2002級高等數(shù)學(xué)Π期末考試試卷A

1、標(biāo)準(zhǔn)文檔 實(shí)用文案 2003級高等數(shù)學(xué)（）期末考試試卷（A） （工科類） 專業(yè)： 姓名： 學(xué)號： 考試日期：2004.6.11. 題 號 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 十一 總 分 得 分 說明：1. 本試卷共6頁； 2. 答案必須寫在該題后的橫線上或括號中或?qū)懺谠擃}下方空白處，不得寫在 草稿紙中，否則該題答案無效. 一、填空題（本題15分，每小題3分） 1設(shè)L為橢圓22143xy?，其周長記為a，則?Ldsyxxy)432(22 . 2光滑曲面),(yxfz?在坐標(biāo)平面xOy上的投影域?yàn)镈，那么該曲面 的面積可用二重積分表示為 . 3設(shè)L為圓周922?yx取正向，則曲線積分?Ldy

2、xxdxyxy)4()22(2 . 4在微分方程)1(232?xeyyyx中，可設(shè)其特解形式（不用求出待定系數(shù)）為?*y . 5函數(shù)xyzzyxu3332?的梯度在曲面 上垂直于z軸. 二、選擇題（本題15分，每小題3分） 1設(shè)二元函數(shù)),(yxf在點(diǎn)),(00yx可微，則),(yxf在點(diǎn)),( 00yx處下列結(jié)論不一定成立的是（ ） (A) 連續(xù) (B) 偏導(dǎo)數(shù)存在 (C) 偏導(dǎo)數(shù)連續(xù) (D) 有定義 2由拋物線2xy?及直線1?y所圍成的均勻薄片（面密度為?）對于直線1:?yl的轉(zhuǎn)動慣量為lI= ( ) （A）?Ddxdyx2)1(? (B) ?Ddxdyx2)1(? (C ) ?Ddxd

3、yy2)1(? (D) ?Ddxdyy2)1(? 3設(shè)a為常數(shù)，則級數(shù)?1cos1)1(nnna （ ） (A) 發(fā)散 (B) 絕對收斂 (C) 條件收斂 (D) 收斂性與a的取值有關(guān) 4設(shè)?是由22yxz?與1?z所圍成的在第一卦限的部分，則?dvzyxf),( ) 標(biāo)準(zhǔn)文檔 實(shí)用文案 （A ）?20010),(xzzdyzyxfdxdz (B) ?22201010),(yxxdzzyxfdydx (C) ?110202),sin,cos(rrdzzrrfdrd? (D) ?11010222),(yxxdzzyxfdydx 5設(shè)2(),01fxxx?，而正弦級數(shù)1()sinnnSxbnx?，

4、其中 ),3,2,1(sin)(210?nxdxnxfbn?，則1()()2S? 1111()()()()2442ABCD? 三、（本題8分）設(shè)yxeuyxufz?),(，其中f 具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求yxz?2. 四、（本題8分） 設(shè)函數(shù)6),(?zyxyzzxxyzyxf，問在點(diǎn))0,4,3(P處沿怎樣的方向l，f的變化率最大？并求其最大的變化率. 五、（本題8分）計(jì)算二重積分?Ddxdyyx)(，其中2),(22xyxyxD?. 六、（本題8分） 計(jì)算曲面積分dxdyzzefdzdxyzefzdydzxyy?3331，其中)(uf具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，? 為由曲面,4,1,222222yxzyx

5、zyxz?所圍立體表面外側(cè). 七、（本題 8分） 將函數(shù))54ln()(?xxf展開為)2(?x的冪級數(shù)，并指出其收斂域. 八、（本題 8分） 求冪級數(shù)nnxnn?121的收斂域與和函數(shù). 九、（本題 8分） 已知曲線積分?Lxdyxfydxxfe)()(2與積分路徑無關(guān)，且0)0(?f，求)(xf，并計(jì)算?)1,1()0,0()()(2dyxfydxxfex的值. 十、（本題8分） 一容器在開始時(shí)盛有鹽水溶液100升，其中含凈鹽10公斤，然后以每分鐘3升的速率注入清水，同時(shí)又以每分鐘2升的速率將沖淡的溶液放出，容器中裝有攪拌器，使容器中的溶液保持均勻，求過程開始后1小時(shí)溶液的含鹽量. 十一、

6、（本題6分） 證明,412cos)1(22121?xxnxnnn ，并求級數(shù)?121)1(nnn的和. 2003級高等數(shù)學(xué)（）期末考試試卷（B） （工科類） 專業(yè)： 姓名： 學(xué)號： 考試日期：2004.6.11. 題 號 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 十一標(biāo)準(zhǔn)文檔 實(shí)用文案 總 分 得 分 說明：1. 本試卷共6頁； 2. 答案必須寫在該題后的橫線上或括號中或?qū)懺谠擃}下方空白處，不得寫在 草稿紙中，否則該題答案無效. 一、填空題（本題15分，每小題3分） 1設(shè)L為圓周922?yx取正向，則曲線積分? ?Ldyxxdxyxy)4()22(2 . 2在微分方程)1(2 32?xeyyyx

7、 中，可設(shè)其特解形式（不用求出待定系數(shù)）為 ?*y . 3設(shè)L為橢圓22143xy?，其周長記為a，則?Ldsyxxy)432(22 . 4光滑曲面),(yxfz?在坐標(biāo)平面xOy上的投影域?yàn)镈，那么該曲面的面積可用二重積分表示為 . 5函數(shù)xyzzyxu3332?的梯度在曲面 上垂直于z軸. 二、選擇題（本題15分，每小題3分） 1設(shè)a為常數(shù)，則級數(shù)?1cos1 )1(nnna （ ） (B) 發(fā)散 (B) 絕對收斂 (C) 條件收斂 (D) 收斂性與a的取值有關(guān) 2設(shè)?是由22yxz?與1?z所圍成的在第一卦限的部分，則?dvzyxf),( ) （A）?20010),(xzzdyzyxfd

8、xdz (B) ?22201010),(yxxdzzyxfdydx (C) ?110202),sin,cos(rrdzzrrfdrd? (D) ?11010222),(yxxdzzyxfdydx 3若二元函數(shù)),(yxf在點(diǎn)),(00yx可微，則),(yxf在點(diǎn)),(00yx處下列結(jié)論不一定成立的是（ ） (A) 連續(xù) (B) 偏導(dǎo)數(shù)存在 (C) 偏導(dǎo)數(shù)連續(xù) (D) 有定義 4設(shè)2(),01fxxx?，而正弦級數(shù)1()sinnnSxbnx?，其中 ),3,2,1(sin)(210?nxdxnxfbn?，則1()()2S? 標(biāo)準(zhǔn)文檔 實(shí)用文案 1111()()()()2442ABCD? 5由拋物

9、線2xy?及直線1?y所圍成的均勻薄片（面密度為?）對于直線1:?yl的轉(zhuǎn)動慣量為lI= ( ) （A）?Ddxdyx2)1(? (B) ?Ddxdyx2)1(? (C ) ?Ddxdyy2)1(? (D) ?Ddxdyy2)1(? 三、（本題8分）設(shè)函數(shù)6),(?zyxyzzxxyzyxf，問在點(diǎn))0,4,3(P處沿怎樣的方向l，f的變化率最大？并求其最大的變化率. 四、（本題8分）設(shè)yxeuyxufz?),(，其中f 具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求yxz?2. 五、（本題8分） 計(jì)算曲面積分dxdyzzefdzdxyzefzdydzxyy?3331，其中)(uf具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，? 為由曲面,4,1,

10、222222yxzyxzyxz?所圍立體表面外側(cè). 六、（本題8分）計(jì)算二重積分?Ddxdyyx)(，其中2),(22xyxyxD?. 七、（本題 8分） 求冪級數(shù)nnxnn?121的收斂域與和函數(shù). 八、（本題 8分）將函數(shù))54ln()(?xxf展開為)2(?x的冪級數(shù)，并指出其收斂域. 九、（本題 8分）一容器在開始時(shí)盛有鹽水溶液100升，其中含凈鹽10公斤，然后以每分鐘3升的速率注入清水，同時(shí)又以每分鐘2升的速率將沖淡的溶液放出，容器中裝有攪拌器，使容器中的溶液保持均勻，求過程開始后1小時(shí)溶液的含鹽量. 十、（本題8分）已知曲線積分?Lxdyxfydxxfe)()(2與積分路徑無關(guān)，且

11、0)0(?f，求)(xf，并計(jì)算?)1,1()0,0()()(2dyxfydxxfex的值. 十一、（本題6分） 證明,412cos)1(22121?xxnxnnn ，并求級數(shù)?121)1(nnn的和. 2003級高等數(shù)學(xué)（）期末試卷A卷答案 專業(yè)年級： 姓名： 學(xué)號： 成績： 一、填空題（本題15分，每小題3分） 1函數(shù)xyzzyxu3332?的梯度在（ 曲面 xyz?2 ）上垂直于z軸 標(biāo)準(zhǔn)文檔 實(shí)用文案 2設(shè)L 為橢圓22143xy?，其周長記為a，則?Ldsyxxy)432(22 12a . 3光滑曲面),(yxfz?在坐標(biāo)平面xOy上的投影域?yàn)镈，那么該曲面的面積可用二重積分表示為

12、. dxdyyzxzD?221 4設(shè)L為圓周922?yx取正向，則曲線積分 ?Ldyxxdxyxy)4()22(2 18? . 5在微分方程xeyyyx2cos23?中，可設(shè)其一個(gè)特解形式為（xeBxeAyxx2sin2cos 11*?） . 二、選擇題（本題15分，每小題3分） 1若二元函數(shù)),(yxf在點(diǎn)),(00yx可微，則),(yxf在點(diǎn)),(00yx處下列結(jié)論不一定成立的是（ D ） (A) 連續(xù) (B) 偏導(dǎo)數(shù)存在 (C) 偏導(dǎo)數(shù)連續(xù) (D) 有定義 2由拋物線2xy?及直線1?y所圍成的均勻薄片（密度為?）對于直線1:?yl的轉(zhuǎn)動慣量為lI=( C) （A）?Ddxdyx2)1(

13、? (B) ?Ddxdyx2)1(? (C ) ?Ddxdyy2)1(? (D) ?Ddxdyy2)1(? 3設(shè)a為常數(shù)，則級數(shù)?1cos1)1(nnna （ B ） (C) 發(fā)散 (B) 絕對收斂 (C) 條件收斂 (D) 收斂性與a的取值有關(guān) 4 設(shè)?是由22yxz ?與1 ?z所圍成的在第一卦限的部分，則 ?dvzyxf),( (B ) （A）?1000 2),(zxzdyzyxfdxdz (B) ?10100222),(xyxdzzyxfdydx 標(biāo)準(zhǔn)文檔 實(shí)用文案 (C) ?201012),sin,cos(?rrdzzrrfdrd (D) ?10101222),(xyxdzzyxfd

14、ydx 5設(shè)2(),01fxxx?，而正弦函數(shù)1()sinnnSxbnx?，其中 102()sin(1,2,)nbfxnxdxn? ?，則1()()2S? C 1111()()()()2442ABCD? 三、解下列各題（本題28分，每小題7分） 1設(shè)yxeuyxufz?),(，其中f 具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求yxz?2. ?xz21fefy? yxz?2=yyyyeffxefefxef1232113211? 2設(shè)函數(shù)6),(?zyxyzzxxyzyxf，問在點(diǎn))0,4,3(P處沿怎樣的方向l，f的變化率最大？并求其最大的變化率. )6,2,3()1,1,1()0,4,3(?Pyxzxzygradf

15、解 .7)0,4,3(.)6,2,3(?gradflflfP其最大的變化率為的方向變化率最大沿 3計(jì)算二重積分?Ddxdyyx)(，其中02,4),(2222?xyxyxyxD . .22143316cos316cos2)(204cos2020221?drdrrdxdxdyxdxdyxdxdyxdxdydxdyyxDDDDD解上 其中 ,4),(221?yxyxD，02),(222?xyxyxD. 4. 計(jì)算曲面積分dxdyzzefdzdxyzefzdydzxyy?3331，其中)(uf具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，? 為由曲面,4,1,222222yxzyxzyxz?所圍立體表面外側(cè). 標(biāo)準(zhǔn)文檔 實(shí)用文案

16、 .)22(59351sin6sin3)3215402144020222?rddrrdddvzyx（原式解 四、計(jì)算或證明下列各題（本題21分，每小題7分） 1 將函數(shù))54ln()(?xxf展開為2?x的冪級數(shù)，并指出其收斂域 . .41145,)2(34)1(3ln)2(341ln3ln3)2(4ln)(1?xnxxxxfnn解 2 求冪級數(shù)nnxnn?121的收斂域與和函數(shù) . nnnxnn?02!21 解：因?yàn)椋?1,1(- 1, 1|lim1收斂域?yàn)闀r(shí)級數(shù)發(fā)散，?xaannn )11(),1ln()1(11111200110111112?xxxxdxxxxxdxxdxxnxxnxnx

17、nnxxnnxnnnnnnnn 3 證明,412cos)1(22121?xxnxnnn ，并求級數(shù)?121)1(nnn的和 . .,412222內(nèi)展為余弦級數(shù)在故將為偶函數(shù)因?yàn)樽C?xx )(,cos)1(43.0,)1(4sin1cos2sin2cos2,322122220322022020?xnxnxbnnxnnxnxnxnxnxdxxadxxannnnxnx 整理得 ,412cos)1(22121?xxnxnnn. 0?x得 12)1(2121?nnn. 標(biāo)準(zhǔn)文檔 實(shí)用文案 五、計(jì)算下列各題（本題21分，每小題7分） 1已知曲線積分?Lxdyxfydxxfe)()(2與積分路徑無關(guān)，且0)

18、0(?f，求)(xf，并計(jì)算?)1,1()0,0()()(2dyxfydxxfex的值 . ,)(2)(xexfxfxQyP?，得由解 ,31)(222xxdxxdxeCeCdxeeexf? 因?yàn)?)0(?f，所以31?C， 于是 ).(31)(2xxeexf? 故 ?10210)1,1()0,0()(310)()(2dyeedxdyxfydxxfex )(312ee?. 2一容器在開始時(shí)盛有水100升，其中含凈鹽10公斤，然后以每分鐘3升的速率注入清水，同時(shí)又以每分鐘2升的速率將沖淡的溶液放出，容器中裝有攪拌器，使容器中的溶液保持均勻，求過程開始后1小時(shí)溶液的含鹽量。 解：設(shè)在過程開始后t分

19、鐘容器中含鹽x公斤，在時(shí)刻t的容器內(nèi)含液體100+3t-2t=100+t(升)，此時(shí)溶液的濃度為x/(100+t)（公斤/升）,經(jīng)過dt時(shí)間，容器內(nèi)含鹽改變dx（dx0） ，從而由微元法知：dttxdx2100? 分離變量解此微分方程得：2)100(tcx?，當(dāng)t=0時(shí)x=10,由此初始條件解得特解 ,)100(1025tx? 當(dāng)公斤，時(shí)9.316010 6025?xt 3(1) 驗(yàn)證)()!3(!9!6!31)(3963?xnxxxxxyn?滿足微分方程xeyyy? (2) 利用（1 ）的結(jié)果求冪級數(shù)?03)!3(nnnx的和函數(shù) 解：即求xeyyy?的滿足初始條件1|0?xy,0|0?xy

20、的特解. 標(biāo)準(zhǔn)文檔 實(shí)用文案 2003級高等數(shù)學(xué)（）期末試卷B卷答案 專業(yè)年級： 姓名： 學(xué)號： 成績： 一、填空題（本題15分，每小題3分） 1設(shè)L 為橢圓22143xy?，其周長記為a，則?Ldsyxxy)432(22 12a . 2函數(shù)xyzzyxu3332?的梯度在曲面 xyz? 2 上垂直于z軸 3光滑曲面),(yxfz?在坐標(biāo)平面xOy上的投影域?yàn)镈，那么該曲面的面積可用二重積分表示為dxdyyzxzD?22 1. 4在微分方程xeyyyx2cos23?中，可設(shè)其一個(gè)特解形式為xeBxeAyxx2sin2cos11*? ?. 標(biāo)準(zhǔn)文檔 實(shí)用文案 5設(shè)L為圓周922?yx取正向，則曲

21、線積分?Ldyxxdxyxy)4()22(2? 18. 二、選擇題（本題15分，每小題3分） 1由拋物線2xy?及直線1?y所圍成的均勻薄片（密度為?）對于直線1:?yl的轉(zhuǎn)動慣量為lI=( C) （A）?Ddxdyx2)1(? (B) ?Ddxdyx2)1(? (C ) ?Ddxdyy2)1(? (D) ?Ddxdyy2)1(? 2設(shè)2(),01fxxx?，而正弦函數(shù)1()sinnnSxbnx?，其中 102()sin(1,2,)nbfxnxdxn? ?，則1()()2S? C 1111()()()()2442ABCD? 3若二元函數(shù)),(yxf在點(diǎn)),(00yx可微，則),(yxf在點(diǎn)),

22、(00yx處下列結(jié)論不一定成立的是（ D ） (A) 連續(xù) (B) 偏導(dǎo)數(shù)存在 (C) 偏導(dǎo)數(shù)連續(xù) (D) 有定義 4設(shè)a為常數(shù)，則級數(shù)?1cos1)1(nnna （ B ） (D) 發(fā)散 (B) 絕對收斂 (C) 條件收斂 (D) 收斂性與a的取值有關(guān) 5 設(shè)?是由22yxz?與1?z所圍成的在第一卦限的部分，則 ?dvzyxf),( (B ) （A ）?10002),(zxzdyzyxfdxdz (B) ?10100222),(xyxdzzyxfdydx (C) ?201012),sin,cos(?rrdzzrrfdrd (D) ?10101222),(xyxdzzyxfdydx 三、解下

23、列各題（本題28分，每小題7分） 1設(shè)yxeuyxufz?),(，其中f 具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求yxz?2. ?xz21fefy? 標(biāo)準(zhǔn)文檔 實(shí)用文案 yxz?2=yyyyeffxefefxef1232113211? 2設(shè)函數(shù)6),(?zyxyzzxxyzyxf，問在點(diǎn))0,4,3(P處沿怎樣的方向l，f的變化率最大？并求其最大的變化率. )6,2,3()1,1,1()0,4,3(?Pyxzxzygradf解 .7)0,4,3(.)6,2,3(?gradflflfP其最大的變化率為的方向變化率最大沿 3計(jì)算二重積分?Ddxdyyx)(，其中02,4),(2222?xyxyxyxD . .2214

24、3316cos316cos2)(204cos2020221?drdrrdxdxdyxdxdyxdxdyxdxdydxdyyxDDDDD解上 其中 ,4),(221?yxyxD，02),(222?xyxyxD. 4. 計(jì)算曲面積分dxdyzzefdzdxyzefzdydzxyy?3331，其中)(uf具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，? 為由曲面,4,1,222222yxzyxzyxz?所圍立體表面外側(cè). .)22(59351sin6sin3)3215402144020222?rddrrdddvzyx（原式解 四、計(jì)算或證明下列各題（本題21分，每小題7分） 2 將函數(shù))54ln()(?xxf展開為2?x的冪級數(shù)，并指出其收斂域 . .41145,)2(34)1(3ln)2(341ln3ln3)2(4ln)(1?xnxxxxfnn解 2 求冪級數(shù)nnxnn?121的收斂域與和函數(shù) . nnnxnn?02!21 解：因?yàn)椋?1,1(- 1, 1|lim1收斂域?yàn)闀r(shí)級數(shù)發(fā)散，?xaannn 標(biāo)準(zhǔn)文檔 實(shí)用文案 )11(),1ln()1(11111200110111112?xxxxdxxxxxdxxdxxnxxnxnxnnxxnnxnnnnnnnn 3 證明,412cos)1(22121?xxnxnnn ，并求級數(shù)?121)1(nnn的和 . .,412222內(nèi)展