拓?fù)鋵W(xué)第五章-連通性

1、第五章 連通性XX(0,1)BA(0,-1)(1,0)普通幾何中的圖形“連通”性是一個(gè)非常直觀的概念，似乎無需給出數(shù)學(xué)的定義。然而，對于一些復(fù)雜的圖形，單憑直觀是不行的，例如：例： 設(shè)的一個(gè)子集（曲線）有兩部分構(gòu)成，其中 如右圖，細(xì)線為，粗線為，我們很難判斷它們是否連通的。有兩種描述圖形連通的方法：1）、利用集合是否相交來判定； 2）、利用任何亮點(diǎn)是否有圖形內(nèi)的線段相連。前者稱為“連通性”，后者稱為“道路連通性”。在上例中，是連通的，但是，不是道路連通的。5-1 連通空間先看一個(gè)例子：考慮上的兩個(gè)子集與。它們是不交的，（即交為空集）。但是，它們的并為卻構(gòu)成了一個(gè)“整體”； 而與也是不相交的，但

2、它們的并仍是兩個(gè)部分。原因是：的一個(gè)聚點(diǎn)1，屬于，而不屬于。為此，給出一個(gè)“分離”的概念。定義1 設(shè)和是拓?fù)淇臻g的兩個(gè)非空子集，如果與，則稱與是分離的。 定義2 稱拓?fù)淇臻g是連通的，如果不能表示為兩個(gè)非空分離集合的并。 顯然，連通與下面幾種說法是等價(jià)的。 不能分解為兩個(gè)非空不相交開集的并； 不能分解為兩個(gè)非空不相交閉集的并； 沒有既開又閉的非空真子集； 中只有和是既開又閉的。上述的四種說法與連通是等價(jià)的，可以作為習(xí)題，有同學(xué)們自己去證明。例1 （1）是連通的，因?yàn)樗娜我鈨蓚€(gè)非空開集一定相交。（2）雙曲線不連通，它的兩支是互不相交的的非空閉集。（3）空間是連通的。結(jié)論（3）是明顯的。但是，人們

3、常常里利用已知連通空間論證其它空間的連通性，所以，常常被作為論證一維流形連通的出發(fā)點(diǎn)。因此，有必要去證明一下。 證明的思路：中任何非空真子集不可能既是閉的又是開的，則是連通的。 以下是證明： 不妨設(shè)是的非空真閉集，于是只要證明不會是開集。設(shè)的下確界為，上確界為。因?yàn)槭情]集，則有。又設(shè)，不妨假定（對于情形可作類似的討論），由于，即不是的內(nèi)點(diǎn)，從而不是開集。證畢。下面討論連通空間的性質(zhì)。定理1 連通空間在連續(xù)映射下的象也是連通的。證明： 設(shè)連通，連續(xù)，我們要證明也連通。不妨設(shè)（否則也可以考慮）。又設(shè)是的既開又閉的非空子集，則是的既開又閉的子集（這是根據(jù)連續(xù)映射的性質(zhì)）。又由于非空，并且是連通的，故

4、只要（不可能為），因?yàn)橛成涫菨M射，從而，這說明的既開又閉的非空子集只能有。于是，是連通的。 例2 單位圓是連通的。 因?yàn)槭沁B通的，且有映射，有。 例3 設(shè)，則連通 是區(qū)間。 例3可作為定理1的推論。 推論1 連通空間上的連續(xù)函數(shù)取到一切中間值（即，象集是區(qū)間）。事實(shí)上，這個(gè)推論適于上的映射，而對于其他的拓?fù)淇臻g，應(yīng)該有“序”的概念。所以只作理解即可。即，設(shè)連通，根據(jù)例3。推論立證。引理1 若是的既開又閉子集，是的連通子集，則或者，或者。證明：顯然。由于是連通的，則不可能存在既開又閉的子集，則要么，要么，即。定理2 若有一個(gè)連通的稠密子集，則連通。證明：思路：證明的既開又閉子集只有和。設(shè)是的連通

5、稠密子集，且是的既開又閉子集。如果，則必有。由引理1，有。于是，從而。因此，的既開又閉子集只有和。推論2 若是的連通子集，且，則連通。注釋：這是因?yàn)槭堑某砻茏蛹?，由定?，立得推論。下面的定理給出判斷連通性的一個(gè)常用法則。Au1u2u3u4u5定理3 如果有一個(gè)連通覆蓋（即中每個(gè)成員都是連通的），并且有一連通子集，與中每個(gè)成員都相交，則連通。定理意義的解釋：中每個(gè)成員都是連通集，它們構(gòu)成的覆蓋，它們之間不一定都有交，但是存在一個(gè)的子集，與它們都相交。 證明： 證明思路：的既開又閉子集只有和。 設(shè)是的既開又閉子集，是的一連通子集。根據(jù)引理1，要么，要么。如果，則，因，所以 ，并且由引理，必有（注

6、：是連通子集），則 又，如果，則，由引理，必有，則 又，故有，即。 證畢。YXABxx 例4 我們可以利用定理3的方法去證明是連通的。記，顯然，。即是的覆蓋，而，是連通的（連通）故是的連通覆蓋。記，則連通，。由定理3知，連通。利用歸納法，可以證明連通。定理4 連通性是可乘的。證明： 設(shè)都是連通空間，則是的連通覆蓋。取，則連通，且與每個(gè)都相交。由定理3知，連通。證畢。5-2 連通分支與局部連通空間連通分支是研究不連通空間時(shí)引出的一個(gè)概念。定義3 拓?fù)淇臻g的一個(gè)子集稱為的連通分支，如果它是連通的，并且不是其他連通子集的真子集。注釋：說是的一個(gè)連通分支，即，若的子集，且，則一定不連通。也就是說，連通

7、分支是極大連通子集。如果是連通的，則它只有一個(gè)連通分支，即自身。命題1 連通分支是閉集。證明： 設(shè)是的一個(gè)連通分支，由定理2，也是連通的。由的極大性推出。因此，是閉集。例如，在中，區(qū)間是連通的，則也是連通的。定義4 拓?fù)淇臻g稱為局部連通的，如果，的所有連通鄰域構(gòu)成的鄰域基。注釋：關(guān)于“局部連通的”有多種定義表達(dá)形式。粗略地說：局部連通性就是每一點(diǎn)處都有一個(gè)“任意小”的連通鄰域?！皩τ冢拿恳粋€(gè)鄰域，存在的一個(gè)連通鄰域，使得，此時(shí)稱處局部連通的；如果的每一點(diǎn)都是局部連通的，稱是局部連通的”。這一解釋可以從定義4直接推出。連通與局部連通的關(guān)系：（1）局部連通的空間不一定是連通的。例如，的子空間是不

8、連通的，但它是局部連通的。XX(0,1)AB(0,-1)p（2）連通的空間未必是局部連通的。例如，設(shè)是的子空間：，其中 這里被稱為“拓?fù)鋵W(xué)家的正弦曲線”，事實(shí)上，可以看出。因?yàn)?，是在連續(xù)映射下的區(qū)間的象，故是連通的。又（即是的極限點(diǎn)或稱聚點(diǎn)集合），故也是連通的。而在的每一點(diǎn)處都不是局部連通的，因而，不是局部連通的。命題2 局部連通空間的連通分支是開集。證明：設(shè)局部連通，是的一個(gè)連通分支，有一連通鄰域使得，所以是的內(nèi)點(diǎn)。因此，為開集。5-3 道路連通性（弧連通性）一、關(guān)于道路（或?。┑母拍畹缆肥恰扒€”概念的抽象化。曲線可以看作點(diǎn)的運(yùn)動軌跡。如果將運(yùn)動的起點(diǎn)、終點(diǎn)時(shí)刻分別記為0和1，則運(yùn)動就是閉

9、區(qū)間到空間的一個(gè)連續(xù)映射，曲線就是這個(gè)映射的象。拓?fù)鋵W(xué)中把這個(gè)連續(xù)映射稱作道路或弧。定義5 設(shè)為拓?fù)淇臻g，從閉區(qū)間到的一個(gè)連續(xù)映射稱為中連接點(diǎn)到的弧或道路。和分別稱為道路的起點(diǎn)和終點(diǎn)（統(tǒng)稱端點(diǎn)）。注釋： 道路或弧是指映射，而不是它的象。象集是中的曲線。兩者不是同一個(gè)概念，有區(qū)別。定義6 對于中任意兩點(diǎn)，都存在中的道路,，則稱為道路連通的。例：是道路連通的。因?yàn)閷τ谌我?，定義道路, ， 中任一區(qū)間也是道路連通的。定理5 若則一定是連通的。證明： 設(shè)是道路連通的，,則有中的道路，使得,.于是在的同一連通子集中，從而它們屬于同一連通分支。由于的任意性，故只有一個(gè)連通分支，即連通。 注：定理5說明：

10、道路連通 連通， 但是連通 （未必）道路連通例如，在前面討論過的例子中，中圖形記為，上閉區(qū)間記為。我們知道，且是連通的，則也是連通的（即連通）。但是，中任一點(diǎn)與中任一點(diǎn)不能用道路連接，即不是道路連通的。定理6 道路連通空間的連續(xù)映象是道路連通的。證明：設(shè)是道路連通的，連續(xù)，取。由于道路連通，故有道路，使得，于是是中的道路，且。這即證明了是道路連通的。二、道路連通分支在拓?fù)鋵W(xué)中規(guī)定它的點(diǎn)之間的一個(gè)關(guān)系：若點(diǎn)與可用上的道路連接，則說與相關(guān)，記做（弧連通的）。可以證明，是一個(gè)等價(jià)關(guān)系。定義7 拓?fù)淇臻g在等價(jià)關(guān)系下分成的等價(jià)類，稱為是道路連通分支，簡稱道路分支。根據(jù)定義7，下面的結(jié)論是顯然的：（1），

11、僅屬于的某一個(gè)（唯一的）道路分支。（2）的每個(gè)道路連通子集包含在某個(gè)道路分支中。（3）是道路連通的 它只有一個(gè)道路分支。（4）拓?fù)淇臻g的道路分支是它的極大道路連通子集。附錄：代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)中常見概念介紹（一）關(guān)于流形概念球面、環(huán)面以及我們所熟悉的其它曲面，它們往往比平面復(fù)雜得多。但是，從局部上分析，有些曲面上的每一點(diǎn)近旁都有一塊區(qū)域同胚與平面。具有這種局部歐氏特性的拓?fù)淇臻g成為流形。定義1 一個(gè)Hausdorfrf空間稱為維（拓?fù)洌┝餍?，如果的任一點(diǎn)都有一個(gè)同胚于的開鄰域。二維流形稱為曲面。如，（球面），（環(huán)面），平面和Mbius帶都是曲面。沒有邊界點(diǎn)（全是內(nèi)點(diǎn)）的緊致連通曲面稱為閉曲面。研究曲面

12、分類問題是代數(shù)拓?fù)涞囊豁?xiàng)重要內(nèi)容。（二）關(guān)于同倫與基本群概念同倫與基本群概念也是研究曲面分類中提出的概念。在拓?fù)鋵W(xué)中，利用道路概念替代曲線，道路本身是一種映射。同倫是一種描述連續(xù)映射變形（道路收縮變形）的概念。定義2 設(shè)是的兩個(gè)道路，且和都以為起點(diǎn)，以為終點(diǎn)。如果存在連續(xù)映射使得對于每一個(gè)和， 則稱與是道路同倫的，稱為與之間的一個(gè)道路同倫，記。解釋：所謂與同倫，意味著可以“連續(xù)的”變?yōu)椤x0x1ffXst101易知，同倫關(guān)系是等價(jià)關(guān)系。的所有道路在下分成的等價(jià)類稱為的道路類。從分析知，所謂與同倫，即上存在道路到的連續(xù)變形。從道路變形角度看，球面上閉曲線可以連續(xù)的變形收縮成一點(diǎn)，而環(huán)面上則不可以。見下圖。f這種差別可以反映閉曲面的不同幾何特征。關(guān)于道路的乘法和逆設(shè)是拓?fù)淇臻g點(diǎn)到的道路連接，是到的道路連接，定義道路，的乘法是從到