金融工程7-維納過程與伊藤引理課件

1、金融工程7-維納過程與伊藤引理,1,第12章 維納過程和伊藤引理,金融工程7-維納過程與伊藤引理,2,教學目的與要求 掌握隨機變量的概念，了解馬爾科夫過程的特點，掌握維納過程的特點和性質，掌握一般維納過程的特征以及其漂移率和方差率，維納過程的均值和標準差。掌握Ito過程的特征,金融工程7-維納過程與伊藤引理,3,教學重點及難點 一、馬爾科夫過程與效率市場的關系。 二、維納過程、一般維納過程與此同時Ito過程的特征，漂移率和方差率，變量的均值與方差。以及這幾種過程的內在聯系和變化。 三、Ito定理及其運用,金融工程7-維納過程與伊藤引理,4,期權的估值,歐式期權的到期收益 Max (STX, 0

2、) ST不確定，所以期權到期的收益也不確定。 期權當期的價值？ 風險中性估值 期權當期的價值未來收益折現后的期望值 cE Max (STX, 0) 問題 ST的分布是怎樣的？ 只有確定ST的分布才能確定c的價值,金融工程7-維納過程與伊藤引理,5,12.1弱式效率市場假說與馬爾可夫過程,效率市場假說 1965年，法瑪(Fama)提出了著名的效率市場假說。該假說認為： 投資者都力圖利用可獲得的信息獲得更高的報酬； 證券價格對新的市場信息的反應是迅速而準確的，證券價格能完全反應全部信息； 市場競爭使證券價格從一個均衡水平過渡到另一個均衡水平，而與新信息相應的價格變動是相互獨立的。 效率市場分類 效

3、率市場假說可分為三類：弱式、半強式和強式。 弱式效率市場假說認為，證券價格變動的歷史不包含任何對預測證券價格未來變動有用的信息，也就是說不能通過技術分析獲得超過平均收益率的收益,金融工程7-維納過程與伊藤引理,6,半強式效率市場假說認為，證券價格會迅速、準確地根據可獲得的所有公開信息調整，因此以往的價格和成交量等技術面信息以及已公布的基本面信息都無助于挑選價格被高估或低估的證券。 強式效率市場假說認為，不僅是已公布的信息，而且是可能獲得的有關信息都已反映在股價中，因此任何信息(包括“內幕信息”)對挑選證券都沒有用處。 效率市場假說提出后，許多學者運用各種數據對此進行了實證分析。結果發(fā)現，發(fā)達國

4、家的證券市場大體符合弱式效率市場假說,金融工程7-維納過程與伊藤引理,7,馬爾可夫過程 弱式效率市場假說可用馬爾可夫隨機過程(Markov Stochastic Process)來表述。 馬爾科夫過程(Markov process)是一種特殊類型的隨機過程。 未來的預測只與變量的當前值有關，與變量過去的歷史和變量從過去到現在的演變方式不相關。 股價的馬爾科夫性質與弱型市場有效性(the weak form of market efficiency)相一致： 一種股票的現價已經包含了所有信息，當然包括了所有過去的價格記錄。 如果弱型市場有效性正確的話，技術分析師可通過分析股價的過去歷史數據圖表獲

5、得高于平均收益率的收益是不可能的。 是市場競爭保證了弱型市場有效性成立,金融工程7-維納過程與伊藤引理,8,12.2維納過程（ Wiener Process,布朗運動起源于物理學中對完全浸沒于液體或氣體中的小粒子運動的描述，以發(fā)現這種現象的英國植物學家Robert Brown命名。 描述布朗運動的隨機過程的定義是維納(wiener)給出的，因此布朗運動又稱維納過程 股價行為模型通常用布朗運動來描述。 布朗運動是馬爾科夫隨機過程的一種特殊形式,金融工程7-維納過程與伊藤引理,9,維納過程（ Wiener Process,維納過程（Wiener Process） 性質一：股票價格的變動是一個正態(tài)變

6、量與時間的乘積 （服從標準正態(tài)分布） 性質二：任意兩個不重疊時段的股票價格變動相互獨立 從性質一，我們知道z服從正態(tài)分布，性質2則隱含z遵循馬爾科夫過程。 維納過程/布朗運動的特征 股票價格在任意時段變動的均值都為0。 股票價格在某一時段變動的方差等于時間的長度,金融工程7-維納過程與伊藤引理,10,程序：維納過程的模擬,假定股票價格服從普通布朗運動，即dS=dt+dz，其中和均為常數，dz遵循標準布朗運動，也就是說，在短時間t后，S值的變化值S為 假定股票價格服從幾何布朗運動，即dS=dt+dz,其中和均為常數，dz遵循標準布朗運動，也就是說，在短時間t后，ln(S)值的變化值ln(S)為,

7、金融工程7-維納過程與伊藤引理,11,當股票價格服從普通布朗運動時的走勢圖,金融工程7-維納過程與伊藤引理,12,當股票價格服從幾何布朗運動時的走勢圖,金融工程7-維納過程與伊藤引理,13,股票價格的一般變動,一般化的維納過程 變量本身隨著時間的推移會有定量的增長at 除了時間價值之外的變動為布朗運動,金融工程7-維納過程與伊藤引理,14,12.3 股票價格的一般變動,股票價格的變動 股票價格有隨時間推移增長的穩(wěn)定趨勢 股票“實際”價格變動為布朗運動,金融工程7-維納過程與伊藤引理,布朗運動股票價格,金融工程7-維納過程與伊藤引理,指數布朗運動股票價格,金融工程7-維納過程與伊藤引理,上證指數

8、,金融工程7-維納過程與伊藤引理,18,12.4 Itos Lemma,Itos Lemma 假設存在一個伊藤過程： 如果G是x和t的函數，即：G=G(x,t) 那么： 期權及其他衍生證券的價格變動 股票價格服從維納過程： 那么,金融工程7-維納過程與伊藤引理,19,證明：如前述，假設標的資產價格變動過程服從,其中,利用泰勒展開，忽略高階項，G(x,t)可以展開為,金融工程7-維納過程與伊藤引理,20,因此，上式可以改寫為,保留1階項，忽略1階以上的高階項,金融工程7-維納過程與伊藤引理,21,其中（忽略高階項,金融工程7-維納過程與伊藤引理,22,因此，可得,由此得到,代入前述公式可得到伊藤

9、引理,金融工程7-維納過程與伊藤引理,23,12.5 股票價格的對數正態(tài)特性,對數正態(tài)分布 股票價格服從維納過程 股票價格的分布為對數正態(tài)分布 公式,金融工程7-維納過程與伊藤引理,24,關于對數正態(tài)分布,定義G=lnS，由于： 所以有： 即： 顯然G為一個廣義維納過程，其漂移率為常數 ，波動率為常數 。 因此，lnS的變化服從正態(tài)分布，不難知道,金融工程7-維納過程與伊藤引理,25,對數正態(tài)分布,金融工程7-維納過程與伊藤引理,幾何布朗運動的深入分析,在很短的時間t后，證券價格比率的變化值 為： 可見，在短時間內， 具有正態(tài)分布特征 其均值為 ，標準差為 ，方差為,金融工程7-維納過程與伊藤

10、引理,幾何布朗運動的深入分析（2,但是，在一個較長的時間T后， 不再具有正態(tài)分布的性質： 多期收益率的乘積問題，服從正態(tài)分布的變量的乘積并不服從正態(tài)分布。而由于總的連續(xù)復利收益率等于各期收益率的加和，因此仍為正態(tài)分布。 因此，盡管是短期內股票價格百分比收益率的標準差，但是在任意時間長度T后，這個收益率的標準差卻不再是 。股票價格的年波動率并不是一年內股票價格百分比收益率變化的標準差,金融工程7-維納過程與伊藤引理,幾何布朗運動的深入分析（3,如果股票價格服從幾何布朗運動，則可以利用Ito引理來推導證券價格自然對數lnS所遵循的隨機過程： 這個隨機過程的特征： 普通布朗運動：恒定的漂移率和恒定的

11、方差率。 在任意時間長度T之后，G的變化仍然服從正態(tài)分布，均值為 ，方差為 。標準差仍然可以表示為 ，和時間長度平方根成正比。 從自然對數lnS所遵循的這個隨機過程可以得到兩個結論,金融工程7-維納過程與伊藤引理,1）幾何布朗運動意味著股票價格服從對數正態(tài)分布,令t時刻G的值為lnS，T時刻G的值為lnST，其中S表示t時刻（當前時刻）的證券價格，ST表示T時刻（將來時刻）的證券價格，則在Tt期間G的變化為： 這意味著： 進一步從正態(tài)分布的性質可以得到 也就是說，證券價格對數服從正態(tài)分布。如果一個變量的自然對數服從正態(tài)分布，則稱這個變量服從對數正態(tài)分布。這表明ST服從對數正態(tài)分布。 這正好與作

12、為預期收益率的定義相符,金融工程7-維納過程與伊藤引理,2）股票價格對數收益率服從正態(tài)分布,由于dG實際上就是連續(xù)復利的對數收益率。因此幾何布朗運動實際上意味著對數收益率遵循普通布朗運動，對數收益率的變化服從正態(tài)分布，對數收益率的標準差與時間的平方根成比例。 將t與T之間的連續(xù)復利年收益率定義為，則,金融工程7-維納過程與伊藤引理,結論,幾何布朗運動較好地描繪了股票價格的運動過程,金融工程7-維納過程與伊藤引理,32,12.6 隨機過程的蒙特卡羅模擬,有關蒙特卡羅方法的由來 取名于摩納哥的著名賭城 擲色子是一個隨機事件 蒙特卡羅方法 任何涉及隨機采樣的數值方法 不僅僅用于有關隨機的問題 估計

13、圓周率 優(yōu)化問題 40年代美國Los Alamos 實驗室的科學家用于核武器的研究 代表人物：馮諾依曼,金融工程7-維納過程與伊藤引理,經濟和金融中的模擬方法,Monte Carlo 方法 在計量經濟學里，如果我們對某種估計方法的統(tǒng)計性質不是很了解，而又要用到該種方法時，可以用Monte Carlo 方法來解決. 在計量經濟學中的例子: 對聯立方程偏誤的定量研究. 確定Dickey-Fuller 檢驗的臨界值. 確定在自相關檢驗中樣本大小對檢驗功效的影響,金融工程7-維納過程與伊藤引理,經濟和金融中的模擬方法,Monte Carlo 方法 在金融中的例子: 奇異期權的定價. 確定宏觀環(huán)境對金融

14、市場的影響. 風險管理建模: 壓力測試，例如，確定最小資本要求,金融工程7-維納過程與伊藤引理,模擬中的“隨機數,進行蒙特卡羅模擬首先要設定數據生成系統(tǒng)。而設定數據生成系統(tǒng)的關鍵是要產生大量的隨機數。例如模擬樣本為100的隨機趨勢過程的DF統(tǒng)計量的分布，若試驗1萬次，則需要生成200萬個隨機數。 計量經濟學中蒙特卡羅模擬和自舉模擬所用到的隨機數一般是服從N(0,1)分布的隨機數。 計算機所生成的隨機數并不是“純隨機數”，而是具有某種相同統(tǒng)計性質的隨機數，即某種“偽隨機數”（pseudo-random number）。生成隨機數的程序稱作“偽隨機數生成系統(tǒng)”。實際上計算機不可能生成純隨機數,金融

15、工程7-維納過程與伊藤引理,模擬的計算機實現,蒙特卡羅模擬和自舉模擬的實現要通過計算機編程來實現。 常用的軟件有Mathematica，Gauss，Ox，EViews，Stata等。其原理基本一樣。 若干例子見圖,金融工程7-維納過程與伊藤引理,圖1 隨機游走序列 圖2 帶趨勢項的隨機游走序列,圖3 三維圖圓環(huán) 圖4 空間曲面,金融工程7-維納過程與伊藤引理,圖5 投幣1000次的概率值模擬 圖6 生長曲線,圖7 二元正態(tài)分布 圖8 蒲豐問題,金融工程7-維納過程與伊藤引理,39,12.7 蒙特卡羅模擬的實現,我們從幾個例子來看 例1：兩個I(1)變量相關系數分布的蒙特卡羅模擬,未達到N 圖1

16、1 蒙特卡羅模擬過程示意圖,金融工程7-維納過程與伊藤引理,EViews程序如下,work u 1 500 series result for !i=1 to 500 smpl 1 100 series x=nrnd series y=nrnd series xx series yy scalar sum1=0 scalar sum2=0 for !counter=1 to 100 sum1=sum1+x(!counter) sum2=sum2+y(!counter) xx(!counter)=sum1 yy(!counter)=sum2 next scalar r=cor(xx,yy) re

17、sult(!i)=r next result.hist,定義一個非時間序列（u）工作文件，corr，容量為500。 定義一個空序列result，用來存儲相關系數的計算結果。 !i為控制變量，通過一個for循環(huán)語句使計算進行500次。 把樣本范圍設置成100。 生成兩個互不相關的白噪聲序列x、y，樣本容量100。 定義兩個空的序列xx和yy，樣本容量也是100。 定義兩個標量sum1和sum2，初始值為0。 !counter為控制變量，在這個for循環(huán)中，分別對序列x和y進行一次累加生成兩個一階單整的序列，將結果分別放到序列xx和yy中。 累加一次。 計算序列xx和yy的相關系數，并將結果放到標

18、量r中。 將相關系數計算結果放到序列result中，在這個for循環(huán)中，這個操作要進行500次。 顯示序列result的直方圖以及有關統(tǒng)計量,金融工程7-維納過程與伊藤引理,圖13 兩個非相關I(1) 序列的相關系數的分布,金融工程7-維納過程與伊藤引理,例2：DW統(tǒng)計量分布的蒙特卡羅模擬,金融工程7-維納過程與伊藤引理,例3（利用模擬方法對歐式期權進行定價） 設股票價格St服從風險中性測度下的幾何Brown運動,其離散化形式為,根據金融工程理論，設現在股票價格為S0，T時刻到期（單位天），敲定價為K的歐式看漲期權的價格為,MC方案：按照（1）遞推產生n條風險中性測度下的軌道，提取出ST (n

19、)；（2,金融工程7-維納過程與伊藤引理,44,對一個大眾型歐式看漲期權的定價. 具體步驟如下: 確定標的資產的數據產生過程. 通常假設該過程為具有漂移的隨機游走，即要確定漂移和波動參數. 同時要確定行權價格K 及到期日T. 產生T 個標準正態(tài)分布的數據，作為誤差項, ut N(0,1). 構造T 個標的資產的觀測值,例3:利用模擬方法對歐式期權進行定價,金融工程7-維納過程與伊藤引理,45,記錄在時刻 T時標的資產的價格ST. 對一個看漲期權如果 ST K, 則價值為ST - K, 然后用無風險利率貼現. 重復 1到 4步 N 次, 取 N 重復的平均值，這個平均值就是該歐式看漲期權的價格. 對于更加復雜期權的定價可以按同樣思路進行,例:利用模擬方法對歐式期權進行定價(續(xù),金融工程7-維納過程與伊藤引理,有