《利用勾股定理解決最短路徑問題》教學設計

1、.利用勾股定理解決最短路徑問題教學設計教材分析本節(jié)課是最短路徑問題的延續(xù)和拓廣，不但要尋找最短路徑，還要計算其長度。在初中階段，求解兩點之間的距離問題多借助勾股定理進行計算，在中考中占有一定地位而勾股定理是直角三角形非常重要的性質，有極其廣泛的應用。勾股定理指出了直角三角形三邊之間的數(shù)量關系，是幾何圖形和數(shù)量關系之間的一座橋梁學情分析學生在初一上學期學習線段相關知識時已掌握“同一平面內，兩點之間，線段最短”，初二上學期學習軸對稱一章時，又接觸了最短路徑問題，因此對最短路徑問題有一定的理解。分類討論一直都是學生覺得比較難掌握的思想方法，分類不清、分類不全是學生經常犯的錯誤教學目標知識目標能運用勾

2、股定理求最短路徑問題能力目標學會觀察圖形，勇于探索圖形間的關系，培養(yǎng)學生的空間觀念；在將實際問題抽象成幾何圖形過程中，提高分析問題、解決問題的能力及滲透數(shù)學建模的思想情感目標通過有趣的問題提高學習數(shù)學的興趣；在解決實際問題的過程中，體驗數(shù)學學習的實用性，體現(xiàn)人人都學有用的數(shù)學，增強自信心，體現(xiàn)成功感教學重點探索、發(fā)現(xiàn)立體圖形展開成平面圖形各種途徑，利用勾股定理求最短路徑問題教學難點利用數(shù)學中的建模思想構造直角三角形，尋找不同路徑，利用勾股定理，解決實際問題教學過程教學環(huán)節(jié)教學內容教學活動學生活動設計意圖復習鞏固1如圖，在RtABC中，AC=4，BC=2，則AB= 2如圖，小華的家在A處，書店在

3、B處，星期日小明到書店去買書，他想盡快的趕到書店，請你幫助他選擇一條最近的路線（）A BC D引導學生復習利用勾股定理計算三角形的邊長引導學生回顧同一平面內，兩點之間線段最短的知識學生回顧勾股定理和兩點之間線段最短的知識幫助學生溫故知新探究問題類型一：圓柱體中的最短路徑1如圖，一只螞蟻沿著圖示的路線從圓柱高AA1的端點A到達A1，若圓柱底面半徑為，高為5，則螞蟻爬行的最短距離是 132如圖，圓柱高8cm，底面半徑2cm， BC是上底面的直徑一只螞蟻從點A出發(fā)，.沿著圓柱的側面爬行到點B，則螞蟻爬行的最短路程是 （的值取3）變式一：將“側面”改為“表面”，求螞蟻爬行的最短路程變式二：再將“高為8

4、cm”改為“2cm”，求螞蟻爬行的最短路程解決圓柱體中的最短路徑問題的步驟： 類型二：正方形中的最短路徑如圖，邊長為1的正方體中，一只螞蟻從頂點A出發(fā)沿著正方體的外表面爬到頂點B的最短距離是 變式：如圖，邊長為1的正方體中，一只螞蟻從棱的中點A出發(fā)沿著正方體的外表面爬到頂點B的最短距離是 類型三：長方體中的最短路徑如圖，長方體長、寬、高分別為5cm、3cm 、4cm一只螞蟻從頂點A出發(fā)沿表面爬到頂點B求螞蟻經過的最短路程小結：解決路徑最短問題的依據(jù)是 也就是將曲面或多面體展成一個 面，然后連接需求最短路徑的兩點，構造 三角形，用勾股定理的數(shù)學模型去解決解決最短路徑問題四部曲 1 展（立體展平面

5、） 2 找（找各種路徑） 3 算（算各種路徑的長度） 4 比（比較各種路徑的長度） 類型四（拓展提高）：與物體表面和內部相關的最短路徑如圖，圓柱形玻璃杯，高為12cm，底面周長為18cm，在杯內離杯底4cm的點C處有一滴蜂蜜，此時已知螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對的點A處，則螞蟻到達蜂蜜的最短距離是 提問：怎樣確定平面上兩點間的最短距離？立體圖形上的最短距離問題如何解決？引導學生尋找關鍵點引導學生根據(jù)不同的條件選擇不同的路徑引導學生思考最短距離怎么體現(xiàn)怎樣計算最短距離？引導小結結圓柱體中計算最短距離要注意的問題提問：正方體由幾個面組成？這些面有什么關系？正方體怎么展開？至少需要展開

6、幾個面？引導學生思考長方體與正方體有何區(qū)別？為什么長方體有六種展開方式？（長，寬，高的組合），為什么排除后只有三種？（重復）引導學生小結解決立體圖形上的兩點之間最短路徑問題的步驟引導學生將此問題與利用軸尋找最短路徑的問題相結合學生審題，思考并作答指明圓柱體、正方體上的數(shù)量和展開圖上的數(shù)量之間一一對應關系，以及如何利用勾股定理進行計算在教師引導下，學生對六種展開方式分析排除，最終歸納出三種方式計算比較得出最短距離總結歸納做題的步驟將曲線化直線，將此問題轉化為利用軸對稱解決最短路徑問題由有趣的實際問題引入，激發(fā)學生學習興趣啟發(fā)學生把立體圖形展開成平面圖形，并用平面圖形的知識來解決立體圖形中最短距離

7、問題注重路徑的多樣性，滲透分類討論思想使學生體會數(shù)學上的轉化思想通過先尋找“關鍵點”，再找到不同路徑，最終在直角三角形內利用勾股計算最短距離這一過程，使學生再次領悟任何一個幾何圖形都是由基本元素“點”，“線”，“面”構成，回歸幾何的本真！在圓柱體的基礎上提升難度，變?yōu)檎襟w，再變?yōu)殚L方體，引導學生由淺入深，認識到要解決立體圖形上的最短路徑問題一定要將其展開滲透分類討論思想在初二上學期尋找最短路徑的問題上提升到求最短路徑長，體現(xiàn)勾股定理是計算線段長的有力手段鞏固練習1如圖是一個三級臺階，它的每一級的長、寬、高分別為20cm、3cm、2cmA和B是這個臺階上兩個相對的端點，點A處有一只螞蟻，想到點

8、B處去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬行到點B的最短路程為 cm課后完成通過配套練習加深學生對本節(jié)課所學知識的印象和理解2如圖，在一個長為2m，寬為1m 的長方形草地上，放著一根長方體的木塊，它的棱和場地寬AD平行且棱長大于AD，木塊從正面看是邊長為0.2m的正方形，一只螞蟻從點A處到達C處需要走的最短路徑是 m3一盛滿水的圓柱形容器，它的高等于8cm底面半徑等于3cm，在圓柱下底面上的A點有一條小魚，它想從點A游到點B，小魚游過的最短路程是多少？ 若是螞蟻想從點A爬到點B，最短路程是多少？（的值取3）若把圓柱的高改為2cm呢？4如圖所示，有一棱長為3cm的正方體，把所有的面均分成33個小正方形假設一只螞蟻每秒爬行2cm，則它從下底面點A沿表面爬行至側面的B點，最少要用 秒2.5？5如圖，長方體盒子（無蓋）的長、寬、高分別12cm，8cm，30cm（1）在AB中點C處有一滴蜜糖，一只小蟲從D處爬到C處去吃，最短路程是多少？（2）此長方體盒子（有蓋）能放入木棒的最