數(shù)學(xué)建模綜合評價(jià)類問題【專業(yè)教育】

1、姓名： 常志勇 辦公地點(diǎn)：數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 統(tǒng)計(jì)學(xué)系 電話：電子郵箱： ,0.評價(jià)問題,評價(jià)”為衡量評定人或事物的價(jià)值。新華字典 如：咱們班誰最高？誰家最有錢？ 誰是高富帥？一個(gè)樹的價(jià)值是,第一節(jié) 綜合評價(jià)方法的基本概念,綜合評價(jià)的問題:對被評價(jià)對象所進(jìn)行的客觀、公正、合理的全面評價(jià)。通常的綜合評價(jià)問題都是有若干個(gè)同類的被評價(jià)對象(或系統(tǒng))，每個(gè)被評價(jià)對象往往都涉及到多個(gè)屬性（或指標(biāo)）。 綜合評價(jià)的目的:根據(jù)系統(tǒng)的屬性判斷確定這些系統(tǒng)的運(yùn)行（或發(fā)展）狀況哪個(gè)優(yōu)，哪個(gè)劣，即按優(yōu)劣對各被評價(jià)對象進(jìn)排序或分類。這類問題又稱為多屬性（或多指標(biāo)）的綜合評價(jià)問題。 如：教師績效測評

2、。 綜合評價(jià)的應(yīng)用:研究多目標(biāo)決策問題的前提，因此研究解決這類問題在實(shí)際中是很有意義的，特別是在政治、經(jīng)濟(jì)、社會及軍事管理、工程技術(shù)及科學(xué)決策等領(lǐng)域都有重要的應(yīng)用價(jià)值。 構(gòu)成綜合評價(jià)問題的五個(gè)要素分別為:被評價(jià)對象、評價(jià)指標(biāo)、權(quán)重系數(shù)、綜合評價(jià)模型和評價(jià)者,1.被評價(jià)對象 被評價(jià)對象就是綜合評價(jià)問題中所研究的對象，或稱為系統(tǒng)。通常情況下，在一個(gè)問題中被評價(jià)對象是屬于同一類的，且個(gè)數(shù)要大于1，不妨假設(shè)一個(gè)綜合評價(jià)問題中有 個(gè)被評價(jià)對象（或系統(tǒng)），分別記為 。 2.評價(jià)指標(biāo) 評價(jià)指標(biāo)是反映被評價(jià)對象(或系統(tǒng))的運(yùn)行(或發(fā)展)狀況的基本要素。通常的問題都是有多項(xiàng)指標(biāo)構(gòu)成，每一項(xiàng)指標(biāo)都是從不同的側(cè)面刻

3、畫系統(tǒng)所具有某種特征大小的一個(gè)度量。 一個(gè)綜合評價(jià)問題的評價(jià)指標(biāo)一般可用一個(gè)向量表示，其中每一個(gè)分量就是從一個(gè)側(cè)面反映系統(tǒng)的狀態(tài)，即稱為綜合評價(jià)的指標(biāo)體系,注意到:當(dāng)各被評價(jià)對象和評價(jià)指標(biāo)值都確定以后，問題的綜合評價(jià)結(jié)果就完全依賴于權(quán)重系數(shù)的取值了，即權(quán)重系數(shù)確定的合理與否，直接關(guān)系到綜合評價(jià)結(jié)果的可信度，甚至影響到最后決策的正確性。 4.綜合評價(jià)模型 對于多指標(biāo)（或多因素）的綜合評價(jià)問題,就是要通過建立合適的綜合評價(jià)數(shù)學(xué)模型將多個(gè)評價(jià)指標(biāo)綜合成為一個(gè)整體的綜合評價(jià)指標(biāo)，作為綜合評價(jià)的依據(jù)，從而得到相應(yīng)的評價(jià)結(jié)果。 不妨假設(shè)n個(gè)被評價(jià)對象的m個(gè)評價(jià)指標(biāo)向量為 指標(biāo)權(quán)重向量為 ，由此構(gòu)造綜合評價(jià)

4、函數(shù)為,如果已知各評價(jià)指標(biāo)的 個(gè)觀測值為 5 ，其中 ，則可以計(jì)算出各系統(tǒng)的綜合評價(jià)值 ， 。根據(jù) 值的大小將這 個(gè)系統(tǒng)進(jìn)行排序或分類，即得到綜合評價(jià)結(jié)果。 5.評價(jià)者 評價(jià)者是直接參與評價(jià)的人，可以是某一個(gè)人，也可以是一個(gè)團(tuán)體。對于評價(jià)目的選擇、評價(jià)指標(biāo)體系確定、評價(jià)模型的建立和權(quán)重系數(shù)的確定都與評價(jià)者有關(guān),綜合評價(jià)的一般步驟： 明確評價(jià)目的；確定被評價(jià)對象；建立評價(jià)指標(biāo)體系（包括評價(jià)指標(biāo)的原始值、評價(jià)指標(biāo)的若干預(yù)處理等）；確定與各項(xiàng)評價(jià)指標(biāo)相對應(yīng)的權(quán)重系數(shù)；選擇或構(gòu)造綜合評價(jià)模型；計(jì)算各系統(tǒng)的綜合評價(jià)值,并給出綜合評價(jià)結(jié)果,構(gòu)造權(quán)重的方法 多元統(tǒng)計(jì)方法，如多元回歸、主成分分析、因子分析等。

5、 模糊數(shù)學(xué)方法：由模糊數(shù)學(xué)發(fā)展而來，包括模糊聚類、模糊判別、模糊綜合評價(jià)等方法。 簡易方法：主要包括頭腦風(fēng)暴法、層次分析法、Topsis法、秩和比法等 其他，如：數(shù)據(jù)包絡(luò)分析法，熵值法等,第二節(jié) 模糊綜合評判,綜合評判是綜合決策的內(nèi)容。模糊綜合評判又稱為模糊綜合決策或模糊多元決策 下面以電腦評判為例來說明如何評價(jià)。 某同學(xué)想購買一臺電腦，他關(guān)心電腦的以下幾個(gè)指標(biāo)： “運(yùn)算功能（數(shù)值、圖形等）”；“存儲容量（內(nèi)、外存）”；“運(yùn)行速度（CPU、主板等）”；“外設(shè)配置（網(wǎng)卡、多媒體部件等）”；”價(jià)格”。 于是請同宿舍幾個(gè)同學(xué)一起去買電腦,“運(yùn)算功能（數(shù)值、圖形等,“存儲容量（內(nèi)、外存,“運(yùn)行速度（C

6、PU、主板等,“外設(shè)配置（網(wǎng)卡、調(diào)制調(diào)解器、多媒體部件等,“價(jià)格,稱,因素集,為了數(shù)學(xué)處理簡單，先令,評語集,其中,“很受歡迎,“較受歡迎,“不太受歡迎,“不受歡迎,任選幾臺電腦，請同學(xué)和購買者對各因素進(jìn)行評價(jià),若一個(gè)給定的電腦，對于運(yùn)算功能 有20%的人認(rèn)為是“很受歡迎”，50%的人認(rèn)為“較受歡迎”，30%的人認(rèn)為“不太受歡迎” ，沒有人認(rèn)為“不受歡迎”，則 的單因素評價(jià)向量為,同理，對存儲容量 ，運(yùn)行速度 ，外設(shè)配置 和價(jià)格,分別作出單因素評價(jià)，得,組合成評判矩陣,對微機(jī)的要求是：工作速度快，外設(shè)配置較齊全，價(jià)格便宜，而對運(yùn)算和存儲量則要求不高。于是得各因素的權(quán)重分配向量,作模糊變換,存儲

7、容量,運(yùn)行速度,外設(shè)配置,價(jià)格,運(yùn)算功能,若進(jìn)一步將結(jié)果歸一化得,結(jié)果表明，該用戶對這種微機(jī)表現(xiàn)為“最受歡迎”的程度為 0.32，“較受歡迎”和“不太受歡迎”的程度為0.27，“不受歡 迎”的程度為0.14。 按最大隸屬原則，結(jié)論是：該電腦“很受歡迎,模糊數(shù)學(xué)知識簡介,設(shè)U是論域，映射A(x)：U0,1確定了一個(gè)U上的模糊子集A，映射A(x)稱為A的隸屬函數(shù)，它表示x對A的隸屬程度. 使A(x) = 0.5的點(diǎn)x稱為A的過渡點(diǎn)，此點(diǎn)最具模糊性. 當(dāng)映射A(x)只取0或1時(shí)，模糊子集A就是經(jīng)典子集，而A(x)就是它的特征函數(shù). 可見經(jīng)典子集就是模糊子集的特殊情形,例 設(shè)論域U = x1 (140

8、), x2 (150), x3 (160), x4 (170), x5 (180), x6 (190)(單位：cm)表示人的身高，那么U上的一個(gè)模糊集“高個(gè)子”(A)的隸屬函數(shù)A(x)可定義為,也可用Zadeh表示法,隸屬函數(shù)的確定,1. 模糊統(tǒng)計(jì)方法 2. 指派方法 3. 借用已有的“客觀”尺度,模糊集的-截集A是一個(gè)經(jīng)典集合，由隸屬度不小于的成員構(gòu)成. 例：論域U=u1, u2, u3, u4 , u5 , u6(學(xué)生集)，他們的成績依次為50,60,70,80,90,95，A=“學(xué)習(xí)成績好的學(xué)生”的隸屬度分別為0.5,0.6,0.7,0.8, 0.9,0.95，則,A0.9 (90分以上

9、者) = u5 , u6, A0.6 (60分以上者) = u2, u3, u4 , u5 , u6,常用的綜合評判模型,1、主因素決定型 2、主因素突出型 3、加權(quán)平均型,第三節(jié) 層次分析模型,背景,日常工作、生活中的決策問題,涉及經(jīng)濟(jì)、社會等方面的因素,作比較判斷時(shí)人的主觀選擇起相當(dāng)大的作用，各因素的重要性難以量化,Saaty于1970年代提出層次分析法 AHP (Analytic Hierarchy Process,AHP一種定性與定量相結(jié)合的、系統(tǒng)化、層次化的分析方法,目標(biāo)層,O(選擇旅游地,準(zhǔn)則層,方案層,一. 層次分析法的基本步驟,例. 選擇旅游地,如何在3個(gè)目的地中按照景色、費(fèi)用

10、、居住條件等因素選擇,選擇旅游地”思維過程的歸納,將決策問題分為3個(gè)層次：目標(biāo)層O，準(zhǔn)則層C，方案層P；每層有若干元素， 各層元素間的關(guān)系用相連的直線表示,通過相互比較確定各準(zhǔn)則對目標(biāo)的權(quán)重，及各方案對每一準(zhǔn)則的權(quán)重,將上述兩組權(quán)重進(jìn)行綜合，確定各方案對目標(biāo)的權(quán)重,層次分析法將定性分析與定量分析結(jié)合起來完成以上步驟，給出決策問題的定量結(jié)果,層次分析法的基本步驟,成對比較陣和權(quán)向量,元素之間兩兩對比，對比采用相對尺度,設(shè)要比較各準(zhǔn)則C1,C2, , Cn對目標(biāo)O的重要性,A成對比較陣,A是正互反陣,要由A確定C1, , Cn對O的權(quán)向量,選擇旅游地,成對比較的不一致情況,允許不一致，但要確定不一

11、致的允許范圍,考察完全一致的情況,成對比較陣和權(quán)向量,成對比較完全一致的情況,A的秩為1，A的唯一非零特征根為n,A的任一列向量是對應(yīng)于n 的特征向量,A的歸一化特征向量可作為權(quán)向量,對于不一致(但在允許范圍內(nèi))的成對比較陣A，建議用對應(yīng)于最大特征根的特征向量作為權(quán)向量w ，即,一致陣性質(zhì),成對比較陣和權(quán)向量,2 4 6 8,比較尺度aij,Saaty等人提出19尺度aij 取值1,2, , 9及其互反數(shù)1,1/2, , 1/9,心理學(xué)家認(rèn)為成對比較的因素不宜超過9個(gè),用13,15,117,1p9p (p=2,3,4,5), d+0.1d+0.9 (d=1,2,3,4)等27種比較尺度對若干實(shí)

12、例構(gòu)造成對比較陣，算出權(quán)向量，與實(shí)際對比發(fā)現(xiàn)， 19尺度較優(yōu),便于定性到定量的轉(zhuǎn)化,成對比較陣和權(quán)向量,一致性檢驗(yàn),對A確定不一致的允許范圍,已知：n 階一致陣的唯一非零特征根為n,可證：n 階正互反陣最大特征根 n, 且 =n時(shí)為一致陣,定義一致性指標(biāo),CI 越大，不一致越嚴(yán)重,為衡量CI 的大小，引入隨機(jī)一致性指標(biāo) RI隨機(jī)模擬得到aij , 形成A，計(jì)算CI 即得RI,定義一致性比率 CR = CI/RI,當(dāng)CR0.1時(shí)，通過一致性檢驗(yàn),Saaty的結(jié)果如下,選擇旅游地”中準(zhǔn)則層對目標(biāo)的權(quán)向量及一致性檢驗(yàn),準(zhǔn)則層對目標(biāo)的成對比較陣,最大特征根=5.073,權(quán)向量(特征向量)w =(0.2

13、63,0.475,0.055,0.090,0.110)T,一致性指標(biāo),隨機(jī)一致性指標(biāo) RI=1.12 (查表,一致性比率CR=0.018/1.12=0.0160.1,通過一致性檢驗(yàn),組合權(quán)向量,記第2層（準(zhǔn)則）對第1層（目標(biāo)）的權(quán)向量為,同樣求第3層(方案)對第2層每一元素(準(zhǔn)則)的權(quán)向量,方案層對C1(景色)的成對比較陣,方案層對C2(費(fèi)用)的成對比較陣,最大特征根 1 2 n,權(quán)向量 w1(3) w2(3) wn(3,組合權(quán)向量,RI=0.58 (n=3), CIk 均可通過一致性檢驗(yàn),w(2) 0.2630.4750.0550.0900.110,方案P1對目標(biāo)的組合權(quán)重為0.5950.2

14、63+ =0.300,方案層對目標(biāo)的組合權(quán)向量為 (0.300, 0.246, 0.456)T,組合 權(quán)向量,第2層對第1層的權(quán)向量,第3層對第2層各元素的權(quán)向量,構(gòu)造矩陣,則第3層對第1層的組合權(quán)向量,第s層對第1層的組合權(quán)向量,其中W(p)是由第p層對第p-1層權(quán)向量組成的矩陣,層次分析法的基本步驟,1）建立層次分析結(jié)構(gòu)模型,深入分析實(shí)際問題，將有關(guān)因素自上而下分層（目標(biāo)準(zhǔn)則或指標(biāo)方案或?qū)ο螅?，上層受下層影響，而層?nèi)各因素基本上相對獨(dú)立,2）構(gòu)造成對比較陣,用成對比較法和19尺度，構(gòu)造各層對上一層每一因素的成對比較陣,3）計(jì)算權(quán)向量并作一致性檢驗(yàn),對每一成對比較陣計(jì)算最大特征根和特征向量，

15、作一致性檢驗(yàn)，若通過，則特征向量為權(quán)向量,4）計(jì)算組合權(quán)向量（作組合一致性檢驗(yàn)*,組合權(quán)向量可作為決策的定量依據(jù),二. 層次分析法的廣泛應(yīng)用,應(yīng)用領(lǐng)域：經(jīng)濟(jì)計(jì)劃和管理，能源政策和分配，人才選拔和評價(jià)，生產(chǎn)決策，交通運(yùn)輸，科研選題，產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)，教育，醫(yī)療，環(huán)境，軍事等,處理問題類型：決策、評價(jià)、分析、預(yù)測等,建立層次分析結(jié)構(gòu)模型是關(guān)鍵一步，要有主要決策層參與,構(gòu)造成對比較陣是數(shù)量依據(jù)，應(yīng)由經(jīng)驗(yàn)豐富、判斷力強(qiáng)的專家給出,例1 國家實(shí)力分析,例2 工作選擇,例3 橫渡江河、海峽方案的抉擇 (2002年賽,例3 橫渡江河、海峽方案的抉擇,例4 科技成果的綜合評價(jià),三. 層次分析法的若干問題,正互反陣的最

16、大特征根是否為正數(shù)？特征向量是否為正向量？一致性指標(biāo)能否反映正互反陣接近一致陣的程度,怎樣簡化計(jì)算正互反陣的最大特征根和特征向量,為什么用特征向量作為權(quán)向量,當(dāng)層次結(jié)構(gòu)不完全或成對比較陣有空缺時(shí)怎樣用層次分析法,1. 正互反陣的最大特征根和特征向量的性質(zhì),定理1 正矩陣A 的最大特征根是正單根，對應(yīng)正特征向量w，且,定理2 n階正互反陣A的最大特征根 n , = n是A為一致陣的充要條件,2. 正互反陣最大特征根和特征向量的簡化計(jì)算,精確計(jì)算的復(fù)雜和不必要,簡化計(jì)算的思路一致陣的任一列向量都是特征向量，一致性尚好的正互反陣的列向量都應(yīng)近似特征向量，可取其某種意義下的平均,1）和法取列向量的算術(shù)

17、平均,精確結(jié)果:w=(0.588,0.322,0.090)T, =3.010,2)根法取列向量的幾何平均,3)冪法迭代算法,1）任取初始向量w(0), k:=0，設(shè)置精度,2) 計(jì)算,3）歸一化,5) 計(jì)算,簡化計(jì)算,4）若 ，停止；否則，k:=k+1, 轉(zhuǎn)2,3. 特征向量作為權(quán)向量成對比較的多步累積效應(yīng),問題,一致陣A, 權(quán)向量w=(w1,wn)T, aij=wi/wj,A不一致, 應(yīng)選權(quán)向量w使wi/wj與 aij相差盡量?。▽λ衖,j,非線性 最小二乘,線性化 對數(shù)最小二乘,結(jié)果與根法相同,按不同準(zhǔn)則確定的權(quán)向量不同，特征向量有什么優(yōu)點(diǎn),成對比較,Ci:Cj (直接比較,aij 1步

18、強(qiáng)度,aisasj Ci通過Cs 與Cj的比較,aij(2) 2步強(qiáng)度,更能反映Ci對Cj 的強(qiáng)度,多步累積效應(yīng),體現(xiàn)多步累積效應(yīng),定理1,特征向量體現(xiàn)多步累積效應(yīng),4.不完全層次結(jié)構(gòu)中組合權(quán)向量的計(jì)算,完全層次結(jié)構(gòu)：上層每一元素與下層所有元素相關(guān)聯(lián),不完全層次結(jié)構(gòu),設(shè)第2層對第1層權(quán)向量w(2)=(w1(2),w2(2)T已定,第3層對第2層權(quán)向量w1(3)=(w11(3),w12(3),w13(3),0)T w2(3)=(0,0,w23(3),w24(3)T已得,討論由w(2),W(3)=(w1(3), w2(3)計(jì)算第3層對第1層權(quán)向量w(3）的方法,例: 評價(jià)教師貢獻(xiàn)的層次結(jié)構(gòu),P1,P2只作教學(xué), P4只作科研, P3兼作教學(xué)、科研,C1,C2支配元素的數(shù)目不等,5. 殘缺成對比較陣的處理,miA第i 行中的個(gè)數(shù),為殘缺元素,6. 更復(fù)雜的層次結(jié)構(gòu),遞階層次結(jié)構(gòu)：層內(nèi)各元素獨(dú)立，無相互影響和支配；層間自上而下、逐層傳遞，無反饋和循環(huán),更復(fù)雜的層次結(jié)構(gòu)：層內(nèi)各元素間存在相互影響或支配；層間存在反饋或循環(huán),例,