§1-2條件分布與條件數(shù)學(xué)期望

1、整理ppt,1,1-2 條件分布與條件數(shù)學(xué)期望,一條件分布 二條件數(shù)學(xué)期望,整理ppt,2,一條 件 分 布,整理ppt,3,設(shè) pij = P X = xi , Y = yj （ i, j = 1, 2, ）是二維離散型隨機向量(X，Y )的聯(lián)合分布律， 則在事件 Y = yj 已發(fā)生的條件下，事件 X = xi 發(fā)生的條件概率 P X = xi | Y = yj （ i = 1, 2, ） 稱為在 Y = yj 的條件下隨機變量 X 的條件分布律,條件分布律的 定義,在事件 X = xi 已發(fā)生的條件下，事件Y = yj 發(fā)生的條件概率 P Y = yj | X = xi （ j = 1,

2、 2, ） 稱為在 X = xi 的條件下隨機變量 Y 的條件分布律,X，Y )為二維離散型隨機向量,整理ppt,4,在 Y = yj 的條件下隨機變量 X 的條件分布律,條件分布律的 計算公式,在 X = xi 的條件下隨機變量 Y 的條件分布律,X，Y )為二維離散型隨機向量,整理ppt,5,2）條件分布律由聯(lián)合分布律確定,3）聯(lián)合分布律由邊際分布律 和條件分布律共同確定,1）條件分布律計算公式成立的條件,注 記,X，Y )為二維離散型隨機向量,4）離散型隨機變量X、Y 相互獨立的充要條件,整理ppt,6,例題 1,X,Y,1,2,3,4,2,3,4,P X = m , Y = n,P 共

3、射擊 n 次，其中第 m , n 次擊中目標(biāo)， 其余 n-2 次不擊中目標(biāo),p2 (1-p) n-2,m n,0,0,0,0,0,0,一戰(zhàn)士進行射擊，擊中目標(biāo)的概率為 p（0 p 1），射擊到擊中目標(biāo)兩次為止，設(shè) X 以表示首次擊中目標(biāo)所進行的射擊次數(shù)，以Y 表示總共進行的射擊次數(shù)，試求 X 和Y 的聯(lián)合分布律及條件分布律,p2,p2 (1-p,p2 (1-p,p2 (1-p) 2,p2 (1-p) 2,p2 (1-p) 2,X，Y )為二維離散型隨機向量,整理ppt,7,在 Y = yj 的條件下隨機變量 X 的條件分布函數(shù),條件分布函數(shù)的 計算公式,在 X = xi 的條件下隨機變量 Y

4、的條件分布函數(shù),X，Y )為二維離散型隨機向量,整理ppt,8,設(shè) F ( x, y ) 是二維隨機向量 (X，Y )的聯(lián)合分布函數(shù),條件分布函數(shù)的 定義,X，Y )為二維連續(xù)型隨機向量,給定 y ，設(shè)對于任意固定的正數(shù) ，P y Y 0， 且若對于任意實數(shù) x ，極限,存在，則稱此極限為在 Y = y 的條件下 X 的條件分布函數(shù)， 記為,整理ppt,9,條件分布函數(shù)的 計算公式,X，Y )為二維連續(xù)型隨機向量,若對于固定的 x ， f X ( x ) 0，則,設(shè) f ( x，y ) 是二維連續(xù)型隨機向量(X，Y )的聯(lián)合概率密度,若對于固定的 y ， fY ( y ) 0，則,整理ppt,

5、10,在 Y = y 的條件下 X 的條件概率密度,條件概率密度的 計算公式,在 X = x 的條件下 Y 的條件概率密度,X，Y )為二維連續(xù)型隨機向量,整理ppt,11,2）條件概率密度由聯(lián)合概率密度確定,3）聯(lián)合概率密度由邊緣概率密度 和條件概率密度共同確定,1）條件概率密度計算公式成立的條件,X，Y )為二維連續(xù)型隨機向量,注 記,4）連續(xù)型隨機變量X、Y 相互獨立的充要條件,整理ppt,12,例 題 2,0,1,1,y = x,y,G,設(shè)二維連續(xù)型隨機變量( X , Y) 的聯(lián)合概率密度函數(shù)為， 求 fXY ( x | y ) ，0 y 1,X，Y )為二維連續(xù)型隨機向量,整理ppt

6、,13,條件分布函數(shù)的定義,X，Y )為一般二維隨機向量,條件分布函數(shù)的 計算公式,整理ppt,14,重要結(jié)論,X，Y )為一般二維隨機向量,如果 X，Y 相互獨立，則 F Y | X ( y | x )= F Y ( y,證明,如果 X，Y 相互獨立，則 F (x, y )= FX (x) FY ( y,進而,整理ppt,15,二條 件 數(shù) 學(xué) 期 望,整理ppt,16,如果 R-S 積分 絕對收斂，則稱它為 X 在 Y = y 的條件下的條件數(shù)學(xué)期望，記為,條件數(shù)學(xué)期望的 定義,整理ppt,17,條件數(shù)學(xué)期望的 計算公式,整理ppt,18,條件數(shù)學(xué)期望的性質(zhì),1）當(dāng) X 、Y 相互獨立時，

7、 E ( Y | X ) = E ( Y,2）E ( c | X ) = c （c為常數(shù),3）E ( g ( X ) | X ) = g ( X,4）E ( a Y + b Z | X ) = a E ( Y | X ) + b E ( Z | X,整理ppt,19,5 ) 全數(shù)學(xué)期望公式 E E ( Y | X ) = E ( Y,全數(shù)學(xué)期望公式的證明,假設(shè)(X，Y )為二維連續(xù)型隨機向量，得,條件數(shù)學(xué)期望的性質(zhì),整理ppt,20,條件數(shù)學(xué)期望的性質(zhì),6）E ( g ( X ) Y | X ) = g ( X ) E ( Y | X,7）E Y - E ( Y | X )2 E Y g ( X )2,整理ppt,21,一個工人看管分布在一直線上的 n 臺同類型機床，相鄰兩臺機床之間相距 a，假設(shè)每臺機床需調(diào)整的概率為 1/n，求工人兩次調(diào)整機床之間所走路程的數(shù)學(xué)期望,例題 3,設(shè)Y ：工人兩次調(diào)整機床之間所走路程,E ( Y ) = E E ( Y | X ),X ：第一次調(diào)整的機床號碼,E ( Y | X = i,(i -1)a .1/n+(i -2)a .1/n + + a .1/n +a .1/n+ 2a .1/n + + (n- i ) a .1/n,a 2 i 2 - 2(n+1)