數(shù)學物理方程主要內容.ppt

1、數(shù)學物理方程主要內容,三種基本方程、 五種基本解法、 兩個基本原理、兩個特殊函數(shù),通解法 行波法（達朗貝爾公式） 分離變量法 (Fourier級數(shù)法) 積分變換法 格林函數(shù)法,波動方程 熱傳導 拉普拉斯方程,貝塞爾函數(shù) 勒讓德函數(shù),疊加原理 齊次化原理,三種基本問題,初值問題 邊值問題 混合問題,回顧一,哈密爾頓算子或梯度算子，讀作nabla,拉普拉斯算子,一些常見符號,與梯度算子有關的場論運算,平面上的拉普拉斯算子,4) 按未知函數(shù)及其導數(shù)的系數(shù)是否變化分為常系數(shù)和 變系數(shù)微分方程； (5) 按自由項是否為零分為齊次方程和非齊次方程,1) 按自變量的個數(shù)，分為二元和多元方程； (2) 按未知

2、函數(shù)及其導數(shù)的冪次，分為線性微分方程和 非線性（包括半線性，擬線性，完全非線性）微分方程； (3) 按方程中未知函數(shù)導數(shù)的最高階數(shù)，分為一階、二階 和高階微分方程,回顧二：偏微分方程的一般分類,判斷下列方程類型,一階線性,三階擬線性,一階非線性,Warm-up,調和方程,熱傳導方程,波動方程,回顧三： 三類典型偏微分方程,琴弦的振動；桿、膜、液體、氣體等的振動；電磁場的振蕩等,熱傳導中的溫度分布；流體的擴散、粘性液體的流動,空間的靜電場分布；靜磁場分布；穩(wěn)定溫度場分布,或,1.3 定解條件和定解問題 通解和特解 定解條件 定解問題,第一章 偏微分方程定解問題,1.5 疊加原理和齊次化原理（沖量

3、原理,7,舉例（設未知函數(shù)為二元函數(shù),1,2,作變量代換,解為,解為,1.2.1 通解與特解,為任意函數(shù),為任意函數(shù),8,舉例（未知函數(shù)為二元函數(shù),4,3,解為,變換,解為,例 驗證,是方程,的解，其中f,g是任意兩個二階,連續(xù)可微函數(shù)，a為正常數(shù),解,故,移項即證,例：二維Laplace方程 的一些特解,特解,中心對稱解： 周期稱解： 多項式稱解,什么是定解問題,泛定方程：描述某類物理現(xiàn)象共同規(guī)律的數(shù)學表達 式偏微分方程（比如，波動方程、熱傳導方程、拉普拉斯方程等等）。 注-它的解可含任意函數(shù)，因而不能用來確定或反映一個真實的物理過程。 定解條件：伴隨一個完整的物理過程發(fā)生的具體條件，一般包

4、括初始條件與邊界條件 。 初始條件：用來說明某一具體物理現(xiàn)象初始狀態(tài)的條件。 邊界條件：用來說明某一具體物理現(xiàn)象邊界上的約束情況的條件。 注：初始條件的個數(shù)與方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)u對時間變量t的導數(shù)的階數(shù)有關。邊界條件和初始條件反映了具體問題的特殊環(huán)境和歷史，即個性。 其他條件：能夠用來說明某一具體物理現(xiàn)象情況的條件。 定解問題：泛定方程加上適當?shù)亩ń鈼l件就構成一個定解問題，即定解問題=泛定方程+定解條件,基本概念,初始時刻的溫度分布,B、熱傳導方程的初始條件,C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始條件,不含初始條件，只含邊界條件條件,A、 波動方程的初始條件,1、初始條件描述系統(tǒng)的初始狀態(tài),系統(tǒng)各

5、點的初位移 系統(tǒng)各點的初速度,1.3 定解條件,2)自由端：彈性桿x=a 端既不固定，又不受位移方向力的作用,2、邊界條件描述系統(tǒng)在邊界上的狀況,A、 波動方程的邊界條件,1)固定端：對于兩端固定的弦的橫振動，其為,或,3) 彈性支承端：在x=a端受到彈性系數(shù)為k 的彈簧的支承,或,或,B、熱傳導方程的邊界條件,1) 第一類（Dirichlet）邊界條件,設S為給定區(qū)域V 的邊界,2) 第二類（Neumann）邊界條件,3) 第三類（Robin）邊界條件,牛頓冷卻定律：單位時間內從物體通過邊界上單位面積流到周圍介質的熱量跟物體表面和外面的溫差成正比,熱交換系數(shù)； 周圍介質的溫度,齊次邊界條件,

6、齊次，表示絕熱,1、定解問題,定解問題的概念,1) 初始問題（Cauchy問題）=泛定方程+初始條件： 只有初始條件，沒有邊界條件的定解問題； (2) 邊值問題=泛定方程+邊界條件： 沒有初始條件，只有邊界條件的定解問題； (3) 混合問題=泛定方程+初始條件+邊界條件： 既有初始條件，也有邊界條件的定解問題,波動方程 輸運方程 拉普拉斯方程 泊松方程 第一類邊界條件 第二類 第三類 周期性邊界條件 有界性條件,演化方程 穩(wěn)定方程 線性邊界條件 自然邊界條件 初始狀態(tài) 初始速度,泛定方程 邊界條件 初始條件,定解問題,2、定解問題的適定性,一個定解問題是否能夠反映實際，從數(shù)學的角度看主要是三個

7、方面的問題： 解的存在性: 在給定的定解條件下，定解問題是否有解? 解的唯一性: 在給定的定解條件下，定解問題的解若存在，是否唯一? 解的穩(wěn)定性：當定解條件及方程中的參數(shù)有微小變動時，解是否有相應的微小變動。如果當定解條件及方程中的參數(shù)有微小變化時，其解僅有微小的變動, 則稱該定解問題的解是穩(wěn)定的，否則稱它的解是不穩(wěn)定的。因為定解條件中的一些已知量，通?？偸抢脤嶒灥玫降臄?shù)據(jù)，不可避免地會有一定的誤差，所以人們自然會關心定解條件的微小擾動是否會導致解的變化很大。 定解問題的適定性（存在 + 唯一 + 穩(wěn)定）： 如果一個定解問題存在唯一的穩(wěn)定解，則此問題是適定的。否則就稱它為不適定的,由于許多數(shù)

8、學物理問題均可以用適定的定解問題 來處理，長期以來，人們認為不適定數(shù)學物理問題 的研究是沒有意義的，然而在實際問題中經常遇到不適定的問題,例如，對于某物體，希望在某時刻具有一個實際的 溫度分布，那么在初始時刻物體應當具有一個什么樣的 溫度分布才能達到此目的？ 這就是一個不適定的問題它是所謂的數(shù)學物理問題 的反問題,通過研究，人們找到了處理這類不適定問題的 一些辦法?，F(xiàn)在對不適定問題的研究已成為偏微分 方程的一個重要的研究方向,線性方程的解具有有限（無限）疊加特性,1.5.1 疊加原理,物理上，幾種不同的原因的綜合所產生的效果等于這些不同原因單獨產生的效果的累加。利用此原理，可以把一個復雜的線性

9、問題分解成若干個簡單線性問題來求解,設 滿足方程 為常數(shù)，而級數(shù) 收斂，且能夠逐項微分兩次，則 滿足方程 ，若級數(shù) 收斂。 另，參見課本230頁的（積分）疊加原理3,疊加原理的應用,應用： 齊次方程的兩個解的線性組合仍為原方程的解； 非齊次方程的特解加對應的齊次方程的解，結果為非齊次方程的解； 兩個非齊次方程的解的線性組合，為一個新的非齊次方程的解，新方程的自由項為原方程自由項的同樣組合,多個非齊次方程的解的線性組合情況類似,一維非齊次波動方程的cauchy問題,考慮無界弦的強迫振動問題 （A） （B） 解記為 （C） 解記為 由疊加原理可知,可由達朗貝爾公式給出,1.5.2 齊次化原理（沖量原理,一維非齊次波動方程的cauchy問題,考慮無界弦的強迫振動問題 （A） （B） 解記為 （C） 解記為 由疊加原理可知,可由達朗貝爾公式給出,1.5.2 齊次化原理（沖量原理,D,由達朗貝爾公式，可得問題（D）的解為,定理（齊次化原理1）設 是問題（D）的 解，則 是問題（C）的解。 另參見課本231-233頁,注：齊次化原理的作用就是將非齊次方程的定