高中數(shù)學解析幾何專題之橢圓(匯總解析版)

1、.圓錐曲線第1講 橢圓【知識要點】1、 橢圓的定義1. 橢圓的第一定義：平面內(nèi)到兩個定點、的距離之和等于定長（）的點的軌跡叫橢圓，這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩個焦點之間的距離叫做焦距。注1：在橢圓的定義中，必須強調(diào)：到兩個定點的距離之和（記作）大于這兩個定點之間的距離（記作），否則點的軌跡就不是一個橢圓。具體情形如下：（）當時，點的軌跡是橢圓；（）當時，點的軌跡是線段；（）當時，點的軌跡不存在。注2：若用表示動點，則橢圓軌跡的幾何描述法為（，），即.注3：凡是有關(guān)橢圓上的點與焦點的距離問題，通?？衫脵E圓的第一定義求解，即隱含條件：千萬不可忘記。2. 橢圓的第二定義：平面內(nèi)到某一定點的距離與它

2、到定直線的距離之比等于常數(shù)（）的點的軌跡叫做橢圓。2、 橢圓的標準方程（1） 焦點在軸、中心在坐標原點的橢圓的標準方程是（）；（2） 焦點在軸、中心在坐標原點的橢圓的標準方程是（）.注1：若題目已給出橢圓的標準方程，那其焦點究竟是在軸還是在軸，主要看長半軸跟誰走。長半軸跟走，橢圓的焦點在軸；長半軸跟走，橢圓的焦點在軸。（1） 注2：求橢圓的方程通常采用待定系數(shù)法。若題目已指明橢圓的焦點的位置，則可設其方程為（）或（）；若題目未指明橢圓的焦點究竟是在軸上還是軸上，則中心在坐標原點的橢圓的方程可設為（，且）. 3、 橢圓的性質(zhì)以標準方程（）為例，其他形式的方程可用同樣的方法得到相關(guān)結(jié)論。（1） 范

3、圍：，；（2） 對稱性：關(guān)于軸、軸軸對稱，關(guān)于坐標原點中心對稱；（3） 頂點：左右頂點分別為，；上下頂點分別為，；（4） 長軸長為，短軸長為，焦距為；（5） 長半軸、短半軸、半焦距之間的關(guān)系為；（6） 準線方程：；（7） 焦準距：；（8） 離心率：且. 越小，橢圓越圓；越大，橢圓越扁；（9） 焦半徑：若為橢圓在第一象限內(nèi)一點，則由橢圓的第二定義，有，；（10） 通徑長：.注1：橢圓的焦準距指的是橢圓的焦點到其相應準線的距離。以橢圓的右焦點和右準線：為例，可求得其焦準距為.注2：橢圓的焦點弦指的是由過橢圓的某一焦點與該橢圓交于不同兩點的直線所構(gòu)成的弦。橢圓的通徑指的是過橢圓的某一焦點且垂直于其對

4、稱軸的弦。通徑是橢圓的所有焦點弦中最短的弦。設橢圓的方程為（），過其焦點且垂直于軸的直線交該雙曲線于、兩點（不妨令點在軸的上方），則，于是該橢圓的通徑長為.4、 關(guān)于橢圓的標準方程，需要注意的幾個問題（1）關(guān)于橢圓的標準方程，最基本的兩個問題是：其一，當題目已指明曲線的位置特征，并給出了“特征值”（指、的值或它們之間的關(guān)系，由這個關(guān)系結(jié)合，我們可以確定出、的值）時，我們便能迅速準確地寫出橢圓的標準方程；其二，當題目已給出橢圓的標準方程時，我們便能準確地判斷出曲線的位置特征，并能得到、的值。（2） 橢圓的標準方程中的參數(shù)、是橢圓所固有的，與坐標系的建立無關(guān)；、三者之間的關(guān)系：必須牢固掌握。（3）

5、 求橢圓的標準方程，實質(zhì)上是求橢圓的標準方程中的未知參數(shù)、。根據(jù)題目已知條件，我們列出以、為未知參數(shù)的兩個方程，聯(lián)立后便可確定出、的值。特別需要注意的是：若題目中已經(jīng)指明橢圓的焦點在軸或軸上，則以、為未知參數(shù)的方程組只有一個解，即、只有一個值；若題目未指明橢圓的焦點在哪個軸上，則以、為未知參數(shù)的方程組應有兩個解，即、應有兩個值。（4） 有時為方便解題，中心在坐標原點的橢圓的方程也可設為，但此時、必須滿足條件：，且. 5、 點與橢圓的位置關(guān)系點與橢圓（）的位置關(guān)系有以下三種情形：（）若，則點在橢圓上；（）若，則點在橢圓外；（）若，則點在橢圓內(nèi)；【例題選講】題型1：橢圓定義的應用1. 平面內(nèi)存在一

6、動點到兩個定點、的距離之和為常數(shù)（），則點的軌跡是（）A. 圓 B. 橢圓 C. 線段 D. 橢圓或線段解：由題意知，（）當時，點的軌跡是橢圓；（）當時，點的軌跡是線段.故點的軌跡是橢圓或線段2. 已知圓：，點，是圓上任意一點，線段的中垂線和直線相交于點，則點的軌跡方程為_.解：圓：的圓心坐標為，半徑連接，由是直線的中垂線知，而，于是點的軌跡是以，為左右焦點的橢圓，其中，又該橢圓的中心為坐標原點故點的軌跡方程為3. 已知點，點是圓上的一個動點，線段的垂直平分線交圓的半徑于點，當點在圓周上運動時，點的軌跡方程為_.解：圓：的圓心坐標為，半徑連接，由是直線的垂直平分線知，而，于是點的軌跡是以，為左

7、右焦點的橢圓，其中，又該橢圓的中心為的中點故點的軌跡方程為注：本題點的軌跡方程雖是橢圓，但該橢圓不關(guān)于坐標原點對稱，而是關(guān)于點對稱，其方程可由把橢圓沿軸向右平移了個單位得到。4. 方程表示的曲線是（）A. 橢圓 B. 雙曲線 C. 拋物線 D. 線段解：由，有這表明，點到定點的距離與它到定直線：的距離之比等于常數(shù)（）由橢圓的第二定義知，點的軌跡是橢圓，即方程表示的曲線是橢圓。5. 橢圓的左、右焦點分別為、，點在橢圓上。若線段的中點在軸上，則是的（）A. 7倍 B. 5倍 C. 4倍 D. 3倍解：在橢圓中，于是又線段的中點在軸上，而是線段的中點 于是（法一）在中，又由橢圓的定義，有聯(lián)立、得，故

8、，即是的7倍。（法二），而故，即是的7倍。6. 設、為橢圓的兩個焦點，為橢圓上的一點。已知，是一個直角三角形的三個頂點，且，則=_.解：在橢圓中，于是，（）當時，又于是又聯(lián)立、得，于是此時（）當時，而聯(lián)立、得，于是此時故的值為2或題型2：求橢圓的方程7. （1）若方程表示橢圓，則的取值范圍是_；（2）若方程表示焦點在軸上的橢圓，則的取值范圍是_；（3）若方程表示焦點在軸上的橢圓，則的取值范圍是_.解：（1）方程表示橢圓故當時，方程表示橢圓。（2） 方程表示焦點在軸上的橢圓故當時，方程表示焦點在軸上的橢圓。（3） 方程表示焦點在軸上的橢圓故當時，方程表示焦點在軸上的橢圓。8. 已知橢圓的焦距為2

9、，則=_.解：由題意知， 于是（）（）當橢圓的焦點在軸上時，于是由（）式，有（）當橢圓的焦點在軸上時，于是由（）式，有故的值為3或59. 已知橢圓以坐標軸為對稱軸，且長軸是短軸的3倍，并且經(jīng)過點，則該橢圓的方程為_.解：由題設條件知，（）當橢圓的焦點在軸上時，設其方程為（）則由該橢圓過點，有聯(lián)立、得，于是此時該橢圓的方程為（）當該橢圓的焦點在軸上時，設其方程為（）則由該橢圓過點，有聯(lián)立、得，于是此時該橢圓的方程為故所求橢圓的方程為或10. 已知橢圓的中心在坐標原點、以坐標軸為對稱軸，且經(jīng)過兩點，則橢圓的方程為_.解：設所求橢圓的方程為（，且） 則由該橢圓過，兩點，有，解得：故所求橢圓的方程為，

10、即.11. 在平面直角坐標系中，橢圓的中心為坐標原點，焦點、在軸上，離心率為. 若過的直線交于、兩點，且的周長為16，那么的方程為_.解：由橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，可設其方程為（） 而，即于是又 于是故橢圓的方程為題型3：橢圓的性質(zhì)12. 橢圓上的點到其一個焦點的距離的最小值為5，最大值為15，則橢圓的方程為_.解：不妨設所求橢圓的方程為（）設是該橢圓上任意一點，是其一個焦點令，則又，于是當，即點為橢圓的右頂點時，取得最小值，且；當，即點為橢圓的左頂點時，取得最大值，且.因而由題意，有 故所求橢圓的方程為注：由本題可見，橢圓的右（左）頂點到右（左）焦點的距離最小，到左（右）焦點的距離

11、最大。以后在遇到相關(guān)問題時，這個結(jié)論可以直接用。13. 已知橢圓的中心在坐標原點，在軸上的一個焦點與短軸的兩個端點、的連線互相垂直，且這個焦點與較近的長軸的端點的距離為，則這個橢圓的方程為_.解：由該橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，可設其方程為（）設是該橢圓的右焦點，則與其較近的長軸的端點為于是有（）又，是該橢圓上的對稱點，是該橢圓的右焦點又為等腰直角三角形，其中于是有，即又，即，代入（），得于是，故所求橢圓的方程為題型4：與橢圓的焦點有關(guān)的三角形問題14. 設是橢圓上的一點，、是該橢圓的兩個焦點，且，則=_.解：在橢圓中，于是，在中，由余弦定理，有于是故15. 已知、分別為橢圓的左、右焦點

12、，點在該橢圓上. 若點、是一個直角三角形的三個頂點，則的面積為_.解：在橢圓中，于是，（）當以點或為直角頂點時，或，而或于是此時總有并且此種情形下，即點在橢圓上，滿足題意。（）當以點為直角頂點時，設則又，于是此時這表明，此種情形下，點在橢圓外，不滿足題意。故的面積為16. 已知、是橢圓在軸上的兩個焦點，為橢圓上一點，.（1） 求該橢圓離心率的取值范圍；（2） 求證：的面積只與該橢圓的短軸長有關(guān).解（1）：由該橢圓的焦點在軸上，可設其方程為（）在中，由余弦定理，有又而，即于是又故該橢圓離心率的取值范圍是證（2）：由（1）知，故的面積只與該橢圓的短軸長有關(guān)題型5：橢圓中的最值問題17. 設是橢圓的

13、左焦點，點是橢圓上的一個動點，為定點，則的最小值為_.解：在橢圓中，于是該橢圓的左右焦點分別為，故18. 若滿足（），則的最大值、最小值分別為_.解：在橢圓（）中，于是該橢圓的左右焦點分別為，表示橢圓（）上的點與定點之間的連線的斜率令，則直線的方程為，即聯(lián)立，得令則，（舍去）又，這里為橢圓（）的右頂點故，即的最大值為，最小值為19. 在直線：上任取一點，過點且以橢圓的焦點為焦點作橢圓，則點的坐標為_時，所作的橢圓的長軸最短，此時該橢圓的方程為_.解：在橢圓中，于是該橢圓的左右焦點分別為，要使過點且以橢圓的焦點為焦點所作的橢圓的長軸最短必須使最小設關(guān)于直線：的對稱點為則由，即，得于是直線的方程為

14、，即顯然，使取得最小值的點即為直線與直線的交點聯(lián)立，得此時，故所求橢圓的方程為20. 若點和點分別為橢圓的中心和左焦點，點為橢圓上任意一點，則的最大值為_，此時點的坐標為_.解：在橢圓中，于是設則，并且于是，令，其對稱軸為函數(shù)在上單調(diào)遞增于是將代入方程中，得 故的最大值為6，此時點的坐標為.21. 設橢圓的中心是坐標原點，長軸在軸上，離心率. 已知點到這個橢圓上一點的最遠距離為，則該橢圓的方程為_，該橢圓上到點的距離為的點的坐標是_.解：由該橢圓的中心在坐標原點，長軸在軸上，可設其方程為（）， 而，即于是橢圓的方程可化為設是該橢圓上任意一點則，令，其對稱軸為（）當，即時，函數(shù)在上單調(diào)遞減此時，

15、于是 解得：這顯然與矛盾，因此此種情況不存在。（）當時，這顯然與矛盾，因此此種情況不存在。（）當，即時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減此時，于是 解得：，滿足題意。由可知，所求橢圓的方程為將代入方程中，得：于是橢圓上到點的距離等于的點有兩個，分別是，故該橢圓的方程為，并且該橢圓上到點的距離為的點的坐標是或.題型6：橢圓的離心率計算問題22. 若一個橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率為_.解：由，成等差數(shù)列，有又（）（）式兩邊同時除以，得 解得：或（舍去）故該橢圓的離心率23. 已知、是橢圓在軸上的兩個焦點，過且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓于、兩點，若是正三角形，則這個橢

16、圓的離心率是_.解：（法一）設正三角形的邊長為則，于是， ，故該橢圓的離心率（法二），等式中的表示的外接圓的直徑.故該橢圓的離心率24. 過橢圓（）的左焦點作軸的垂線交橢圓于點，為橢圓右焦點。若，則該橢圓的離心率為_.解：（法一）在中， 又于是故該橢圓的離心率為（法二）在中，而，即解得：或（舍去）故該橢圓的離心率為25. 已知是橢圓的一個焦點，是短軸的一個端點，線段的延長線交于點，且，則的離心率為_.解：（法一）不妨設橢圓的焦點在軸上，則其方程可設為（）設，則，于是由，有 又點在橢圓上 于是又故橢圓的離心率為（法二）不妨設橢圓的焦點在軸上設，則作于點則由，有，即又由橢圓的第二定義，有又于是又故

17、橢圓的離心率為26. 在平面直角坐標系中，是橢圓（）的右焦點，直線與橢圓交于、兩點，且，則該橢圓的離心率是_.解：在中，令，則于是，而，又于是又于是又故該橢圓的離心率27. 已知為坐標原點，是橢圓：（）的左焦點，、分別為的左、右頂點，為上一點，且軸，過點的直線與線段交于點，與軸交于點若直線經(jīng)過的中點，則的離心率為_.解：由，有由，有于是有故的離心率（法二）直線：，即由，得，所以由，得，所以由，有故的離心率題型7：與橢圓有關(guān)的綜合問題28. 橢圓內(nèi)有一點，一直線經(jīng)過點與橢圓交于、兩點，弦被點平分，則直線的方程為_.解：設，則，得，又的中點坐標為，代入得，顯然于是由有，即又直線過其中點故直線的方程

18、為，即29. 已知橢圓：（）的右焦點為，過點的直線交橢圓于、兩點，若的中點坐標為，則的方程為_.解：橢圓：（）的右焦點為設，則 ， -得，又的中點坐標為，代入得，顯然于是由有，即又由、得，故橢圓的方程為Py30. 如圖，設是圓上的一個動點，點是點在軸上的投影，為上一點，且.M（1） 當點在圓上運動時，求點的軌跡的方程；ODx（2） 求過點且斜率為的直線被所截線段的長度.解：（1）設，則由題設條件知， 而點在圓上故點的軌跡的方程為（2） 過點且斜率為的直線的方程為，即點的軌跡的方程可化為設直線與的交點為，則直線被所截線段的長度為聯(lián)立，得由韋達定理，有于是故過點且斜率為的直線被所截線段的長度為31

19、. 已知橢圓，過原點的兩條直線和分別與該橢圓交于點、和、記得到的平行四邊形的面積為（1）設，用、的坐標表示點到直線的距離，并證明；（2）設與的斜率之積為，求面積的值解：（1）在橢圓，即中，（）當直線和的斜率均存在時，直線的方程為，即于是點到直線：的距離又四邊形為平行四邊形故（）當直線的斜率不存在（此時即為軸），直線的斜率存在時，此時點中，點到直線的距離（）當直線的斜率不存在（此時即為軸），直線的斜率存在時，此時點中，點到直線的距離故點到直線的距離，平行四邊形的面積.（2） 由直線與的斜率之積為可知，直線、的斜率均存在，且均不為零不妨設直線的斜率為則直線的方程為，并且直線的斜率為于是直線的方程為

20、聯(lián)立得 解得：聯(lián)立得 解得：又由（1）知故32. 已知橢圓：（）的半焦距為，原點到經(jīng)過兩點，的直線的距離為（1）求橢圓的離心率；（2）如圖，是圓：的一條直徑，若橢圓經(jīng)過、兩點，求橢圓的方程解：（1）設則設，則故橢圓的離心率（2） 圓：的圓心為，半徑由（1）知，于是橢圓：的方程可化為，即設直線的斜率為則直線的方程為，即設，聯(lián)立得由韋達定理有又為的中點又故橢圓的方程為33. 已知點是橢圓上任意一點，點到直線：的距離為，到點的距離為，且. 直線與橢圓交于不同的兩點、（、都在軸上方），且.（1） 求橢圓的方程；（2） 當點為橢圓與軸正半軸的交點時，求直線的方程；（3） 對于動直線，是否存在一個定點，無論如何變化，直線總經(jīng)過此定點？若存在，求出該定點的坐標；若不存在，請說明理由.解：（1）設，則，于是由，有化簡整理，得：故橢圓的方程為（2） 橢圓的方程可化為聯(lián)立，得 而又 而、都在軸上方 于是直線的方程為，即聯(lián)立，得 解得：或（舍去）故直線的方程為，即（3） ，且、都在軸上方，并且直線的斜率存在設，則由，有（）設直線的方程為聯(lián)立，得由韋達定理，有于是由（）式，有而于是直線的方程可化為這表明，直線總經(jīng)過定點故對于動直線，總存在一個定點，無論如何變化，直線總經(jīng)過此定點.34. 在平面直角坐標系中，點（）為動點，、分別為橢圓的左、右焦點已知為等腰三角形（1）求該橢圓