高等數(shù)學(xué)：8-68曲面方程

1、四、二次曲面,第6節(jié),一、曲面方程,二、旋轉(zhuǎn)曲面,三、柱面,上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,空間曲面,第8節(jié),二次曲面,定義1,如果曲面 S 與方程 F( x, y, z ) = 0 有下述關(guān)系,1) 曲面 S 上的任意點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程,則 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程,曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的圖形,兩個(gè)基本問(wèn)題,1) 已知一曲面作為點(diǎn)的幾何軌跡時(shí),2) 不在曲面 S 上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足此方程,求曲面方程,2) 已知方程時(shí) , 研究它所表示的幾何圖形形狀,有時(shí)需作圖,上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,一、曲面方程,例1. 研究方程,解: 配方得,此方

2、程表示,說(shuō)明,如下形式的三元二次方程 ( A 0,都可通過(guò)配方研究它的圖形,的曲面,表示怎樣,半徑為,的球面,球心為,上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,定義2. 一條平面曲線,二、旋轉(zhuǎn)曲面,繞其平面上一條定直線旋轉(zhuǎn),一周,所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面,該定直線稱為旋轉(zhuǎn),軸,例如,上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,建立yoz面上曲線C 繞 z 軸旋轉(zhuǎn)所成曲面的方程,故旋轉(zhuǎn)曲面方程為,當(dāng)繞 z 軸旋轉(zhuǎn)時(shí),若點(diǎn),給定 yoz 面上曲線 C,則有,則有,該點(diǎn)轉(zhuǎn)到,上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,思考：當(dāng)曲線 C 繞 y 軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，方程如何,上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例3. 試建立頂點(diǎn)在原點(diǎn), 旋轉(zhuǎn)軸為z 軸, 半頂角為,的圓錐面方程,

3、解: 在yoz面上直線L 的方程為,繞z 軸旋轉(zhuǎn)時(shí),圓錐面的方程為,兩邊平方,上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例4. 求坐標(biāo)面 xoz 上的雙曲線,分別繞 x,軸和 z 軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程,解:繞 x 軸旋轉(zhuǎn),繞 z 軸旋轉(zhuǎn),這兩種曲面都叫做旋轉(zhuǎn)雙曲面,所成曲面方程為,所成曲面方程為,上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,三、柱面,引例. 分析方程,表示怎樣的曲面,的坐標(biāo)也滿足方程,解:在 xoy 面上,表示圓C,沿曲線C平行于 z 軸的一切直線所形成的曲面稱為圓,故在空間,過(guò)此點(diǎn)作,柱面,對(duì)任意 z,平行 z 軸的直線 l,表示圓柱面,在圓C上任取一點(diǎn),其上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程,上頁(yè) 下頁(yè) 返回

4、結(jié)束,定義3,平行定直線并沿定曲線 C 移動(dòng)的直線 l 形成,的軌跡叫做柱面,表示拋物柱面,母線平行于 z 軸,準(zhǔn)線為xoy 面上的拋物線,z 軸的橢圓柱面,z 軸的平面,表示母線平行于,且 z 軸在平面上,表示母線平行于,C 叫做準(zhǔn)線, l 叫做母線,上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,一般地,在三維空間,柱面,柱面,平行于 x 軸,平行于 y 軸,平行于 z 軸,準(zhǔn)線 xoz 面上的曲線 l3,母線,柱面,準(zhǔn)線 xoy 面上的曲線 l1,母線,準(zhǔn)線 yoz 面上的曲線 l2,母線,上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,四、二次曲面,三元二次方程,適當(dāng)選取直角坐標(biāo)系可得它們的標(biāo)準(zhǔn)方程,下面僅,就幾種常見(jiàn)標(biāo)準(zhǔn)型的特點(diǎn)進(jìn)

5、行介紹,研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法,其基本類型有,橢球面、拋物面、雙曲面、錐面,的圖形通常為二次曲面,二次項(xiàng)系數(shù)不全為 0,上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,1. 橢球面,1)范圍,2)與坐標(biāo)面的交線：橢圓,上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,與,的交線為橢圓,4) 當(dāng) ab 時(shí)為旋轉(zhuǎn)橢球面,同樣,的截痕,及,也為橢圓,當(dāng)abc 時(shí)為球面,3) 截痕,為正數(shù),上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,2. 拋物面,1) 橢圓拋物面,p , q 同號(hào),2) 雙曲拋物面（鞍形曲面,特別,當(dāng) p = q 時(shí)為繞 z 軸的旋轉(zhuǎn)拋物面,p , q 同號(hào),上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,3. 雙曲面,1)單葉雙曲面,橢圓,時(shí), 截痕為,實(shí)軸平

6、行于x 軸,虛軸平行于z 軸,平面,上的截痕情況,上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,雙曲線,虛軸平行于x 軸,時(shí), 截痕為,時(shí), 截痕為,實(shí)軸平行于z 軸,上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,相交直線,雙曲線,2) 雙葉雙曲面,雙曲線,橢圓,注意單葉雙曲面與雙葉雙曲面的區(qū)別,雙曲線,單葉雙曲面,雙葉雙曲面,上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,圖形,4. 橢圓錐面,橢圓,在平面 x0 或 y0 上的截痕為過(guò)原點(diǎn)的兩直線,可以證明, 橢圓上任一點(diǎn)與原點(diǎn)的連線均在曲面上,橢圓錐面也可由圓錐面經(jīng) x 或 y 方向的伸縮變換,得到,上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,內(nèi)容小結(jié),1. 空間曲面,三元方程,球面,旋轉(zhuǎn)曲面,如, 曲線,繞 z 軸的旋轉(zhuǎn)曲面,柱面,如,曲面,表示母線平行 z 軸的柱面,又如,橢圓柱面, 雙曲柱面, 拋物柱面等,上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,2. 二次曲面,三元二次方程,橢球面,拋物面,橢圓拋物面,雙曲拋物面,雙曲面,單葉雙曲面,雙葉雙曲面,橢圓錐面,上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,斜率為1的直線,平面解析幾何中,空間解析幾何中,方 程,平行于 y 軸的直線,平行于 yoz 面的平面,圓心在(0,0,半徑為 3 的圓,以 z 軸為中心軸的 圓柱面,平行于 z 軸