一元二次方程重難點(diǎn)

1、一元二次方程重難點(diǎn)知識(shí)導(dǎo)航一一元二次方程的定義二有關(guān)一元二次方程根的考查（根與系數(shù)的關(guān)系及兩方程公共根問題）三一元二次方程的解法（直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法）四含絕對(duì)值的一元二次方程五根的判別式及韋達(dá)定理根與系數(shù)的關(guān)系對(duì)方程根的個(gè)數(shù)的判別利用判別式解參數(shù)取值范圍含參變量的一元二次方程通過判別式，證明方程根的個(gè)數(shù)問題利用韋達(dá)定理求代數(shù)式的值（等）利用韋達(dá)定理求參數(shù)的值五一元二次方程整數(shù)根問題六一元二次方程的應(yīng)用 基礎(chǔ)學(xué)習(xí)一一元二次方程的定義定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是的整式方程叫做一元二次方程關(guān)于一元二次方程的定義考查點(diǎn)有三個(gè)：二次項(xiàng)系數(shù)不為；最高次數(shù)為；整式方程

2、一般形式：，為二次項(xiàng)系數(shù)，為一次項(xiàng)系數(shù)，為常數(shù)項(xiàng)二有關(guān)一元二次方程根的考查（根與系數(shù)的關(guān)系及兩方程公共根問題） 關(guān)于一元二次方程根的考查就是需要將根代入方程得到一個(gè)等式，然后再考察恒等變換。（將根代入方程，這是很多同學(xué)都容易忽略的一個(gè)條件）1.與根有關(guān)的代數(shù)式化簡(jiǎn)求值【例】已知x是一元二次方程x2+3x-1=0的實(shí)數(shù)根，求代數(shù)式：的值 【鞏固】先化簡(jiǎn)，再求值：，其中a是方程x2+3x+1=0的根 2.公共解問題【思考】已知兩個(gè)二次方程x2+ax+b=0與x2+cx+d=0有一個(gè)公共根為1，求證：二次方程也有一個(gè)根為1 【例1】一元二次方程x22x0的某個(gè)根，也是一元二次方程x2(k+2)x+0

3、的根，求k的值 【鞏固】當(dāng)k為何值時(shí)，方程x2-（k+2）x+12=0和方程2x2-（3k+1）x+30=0有一公共根？求出此公共根【變式1】若兩個(gè)不同的關(guān)于x的方程x2+x+a=0與x2+ax+1=0有一個(gè)共同的實(shí)數(shù)根，求a的值及這兩個(gè)方程的公共實(shí)數(shù)根【變式2】已知a2，b2，試判斷關(guān)于x的方程x2-（a+b）x+ab=0與x2-abx+（a+b）=0有沒有公共根請(qǐng)說明理由【拓展1】已知：關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0有一個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，且abc0，求a+b+c的值【拓展2】設(shè)a，b，c為ABC的三邊，且二次三項(xiàng)式x2+2ax+b2與x2+2cx

4、-b2有一個(gè)公因式，證明：ABC一定是直角三角形三一元二次方程的解法及求根公式（直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法）【例1】解方程：（1） （2）（3x+1）（2x-5）=-2（2x-5）（3） （4）（7）x+280 （2）x+60 【鞏固】（1）已知關(guān)于x的方程x2-（2a+1）x+a2+a=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根中，只有一根大于5，求a的取值范圍（2）已知x，y滿足方程x4+y4+2x2y2-x2-y2-12=0，求x2+y2的值 在解方程里面，一般采取的方法是配方法，應(yīng)用公式法，因式分解法，其中因式分解法中考查最多的是十字相乘法，因此在學(xué)習(xí)的時(shí)候要求對(duì)這幾種方法熟練掌握，一般來說，對(duì)于初

5、學(xué)者而言，在解方程里面最常使用的是公式法，但在熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系之后，配方法相較會(huì)簡(jiǎn)單一些?！纠?】若m、n為有理數(shù)，是無(wú)理數(shù)，m+是有理系數(shù)方程ax2+bx+c=0（a0）的一個(gè)根，證明：m-也是這個(gè)方程的一個(gè)根 【例2】設(shè)x1、x2是方程x2-6x+a=0的兩個(gè)根，以x1、x2為兩邊長(zhǎng)的等腰三角形只可以畫出一個(gè)，試求a的取值范圍【例3】當(dāng)x滿足條件時(shí)，求出方程x2-2x-4=0的根 【鞏固】（1）解方程：x2-x-5=0（2）若不等式組整數(shù)解是關(guān)于x的方程2x-4=ax的根，求a的值 四含絕對(duì)值的一元二次方程【例1】閱讀例題，模擬例題解方程例：解方程x2+|x-1|-1=0解：（1）當(dāng)

6、x-10即x1時(shí)，原方程可化為：x2+（x-1）-1=0即x2+x-2=0，解得x1=1，x2=-2（x2不合題意，舍去）；（1） 當(dāng)x-10即x1時(shí)，原方程可化為：x2-（x-1）-1=0即x2-x=0，解得x3=0，x4=1（x4不合題意，舍去）綜合（1）、（2）可知原方程的根是x1=1，x2=0請(qǐng)模擬以上例題解方程：x2+|x+3|-9=0【鞏固】解方程：（1）|x2-1| （2）【例2】解方程：（1）x2-|x-2|-6=0 （2）x2-4|x|-5=0【鞏固】設(shè)方程，求滿足該方程的所有根之和難點(diǎn)突破五根的判別式及韋達(dá)定理1根與系數(shù)的關(guān)系對(duì)方程根的個(gè)數(shù)的判別判別式與根的關(guān)系在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)

7、，一元二次方程的根由其系數(shù)、確定，它的根的情況（是否有實(shí)數(shù)根）由確定設(shè)一元二次方程為，其根的判別式為：則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根方程沒有實(shí)數(shù)根【例1】（1）解方程：x2+4x-5=0；（2）求證：無(wú)論k取任意值，關(guān)于x的一元二次方程x2-kx+（k-2）=0一定有兩個(gè)不相等是實(shí)數(shù)根【鞏固1】已知關(guān)于x的方程x2+ax+a-2=0（1）若該方程的一個(gè)根為1，求a的值及該方程的另一根；（2）求證：不論a取何實(shí)數(shù)，該方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根【鞏固2】已知關(guān)于的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根求證：關(guān)于的一元二次方程必有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根【變式】已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2（k-1）x

8、+k2-1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根（1）求實(shí)數(shù)k的取值范圍；（2）0可能是方程的一個(gè)根嗎？若是，請(qǐng)求出它的另一個(gè)根；若不是，請(qǐng)說明理由【鞏固】已知關(guān)于x的方程x2+（2k+1）x+k2+2=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，試判斷直線y=（2k-3）x-4k+12能否通過點(diǎn)A（-2，4），并說明理由利用判別式解參數(shù)取值范圍含參變量的一元二次方程【例1】關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求的取值范圍【變式】已知關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，化簡(jiǎn)：【例2】關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，則整數(shù)的最大值是 【鞏固】若關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則的最小整數(shù)值為_【例3】已知：方程沒有實(shí)數(shù)根，且，求證：有兩個(gè)實(shí)數(shù)根【

9、鞏固】已知：、為整數(shù)，關(guān)于的二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，沒有實(shí)數(shù)根，求、的值通過判別式，證明方程根的個(gè)數(shù)問題【例1】對(duì)任意實(shí)數(shù)，求證：關(guān)于的方程無(wú)實(shí)數(shù)根【變式】已知方程沒有實(shí)數(shù)根，求證：方程一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.【鞏固】已知：方程沒有實(shí)數(shù)根，且，求證：有兩個(gè)實(shí)數(shù)根【拔高1】已知關(guān)于的二次方程與，求證：當(dāng)時(shí)，這兩個(gè)方程中至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)【拔高2】已知實(shí)數(shù)、滿足，求證：一元二次方程 必有實(shí)根利用韋達(dá)定理求代數(shù)式的值（等）【例1】已知關(guān)于x的一元二次方程x2-2x+m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根（1）求實(shí)數(shù)m的最大整數(shù)值；（2）在（1）的條下，方程的實(shí)數(shù)根是x1，x2，求代

10、數(shù)式x12+x22-x1x2的值 【鞏固】已知x1，x2是一元二次方程（m-3）x2+2mx+m=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根（1）是否存在實(shí)數(shù)m，使-x1+x1x2=4+x2成立？若存在，求出m的值，若不存在，請(qǐng)你說明理由；（2）若|x1-x2|=，求m的值和此時(shí)方程的兩根 利用韋達(dá)定理求參數(shù)的值【例1】一元二次方程mx2-2mx+m-2=0（1）若方程有兩實(shí)數(shù)根，求m的范圍（2）設(shè)方程兩實(shí)根為x1，x2，且|x1-x2|=1，求m【鞏固1】已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2（m+1）x+m2-1=0（1）若方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）若方程兩實(shí)數(shù)根分別為x1，x2，且滿足（x1-x2）2=16

11、-x1x2，求實(shí)數(shù)m的值【鞏固2】已知：關(guān)于x的一元二次方程kx2-（4k+1）x+3k+3=0（k是整數(shù)）（1）求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1，x2（其中x1x2），設(shè)y=x2-x1-2，寫出y關(guān)于變量k的函數(shù)表達(dá)式【練習(xí)】已知關(guān)于x的方程mx2+（3-2m）x+（m-3）=0，其中m0（1）求證：方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1，x2，其中x1x2，若y，求y與m的函數(shù)關(guān)系式；（3）在（2）的條件下，請(qǐng)根據(jù)函數(shù)圖象，直接寫出使不等式y(tǒng)-m成立的m的取值范圍 【變式1】關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0的實(shí)數(shù)解是x1和

12、x2（1）求k的取值范圍；（2）如果x1+x2-x1x2-1且k為整數(shù)，求k的值【鞏固】已知關(guān)于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+2k=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2（1）求實(shí)數(shù)k的取值范圍；（2）是否存在實(shí)數(shù)k使得x1x2-x12-x220成立？若存在，請(qǐng)求出k的值；若不存在，請(qǐng)說明理由【變式2】已知關(guān)于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0（1）求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）若ABC的兩邊AB，AC的長(zhǎng)是這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根第三邊BC的長(zhǎng)為5，當(dāng)ABC是等腰三角形時(shí)，求k的值【鞏固】已知x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程x2-2（m+1）x+m2+5=0的兩實(shí)數(shù)根（1

13、）若（x1-1）（x2-1）=28，求m的值；（2）已知等腰ABC的一邊長(zhǎng)為7，若x1，x2恰好是ABC另外兩邊的邊長(zhǎng)，求這個(gè)三角形的周長(zhǎng)【變式3】設(shè)m是不小于-1的實(shí)數(shù)，使得關(guān)于x的方程x2+2（m-2）x+m2-3m+3=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2（1）若，求的值；（2）求的最大值五一元二次方程整數(shù)根問題1.有理數(shù)根問題方程（，、均為有理數(shù)）的根為有理數(shù)的條件是：為有理數(shù)2.整數(shù)根問題一元二次方程有正（負(fù)、非正、非負(fù)）整數(shù)根，用十字相乘或公式法求出兩個(gè)根，并將兩根化簡(jiǎn)，分子部分不能有字母，再討論整數(shù)根， 并考慮根為正（負(fù)、非正、非負(fù)）數(shù)。一元二次方程有整數(shù)根，但用十字相乘或公式法求出

14、的兩個(gè)根含有根號(hào)時(shí)，如，要利用換元法，設(shè)，得出，將x中的a全部替換，得出兩個(gè)不含根號(hào)的解，再討論整數(shù)根問題，方法同上；若=4a2-9且a為整數(shù)，則設(shè)4a2-9=k2， 4a2- k2 =9，可得（2a-k）(2a+k)=9,則討論整數(shù)X整數(shù)=9，討論出所有滿足情況的整數(shù)即可，注意k0注意：若方程至少有一實(shí)數(shù)根，那么通過推出的相關(guān)字母的值，應(yīng)該取全部情況；若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根（已經(jīng)確定方程為一元二次方程），那么通過推出的相關(guān)字母的值，應(yīng)該取公共解。1.有理數(shù)根問題【例1】已知關(guān)于的一元二次方程有有理根，求的值?！眷柟獭吭O(shè)是不為零的整數(shù)，關(guān)于的二次方程有有理根，求的值【例2】設(shè)為整數(shù)，且，方程有兩個(gè)

15、整數(shù)根，求的值及方程的根【變式】為何值時(shí)，方程 和有相同的整數(shù)根？并且求出它們的整數(shù)根？【鞏固】當(dāng)是什么整數(shù)時(shí)，關(guān)于的一元二次方程與的根都是整數(shù)六一元二次方程的應(yīng)用 一元二次方程的應(yīng)用類問題大致可以分為五種情況：1.增長(zhǎng)率問題；2.商品利潤(rùn)問題；3.圖形面積問題；4.傳播問題；5.動(dòng)點(diǎn)問題1.增長(zhǎng)率問題【例】某校去年對(duì)實(shí)驗(yàn)器材的投資為萬(wàn)元，預(yù)計(jì)今明兩年的投資總額為萬(wàn)元，求該校這兩年在實(shí)驗(yàn)器材投資上的平均增長(zhǎng)率是多少？【變式】某個(gè)體戶以元資金經(jīng)商，在第一年中獲得一定的利潤(rùn)，已知這元資金加上第一年的利潤(rùn)在第二年共獲利潤(rùn)元，而且第二年的利潤(rùn)率比第一年多，則第一年的利潤(rùn)是多少元？【鞏固】某商場(chǎng)年的營(yíng)業(yè)

16、額比年上升，年比年又上升，而年和年連續(xù)兩年比上一年降低，那么年的營(yíng)業(yè)額比年的營(yíng)業(yè)額（ ）A.降低了 B. 沒有變化 C.上升了 D.降低了2.商品利潤(rùn)問題【例】某商場(chǎng)銷售一批名牌襯衫，平均每天可以銷售出件，每件盈利元，為擴(kuò)大銷售，增加利潤(rùn)，盡量減少庫(kù)存，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫降價(jià)元，商場(chǎng)平均每天多售出件，若商場(chǎng)平均每天要盈利元，每件襯衫應(yīng)降低多少元？【鞏固】商場(chǎng)將每件進(jìn)價(jià)為元的某種商品原來按每件元出售，一天可售出件后來經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查，發(fā)現(xiàn)這種商品單價(jià)每降低元，其銷量可增加件（1）問商場(chǎng)經(jīng)營(yíng)該商品原來一天可獲利潤(rùn)多少元？（2）若商場(chǎng)經(jīng)營(yíng)該商品一天要獲利潤(rùn)元，則每件商品

17、售價(jià)應(yīng)為多少元？【鞏固】宏達(dá)汽車出租公司共有出租車輛，每輛汽車的日租金為元，出租業(yè)務(wù)天天供不應(yīng)求，為適應(yīng)市場(chǎng)需求，經(jīng)有關(guān)部門批準(zhǔn)，公司準(zhǔn)備適當(dāng)提高日租金，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，一輛汽車日租金每增加元，每天出租的汽車相應(yīng)地減少輛。若不考慮其他因素，公司將每輛汽車的日租金提高幾個(gè)元能使公司的日租金總收入達(dá)到元？使公司的日租金總收入最高？最高是多少？3.圖形面積問題【例】如圖，一塊長(zhǎng)方形鐵皮的長(zhǎng)是寬的倍，四個(gè)角各截去一個(gè)正方形，制成高是，容積是的無(wú)蓋長(zhǎng)方體容器，求這塊鐵皮的長(zhǎng)和寬【鞏固】在寬為，長(zhǎng)為的矩形地面上，修同樣寬的兩條互相垂直的道路余下的部分作為耕地，要使耕地的面積為，道路的寬應(yīng)為多少？4.傳播問題【例1】（1）有一人得了流感，他把流感傳染給了個(gè)人，共有 人得流感；第一輪傳染后，所有得流感的人每人又把流感傳染給了個(gè)人，經(jīng)過兩輪傳染后，共有 人得流感（2）有一人得了流感，他把流感傳染給了個(gè)人，共有 人得流感；第一輪傳染后，所有得流感的人每人又把流感傳染給了個(gè)人，經(jīng)過兩輪傳染后，共有 人得流感【鞏固】一臺(tái)電腦被感染，經(jīng)過兩輪感染后就會(huì)有臺(tái)電腦被感染，每輪感染中平均一臺(tái)電腦感染幾臺(tái)電腦？若病毒得不到有效控制，輪感染后，被感染