靜電場中的高斯定理 (2)

1、. 靜電場中的高斯定理： 高斯定理是靜電學(xué)中的一個(gè)重要定理, 它反映了靜電場的一個(gè)基本性質(zhì), 即靜電場是有源場, 其源即是電荷?？杀硎鰹? 在靜電場中, 通過任意閉合曲面的電通量, 等于該閉合曲面所包圍的電荷的代數(shù)和的倍, 與閉合曲面外的電荷無關(guān)。表達(dá)式為 （1）高斯定理是用來求場強(qiáng)分布, 定理中, S 是任意曲面, 由于數(shù)學(xué)水平的限制, 要由高斯定理計(jì)算出E,則對由場的分布有一定的要求, 即電荷分布具有嚴(yán)格的對稱性( 若電荷分布不對稱性即不是均勻的, 引起電場分布不對稱, 不能從高斯定理求空間場強(qiáng)分布,高斯定理當(dāng)然仍是成立的) , 由于電荷分布的對稱性導(dǎo)致場強(qiáng)分布的對稱性, 場強(qiáng)分布的對稱性

2、應(yīng)包括大小和方向兩個(gè)方面。典型情況有三種: 1) 球?qū)ΨQ性, 如點(diǎn)電荷, 均勻帶電球面或球體等; 2) 軸對稱性, 如無限長均勻帶電直線, 無限長均勻帶電圓柱或圓柱面, 無限長均勻帶電同軸圓柱面3) 面對稱性, 如均勻帶電無限大平面或平板,或者若干均勻帶電無限大平行平面。根據(jù)高斯定理計(jì)算場強(qiáng)時(shí), 必須先根據(jù)電荷分布的對稱性, 分析場強(qiáng)分布的對稱性; 再適當(dāng)選取無厚度的幾何面作為高斯面。選取的原則是: 待求場強(qiáng)的場點(diǎn)必須在高斯面上; 使高斯面的各個(gè)部分或者與E 垂直, 或者E 平行; 與E 垂直的那部分高斯面上各點(diǎn)的場強(qiáng)應(yīng)相等; 高斯面的形狀應(yīng)是最簡單的幾何面。最后由高斯定理求出場強(qiáng)。高斯定理說

3、明的是通過閉合曲面的電通量與閉合 曲面所包圍的所有電荷的代數(shù)和之間的關(guān)系, 即閉合曲面的總場強(qiáng)的電通量只與曲面所包圍的電荷有關(guān), 但與曲面內(nèi)電荷的分布無關(guān)。但閉合曲面上的電場強(qiáng)度卻是與曲面內(nèi)外所有電荷相聯(lián)系的,是共同激發(fā)的結(jié)果。 下面舉一些例子來說靜電場中高定理的應(yīng)用： 例1：一半徑為的帶電球體，其電荷體密度分布為，為大于零的常量。試求球體內(nèi)外的場強(qiáng)分布及其方向。 解：在球內(nèi)取半徑為、厚為的薄球殼，該殼內(nèi)所包含的電荷為 在徑為的球面內(nèi)包含的總電荷為 以該球面為高斯面，按高斯定理有 得到 ， (rR) 方向沿徑向向外在球體外作一半徑為的同心高斯球面，按高斯定理有 得到 ， 方向沿徑向向外 例題2:有兩個(gè)同心的均勻帶電球面，半徑分別為、 ，若大球面的面電荷密度為，且大球面外的電場強(qiáng)度為零，求：（1）小球面上的面電荷密度；（2）大球面內(nèi)各點(diǎn)的電場強(qiáng)度。 解: （1）設(shè)小球面上的電荷密度為，在大球面外作同心的球面為高斯面，由高斯定理： 大球面外 解得： （2） 大球面內(nèi)各點(diǎn)的場強(qiáng)兩個(gè)均勻帶電球面場強(qiáng)的迭加:內(nèi)部場強(qiáng)為零,外部相當(dāng)點(diǎn)電荷 在區(qū)域： 在區(qū)域： 2 對高斯定理的幾點(diǎn)說