理論力學(xué)-文檔資料

1、理 論 力 學(xué),5 2021,第一部分 靜 力 學(xué),第二章 平面匯交力系與平面力偶系,力系分類,平面力系,平面匯交力系 平面力偶系 平面任意力系,空間力系,空間匯交力系 空間平行力系(空間力偶系) 空間任意力系,第 2 章,第 2 章,第 3 章,第 4 章,第 5 章,專門問(wèn)題,考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題,第二章平面匯交力系與平面力偶系,本章主要內(nèi)容,2-1平面匯交力系的合成與平衡 幾何法 2-2平面匯交力系的合成與平衡 解析法 2-3平面力對(duì)點(diǎn)之矩的概念與計(jì)算 2-4平面力偶理論,本章討論平面匯交力系兩個(gè)問(wèn)題,1 、合成（簡(jiǎn)化） 2 、平衡,研究方法,1 、 幾何法（矢量法） 2 、解析法（投影

2、法,靜力學(xué)/第二章：平面匯交力系與平面力偶系,2-1 平面匯交力系合成與平衡的幾何法,一、合成,1、兩個(gè)力的合成,用平行四邊形法則即可,2、多個(gè)力的合成,以四個(gè)力的情況為例,力多邊形； 合力 為 力多邊形的封閉邊,作用線通過(guò)匯交點(diǎn)A,靜力學(xué)/第二章：平面匯交力系與平面力偶系,設(shè)平面匯交力系由n個(gè)力 （i = 1,2,n）組成,記為 。 根據(jù)平行四邊形法則，將各力依次兩兩合成（或由力多邊形法則合成），可將匯交力系合成為一個(gè)合力（記為 ）。匯交力系合力的矢量表達(dá)式為,結(jié)論：匯交力系的合成結(jié)果是一合力，合力的大小和方向由各力的矢量和確定，作用線通過(guò)匯交點(diǎn),3、n個(gè)力的合成,靜力學(xué)/第二章：平面匯交力

3、系與平面力偶系,F1,FR,FR2,FR1,F4,F3,F2,合力矢 與各分力矢的作圖順序無(wú)關(guān),O,靜力學(xué)/第二章：平面匯交力系與平面力偶系,O,F2,F1,F4,F3,FR,利用力多邊形法則注意問(wèn)題,各分力矢必須首尾相接 合力從第一個(gè)力矢的始端指向最后一個(gè)力矢的末端 按力的比例尺準(zhǔn)確地畫各力的大小和方向,力多邊形合成的結(jié)論,平面匯交力系合成的結(jié)果是一個(gè)合力，合力的作用線通過(guò)匯交點(diǎn)，大小和方向由力多邊形的封閉邊表示,二、平衡,平衡的結(jié)論,受平面匯交力系作用的剛體，平衡,靜力學(xué)/第二章：平面匯交力系與平面力偶系,平衡的幾何條件,力多邊形自行封閉,幾何法的優(yōu)點(diǎn)：直觀； 缺點(diǎn)：求解需作圖，精度不高,

4、靜力學(xué)/第二章：平面匯交力系與平面力偶系,2-2 平面匯交力系合成與平衡的解析法,一、力在正交坐標(biāo)軸上的投影,力在坐標(biāo)軸上的投影是標(biāo)量 注意投影的正負(fù)號(hào) 已知投影求力的大小和方向,靜力學(xué)/第二章：平面匯交力系與平面力偶系,二、力的解析表達(dá)式,設(shè)沿坐標(biāo)軸方向的單位矢量 為,注意分力與投影的區(qū)別與聯(lián)系,則力沿坐標(biāo)軸方向的分力,則有,分力是矢量,投影是標(biāo)量,當(dāng)坐標(biāo)軸非正交時(shí)，大小也不相等,靜力學(xué)/第二章：平面匯交力系與平面力偶系,當(dāng)坐標(biāo)軸非正交時(shí)，大小也不相等,注意分力與投影的區(qū)別與聯(lián)系,即,靜力學(xué)/第二章：平面匯交力系與平面力偶系,三、合力投影定理,定理：合力在任一軸上的投影等于各分力在同 一軸上

5、投影的代數(shù)和,即：若,則,四、合成,由合力投影定理，合力的投影為,合力的大小和方向?yàn)?靜力學(xué)/第二章：平面匯交力系與平面力偶系,五、平衡,受平面匯交力系作用的剛體，平衡,而,所以,即,受平面匯交力系作用的剛體，平衡,平面匯交力系有兩個(gè)獨(dú)立的平衡方程，可解兩個(gè)未知量,靜力學(xué)/第二章：平面匯交力系與平面力偶系,用平衡方程解題的一般步驟,1、確定研究對(duì)象，畫出 研究對(duì)象的受力圖 2、建立坐標(biāo)系 3、列出平衡方程 4、解出未知量,靜力學(xué)/第二章：平面匯交力系與平面力偶系,例1：圖示結(jié)構(gòu)，已知P=10 kN，AC = CB，AB與CD夾角如圖，各桿自重不計(jì)。 求：A處反力和CD桿受力,解：取AB為研究對(duì)

6、象。 受力如圖,E,45 o,建立坐標(biāo)如圖,列平衡方程,靜力學(xué)/第二章：平面匯交力系與平面力偶系,由幾何關(guān)系,解出,說(shuō)明：FA的負(fù)號(hào)表示它的實(shí)際方向與圖示的假設(shè)方向相反,解題要求:(1)對(duì)象；（2）受力圖（注意二力構(gòu)件，三力平衡匯交）；(3)坐標(biāo)；（4）平衡方程； （5）求解,靜力學(xué)/第二章：平面匯交力系與平面力偶系,例2：圖示A、B兩輪的自重比為FGA/FGB =3，AB 桿自重不計(jì)，摩擦不計(jì)。 求：平衡時(shí)的 角,解：1、取A輪為對(duì)象， 受力如圖,取坐標(biāo)系如圖,30o,1,靜力學(xué)/第二章：平面匯交力系與平面力偶系,60o,2、取B輪為對(duì)象，受力如圖,取圖示坐標(biāo)系,2,又AB桿為二力桿,3,由

7、式(1),(2),(3)可解出,所以,靜力學(xué)/第二章：平面匯交力系與平面力偶系,1,2 - 3 平面力對(duì)點(diǎn)之矩的概念和計(jì)算,一、力對(duì)點(diǎn)的矩,力矩：是力使物體繞一點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)作用的度量,定義,o 力矩中心，簡(jiǎn)稱矩心； h 力臂； 正負(fù)號(hào)規(guī)定：逆時(shí)針為正；順時(shí)針為負(fù)； 平面內(nèi)力對(duì)點(diǎn)的矩是標(biāo)量； 力矩的單位：N m ，或 kN m,力矩的幾何表示,Mo ( F ) = 2 OAB面積,力矩的矢量表示,大?。?方向：滿足右手法則,靜力學(xué)/第二章：平面匯交力系與平面力偶系,二、力矩的基本性質(zhì),1、力沿作用線移動(dòng)時(shí)， 力矩保持不變,2,力的作用線通過(guò)矩心,三、合力矩定理,定理：平面匯交力系的合力對(duì)于平面內(nèi)任一點(diǎn)

8、 的矩，等于所有分力對(duì)該點(diǎn)的矩的代數(shù)和,即：若,則,靜力學(xué)/第二章：平面匯交力系與平面力偶系,三、合力矩定理,證明,設(shè)平面匯交力系如圖示,在力的作用面內(nèi)取一點(diǎn)O，到匯交點(diǎn)A的矢徑記為,由合力,有,靜力學(xué)/第二章：平面匯交力系與平面力偶系,例3、已知 , 與 x 軸夾角為，作用點(diǎn) A( x, y ). 求：,解,x,y,直接根據(jù)定義計(jì)算時(shí) ，力臂的計(jì)算較麻煩,利用合力矩定理求解,所以,力矩的解析公式,力沿坐標(biāo)軸方向的投影為,靜力學(xué)/第二章：平面匯交力系與平面力偶系,x,x,dx,h,例4：作用在梁AB分布載荷如圖示，載荷集度q, 梁長(zhǎng)l 。 求：分布力的合力的大小 及合力作線位置,解,分布力的載

9、荷集度 q 單位長(zhǎng)度上的力，單位為： N/m , 或 kN/m,1) 求合力的大小,設(shè)合力為P，作用線距A點(diǎn)為 h,建立x坐標(biāo)如圖,取x處微段dx , 設(shè)x處的載荷集度為q(x,q(x,靜力學(xué)/第二章：平面匯交力系與平面力偶系,1) 求合力的大小,取x處微段dx , 設(shè)x處的載 荷集度為q (x,則,所以,由幾何關(guān)系，得,靜力學(xué)/第二章：平面匯交力系與平面力偶系,2) 求合力作用線位置,用合力矩定理求合力作用線位置,所以,靜力學(xué)/第二章：平面匯交力系與平面力偶系,合力的大小,位置,2 - 4 平面力偶理論,一、力偶和力偶矩,1、力偶的概念,力 偶 : 由大小相等,方向相反,作用線平行且不共線的

10、兩個(gè)力所組成的力系,用 表示,力偶作用面,力偶臂,二力作用線之間的垂直距離 d,二力作用線所決定的平面,靜力學(xué)/第二章：平面匯交力系與平面力偶系,力偶是一種基本力學(xué)量,力偶對(duì)剛體的作用，只有轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)。力偶是一種特殊的力系。力和力偶是靜力學(xué)中兩個(gè)基本要素,力 偶 實(shí) 例,靜力學(xué)/第二章：平面匯交力系與平面力偶系,2、力偶矩,力偶矩：是力偶對(duì)剛體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng) 效應(yīng)的度量。 用 表示，簡(jiǎn)記為 M,定義為,正負(fù)號(hào)規(guī)定：逆時(shí)針為正；順時(shí)針為負(fù)； 力偶矩的單位：N m ，或 kN m 。 力偶矩的幾何表示,其中，A點(diǎn)可以是 作用線上的任一點(diǎn),平面力偶對(duì)剛體的作用效應(yīng)取決于力偶的力偶矩 ， 即：力偶矩的大小與力

11、偶在作用面內(nèi)的轉(zhuǎn)向,靜力學(xué)/第二章：平面匯交力系與平面力偶系,二、力偶的基本性質(zhì),性質(zhì)1,由反向平行力的合成知：力偶的合力不存在,因?yàn)榱ε嫉暮狭Σ淮嬖冢粤ε疾荒芘c一個(gè) 力等效,因此，力偶不能用一個(gè)力來(lái)平衡,性質(zhì)2,由二力平衡公理可知，力偶本身不平衡； 下面將要介紹的力偶系的平衡可得此結(jié)論,不能與一個(gè)力等效，也不能用一個(gè)力來(lái)平衡,力偶本身不平衡,力偶只能用力偶來(lái)平衡,靜力學(xué)/第二章：平面匯交力系與平面力偶系,性質(zhì) 3,證明,在任一軸 x 上的投影,力偶對(duì)其作用面內(nèi)任一點(diǎn)的矩都相等，恒 等于其力偶矩。力偶在其作用面內(nèi)任一軸上的投影恒為零,對(duì)任一點(diǎn)O的力矩為,靜力學(xué)/第二章：平面匯交力系與平面力

12、偶系,三、同平面內(nèi)力偶的等效定理,定理,作用在同一平面內(nèi)的兩個(gè)力偶,等效,兩力偶的力偶矩相等,靜力學(xué)/第二章：平面匯交力系與平面力偶系,證明,充分性,即：若兩力偶的力偶矩相等，則它們等效,設(shè),將力移至A、B點(diǎn),A,B,D,C,C,D,因?yàn)榱ε季叵嗟?，?以ABC,因此，CDAB,分解 力，使得,同理,F1,F1,下面證明兩力偶等效,CD AB,與ABD的面 積相等,靜力學(xué)/第二章：平面匯交力系與平面力偶系,因?yàn)閮善叫兴倪呅?全等，所以,故，在力偶 上加上一對(duì) 平衡力 ，就 得到力偶 由加減平衡力系公 理，兩力偶等效。 充分性證畢,必要性 即：若兩力偶等效，則它們的力偶矩相等,靜力學(xué)/第二章：平

13、面匯交力系與平面力偶系,由力偶等效定理可得兩個(gè)推論,推論1,只要保持力偶矩不變，力偶可在作用面內(nèi)任意移動(dòng)，其對(duì)剛體的作用效應(yīng)不變,力偶可以在其作用面內(nèi)任意移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)，而不改變力偶對(duì)剛體的作用效應(yīng),靜力學(xué)/第二章：平面匯交力系與平面力偶系,只要保持力偶矩不變，力偶可在作用面內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，其對(duì)剛體的作用效應(yīng)不變,力偶對(duì)剛體的作用與力偶在其作用面內(nèi)的位置無(wú)關(guān),靜力學(xué)/第二章：平面匯交力系與平面力偶系,推論2,只要保持力偶矩的大小和轉(zhuǎn)向不變，可以同時(shí)改變力偶中力和力偶臂的大小，而不改變力偶對(duì)剛體的作用效應(yīng),注意,此兩推論只對(duì)同一個(gè)剛體成立， 對(duì)變形體不成立,靜力學(xué)/第二章：平面匯交力系與平面力偶系,由此

14、可知,只有力偶矩(大小和轉(zhuǎn)向)才是平面力偶作用的唯一度量。所以，力偶的表示可以簡(jiǎn)化,有時(shí)在習(xí)題中，用M表示力偶矩的大小（不加正負(fù)號(hào)）用箭頭表示力偶的轉(zhuǎn)向,力偶中力的大小，力偶臂的長(zhǎng)短，都不是力偶的特征量,或,靜力學(xué)/第二章：平面匯交力系與平面力偶系,1、平面力偶系的合成,1). 兩力偶的合成,設(shè)同一平面內(nèi)兩力偶的力偶矩為M1 和 M2，則它們的合成結(jié)果為一合力偶，合力偶的力偶矩為： M = M1 + M2,即：合力偶的力偶矩為兩個(gè)分力偶的力偶矩的 代數(shù)和,四、平面力偶系的合成與平衡條件,靜力學(xué)/第二章：平面匯交力系與平面力偶系,證明,取：AB = d,合力偶的力偶矩為,所以,由推論,合成,靜力

15、學(xué)/第二章：平面匯交力系與平面力偶系,2). 同平面內(nèi)多個(gè)力偶的合成,同上述方法多個(gè)力偶的合成，有,即：平面力偶系的合成結(jié)果為一合力偶，合力偶 的力偶矩為各個(gè)分力偶的力偶矩的代數(shù)和,2、平面力偶系的平衡條件,定理：受平面力偶系作用的剛體平衡的充分必要 條件：各力偶的力偶矩的代數(shù)和為零,即：受平面力偶系作用的剛體，平衡,靜力學(xué)/第二章：平面匯交力系與平面力偶系,由平衡條件可知：力偶只能用力偶來(lái)平衡,平面力偶系的平衡方程為,此方程可解一個(gè)未知量,靜力學(xué)/第二章：平面匯交力系與平面力偶系,注,例5：結(jié)構(gòu)受力如圖, M, r均為已知,且 l = 2r. 求: 畫出AB和BDC桿的受 力圖;并求A, C處的約束力,解,2）取BDC桿， B 處受力的方位可,1）取AB桿為研究對(duì)象,AB桿為二力桿，受 力如圖,以判定,問(wèn)題：能否確定C處受力的方位,靜力學(xué)/第二章：