外兩邊的長(zhǎng)度嗎？試說(shuō)明理由. 思路點(diǎn)撥：因沒(méi)有說(shuō)明長(zhǎng)4cm的線(xiàn)段是DEF的最大邊或最小邊，因此需分三種情況進(jìn)行討論.解：設(shè)另兩邊長(zhǎng)是xcm，ycm，且xy.(1)當(dāng)DEF中長(zhǎng)4cm線(xiàn)段與ABC中長(zhǎng)5cm線(xiàn)段是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，有， 從而x=cm，y=cm.(2)當(dāng)DEF中長(zhǎng)4cm線(xiàn)段與ABC中長(zhǎng)6cm線(xiàn)段是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，有， 從而x=cm，y=cm.(3)當(dāng)DEF中長(zhǎng)4cm線(xiàn)段與ABC中長(zhǎng)7cm線(xiàn)段是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，有， 從而x=cm，y

24、=cm.綜上所述，DEF的另外兩邊的長(zhǎng)度應(yīng)是cm,cm或cm，cm或cm，cm三種可能.總結(jié)升華：一定要深刻理解“對(duì)應(yīng)”，若題中沒(méi)有給出圖形，要特別注意是否有圖形的分類(lèi).6如圖所示，已知ABC中，AD是高，矩形EFGH內(nèi)接于A(yíng)BC中，且長(zhǎng)邊FG在BC上，矩形相鄰兩邊的比為1：2，若BC=30cm，AD=10cm.求矩形EFGH的面積. 思路點(diǎn)撥：利用已知條件及相似三角形的判定方法及性質(zhì)求出矩形的長(zhǎng)和寬，從而求出矩形的面積.解： 四邊形EFGH是矩形， EHBC， AEHABC. ADBC， ADEH，MD=EF. 矩形兩鄰邊之比為1：2，設(shè)EF=xcm，則EH=2xcm.由相似三角形對(duì)應(yīng)高的比

25、等于相似比，得， ， ，. EF=6cm，EH=12cm. .總結(jié)升華：解決有關(guān)三角形的內(nèi)接矩形、內(nèi)接正方形的計(jì)算問(wèn)題，經(jīng)常利用相似三角形“對(duì)應(yīng)高的比等于相似比”和“面積比等于相似比的平方”的性質(zhì)，若圖中沒(méi)有高可以先作出高.舉一反三【變式1】ABC中，DEBC，M為DE中點(diǎn)，CM交AB于N，若，求.解：DEBC ，ADEABCM為DE中點(diǎn)， DMBC ， NDMNBC=1：2.總結(jié)升華：圖中有兩個(gè)“”字形，已知線(xiàn)段AD與AB的比和要求的線(xiàn)段ND與NB的比分別在這兩個(gè)“”字形，利用M為DE中點(diǎn)的條件將條件由一個(gè)“”字形轉(zhuǎn)化到另一個(gè)“”字形，從而解決問(wèn)題.類(lèi)型四、相似三角形的應(yīng)用7如圖，我們想要測(cè)

26、量河兩岸相對(duì)應(yīng)兩點(diǎn)A、B之間的距離(即河寬) ，你有什么方法？ 方案1：如上左圖，構(gòu)造全等三角形，測(cè)量CD，得到AB=CD，得到河寬.方案2：思路點(diǎn)撥：這是一道測(cè)量河寬的實(shí)際問(wèn)題，還可以借用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，比例式中四條線(xiàn)段，測(cè)出了三條線(xiàn)段的長(zhǎng)，必能求出第四條.如上右圖，先從B點(diǎn)出發(fā)與AB成90角方向走50m到O處立一標(biāo)桿，然后方向不變，繼續(xù)向前走10m到C處，在C處轉(zhuǎn)90，沿CD方向再走17m到達(dá)D處，使得A、O、D在同一條直線(xiàn)上那么A、B之間的距離是多少？解：ABBC，CDBCABO=DCO=90又 AOB=DOCAOBDOCBO=50m，CO=10m，CD=17mAB=85m答

27、：河寬為85m總結(jié)升華：方案2利用了“”型基本圖形，實(shí)際上測(cè)量河寬有很多方法，可以用“”型基本圖形，借助相似；也可用等腰三角形等等. 舉一反三【變式1】如圖：小明欲測(cè)量一座古塔的高度，他站在該塔的影子上前后移動(dòng)，直到他本身影子的頂端正好與塔的影子的頂端重疊，此時(shí)他距離該塔18 m，已知小明的身高是1.6 m，他的影長(zhǎng)是2 m(1)圖中ABC與ADE是否相似?為什么?(2)求古塔的高度解：(1)ABCADE BCAE，DEAE ACB=AED=90 A=A ABCADE(2)由(1)得ABCADE AC=2m，AE=2+18=20m，BC=1.6m DE=16m答：古塔的高度為16m.【變式2】

28、已知：如圖，陽(yáng)光通過(guò)窗口照射到室內(nèi)，在地面上留下1.5m寬的亮區(qū)DE.亮區(qū)一邊到窗下的墻腳距離CE=1.2m，窗口高AB=1.8m，求窗口底邊離地面的高BC？ 思路點(diǎn)撥：光線(xiàn)AD/BE，作EFDC交AD于F.則，利用邊的比例關(guān)系求出BC.解：作EFDC交AD于F.因?yàn)锳DBE，所以又因?yàn)椋?，所?因?yàn)锳BEF， ADBE，所以四邊形ABEF是平行四邊形，所以EF=AB=1.8m.所以m.類(lèi)型五、相似三角形的周長(zhǎng)與面積8已知：如圖，在A(yíng)BC與CAD中，DABC，CD與AB相交于E點(diǎn)，且AEEB=12，EFBC交AC于F點(diǎn)，ADE的面積為1，求BCE和AEF的面積 思路點(diǎn)撥：利用ADEBCE，

29、以及其他有關(guān)的已知條件，可以求出BCE的面積ABC的邊AB上的高也是BCE的高，根據(jù)ABBE=32，可求出ABC的面積最后利用AEFABC，可求出AEF的面積解：DABC，ADEBCESADESBCE=AE2BE2AEBE=12，SADESBCE=14SADE=1，SBCE=4SABCSBCE=ABBE=32，SABC=6EFBC，AEFABCAEAB=13，SAEFSABC=AE2AB2=19SAEF=總結(jié)升華：注意，同底(或等底)三角形的面積比等于這底上的高的比；同高(或等高)三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)底邊的比當(dāng)兩個(gè)三角形相似時(shí)，它們的面積比等于對(duì)應(yīng)線(xiàn)段比的平方，即相似比的平方舉一反三【變式1】有同一三角形地塊的甲、乙兩地圖，比例尺分別為1200和1500，求：甲地圖與乙地圖的相似比和面積比.解：設(shè)原地塊為ABC，地塊在甲圖上為A1B1C1，在乙圖上為A2B2C2. ABCA1B1C1A2B2C2且，.【變式2】如圖，已知：ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，