《有理數(shù)及其運(yùn)算》全章復(fù)習(xí)與鞏固(基礎(chǔ))知識(shí)講解

1、有理數(shù)及其運(yùn)算全章復(fù)習(xí)與鞏固【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】要點(diǎn)一、有理數(shù)的相關(guān)概念1有理數(shù)的分類：（1）按定義分類：（ 2）按性質(zhì)分類：要點(diǎn)詮釋： （ 1）用正數(shù)、負(fù)數(shù)表示相反意義的量；（ 2）有理數(shù)“ 0”的作用：作用舉例表示數(shù)的性質(zhì)0是自然數(shù)、是有理數(shù)表示沒有3個(gè)蘋果用 +3 表示，沒有蘋果用0 表示表示某種狀態(tài)00 C 表示冰點(diǎn)表示正數(shù)與負(fù)數(shù)的界點(diǎn)0 非正非負(fù)，是一個(gè)中性數(shù)2數(shù)軸： 規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長度的直線要點(diǎn)詮釋：（1）一切有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示出來，數(shù)軸上的點(diǎn)不都表示的是有理數(shù)，如（ 2）在數(shù)軸上，右邊的點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù)總比左邊的點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù)大3相反數(shù)： 只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互稱為相反數(shù)，

2、0 的相反數(shù)是0要點(diǎn)詮釋： （1）一對相反數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)位于原點(diǎn)兩側(cè)，并且到原點(diǎn)的距離相等，這兩點(diǎn)是關(guān)于原點(diǎn)對稱的（ 2）求任意一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，只要在這個(gè)數(shù)的前面添上“”號(hào)即可（ 3）多重符號(hào)的化簡：數(shù)字前面“ ”號(hào)的個(gè)數(shù)若有偶數(shù)個(gè)時(shí)，化簡結(jié)果為正，若有奇數(shù)個(gè)時(shí)，化簡結(jié)果為負(fù)4絕對值：（ 1) 代數(shù)意義：一個(gè)正數(shù)的絕對值是它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0 的絕對值是0 數(shù)a 的絕對值記作a （ 2) 幾何意義：一個(gè)數(shù)a 的絕對值就是數(shù)軸上表示數(shù)a 的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離要點(diǎn)二、有理數(shù)的運(yùn)算1 法則：（ 1）加法法則：同號(hào)兩數(shù)相加，取相同的符號(hào)，并把絕對值相加絕對值不相等的異號(hào)兩數(shù)相加，取

3、絕對值較大的加數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對值減去較小的絕對值一個(gè)數(shù)同0相加，仍得這個(gè)數(shù)2）減法法則：減去一個(gè)數(shù)，等于加這個(gè)數(shù)的相反數(shù)即a-b=a+(-b)3）乘法法則：兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對值相乘任何數(shù)同0 相乘，都得04）除法法則：除以一個(gè)不等于0 的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)即a b=a1 (b 0)b5）乘方運(yùn)算的符號(hào)法則：負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)；正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)， 0 的任何非零次冪都是06) 有理數(shù)的混合運(yùn)算順序：先乘方，再乘除，最后加減；同級運(yùn)算，從左到右進(jìn)行；如有括號(hào)，先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，按小括號(hào)、中括號(hào)、大括號(hào)依次進(jìn)行要點(diǎn)詮釋： “奇負(fù)偶正”口訣的應(yīng)

4、用：（1）多重負(fù)號(hào)的化簡，這里奇偶指的是“”號(hào)的個(gè)數(shù)，例如： （ 3） = 3， + （ 3） =3 （ 2）有理數(shù)乘法，當(dāng)多個(gè)非零因數(shù)相乘時(shí)，這里奇偶指的是負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)，正負(fù)指結(jié)果中積的符號(hào)，例如： （ 3）（ 2）（ 6） = 36，而（ 3）（ 2） 6=36（ 3）有理數(shù)乘方，這里奇偶指的是指數(shù)，當(dāng)?shù)讛?shù)為負(fù)數(shù)時(shí)，指數(shù)為奇數(shù)，則冪為負(fù)；指數(shù)為偶數(shù)，則冪為正，例如：( 3)29 ， ( 3)327 2運(yùn)算律：（ 1）交換律 : 加法交換律 :a+b=b+a ； 乘法交換律 :ab=ba ；（ 2）結(jié)合律 :加法結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)；乘法結(jié)合律： （ ab） c=a(bc)

5、（ 3）分配律： a(b+c)=ab+ac要點(diǎn)三、有理數(shù)的大小比較比較大小常用的方法有： （ 1）數(shù)軸比較法；（ 2）法則比較法： 正數(shù)大于0，0 大于負(fù)數(shù)，正數(shù)大于負(fù)數(shù)；兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對值大的反而?。?3) 作差比較法 （ 4）作商比較法； （5)倒數(shù)比較法要點(diǎn)四、科學(xué)記數(shù)法把一個(gè)大于10 的數(shù)表示成a10n 的形式（其中1a10， n 是正整數(shù)），此種記法叫做科學(xué)記數(shù)法例如：200 000= 2105 【典型例題】類型一、有理數(shù)相關(guān)概念1若一個(gè)有理數(shù)的： ( 1) 相反數(shù)；（ 2）倒數(shù)； ( 3) 絕對值； ( 4) 平方； ( 5) 立方，等于它本身 則這個(gè)數(shù)分別為 ( 1) _； ( 2

6、) _；( 3) _； ( 4) _；（ 5） _【答案】（ 1） 0；( 2) 1 和 - 1； ( 3) 正數(shù)和 0； ( 4) 1 和 0； ( 5)- 1、 0 和 1【解析】 根據(jù)定義，把符合條件的有理數(shù)寫全【總結(jié)升華】 要全面正確地理解倒數(shù)，絕對值，相反數(shù)等概念舉一反三：【變式】 (1) 12的倒數(shù)是； 1 2的相反數(shù)是；12的絕對值是333-（ -8 ）的相反數(shù)是；1的相反數(shù)的倒數(shù)是 _.2(2)某種食用油的價(jià)格隨著市場經(jīng)濟(jì)的變化漲落，規(guī)定上漲記為正， 則 -5 8 元的意義是 _；如果這種油的原價(jià)是76 元，那么現(xiàn)在的賣價(jià)是(3)上海浦東磁懸浮鐵路全長30km，單程運(yùn)行時(shí)間約為

7、8min, 那么磁懸浮列車的平均速度用科學(xué)記數(shù)法表示約為m min (4) 若 a、 b 互為相反數(shù)， c、 d 互為倒數(shù)，則 3cd2 (ab) _3【答案】（ 1）3；1 2 ；1 2 ；-8 ；2 （ 2）降價(jià) 58 元， 702元；（ 3）3.75103；（4） 3；5332如果 ( x- 2) 2+| y- 3| 0，那么 ( 2x- y) 2005 的值為 () A 1B - 1C 22006D 32005【思路點(diǎn)撥】 利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，求出x, y 的值再代入計(jì)算 【答案】 A【解析】 因?yàn)?( x- 2) 2，| y- 3| 都是非負(fù)數(shù)， 且 ( x- 2) 2+| y- 3|

8、 0， 所以由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)先求出x=2 ，y =3 的值，代入得：( 2x- y) 2005=1 2005=1【總結(jié)升華】 偶次方與絕對值都具有非負(fù)性3在下列兩數(shù)之間填上適當(dāng)?shù)牟坏忍?hào)：2005 _ 2006 20062007【思路點(diǎn)撥】根據(jù)“ a-b 0， a-b 0， a-b 0 分別得到 a b，a b， a b”來比較兩數(shù)的大小【答案】【解析】 解法一：作差法由于 200520062005 200720062006120070 ，所以 200520062006200720062007200620062007解法二：倒數(shù)比較法：因?yàn)?0061120071200512006所以2005200

9、62005200620062007舉一反三：【變式】比較大?。?( 1)1( 2)2_0. 001；_- 0. 68993【答案】（ 1）（ 2）類型二、有理數(shù)的運(yùn)算4（ 1）（ 12） 5+ （ 14）（ 39）22（ 2） 3 （ 3） +3 （ 2） +| 4|（ 3）（ 4）1526061215410.7515522【答案與解析】解：（ 1）（ 12） 5+（ 14）（ 39） = 12 5 14+39= 31+39=8（ 2） 322（ 3） +3 （ 2） +| 4|=99 6+4=1 6+4=3（ 3）152606 12 15= 60 60 60=10 25 8=23（ 4）41

10、0.7515522= （） （） 32= 2 32= 30=24（ 5） 12111312112132442434( 0.2)312457552411654343151452472455241254043412705633012540112140120 3940舉一反三：【變式】計(jì)算： （ 1） ( 2)11(2)22（ 2） 24610320061【答案】 解：（ 1） ( 2)11(2)( 1) 1( 2) ( 1) 2 ( 2) 4222（ 2） 24610320061=-16+4-3 1=-15類型三、數(shù)學(xué)思想在本章中的應(yīng)用5（ 1）數(shù)形結(jié)合思想：有理數(shù)a 在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)如圖所示，則

11、a， - a， 1 的大小關(guān)系A(chǔ) - aa 1B 1- a aC 1- a aD a1 - a（ 2）分類討論思想：已知| x| 5， | y| 3求 x- y 的值（ 3）轉(zhuǎn)化思想：計(jì)算：3135( )147【答案與解析】解：（ 1）將 - a 在數(shù)軸上標(biāo)出，如圖所示，得到a 1 - a，所以大小關(guān)系為：a 1 - a所以正確選項(xiàng)為：D（ 2）因?yàn)?| x| 5，所以 x 為 - 5 或 5因?yàn)?| y| 3，所以 y 為 3 或 - 3當(dāng) x 5， y 3 時(shí)， x- y 5- 32當(dāng) x 5， y - 3 時(shí)， x- y 5-(- 3) 8當(dāng) x - 5， y 3 時(shí)， x- y - 5

12、- 3 - 8當(dāng) x - 5， y - 3 ， x- y- 5-(- 3) - 2故（ x- y）的 2 或 8（ 3）原式 = 353( 7) 35 737 246 114142【 升 】 在解 中合理利用數(shù)學(xué)思想，是解決 的有效手段數(shù)形 合“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”使 化，具體化；分 中注意分 的兩條原 ：分 準(zhǔn)要 一，而且分 要做到不重不漏； 化思想就是把 “新知 ” 化 “舊知 ”，將“未知” 化 “已知” 一反三：【 式】若a 是有理數(shù)， | a|- a 能不能是 數(shù) ? 什么 ?【答案】 解：當(dāng) a 0 ， | a|- a a- a0；當(dāng) a 0 ， | a|- a 0- 0 0；

13、當(dāng) a 0 ， | a|- a - a- a - 2a0所以， 于任何有理數(shù) a，| a|- a 都不會(huì)是 數(shù)類型四、規(guī)律探索6將 1，1，1 ，1，1 ，1，按一定 律排列如下：23456 你寫出第20 行從左至右第10 個(gè)數(shù)是 _【答案】1200【解析】 真 察可知，第 1 行有 1 個(gè)數(shù)，第 2 行有 2 個(gè)數(shù)，第3 行有 3個(gè)數(shù)，所以第20 行有 20個(gè)數(shù)，從第 1 行到第 20 行共有 1+2+3+ +20 210 個(gè)數(shù)，所以第20 行最后一個(gè)數(shù)的 是1 ；又由表中可知，凡是分母是偶數(shù)的分?jǐn)?shù)是 數(shù)，故第20 行最后一個(gè)數(shù)是1，210210以此類推向前10 個(gè)，則得到第20 行第 10

14、 個(gè)數(shù)是1200拔高：類型一、有理數(shù)相關(guān)概念7 已 知 x與 y互 為 相 反 數(shù) ， m與n 互 為 倒 數(shù) ， | x+y|+ （ a-1 ） 2 0 ， 求a2-( x+y+mn ) a+( x+y ) 2009+(- mn) 2010 的值【思路點(diǎn)撥】 (1)若有理數(shù) x 與 y 互為相反數(shù)，則x+y 0，反過來也成立(2)若有理數(shù) m與 n 互為倒數(shù)，則mn1，反過來也成立【答案與解析】解：因?yàn)?x 與 y 互為相反數(shù)， m 與 n 互為倒數(shù)，（a-1） 2 0，所以 x+y 0， mn 1， a 1，所以 a2-( x+y+mn ) a+( x+y ) 2009+(- mn) 20

15、10220092010a -( 0+1) a+0+(- 1)a2 - a+1 a 1，原式 12- 1+1 1【總結(jié)升華】要全面正確地理解倒數(shù)，絕對值，相反數(shù)等概念舉一反三：【變式 1】選擇題（ 1）已知四種說法： |a|=a時(shí)， a0； |a|=-a時(shí)， a 0，則（）Aab0（ 4）若 |x-1|+|y+3|+|z-5|=0Ca0 且 b0，則 (x+1)(y-3)(z+5)D a0 且的值是（b0， - 2a 0，又 - a - 2a，所以 | a| - 2a 上所述：當(dāng) a 0 ， | a| - 2a；當(dāng) a0 ， | a| - 2a（ 3） ( 999)1( 1000 1) ( 35

16、) ( 1000) ( 35) 1 ( 35) 34965 35【 升 】 在解 中合理利用數(shù)學(xué)思想，是解決 的有效手段數(shù)形 合“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”使 化，具體化；分 中注意分 的兩條原 ：分 準(zhǔn)要 一，而且分 要做到不重不漏； 化思想就是把 “新知 ” 化 “舊知 ”，將“未知” 化 “已知”類型四、規(guī)律探索12下面兩個(gè)多位數(shù)2，若 一位數(shù)，將其寫在第1248624， 6248624都是按照如下方法得到的：將第1 位數(shù)字乘以2 位；若 兩位數(shù)， 將其個(gè)位數(shù)字寫在第2 位 第 2 位數(shù)字再 行如上操作得到第3 位數(shù)字，后面的每一位數(shù)字都是由前一位數(shù)字 行如上操作得到的當(dāng)?shù)? 位數(shù)字是3

17、，仍按如上操作得到一個(gè)多位數(shù)， 個(gè)多位數(shù)前100 位的所有數(shù)字之和是 () A 495B 497C 501D 503【思路點(diǎn) 】 多位數(shù) 1248624是怎么來的？當(dāng)?shù)? 個(gè)數(shù)字是1 ，將第 1 位數(shù)字乘以2 得 2，將2 寫在第 2 位上，再將第 2 位數(shù)字 2 乘以 2 得 4，將其寫在第3 位上，將第 3 位數(shù)字 4 乘以 2 的 8，將 8 寫在第 4 位上，將第4 位數(shù)字 8 乘以 2 得 16，將 16 的個(gè)位數(shù)字6 寫在第 5 位上，將第5 位數(shù)字 6 乘以 2 得 12，將 12 的個(gè)位數(shù)字2 寫在第 6 位上，再將第 6 位數(shù)字 2 乘以 2 得 4，將其寫在第 7 位上，以

18、此 推根據(jù)此方法可得到第一位是3 的多位數(shù)后再求和【答案】 A【解析】 按照法 可以看出此數(shù) 362 486 248 ，后面 6248 循 ，所以前100 位的所有數(shù)字之和是3+( 6+2+4+8 ) 24+6+2+4 495，所以 A 【 升 】 特例助思，探究 律， 主要是通 察分析，從特殊到一般來 律，并表示出來 一反三：【 式】世界上著名的萊布尼茨三角形如 所示， 排在第10 行從左 數(shù)第3 個(gè)位置上的數(shù)是（）A 1B 1C 1D 1132360495660【答案】 B 提示： 察 ：分子 是1，第 n 行的第一個(gè)數(shù)的分母就是n，第二個(gè)數(shù)的分母是第一個(gè)數(shù)的（ n-1 ）倍，第三個(gè)數(shù)的分

19、母是第二個(gè)數(shù)的分母的( n 1) 倍根據(jù) 表的 律， 第 1011 2行從左 數(shù)第 3 個(gè)位置上的數(shù)是1094360【鞏固練習(xí)】一、選擇題1下列判斷正確的個(gè)數(shù)有()( 1) 任何一個(gè)有理數(shù)的相反數(shù)和它的絕對值都不可能相等( 2) 若兩個(gè)有理數(shù)互為相反數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)( 3) 如果兩個(gè)數(shù)的絕對值相等，那么這兩個(gè)有理數(shù)也相等A 0 個(gè)B 1 個(gè)C 2 個(gè)D 3 個(gè)2下列各數(shù)中最大的是() A 23B - 32C (- 3) 2D (- 2) 33 在-(-2)， -|-7|， -|+1|， |-2|，- (11) 中，負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)是()35A 1 個(gè)B 2 個(gè)C 3 個(gè)D 4 個(gè)據(jù)有關(guān)資料顯示

20、，2011年遵義市全年財(cái)政總收入202 億元，將202 億用科學(xué)記數(shù)法可表示（）A 2.02 102人B 202 108人C 2.02 109人D 2.02 1010人5若 -1a0, 則a， 1, a2 從小到大排列正確的是（）aA a2a1B a 1 a2C1a a2D a a2 0B ab0C a 0D a-b0b8已知有理數(shù) a ， b 在數(shù)軸上對應(yīng)的兩點(diǎn)分別是A，B請你將具體數(shù)值代入a ， b ，充分實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證：對于任意有理數(shù) a ， b ，計(jì)算 A， B 兩點(diǎn)之間的距離正確的公式一定是（）A b aB | b | | a |C | b | | a |D | b a |二、填空題9.

21、對某種盒裝牛奶進(jìn)行質(zhì)量檢測，一盒裝牛奶超出標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量2 克，記作 +2 克，那么 -3 克表示 _.10. 水池中的水位在某天八個(gè)不同 刻 得 ：( 定向上 正，向下 ， 位：厘米)+3 ，0， -1 ， +5， -4 ， +2， -3 ， -2 ，那么 里0的含 是 _.11德國科學(xué)家 塞 推算出天 座第61 暗星距離地球 102 000 000 000 000千米，用科學(xué) 數(shù)法表示出暗星到地球的距離 _ _ 千米12 x 7 ， x_ ；x 7， x_ .13已知 數(shù) a ,在數(shù) 上如下 所示， | a1 |=.14若 |a-2|+|b+3|=0， 3a+2b=1522116 察下列算式：1

22、5 432， 26 442， 37 4 52， 4 8 462， 你在 察 律之后并用你得到的 律填空：_502 .三、 解答 17 算：12（ 1） 722 ( 3)2( 6)3（2） 14(1 0.5)12(32 )3（ 3） 21- 49. 5+10. 2- 2- 3. 5+193321913233（4）3542524315219218已知 a、 b 互 倒數(shù)， c、 d 互 相反數(shù)，且x 的 3，求 2x 2-( ab- c- d) +| ab+3| 的 19某地的氣象 料表明，高度每增加1km ，氣溫大 下降 6，若 地地面溫度 18，高空某 氣溫 -48，求此 的高度20先 察下列各式：1111；11 11；1111；11 11，1 4 344 7 3 477 10 3710n(n 3) 3 n n 3根據(jù)以上 察， 算：1111的 144771020052008【答案與解析】一、選擇題1【答案】 A2【答案】 C【解析】只有A 、 C 兩項(xiàng)的結(jié)果為正，只要比較23、 (- 3) 2 的大小即可由23 8， (- 3) 29，可知： (- 3)2 最大3【答案】C【解析】負(fù)數(shù)有三個(gè)，分別是：-|-7|， -|+1| ， - (11)54【答案】 D5【答案】 C【解析】由 -1a0 可知 a2 為正數(shù)，而其它兩數(shù)