期權(quán)的損益及二叉樹模型.ppt

1、1,第八章 期權(quán)的損益及二叉樹模型,2,目錄,以債券為標(biāo)的資產(chǎn)的期權(quán)定價二叉樹模型 期權(quán)定價的二叉樹模型 n期歐式期權(quán)的定價模型 存在交易費(fèi)用的期權(quán)定價二叉樹模型,3,以債券為標(biāo)的資產(chǎn)的看漲期權(quán)定價的二叉樹模型,債券價格的二叉樹模型 概述 就債券支付狀態(tài)的變化規(guī)律而言,與股票支付狀態(tài)的變化規(guī)律相反. 股票支付狀態(tài)隨著時間的推移逐漸地分叉。債券支付(收益)在到期日收斂于它的面值。 多數(shù)債券有票息支付,4,以債券為標(biāo)的資產(chǎn)的看漲期權(quán)定價的二叉樹模型,債券價格的二叉樹模型 概述 例 設(shè)債券面值為D，每半年支付票息C， 為半年后的半年期利率。n年到期。 如果給定利率期限結(jié)構(gòu)可以給債券定價。如果已知半年

2、期利率變化模型，如何給出債券的價格樹以及期權(quán)價格。 把債券看成面值與票息分離的債券，現(xiàn)金流相當(dāng)于2n份面值為C和一份面值為D的零息債券。對每一零息債券，可以通過利率期限結(jié)構(gòu)和半年期利率樹求出相應(yīng)債券的價格和價格樹,5,以債券為標(biāo)的資產(chǎn)的看漲期權(quán)定價的二叉樹模型,債券價格的二叉樹模型 例,6,以債券為標(biāo)的資產(chǎn)的看漲期權(quán)定價的二叉樹模型,債券價格的二叉樹模型 債券價格樹的構(gòu)造 風(fēng)險中性方法 例 半年期利率為3.99%,一年期利率為4.16%，一年半期利率為4.33%，半年期的利率樹為,3.99,4.5,4,4.9,4.3,3.9,7,以債券為標(biāo)的資產(chǎn)的看漲期權(quán)定價的二叉樹模型,債券價格的二叉樹模型

3、 債券價格樹的構(gòu)造 風(fēng)險中性方法 例 價格樹,8,以債券為標(biāo)的資產(chǎn)的看漲期權(quán)定價的二叉樹模型,債券價格的二叉樹模型 債券價格樹的構(gòu)造 風(fēng)險中性方法 例 設(shè) 是利率上升狀態(tài)的概率， 是利率下降狀態(tài)的概率。 滿足 稱此概率為風(fēng)險中性概率,9,以債券為標(biāo)的資產(chǎn)的看漲期權(quán)定價的二叉樹模型,債券價格的二叉樹模型 債券價格樹的構(gòu)造 風(fēng)險中性方法 例 一年半期的債券的價格樹為 假設(shè)利率處于上升狀態(tài)再上升的概率和處于下降狀態(tài)再上升的 概率相等,以債券為標(biāo)的資產(chǎn)的看漲期權(quán)定價的二叉樹模型,債券價格的二叉樹模型 債券價格樹的構(gòu)造 風(fēng)險中性方法 由風(fēng)險中性方法，得到風(fēng)險中性概率序列，利用它和利率樹可以對市場上的任何

4、一種債券合理定價,11,以債券為標(biāo)的資產(chǎn)的看漲期權(quán)定價的二叉樹模型,債券價格樹的構(gòu)造 利率期限結(jié)構(gòu)模型方法 固定半年期利率,在下一期以同樣的概率分別取兩個值，然后利用利率期限結(jié)構(gòu)模型計算半年期利率值，從而構(gòu)成一個利率樹。（非風(fēng)險中性概率） 用所得到的利率樹對債券未來的價值折現(xiàn)就可得到債券的價格。 例 半年期利率3.99%,一年期利率4.16%，一年半期利率4.33%。 應(yīng)用Salomon-Brothers模型得到時間為一年半的半年期利率樹和一年半期零息債券價格樹,12,以債券為標(biāo)的資產(chǎn)的看漲期權(quán)定價的二叉樹模型,債券價格樹的構(gòu)造 利率期限結(jié)構(gòu)模型方法 例 一年期的半年期利率樹和一年期零息債券價

5、格樹,3.99,4.69740,3.96420,1/2,1/2,95.9663,97.7068,98.0564,100,100,100,13,以債券為標(biāo)的資產(chǎn)的看漲期權(quán)定價的二叉樹模型,債券價格樹的構(gòu)造 利率期限結(jié)構(gòu)模型方法 例 一年半期的半年期利率樹和一年半期的零息債券價格樹,3.99,4.69740,3.96420,5.49723,4.63919,3.91507,14,以債券為標(biāo)的資產(chǎn)的看漲期權(quán)定價的二叉樹模型,債券價格樹的構(gòu)造 利率期限結(jié)構(gòu)模型方法 例 一年半期的半年期利率樹和一年半的期的零息債券價格樹,93.7764,95.2909,96.0036,97.3249,97.7330,98

6、.0800,100,100,100,100,15,以債券為標(biāo)的資產(chǎn)的看漲期權(quán)定價的二叉樹模型,債券價格樹的構(gòu)造 利率期限結(jié)構(gòu)模型方法 設(shè)利率變化過程用二叉樹表示,若初始利率為 ，利用利率期限 結(jié)構(gòu)定價方法，利率在第二期以1/2 的概率上升到 ，以 1/2 的概率下 降到 。 債券價格的遞推公式為,16,以債券為標(biāo)的資產(chǎn)的看漲期權(quán)定價的二叉樹模型,債券價格的二叉樹模型 利率期限結(jié)構(gòu)模型方法 例 8-8 設(shè)初始利率為r=10%,在第二期以q=0.5的概率上升到12%,以0.5的概率下降到8.5%。同時假設(shè)債券的面值D=100在一年期半內(nèi)每半年支付的紅利10, 而每期初債券的價值是期末支付的期望值的

7、折現(xiàn),求債券的價格,以債券為標(biāo)的資產(chǎn)的看漲期權(quán)定價的二叉樹模型,債券價格的二叉樹模型 利率期限結(jié)構(gòu)模型方法 例,18,以債券為標(biāo)的資產(chǎn)的看漲期權(quán)定價的二叉樹模型,以債券為標(biāo)的資產(chǎn)的期權(quán)定價 上例中債券為標(biāo)的資產(chǎn)、執(zhí)行價X=100的看漲期權(quán), 在t時期市場上價格為,19,以債券為標(biāo)的資產(chǎn)的看漲期權(quán)定價的二叉樹模型,以債券為標(biāo)的資產(chǎn)的期權(quán)定價 構(gòu)造一個無風(fēng)險套期保值債券組合。購買一份債券，出售m份看漲期權(quán)（以該債券為標(biāo)的的看漲期權(quán)）。 若是無風(fēng)險套期保值，此債券組合在到期時的支付（收益）是一樣的。 設(shè)看漲期權(quán)在t期執(zhí)行，則此債券組合在t+1期時兩個狀態(tài)的收益相等,20,以債券為標(biāo)的資產(chǎn)的看漲期權(quán)定

8、價的二叉樹模型,以債券為標(biāo)的資產(chǎn)的期權(quán)定價 由于是無風(fēng)險債券組合，故有 其中 為無風(fēng)險利率，將m的值代入上式，我們有,21,期權(quán)定價的二叉樹模型,期權(quán)定價的一期模型 Cox-Ross-Rubinstein二叉樹期權(quán)定價模型： 設(shè)資本市場是競爭的無摩檫的（不存在交易費(fèi)用),不存在無風(fēng)險套利機(jī)會，股票和期權(quán)是無限可分的。下一期的股票價格只取兩種可能的值,其中， 為無風(fēng)險利率,22,期權(quán)定價的二叉樹模型,期權(quán)定價的一期模型 Cox-Ross-Rubinstein二叉樹期權(quán)定價模型。 例 股票價格如下。 說明： 必須成立，否則可能出現(xiàn)套利機(jī)會,23,期權(quán)定價的二叉樹模型,期權(quán)定價的一期模型 Cox-R

9、oss-Rubinstein二叉樹期權(quán)定價模型。 例,24,期權(quán)定價的二叉樹模型,期權(quán)定價的一期模型 Cox-Ross-Rubinstein二叉樹期權(quán)定價模型。 例 構(gòu)造無風(fēng)險套期保值的證券組合。購買一份股票，賣掉m份期權(quán)。證券組合的價值是,25,期權(quán)定價的二叉樹模型,期權(quán)定價的一期模型 Cox-Ross-Rubinstein二叉樹期權(quán)定價模型： 由于所構(gòu)造的證券組合是無風(fēng)險證券組合，故在期末時它在各狀態(tài)的收益是一樣的。由無風(fēng)險的證券組合條件， (m稱為套期保值率hedge ratio)。 由于所構(gòu)造的證券組合是無風(fēng)險證券組合,26,期權(quán)定價的二叉樹模型,期權(quán)定價的一期模型 Cox-Ross-

10、Rubinstein二叉樹期權(quán)定價模型： 令 p稱為套期保值概率。 事實(shí)上,若投資者是風(fēng)險中性，則 所以通常也稱p為風(fēng)險中性概率,27,期權(quán)定價的二叉樹模型,期權(quán)定價的一期模型 Cox-Ross-Rubinstein二叉樹期權(quán)定價模型： P稱為風(fēng)險中性概率。 在風(fēng)險中性概率下，期權(quán)的價格是其收益期望值的折現(xiàn),28,期權(quán)定價的二叉樹模型,期權(quán)定價的一期模型 Cox-Ross-Rubinstein二叉樹期權(quán)定價模型： 例如:設(shè)S=21，1+r=1.15，u=1.4，d=1.1，X=22 ，求C,29,期權(quán)定價的二叉樹模型,期權(quán)定價的一期模型 Cox-Ross-Rubinstein二叉樹期權(quán)定價模型

11、： 例如:設(shè)S=21，1+r=1.15，u=1.4，d=1.1，X=22 ，求C。 注1. 套期保值證券組合所需要的投資 19.13, 在期末所得到的無風(fēng)險收益為22。 注2. 此套期保值的證券組合為買一份股票,賣一份看漲期權(quán). 注3. 投資的回報率 22/19.13=1.15=1+r. 注4. 期權(quán)的價值依賴于所構(gòu)造的套期保值的證券組合, 期權(quán)的定價是要使此套期保值組合獲得無風(fēng)險回報率。 如果期權(quán)價格高了(或者低了),則套期保值證券組合的收益率比無風(fēng)險收益率高(或低),無風(fēng)險套利機(jī)會就存在,30,期權(quán)定價的二叉樹模型,期權(quán)定價的一期模型 Cox-Ross-Rubinstein二叉樹期權(quán)定價模

12、型： 期權(quán)定價公式三個有趣的性質(zhì)： 期權(quán)的價格不依賴于股票價格上升的概率。盡管投資者對股票上升的概率有不同的判斷,但他只能接受與u， d，X，S，r相關(guān)聯(lián)的期權(quán)價值，而股票價格本身是引起投資者對q的不同判斷的根源。 投資者對風(fēng)險的態(tài)度與期權(quán)定價公式無關(guān)。 股票價格是期權(quán)價值唯一依賴的隨機(jī)變量,31,期權(quán)定價的二叉樹模型,期權(quán)定價的二期模型 設(shè)二期無風(fēng)險利率為r，每期復(fù)利一次，則一元錢的投資到二期后有 元，設(shè)股票的初始價格為S,32,期權(quán)定價的二叉樹模型,期權(quán)定價的二期模型 以該股票為標(biāo)的的二期看漲期權(quán)的價值,33,期權(quán)定價的二叉樹模型,期權(quán)定價的二期模型 期權(quán)的價值等于在風(fēng)險中性概率下二期收益

13、的期望值折現(xiàn),34,n期歐式期權(quán)的定價模型,二項(xiàng)式及二項(xiàng)分布 二項(xiàng)式試驗(yàn) (Binomial trials)：稱試驗(yàn)結(jié)果只有兩個的試驗(yàn)為二項(xiàng)式試驗(yàn)。 如在拋硬幣試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)的結(jié)果只有兩個：正面和反面。設(shè)拋硬幣時出現(xiàn)正面的概率為p，出現(xiàn)反面的概率為1-p. 在n次試驗(yàn)中, 出現(xiàn)k次正面的概率為,35,n期歐式期權(quán)的定價模型,n 期歐式看漲期權(quán)的定價公式 n 期歐式看漲期權(quán)取值的結(jié)果及對應(yīng)概率,36,n期歐式期權(quán)的定價模型,n 期歐式看漲期權(quán)的定價公式 當(dāng) 設(shè)a是使看漲期權(quán)收益為正的最小的正整數(shù)，即當(dāng),37,n期歐式期權(quán)的定價模型,n 期歐式看漲期權(quán)的定價公式 在n期模型中， 和 是互補(bǔ)事件的

14、概率， 是看漲期權(quán)價值為正的累積概率。 令,38,n期歐式期權(quán)的定價模型,n 期歐式看漲期權(quán)的定價公式 分析結(jié)果 期權(quán)的價值隨著股票的價格上漲， 而當(dāng)執(zhí)行價格升高時,它的價值隨之降低。而且，無風(fēng)險利率、期權(quán)到期期限n、 二項(xiàng)分布的方差 都影響期權(quán)的價值. 當(dāng)無風(fēng)險利率上升時,它降低執(zhí)行價格的折現(xiàn)值 。盡管隨著r的上升引起p和p的變化，但還是提高了看漲期權(quán)價值。 增加到期期限同樣提高了看漲期權(quán)的價格?？礉q期權(quán)的價值等于最終收益的折現(xiàn)乘上套期保值的概率。而時間期限的數(shù)值不改變套期保值的概率但他增加的正收益的項(xiàng)數(shù),且二項(xiàng)分布收益的期望值也隨著 np 的增加而增加。(美式，歐式在到期日執(zhí)行) 看漲期權(quán)

15、價值隨著二項(xiàng)分布方差 np(1-p) 增加而增加,39,n期歐式期權(quán)的定價模型,不可重合的二叉樹模型。（考慮交易費(fèi)用） 不存在交易費(fèi)用的期權(quán)二叉樹定價問題,40,n期歐式期權(quán)的定價模型,不存在交易費(fèi)用的期權(quán)二叉樹定價問題 無風(fēng)險回報率 排除套利機(jī)會，滿足。 構(gòu)造在 時刻的證券組合，設(shè)在無風(fēng)險證券的投資為 ，在股票投資為 。 證券組合價值為 在 時刻價值為 市場為自融資的,交易前,交易后,41,n期歐式期權(quán)的定價模型,不存在交易費(fèi)用的期權(quán)二叉樹定價問題 二叉樹期權(quán)定價理論的基本思想是構(gòu)造一個自融資組合，復(fù)制k=2時的期權(quán)收入，這個自融資的組合的初始投資就是期權(quán)的公平價。 設(shè)期權(quán)到期價值為,42,

16、n期歐式期權(quán)的定價模型,不存在交易費(fèi)用的期權(quán)二叉樹定價問題 對于復(fù)制期權(quán)的證券組合（二期末） 得,43,n期歐式期權(quán)的定價模型,不存在交易費(fèi)用的期權(quán)二叉樹定價問題 在 t=1 時刻證券組合的價值 或 令 則,44,n期歐式期權(quán)的定價模型,不存在交易費(fèi)用的期權(quán)二叉樹定價問題 在條件 下， 的折現(xiàn)率 的期望值是 ，符合鞅的性質(zhì)，故稱 為鞅側(cè)度。 同理，可以確定,45,n期歐式期權(quán)的定價模型,不存在交易費(fèi)用的期權(quán)二叉樹定價問題 下面推導(dǎo)如何用 確定 的價值，即期權(quán)的初始價值 由類似推導(dǎo)過程，得到鞅測度,46,n期歐式期權(quán)的定價模型,存在交易費(fèi)用的期權(quán)二叉樹定價問題 分別表示股票數(shù)和銀行的存款， 表示不存在交易費(fèi)用模型中所對應(yīng)的量，其中 為交易費(fèi)用的比例（買入和賣出金融產(chǎn)品的交易費(fèi)用都一樣），而