利用數(shù)形結合求最值

1、專題：數(shù)形結合思想-應用數(shù)形結合求最值 教學目標：1.通過復習讓學生領會數(shù)形結合思想本質；2.通過具體問題的學習，培養(yǎng)學生用數(shù)形結合思想方法探求解決問題的思路；3.掌握用數(shù)形結合思想方法解決三種類型最值問題的解法：能力目標：提高學生分析問題，等價轉換能力和解決問題的能力；教學重點：用數(shù)形結合思想方法解決最值問題的思路及解法。教學難點：數(shù)與形的相互轉化教學資源：多媒體，學案教學過程一、提出問題數(shù)形結合思想是解答高考數(shù)學試題的一種常見方法與技巧，特別是在解選擇題、填空題時發(fā)揮奇特功效，那么如何運用數(shù)形結合思想分析問題和解決問題呢？大家會求的最小值嗎？最小值為2.二、數(shù)形結合的思想內容1數(shù)形結合，就

2、是根據(jù)數(shù)與形之間的對應關系，通過數(shù)與形的相互轉化來解決數(shù)學問題的一種重要思想方法數(shù)形結合思想通過“以形助數(shù)，以數(shù)輔形”，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學問題的本質，它是數(shù)學的規(guī)律性與靈活性的有機結合2數(shù)形結合包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個方面，其應用大致可以分為兩種情形：一是借助形的生動性和直觀性來闡明數(shù)形之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)作為目的，比如應用函數(shù)的圖象來直觀地說明函數(shù)的性質；二是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質37-33-7-775三、數(shù)形結合的思想與

3、最值(一)與函數(shù)及其圖像有關的最值問題例1.若奇函數(shù)f(x)在3，7上是增函數(shù)且最小值為5，那么f(x)在區(qū)間 -7，-3上是（ A ）A. 增函數(shù)且最大值為-5； B.減函數(shù)且最小值為-5；C. 增函數(shù)且最小值為-5； D.減函數(shù)且最大值為-5；-5變式：例1的條件不變，求函數(shù)y=|f(x)+5|在-7，-3 3，7的最小值為 0 。1. 準確畫出函數(shù)的圖像；2.根據(jù)圖形的結構特征，指出圖像的最高點或最低點的縱坐標為最大值或最小值。（二）與二元方程及方程曲線有關的最值問題例2.如果實數(shù)x，y滿足(x2)2y23，則的最大值為( D)A. B. C. D.思維流程：解析：(x2)2y23表示坐

4、標平面上的一個圓，圓心為M(2,0)，半徑r，如圖，而表示圓上的點(x，y)與原點O(0,0)連線的斜率該問題轉化為如下幾何問題：點A在以M(2,0)為圓心，為半徑的圓上移動，求直線OA的斜率的最大值由圖可知，當點A在第一象限，且OA與圓相切時OA的斜率最大連接AM，則AMOA，|OA|1，可得的最大值為tan AOM，故選D.變式1.已知實數(shù)x，y滿足，則x-y的最小值為_變式2.(2014年福建卷)已知圓平面區(qū)域若圓心且圓C與x軸相切，則的最大值為（C ）A.5 B.29 C.37 D.49數(shù)形結合法求解與二元方程有關的最值問題(1)形如t形式的最值問題，可轉化為動直線斜率的最值問題；(2

5、)形如taxby形式的最值問題，可轉化為動直線截距的最值問題；(3)形如t(xa)2(yb)2形式的最值問題，可轉化為動點到定點的距離的最值問題（三）與向量有關的最值問題例3. 已知a，b是平面內兩個互相垂直的單位向量，若向量c滿足(ac)(bc)0，則|c|的最大值是（ B ）A1 B. C. 2 D.解析：方法（一）：不妨設a=(1,0),b=(0,1),c=(x,y), c=(x,y)，由于(ac)(bc), 所以點C的軌跡為圓，|c|=表示圓上點C到原點的距離，其最大值為。方法（二）：思維流程：因為(ac)(bc)0，所以(ac)(bc)如圖所示，設，所以O，A，C，B四點共圓當且僅當

6、OC為圓的直徑時，|c|最大，且最大值為. 答案：B變式：（ 2013湖南卷 ）已知a,b是單位向量，ab=0.若向量c滿足|c-a-b|=1,則|c|的最大值為（ C ）A. B. C. D.通過平面向量的幾何意義構建解析幾何圖形，再根據(jù)圖形的幾何意義用代數(shù)方法研究解決。挑戰(zhàn)自我：思考題 (2013重慶高考)已知圓C1：(x2)2(y3)21，圓C2：(x3)2(y4)29，M，N分別是圓C1，C2上的動點，P為x軸上的動點，則|PM|PN|的最小值為(A)A54 B.1 C62 D.兩圓的圓心均在第一象限，先求|PC1|PC2|的最小值，作點C1關于x軸的對稱點C1(2，3)，則(|PC1

7、|PC2|)min|C1C2|5，所以(|PM|PN|)min5(13)54.四課時小結利用數(shù)形結合求最值的方法步驟第一步：分析數(shù)理特征，確定目標問題的幾何意義一般從圖形結構、圖形的幾何意義分析代數(shù)式是否具有幾何意義第二步：轉化為幾何問題第三步：解決幾何問題第四步：回歸代數(shù)問題第五步：回顧反思應用幾何意義數(shù)形結合法解決問題需要熟悉常見的幾何結構的代數(shù)形式，主要有：(1)比值可考慮直線的斜率；(2)二元一次式可考慮直線的截距；(3)根式可考慮兩點間的距離五課后作業(yè)：課后鞏固練習(見學案)1不等式x2logax0，在x時恒成立，則a的最小值是_.2.已知O為坐標原點，M(1,2)，點P的坐標(x，y)滿足約束條件則z的最大值為()A2 B1 C1 D23.設點P(x，y)是圓(x2)2y21上的任意一點，則(x5)2(y4)2的最大值為(D)A6 B25 C26 D364已知a,b，c是均為單位向量，ab=0.若(ac)(bc)0 則|