復(fù)變函數(shù)答案習(xí)題4

1、習(xí)題四1. 復(fù)級數(shù)與都發(fā)散,則級數(shù)和發(fā)散.這個命題是否成立?為什么?答.不一定反例: 發(fā)散但收斂發(fā)散收斂.2. 下列復(fù)數(shù)項級數(shù)是否收斂,是絕對收斂還是條件收斂?(1) (2) (3) (4) (5) 解 (1) 因為發(fā)散,所以發(fā)散(2)發(fā)散 又因為所以發(fā)散(3) 發(fā)散,又因為收斂,所以不絕對收斂.(4) 因為所以級數(shù)不絕對收斂.又因為當(dāng)n=2k時, 級數(shù)化為收斂當(dāng)n=2k+1時, 級數(shù)化為也收斂所以原級數(shù)條件收斂(5) 其中 發(fā)散,收斂所以原級數(shù)發(fā)散.3.證明:若,且和收斂,則級數(shù)絕對收斂.證明:設(shè)因為和收斂所以收斂又因為,所以且當(dāng)n充分大時, 所以收斂而收斂，收斂所以收斂，從而級數(shù)絕對收斂.

2、4.討論級數(shù)的斂散性解 因為部分和，所以，不存在.當(dāng)而時（即），cosn和sinn都沒有極限,所以也不收斂.故當(dāng)和時, 收斂.5.冪級數(shù)能否在z=0處收斂而在z=3處發(fā)散.解： 設(shè)，則當(dāng)時，級數(shù)收斂，時發(fā)散.若在z=0處收斂,則若在z=3處發(fā)散, 則顯然矛盾,所以冪級數(shù)不能在z=0處收斂而在z=3處發(fā)散6.下列說法是否正確?為什么?(1)每一個冪級數(shù)在它的收斂圓周上處處收斂.(2) 每一個冪級數(shù)的和函數(shù)在它的收斂圓內(nèi)可能有奇點.答: (1) 不正確,因為冪級數(shù)在它的收斂圓周上可能收斂,也可能發(fā)散.(2) 不正確,因為收斂的冪級數(shù)的和函數(shù)在收斂圓周內(nèi)是解析的.7.若的收斂半徑為R,求的收斂半徑。

3、解： 因為所以 8.證明：若冪級數(shù)的 系數(shù)滿足，則(1)當(dāng)時, (2) 當(dāng)時, (3) 當(dāng)時, 證明：考慮正項級數(shù)由于，若，由正項級數(shù)的根值判別法知，當(dāng)，即，收斂。當(dāng)，即，不能趨于零,級數(shù)發(fā)散.故收斂半徑.當(dāng)時, ,級數(shù)收斂且.若,對當(dāng)充分大時,必有不能趨于零,級數(shù)發(fā)散.且9.求下列級數(shù)的收斂半徑，并寫出收斂圓周。(1) (2) (3) (4) 解: ()收斂圓周(2) 所以收斂圓周(3) 記 由比值法,有要級數(shù)收斂,則級數(shù)絕對收斂,收斂半徑為所以收斂圓周(4) 記 所以時絕對收斂,收斂半徑收斂圓周10.求下列級數(shù)的和函數(shù).(1) (2) 解: (1)故收斂半徑R=1,由逐項積分性質(zhì)，有：所以

4、于是有：(2) 令：故R=, 由逐項求導(dǎo)性質(zhì)由此得到即有微分方程故有：，A, B待定。所以 11.設(shè)級數(shù)收斂，而發(fā)散，證明的收斂半徑為1證明：因為級數(shù)收斂設(shè)若的收斂半徑為1則現(xiàn)用反證法證明若則，有，即收斂，與條件矛盾。若則，從而在單位圓上等于，是收斂的，這與收斂半徑的概念矛盾。綜上述可知，必有，所以12.若在點處發(fā)散，證明級數(shù)對于所有滿足點都發(fā)散.證明：不妨設(shè)當(dāng)時，在處收斂則對，絕對收斂，則在點處收斂所以矛盾,從而在處發(fā)散.13.用直接法將函數(shù)在點處展開為泰勒級數(shù),(到項),并指出其收斂半徑.解:因為奇點為所以又于是，有展開式14.用直接法將函數(shù)在點處展開為泰勒級數(shù),(到項)解：為的奇點，所以

5、收斂半徑又于是，在處的泰勒級數(shù)為 15.用間接法將下列函數(shù)展開為泰勒級數(shù)，并指出其收斂性.(1) 分別在和處 (2) 在處(3) 在處 (4) 在處 (5) 在處 解 （1）(2) (3) (4) (5)因為從沿負實軸不解析所以,收斂半徑為R=116.為什么區(qū)域內(nèi)解析且在區(qū)間取實數(shù)值的函數(shù)展開成的冪級數(shù)時，展開式的系數(shù)都是實數(shù)？答：因為當(dāng)取實數(shù)值時，與的泰勒級數(shù)展開式是完全一致的，而在內(nèi)，的展開式系數(shù)都是實數(shù)。所以在內(nèi)，的冪級數(shù)展開式的系數(shù)是實數(shù).17.求的以為中心的各個圓環(huán)域內(nèi)的羅朗級數(shù).解:函數(shù)有奇點與,有三個以為中心的圓環(huán)域,其羅朗級數(shù).分別為：19.在內(nèi)將展開成羅朗級數(shù).解:令則而在內(nèi)

6、展開式為所以,代入可得20.有人做下列運算,并根據(jù)運算做出如下結(jié)果因為,所以有結(jié)果你認(rèn)為正確嗎?為什么?答:不正確,因為要求而要求所以,在不同區(qū)域內(nèi)21.證明: 用z的冪表示的羅朗級數(shù)展開式中的系數(shù)為證明:因為和是的奇點，所以在內(nèi)，的羅朗級數(shù)為其中其中C為內(nèi)任一條繞原點的簡單曲線.22. 是函數(shù)的孤立奇點嗎?為什么?解: 因為的奇點有所以在的任意去心鄰域，總包括奇點，當(dāng)時，z=0。從而不是的孤立奇點.23.用級數(shù)展開法指出函數(shù)在處零點的級.解：故z=0為f(z)的15級零點24.判斷是否為下列函數(shù)的孤立奇點，并確定奇點的類型：；解: 是的孤立奇點因為所以是的本性奇點.(2)因為所以是的可去奇點.25. 下列函數(shù)有些什么奇點？如果是極點，指出其點： 解: (1)所以是奇點,是二級極點.解: (2) 是奇點,是一級極點,0是二級極點.解: (3) 是的二級零點而是的一級零點, 是的一級零點所以是的二級極點, 是的一級極點.26. 判定下列各函數(shù)的什么奇點？ 解: (1)當(dāng)時, 所以, 是的可去奇點.(2)因為所以, 是的本性奇點.(3) 當(dāng)時, 所以, 是的可去奇點.27. 函數(shù)在處有一個二級極點，但根據(jù)下面羅朗展開式：.我們得到“又是的本性奇點”，這兩個結(jié)果哪一個是正確的？為什么?解: 不對, z=1是f(z)的二級極點,不是本性奇點.所給羅朗展開式不是