圓錐曲線的綜合應(yīng)用（課堂PPT）

1、1,2,第十一單元 直線與圓、圓錐曲線與方程,3,第79講,圓錐曲線的綜合應(yīng)用,4,掌握探究與圓錐曲線相關(guān)的最值問(wèn)題、定點(diǎn)與定值問(wèn)題、參變數(shù)取值范圍問(wèn)題的基本思想與方法，培養(yǎng)并提升運(yùn)算能力和思維能力,5,1.已知R,則不論取何值，曲線C：x2-x-y+1=0恒過(guò)定點(diǎn)(,D,A.(0,1) B.(-1,1) C.(1,0) D.(1,1,由x2-x-y+1=0,得(x2-y)-(x-1)=0. x2-y=0 x=1 x-1=0 y=1, 可知不論取何值,曲線C過(guò)定點(diǎn)(1,1,依題設(shè),即,6,2.已知kR,直線y=kx+1與橢圓 =1恒有公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是,1,5)(5,由于直線y=kx

2、+1過(guò)定點(diǎn)P(0,1)，則當(dāng)P(0,1)在橢圓上或橢圓內(nèi)時(shí)，直線與橢圓恒有公共點(diǎn)，因此m且m5,求得m1,5)(5,7,3.雙曲線x2-y2=4上一點(diǎn)P(x0,y0)在雙曲線的一條漸近線上的射影為Q，已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則POQ的面積為定值,1,如圖,雙曲線x2-y2=4的 兩條漸近線為y=x, 即xy=0. 又|PQ|= , |PR|= ， 所以SPOQ= |PQ|PR|= =1,8,4.已知定點(diǎn)A(2,3),F是橢圓 =1的右焦點(diǎn),M為橢圓上任意一點(diǎn),則|AM|+2|MF|的最小值為,6,由于點(diǎn)A在橢圓內(nèi)，過(guò)M點(diǎn)作橢圓右準(zhǔn)線x=8的垂線，垂足為B. 由橢圓第二定義，得2|MF|=|MB|，

3、則|AM|+2|MF|AM+|BM|， 當(dāng)A、B、M三點(diǎn)共線且垂直于準(zhǔn)線時(shí)，|AM|+2|MF|的最小值為6,9,1.基本概念 在圓錐曲線中，還有一類曲線系方程，對(duì)其參數(shù)取不同值時(shí)，曲線本身的性質(zhì)不變；或形態(tài)發(fā)生某些變化，但其某些固有的共同性質(zhì)始終保持著，這就是我們所指的定值問(wèn)題.而當(dāng)某參數(shù)取不同值時(shí)，某幾何量達(dá)到最大或最小，這就是我們指的最值問(wèn)題.曲線遵循某種條件時(shí)，參數(shù)有相應(yīng)的允許取值范圍，即我們指的參變數(shù)取值范圍問(wèn)題,10,2.基本求法 解析幾何中的最值和定值問(wèn)題是以圓錐曲線與直線為載體，以函數(shù)、不等式、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)為背景，綜合解決實(shí)際問(wèn)題，其常用方法有兩種： (1)代數(shù)法：引入?yún)⒆兞?，?/p>

4、過(guò)圓錐曲線的性質(zhì)，及曲線與曲線的交點(diǎn)理論、韋達(dá)定理、方程思想等，用變量表示(計(jì)算)最值與定值問(wèn)題，再用函數(shù)思想、不等式方法得到最值、定值,11,2)幾何法：若問(wèn)題的條件和結(jié)論能明顯的體現(xiàn)幾何特征，利用圖形性質(zhì)來(lái)解決最值與定值問(wèn)題. 在圓錐曲線中經(jīng)常遇到求范圍問(wèn)題，這類問(wèn)題在題目中往往沒(méi)有給出不等關(guān)系，需要我們?nèi)ふ?對(duì)于圓錐曲線的參數(shù)的取值范圍問(wèn)題,解法通常有兩種:當(dāng)題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義時(shí),12,可考慮利用數(shù)形結(jié)合法求解或構(gòu)造參數(shù)滿足的不等式（如雙曲線的范圍，直線與圓錐曲線相交時(shí)0等），通過(guò)解不等式（組）求得參數(shù)的取值范圍；當(dāng)題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系時(shí)，則可

5、先建立目標(biāo)函數(shù)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的值域,13,題型一 定點(diǎn)問(wèn)題,例1,已知A(1,0),B(-1,0),P是平面上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足| | |= . (1)求點(diǎn)P的軌跡C的方程； (2)已知點(diǎn)M(m,2)在曲線C上，過(guò)點(diǎn)M作直線l1、l2與C交于D、E兩點(diǎn)，且 l1、l2的斜率k1、k2滿足k1k2=2,求證：直線DE過(guò)定點(diǎn)，并求此定點(diǎn),14,1)設(shè)P(x,y),則 =（1-x,-y), =(-1-x,-y), =(-2,0), =(2,0). 因?yàn)閨 | |= ， 所以 2=2(x+1),即y2=4x, 所以點(diǎn)P的軌跡C的方程為y2=4x . (2)證明:由(1)知M(1,2),設(shè)D( ,y1

6、),E( ,y2), 所以k1k2= =2, 整理得(y1+2)(y2+2)=8.,15,kDE= = =k,所以y1+y2= . 由知y1y2=4- , 所以直線DE的方程為y-y1= (x- ), 整理得4x-(y1+y2)y+y1y2=0, 即4x- y+4- =0,即(x+1)k-(y+2)=0, 所以直線DE過(guò)定點(diǎn)(-1,-2,16,與圓錐曲線有關(guān)的定點(diǎn)問(wèn)題的探求一般途徑是恰當(dāng)引入?yún)⒆兞?，將題設(shè)轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系式，然后通過(guò)分析參變量取符合題設(shè)條件的任何一個(gè)值時(shí)，坐標(biāo)關(guān)系式恒成立的條件，而獲得定點(diǎn)坐標(biāo),17,題型二 定值問(wèn)題,例2,如圖，F(xiàn)1(-3,0),F2(3,0)是雙曲線C的兩焦點(diǎn)

7、,其一條漸近線方程為y= x,A1、A2是雙曲線C的兩個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線C右支上異于A2的一 動(dòng)點(diǎn)，直線A1P,A2P交直線 x= 分別于M、N兩點(diǎn). (1)求雙曲線C的方程； (2)求證： 是定值,18,1)由已知，c=3, = . 又c2=a2+b2，所以a=2,b=5. 所求雙曲線C的方程為 =1. (2)證明：設(shè)P的坐標(biāo)為(x0,y0),M、N的縱坐標(biāo)分別為y1、y2, 因?yàn)锳1(-2,0),A2(2,0), 所以 =(x0+2,y0), =(x0-2,y0), =( ，y1), =(- ,y2,19,因?yàn)?與 共線， 所以(x0+2)y1= y0,y1= . 同理y2=- . 因?yàn)?/p>

8、 =( ,y1), =(- ,y2), 所以 =- +y1y2=- - =- - =-10，為定值,20,題型三 范圍與最值問(wèn)題,例3,設(shè)F1、F2分別是橢圓 +y2=1的左、右焦點(diǎn). (1)若P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求 的最大值與最小值； (2)設(shè)過(guò)定點(diǎn)M(0,2)的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A、B，且AOB為銳角（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線l的斜率k的取值范圍,21,1)由方程易知a=2,b=1,c=3， 所以F1(- ,0),F2( ,0). 設(shè)P(x,y),則 =(- -x,-y)( -x,-y) =x2+y2-3 =x2+1- -3 = (3x2-8). 因?yàn)閤-2,2，所以0 x2

9、， 故 的最大值為1，最小值為-2,22,2)顯然直線x=0不滿足題設(shè)條件， 可設(shè)直線l:y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2). y=kx+2 +y2=1,消去y,整理得 (k2+ )x2+4kx+3=0. 所以x1+x2= ,x1x2= . 由=(4k)2-4(k2+ )3=4k2-30, 解得k 或k- .,聯(lián)立方程組,23,又00, 得 0, 所以 =x1x2+y1y20. 又y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4 = + +4= . 所以 + 0,即k24. 結(jié)合、知,k的取值范圍是(-2,- )( ,2,24,圓錐曲線中求最值與范圍問(wèn)

10、題是高考題中的?？紗?wèn)題，解決此類問(wèn)題，一般有兩個(gè)思路：（1）構(gòu)造關(guān)于所求量的不等式，通過(guò)解不等式來(lái)獲得問(wèn)題的解（如本題第（2）問(wèn)）；（2）構(gòu)造關(guān)于所求量的函數(shù)，通過(guò)求函數(shù)的值域來(lái)獲得問(wèn)題的解（如本題第（1）問(wèn)）.在解題的過(guò)程中，一定要深刻挖掘題目中的隱含條件，如判別式大于零等,25,拋物線有光學(xué)性質(zhì)，由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線折射后，沿平行于拋物線的對(duì)稱軸的方向射出.今有拋物線y2=2px(p0),一光源在點(diǎn)M( ,4)處， 由其發(fā)出的光線沿平行于拋 物線的對(duì)稱軸的方向射向拋 物線上的點(diǎn)P,折射后又射向 拋物線上的點(diǎn)Q,26,再折射后，又沿平行于拋物線的對(duì)稱軸的方向射出，途中遇到直線l:2x-

11、4y-17=0上的點(diǎn)N，再折射后又射回點(diǎn)M. (1)設(shè)P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1)、(x2,y2),證明：y1y2=-p2; (2)求拋物線的方程； (3)試判斷在拋物線上是否存在一點(diǎn),使該點(diǎn)與點(diǎn)M關(guān)于PN所在的直線對(duì)稱?若存在,請(qǐng)求出此點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由,27,1)證明:由拋物線的光學(xué)性質(zhì)及題意知，光線PQ必過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F( ,0),設(shè)直線PQ的方程為y=k(x- ). 由式得x= y+ ,將其代入拋物線的方程y2=2px中,整理得y2- y-p2=0, 由韋達(dá)定理得y1y2=-p2. 當(dāng)直線PQ的傾斜角為90時(shí)，將x= 代入拋物線方程得y=p,同樣得到y(tǒng)1y2=-p2

12、,28,2)設(shè)光線QN經(jīng)直線l反射后又射向M點(diǎn)， 所以直線MN與直線QN關(guān)于直線l對(duì)稱. 設(shè)點(diǎn)M（ ，4）關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為M(x,y), =-1 x= -17=0 y=-1,則,解得,29,直線QN的方程為y=-1,Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y2=-1. 由題設(shè)P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y1=4, 由(1)知y1y2=-p2,則4(-1)=-p2得p=2, 故所求拋物線的方程為y2=4x. (3)將y=4代入y2=4x得x=4， 故P點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，4）. 將y=-1代入直線l的方程2x-4y-17=0, 得x= ，故N點(diǎn)的坐標(biāo)為( ,-1). 由P、N兩點(diǎn)坐標(biāo)得直線PN的方程為2x+y-12=0,30,設(shè)M點(diǎn)關(guān)于直

13、線NP的對(duì)稱點(diǎn)M1(x1,y1), (-2)=-1 x1= -12=0 y1=-1, 即M1( ,-1)的坐標(biāo)是拋物線方程y2=4x的解， 故拋物線上存在一點(diǎn)（ ，-1）與點(diǎn)M關(guān)于直線PN對(duì)稱,則,解得,31,本題是一道與物理中的光學(xué)知識(shí)相結(jié)合的綜合性題目，考查了學(xué)生理解問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.對(duì)稱問(wèn)題是直線方程的一個(gè)重要應(yīng)用.對(duì)稱問(wèn)題常有：點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，直線關(guān)于直線對(duì)稱、圓錐曲線關(guān)于直線對(duì)稱，圓錐曲線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱問(wèn)題，但解題方法是一樣的,32,1.若探究直線或曲線過(guò)定點(diǎn)，則直線或曲線的表示一定含有參變數(shù)，即直線系或曲線系，可將其方程變式為f(x,y)+g(x,y)=0(其中為參變數(shù))

14、，由 f(x,y)=0 g(x,y)=0確定定點(diǎn)坐標(biāo),33,2.在幾何問(wèn)題中，有些幾何量與參變數(shù)無(wú)關(guān)，即定值問(wèn)題，這類問(wèn)題求解策略是通過(guò)應(yīng)用賦值法找到定值，然后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式的推導(dǎo)、論證定值符合一般情形. 3.解析幾何中的最值問(wèn)題，或數(shù)形結(jié)合，利用幾何性質(zhì)求得最值，或依題設(shè)條件列出所求最值關(guān)于某個(gè)變量的目標(biāo)函數(shù)，然后應(yīng)用代數(shù)方法求得最值,34,2007江西卷)設(shè)橢圓 =1(ab0)的離心率為e= ，右焦點(diǎn)為F(c,0)，方程ax2+bx-c=0的兩個(gè)實(shí)根分別為x1和x2，則點(diǎn)P(x1,x2)(,必在圓x2+y2=2內(nèi) B. 必在圓x2+y2=2上 C. 必在圓x2+y2=2外 D. 以上三

15、種情形都有可能,A,35,橢圓的離心率為e= ，故a=2c,b= c, 代入ax2+bx-c=0, 得2x2+3x-1=0，所以x1+x2=- ，x1x2=- . 故P(x1,x2)到圓心(0,0)的距離， d= = = = 2, 所以點(diǎn)P在圓內(nèi)，故選A,36,2009浙江卷)已知橢圓C1： =1(ab0)的右頂點(diǎn)為A(1，0)，過(guò)C1的焦點(diǎn)且垂直長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為1. (1)求橢圓C1的方程； (2)設(shè)點(diǎn)P在拋物線C2： y=x2+h(hR)上，C2在 點(diǎn)P處的切線與C1交于 點(diǎn)M、N.當(dāng)線段AP的中 點(diǎn)與MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等時(shí),求h的最小值,37,b=1 a=2 2 =1 b=1. 因此，所求的橢圓方程為 +x2=1. (2)設(shè)M（x1,y1）,N(x2,y2),P(t,t2+h)，則拋物線C2在點(diǎn)P處的切線斜率為y|x=t=2t，直線MN的方程為：y=2tx-t2+h.將上式代入橢圓C1的方程中，得4x2+(2tx-t2+h)2-4=0.即4(1+t2)x2-4t(t2-h)x+(t2-h)2-4=0.,1)由題意，得,從而,38,因?yàn)?/p>