八年級數(shù)學競賽講座

1、心中有數(shù)，數(shù)中有我 /yqsjys126 /數(shù) 學 競 賽 訓 練 五 2012-11-9目 錄第一講因式分解(一)第二講因式分解(二)第三講 實數(shù)的若干性質(zhì)和應用第四講 分式的化簡與求值第五講 恒等式的證明第六講 代數(shù)式的求值第七講 根式及其運算第八講 非負數(shù)第九講 一元二次方程第十講 三角形的全等及其應用第十一講 勾股定理與應用第十二講 平行四邊形第十三講 梯形第十四講 中位線及其應用第十五講 相似三角形(一)第十六講 相似三角形(二)第十七講* 集合與簡易邏輯第一講因式分解(一)多項式的因式分解是代數(shù)式恒等變形的基本形式之一，它被廣泛地應用于初等數(shù)學之

2、中，是我們解決許多數(shù)學問題的有力工具因式分解方法靈活，技巧性強，學習這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內(nèi)容所必需的，而且對于培養(yǎng)學生的解題技能，發(fā)展學生的思維能力，都有著十分獨特的作用初中數(shù)學教材中主要介紹了提取公因式法、運用公式法、分組分解法和十字相乘法本講及下一講在中學數(shù)學教材基礎(chǔ)上，對因式分解的方法、技巧和應用作進一步的介紹 1運用公式法在整式的乘、除中，我們學過若干個乘法公式，現(xiàn)將其反向使用，即為因式分解中常用的公式，例如：(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)a22ab+b2=(ab)2；(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)a3-b3=(a-b)(a2+a

3、b+b2)下面再補充幾個常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；(7)an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+abn-2+bn-1)其中n為正整數(shù)；(8)an-bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-+abn-2-bn-1)，其中n為偶數(shù)；(9)an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-abn-2+bn-1)，其中n為奇數(shù)運用公式法分解因式時，要根據(jù)多項式的特點，根據(jù)字母、系數(shù)、指數(shù)、符號等正確恰當?shù)剡x擇公式例1 分解

4、因式：(1)-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4；(2)x3-8y3-z3-6xyz；(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；(4)a7-a5b2+a2b5-b7解 (1)原式=-2xn-1yn(x4n-2x2ny2+y4)=-2xn-1yn(x2n)2-2x2ny2+(y2)2=-2xn-1yn(x2n-y2)2 =-2xn-1yn(xn-y)2(xn+y)2(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z) =(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)(3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2(a-b)2

5、+2c(a-b)+c2=(a-b+c)2本小題可以稍加變形，直接使用公式(5)，解法如下：原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)=(a-b+c)2(4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7) =a5(a2-b2)+b5(a2-b2) =(a2-b2)(a5+b5) =(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4) =(a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc本題實際上就是用因式分解的方法證明前面給出的公式(6)分析 我們已經(jīng)知道公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3的

6、正確性，現(xiàn)將此公式變形為a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)這個式也是一個常用的公式，本題就借助于它來推導解 原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc =(a+b)3+c3-3ab(a+b+c) =(a+b+c)(a+b)2-c(a+b)+c2-3ab(a+b+c) =(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)說明 公式(6)是一個應用極廣的公式，用它可以推出很多有用的結(jié)論，例如：我們將公式(6)變形為a3+b3+c3-3abc顯然，當a+b+c=0時，則a3+b3+c3=3abc；當a+b+c0時，則a3+b3+c3-3abc0，即a3+b3+c33abc，而且，

7、當且僅當a=b=c時，等號成立如果令x=a30，y=b30，z=c30，則有等號成立的充要條件是x=y=z這也是一個常用的結(jié)論例3 分解因式：x15+x14+x13+x2+x+1分析 這個多項式的特點是：有16項，從最高次項x15開始，x的次數(shù)順次遞減至0，由此想到應用公式an-bn來分解解 因為x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+x2+x+1)，所以說明 在本題的分解過程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，這一技巧在等式變形中很常用2拆項、添項法因式分解是多項式乘法的逆運算在多項式乘法運算時，整理、化簡常將幾個同類項合并為一項，或?qū)蓚€僅符號相反的同類項相互抵消為零

8、在對某些多項式分解因式時，需要恢復那些被合并或相互抵消的項，即把多項式中的某一項拆成兩項或多項，或者在多項式中添上兩個僅符合相反的項，前者稱為拆項，后者稱為添項拆項、添項的目的是使多項式能用分組分解法進行因式分解例4 分解因式：x3-9x+8分析 本題解法很多，這里只介紹運用拆項、添項法分解的幾種解法，注意一下拆項、添項的目的與技巧解法1 將常數(shù)項8拆成-1+9原式=x3-9x-1+9=(x3-1)-9x+9=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x2+x-8)解法2 將一次項-9x拆成-x-8x原式=x3-x-8x+8=(x3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8

9、(x-1)=(x-1)(x2+x-8)解法3 將三次項x3拆成9x3-8x3原式=9x3-8x3-9x+8=(9x3-9x)+(-8x3+8)=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)=(x-1)(x2+x-8)解法4 添加兩項-x2+x2原式=x3-9x+8=x3-x2+x2-9x+8=x2(x-1)+(x-8)(x-1)=(x-1)(x2+x-8)說明 由此題可以看出，用拆項、添項的方法分解因式時，要拆哪些項，添什么項并無一定之規(guī)，主要的是要依靠對題目特點的觀察，靈活變換，因此拆項、添項法是因式分解諸方法中技巧性最強的一種例5 分解因式：(1)x9+x6+x3-3；(2)(m

10、2-1)(n2-1)+4mn；(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；(4)a3b-ab3+a2+b2+1解 (1)將-3拆成-1-1-1原式=x9+x6+x3-1-1-1=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+2x3+3)=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)(2)將4mn拆成2mn+2mn原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)=(mn+1)2-(m-n)2=(mn+m-n+1)

11、(mn-m+n+1)(3)將(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4=(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4-(x2-1)2=(x+1)2+(x-1)22-(x2-1)2=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)(4)添加兩項+ab-ab原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)=a(a-b)b(a+b)+1+(ab+b2+1)=a(a-b)+1(ab+b2+1)

12、=(a2-ab+1)(b2+ab+1)說明 (4)是一道較難的題目，由于分解后的因式結(jié)構(gòu)較復雜，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加項后分成的三項組又無公因式，而是先將前兩組分解，再與第三組結(jié)合，找到公因式這道題目使我們體會到拆項、添項法的極強技巧所在，同學們需多做練習，積累經(jīng)驗3換元法換元法指的是將一個較復雜的代數(shù)式中的某一部分看作一個整體，并用一個新的字母替代這個整體來運算，從而使運算過程簡明清晰例6 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12分析 將原式展開，是關(guān)于x的四次多項式，分解因式較困難我們不妨將x2+x看作一個整體，并用字母y來替代，于是原題轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的二次三項式的因

13、式分解問題了解 設x2+x=y，則原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)=(x-1)(x+2)(x2+x+5)說明 本題也可將x2+x+1看作一個整體，比如今x2+x+1=u，一樣可以得到同樣的結(jié)果，有興趣的同學不妨試一試例7 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90分析 先將兩個括號內(nèi)的多項式分解因式，然后再重新組合解 原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90 =(x+1)(2x+3)(x+2)(2x+1)-90 =(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90令y=2x2+5x+2，則原式=y

14、(y+1)-90=y2+y-90=(y+10)(y-9)=(2x2+5x+12)(2x2+5x-7)=(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1)說明 對多項式適當?shù)暮愕茸冃问俏覀冋业叫略?y)的基礎(chǔ)例8 分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2解 設x2+4x+8=y，則原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)=(x2+6x+8)(x2+5x+8)=(x+2)(x+4)(x2+5x+8)說明 由本題可知，用換元法分解因式時，不必將原式中的元都用新元代換，根據(jù)題目需要，引入必要的新元，原式中的變元和新變元可以一起變形，換元法的本質(zhì)是簡化多項式例9 分解因式：6x

15、4+7x3-36x2-7x+6解法1 原式=6(x4+1)7x(x2-1)-36x2=6(x4-2x2+1)+2x2+7x(x2-1)-36x2=6(x2-1)2+2x2+7x(x2-1)-36x2=6(x2-1)2+7x(x2-1)-24x2=2(x2-1)-3x3(x2-1)+8x=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)說明 本解法實際上是將x2-1看作一個整體，但并沒有設立新元來代替它，即熟練使用換元法后，并非每題都要設置新元來代替整體解法2 原式=x26(t2+2)+7t-36=x2(6t2+7t-24)=x2(2t-3)(3t+8)=x

16、22(x-1/x)-33(x-1/x)+8=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)例10 分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)分析 本題含有兩個字母，且當互換這兩個字母的位置時，多項式保持不變，這樣的多項式叫作二元對稱式對于較難分解的二元對稱式，經(jīng)常令u=x+y，v=xy，用換元法分解因式解 原式=(x+y)2-xy2-4xy(x+y)2-2xy令x+y=u，xy=v，則原式=(u2-v)2-4v(u2-2v)=u4-6u2v+9v2=(u2-3v)2=(x2+2xy+y2-3xy)2=(x2-xy+y2)2練習一1分解因式：(2

17、)x10+x5-2；(4)(x5+x4+x3+x2+x+1)2-x52分解因式：(1)x3+3x2-4；(2)x4-11x2y2+y2；(3)x3+9x2+26x+24；(4)x4-12x+3233分解因式：(1)(2x2-3x+1)2-22x2+33x-1；(2)x4+7x3+14x2+7x+1；(3)(x+y)3+2xy(1-x-y)-1；(4)(x+3)(x2-1)(x+5)-20第二講因式分解(二)1雙十字相乘法 分解二次三項式時，我們常用十字相乘法對于某些二元二次六項式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我們也可以用十字相乘法分解因式例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5

18、x+35y-3我們將上式按x降冪排列，并把y當作常數(shù)，于是上式可變形為2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，可以看作是關(guān)于x的二次三項式對于常數(shù)項而言，它是關(guān)于y的二次三項式，也可以用十字相乘法，分解為即-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1) 再利用十字相乘法對關(guān)于x的二次三項式分解所以原式=x+(2y-3)2x+(-11y+1)=(x+2y-3)(2x-11y+1)上述因式分解的過程，實施了兩次十字相乘法如果把這兩個步驟中的十字相乘圖合并在一起，可得到下圖：它表示的是下面三個關(guān)系式：(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；(x-3)(2x+1)=2x

19、2-5x-3；(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3這就是所謂的雙十字相乘法用雙十字相乘法對多項式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f進行因式分解的步驟是：(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一個十字相乘圖(有兩列)；(2)把常數(shù)項f分解成兩個因式填在第三列上，要求第二、第三列構(gòu)成的十字交叉之積的和等于原式中的ey，第一、第三列構(gòu)成的十字交叉之積的和等于原式中的dx例1 分解因式：(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；(2)x2-y2+5x+3y+4；(3)xy+y2+x-y-2；(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2解 (1)原式=(x-5y+

20、2)(x+2y-1)(2)原式=(x+y+1)(x-y+4)(3)原式中缺x2項，可把這一項的系數(shù)看成0來分解原式=(y+1)(x+y-2)(4)原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)說明 (4)中有三個字母，解法仍與前面的類似2求根法我們把形如anxn+an-1xn-1+a1x+a0(n為非負整數(shù))的代數(shù)式稱為關(guān)于x的一元多項式，并用f(x)，g(x)，等記號表示，如f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，當x=a時，多項式f(x)的值用f(a)表示如對上面的多項式f(x)f(1)=12-31+2=0；f(-2)=(-2)2-3(-2)+2=12若f(a)=0，則稱a為多項式

21、f(x)的一個根定理1(因式定理) 若a是一元多項式f(x)的根，即f(a)=0成立，則多項式f(x)有一個因式x-a根據(jù)因式定理，找出一元多項式f(x)的一次因式的關(guān)鍵是求多項式f(x)的根對于任意多項式f(x)，要求出它的根是沒有一般方法的，然而當多項式f(x)的系數(shù)都是整數(shù)時，即整系數(shù)多項式時，經(jīng)常用下面的定理來判定它是否有有理根定理2的根，則必有p是a0的約數(shù)，q是an的約數(shù)特別地，當a0=1時，整系數(shù)多項式f(x)的整數(shù)根均為an的約數(shù)我們根據(jù)上述定理，用求多項式的根來確定多項式的一次因式，從而對多項式進行因式分解例2 分解因式：x3-4x2+6x-4分析 這是一個整系數(shù)一元多項式，

22、原式若有整數(shù)根，必是-4的約數(shù)，逐個檢驗-4的約數(shù)：1，2，4，只有f(2)=23-422+62-4=0，即x=2是原式的一個根，所以根據(jù)定理1，原式必有因式x-2解法1 用分組分解法，使每組都有因式(x-2)原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x2-2x+2)解法2 用多項式除法，將原式除以(x-2)，所以原式=(x-2)(x2-2x+2)說明 在上述解法中，特別要注意的是多項式的有理根一定是-4的約數(shù)，反之不成立，即-4的約數(shù)不一定是多項式的根因此，必須對-4的約數(shù)逐個代入多項式進行驗證例3 分解因式：9x4-3

23、x3+7x2-3x-2分析 因為9的約數(shù)有1，3，9；-2的約數(shù)有1，為：所以，原式有因式9x2-3x-2解 9x4-3x3+7x2-3x-2=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2=(9x2-3x-2)(x2+1)=(3x+1)(3x-2)(x2+1)說明 若整系數(shù)多項式有分數(shù)根，可將所得出的含有分數(shù)的因式化為整系數(shù)因式，如上題中的因式可以化為9x2-3x-2，這樣可以簡化分解過程總之，對一元高次多項式f(x)，如果能找到一個一次因式(x-a)，那么f(x)就可以分解為(x-a)g(x)，而g(x)是比f(x)低一次的一元多項式，這樣，我們就可以

24、繼續(xù)對g(x)進行分解了3待定系數(shù)法待定系數(shù)法是數(shù)學中的一種重要的解題方法，應用很廣泛，這里介紹它在因式分解中的應用在因式分解時，一些多項式經(jīng)過分析，可以斷定它能分解成某幾個因式，但這幾個因式中的某些系數(shù)尚未確定，這時可以用一些字母來表示待定的系數(shù)由于該多項式等于這幾個因式的乘積，根據(jù)多項式恒等的性質(zhì)，兩邊對應項系數(shù)應該相等，或取多項式中原有字母的幾個特殊值，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程(或方程組)，解出待定字母系數(shù)的值，這種因式分解的方法叫作待定系數(shù)法例4 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3分析 由于(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)，若原式可以分解因式，那么它的兩個一次

25、項一定是x+2y+m和xyn的形式，應用待定系數(shù)法即可求出m和n，使問題得到解決解 設x2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，比較兩邊對應項的系數(shù)，則有解之得m=3，n=1所以原式=(x+2y+3)(x+y+1)說明 本題也可用雙十字相乘法，請同學們自己解一下例5 分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7分析 本題所給的是一元整系數(shù)多項式，根據(jù)前面講過的求根法，若原式有有理根，則只可能是1，7(7的約數(shù))，經(jīng)檢驗，它們都不是原式的根，所以，在有理數(shù)集內(nèi)，原式?jīng)]有一次因式如果原式能分解，只能分解為(x2+

26、ax+b)(x2+cx+d)的形式解 設原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd，所以有由bd=7，先考慮b=1，d=7有所以原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)說明 由于因式分解的唯一性，所以對b=-1，d=-7等可以不加以考慮本題如果b=1，d=7代入方程組后，無法確定a，c的值，就必須將bd=7的其他解代入方程組，直到求出待定系數(shù)為止本題沒有一次因式，因而無法運用求根法分解因式但利用待定系數(shù)法，使我們找到了二次因式由此可見，待定系數(shù)法在因式分解中也有用武之地練習二1用雙十字相乘法分解因式：(1)x2-8xy+15

27、y2+2x-4y-3；(2)x2-xy+2x+y-3；(3)3x2-11xy+6y2-xz-4yz-2z22用求根法分解因式：(1)x3+x2-10x-6；(2)x4+3x3-3x2-12x-4；(3)4x4+4x3-9x2-x+23用待定系數(shù)法分解因式：(1)2x2+3xy-9y2+14x-3y+20；(2)x4+5x3+15x-9第三講 實數(shù)的若干性質(zhì)和應用實數(shù)是高等數(shù)學特別是微積分的重要基礎(chǔ)在初中代數(shù)中沒有系統(tǒng)地介紹實數(shù)理論，是因為它涉及到極限的概念這一概念對中學生而言，有一定難度但是，如果中學數(shù)學里沒有實數(shù)的概念及其簡單的運算知識，中學數(shù)學也將無法繼續(xù)學習下去了例如，即使是一元二次方程

28、，只有有理數(shù)的知識也是遠遠不夠用的因此，適當學習一些有關(guān)實數(shù)的基礎(chǔ)知識，以及運用這些知識解決有關(guān)問題的基本方法，不僅是為高等數(shù)學的學習打基礎(chǔ)，而且也是初等數(shù)學學習所不可缺少的本講主要介紹實數(shù)的一些基本知識及其應用 用于解決許多問題，例如，不難證明：任何兩個有理數(shù)的和、差、積、商還是有理數(shù)，或者說，有理數(shù)對加、減、乘、除(零不能做除數(shù))是封閉的性質(zhì)1 任何一個有理數(shù)都能寫成有限小數(shù)(整數(shù)可以看作小數(shù)點后面為零的小數(shù))或循環(huán)小數(shù)的形式，反之亦然例1分析 要說明一個數(shù)是有理數(shù)，其關(guān)鍵要看它能否寫成兩個整數(shù)比的形式證 設兩邊同乘以100得-得99x=261.54-2.61=258.93，無限不循環(huán)小數(shù)

29、稱為無理數(shù)有理數(shù)對四則運算是封閉的，而無理是說，無理數(shù)對四則運算是不封閉的，但它有如下性質(zhì) 性質(zhì)2 設a為有理數(shù)，b為無理數(shù)，則(1)a+b，a-b是無理數(shù)；有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)，即在實數(shù)集內(nèi)，沒有最小的實數(shù)，也沒有最大的實數(shù)任意兩個實數(shù)，可以比較大小全體實數(shù)和數(shù)軸上的所有點是一一對應的在實數(shù)集內(nèi)進行加、減、乘、除(除數(shù)不為零)運算，其結(jié)果仍是實數(shù)(即實數(shù)對四則運算的封閉性)任一實數(shù)都可以開奇次方，其結(jié)果仍是實數(shù)；只有當被開方數(shù)為非負數(shù)時，才能開偶次方，其結(jié)果仍是實數(shù)例2分析證所以分析 要證明一個實數(shù)為無限不循環(huán)小數(shù)是一件極難辦到的事由于有理數(shù)與無理數(shù)共同組成了實數(shù)集，且二者是矛盾的兩個對

30、立面，所以，判定一個實數(shù)是無理數(shù)時，常常采用反證法證 用反證法所以p一定是偶數(shù)設p=2m(m是自然數(shù))，代入得4m22q2，q22m2，例4 若a1+b1a=a2+b2a(其中a1，a2，b1，b2為有理數(shù)，a為無理數(shù))，則a1=a2，b1=b2，反之，亦成立分析 設法將等式變形，利用有理數(shù)不能等于無理數(shù)來證明證 將原式變形為(b1-b2)a=a2-a1若b1b2，則反之，顯然成立說明 本例的結(jié)論是一個常用的重要運算性質(zhì)是無理數(shù)，并說明理由整理得由例4知aAb，1=A，說明 本例并未給出確定結(jié)論，需要解題者自己發(fā)現(xiàn)正確的結(jié)有理數(shù)作為立足點，以其作為推理的基礎(chǔ)例6 已知a，b是兩個任意有理數(shù)，且

31、ab，求證：a與b之間存在著無窮多個有理數(shù)(即有理數(shù)集具有稠密性)分析 只要構(gòu)造出符合條件的有理數(shù)，題目即可被證明證 因為ab，所以2aa+b2b，所以說明 構(gòu)造具有某種性質(zhì)的一個數(shù)，或一個式子，以達到解題和證明的目的，是經(jīng)常運用的一種數(shù)學建模的思想方法例7 已知a，b是兩個任意有理數(shù)，且ab，問是否存在無理數(shù)，使得ab成立？即由，有存在無理數(shù)，使得ab成立b4+12b3+37b2+6b-20的值分析 因為無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，所以不可能把一個無理數(shù)的小數(shù)部分一位一位確定下來，這樣涉及無理數(shù)小數(shù)部分的計算題，往往是先估計它的整數(shù)部分(這是容易確定的)，然后再尋求其小數(shù)部分的表示方法14=9+

32、6b+b2，所以b2+6b=5b4+12b3+37b2+6b-20=(b4+26b3+36b2)+(b2+6b)-20=(b2+6b)2+(b2+6b)-20=52+5-20=10例9 求滿足條件的自然數(shù)a，x，y解 將原式兩邊平方得由式變形為兩邊平方得例10 設an是12+22+32+n2的個位數(shù)字，n=1，2，3，求證：0.a1a2a3an是有理數(shù)分析 有理數(shù)的另一個定義是循環(huán)小數(shù)，即凡有理數(shù)都是循環(huán)小數(shù)，反之循環(huán)小數(shù)必為有理數(shù)所以，要證0.a1a2a3an是有理數(shù)，只要證它為循環(huán)小數(shù)因此本題我們從尋找它的循環(huán)節(jié)入手證 計算an的前若干個值，尋找規(guī)律：1，5，4，0，5，1，0，4，5，5

33、，6，0，9，5，0，6，5，9，0，0，1，5，4，0，5，1，0，4，發(fā)現(xiàn)：a20=0，a21=a1，a22=a2，a23=a3，于是猜想：ak+20=ak，若此式成立，說明0.a1a2an是由20個數(shù)字組成循環(huán)節(jié)的循環(huán)小數(shù)，即下面證明ak+20=ak令f(n)=12+22+n2，當f(n+20)-f(n)是10的倍數(shù)時，表明f(n+20)與f(n)有相同的個位數(shù)，而f(n+20)-f(n)=(n+1)2+(n+2)2+(n+20)2=10(2n2+42n)+(12+22+202)由前面計算的若干值可知：12+22+202是10的倍數(shù)，故ak+20=ak成立，所以0.a1a2an是一個有理

34、數(shù)練習三1下列各數(shù)中哪些是有理數(shù)，哪些是無理數(shù)？為什么？5設，為有理數(shù)，為無理數(shù)，若+=0，求證：=0第四講 分式的化簡與求值分式的有關(guān)概念和性質(zhì)與分數(shù)相類似，例如，分式的分母的值不能是零，即分式只有在分母不等于零時才有意義；也像分數(shù)一樣，分式的分子與分母都乘以(或除以)同一個不等于零的整式，分式的值不變，這一性質(zhì)是分式運算中通分和約分的理論根據(jù)在分式運算中，主要是通過約分和通分來化簡分式，從而對分式進行求值除此之外，還要根據(jù)分式的具體特征靈活變形，以使問題得到迅速準確的解答本講主要介紹分式的化簡與求值 例1 化簡分式：分析 直接通分計算較繁，先把每個假分式化成整式與真分式之和的形式，再化簡將

35、簡便得多 (2a+1)-(a-3)-(3a+2)+(2a-2) 說明 本題的關(guān)鍵是正確地將假分式寫成整式與真分式之和的形式例2 求分式當a=2時的值分析與解 先化簡再求值直接通分較復雜，注意到平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)，可將分式分步通分，每一步只通分左邊兩項例3 若abc=1，求分析 本題可將分式通分后，再進行化簡求值，但較復雜下面介紹幾種簡單的解法解法1 因為abc=1，所以a，b，c都不為零 解法2 因為abc=1，所以a0，b0，c0例4 化簡分式：分析與解 三個分式一齊通分運算量大，可先將每個分式的分母分解因式，然后再化簡說明互消掉的一對相反數(shù)，這種化簡的方法叫“拆項

36、相消”法，它是分式化簡中常用的技巧例5 化簡計算(式中a，b，c兩兩不相等)：似的，對于這個分式，顯然分母可以分解因式為(a-b)(a-c)，而分子又恰好湊成(a-b)+(a-c)，因此有下面的解法解說明 本例也是采取“拆項相消”法，所不同的是利用例6 已知：x+y+z=3a(a0，且x，y，z不全相等)，求分析 本題字母多，分式復雜若把條件寫成(x-a)+(y-a)+(z-a)=0，那么題目只與x-a，y-a，z-a有關(guān)，為簡化計算，可用換元法求解解 令x-a=u，y-a=v，z-a=w，則分式變?yōu)閡2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=0由于x，y，z不全相等，所以u，v，w不全為零，所

37、以u2+v2+w20，從而有說明 從本例中可以看出，換元法可以減少字母個數(shù)，使運算過程簡化例7 化簡分式：適當變形，化簡分式后再計算求值(x-4)2=3，即x2-8x+130原式分子=(x4-8x3+13x2)+(2x3-16x2+26x)+(x2-8x+13)+10=x2(x2-8x+13)+2x(x2-8x+13)+(x2-8x+13)+10=10，原式分母=(x2-8x+13)+2=2，說明 本例的解法采用的是整體代入的方法，這是代入消元法的一種特殊類型，應用得當會使問題的求解過程大大簡化解法1 利用比例的性質(zhì)解決分式問題(1)若a+b+c0，由等比定理有所以a+b-c=c，a-b+c=

38、b，-a+b+c=a，于是有(2)若a+b+c=0，則a+b=-c，b+c=-a，c+a=-b，于是有 說明 比例有一系列重要的性質(zhì)，在解決分式問題時，靈活巧妙地使用，便于問題的求解解法2 設參數(shù)法令則a+b=(k+1)c，a+c=(k+1)b，b+c=(k+1)a+有2(a+b+c)=(k+1)(a+b+c)，所以 (a+b+c)(k-1)=0，故有k=1或 a+b+c=0當k=1時，當a+b+c=0時，說明 引進一個參數(shù)k表示以連比形式出現(xiàn)的已知條件，可使已知條件便于使用練習四1化簡分式：2計算：3已知：(y-z)2+(z-x)2+(x-y)2=(x+y-2z)2+(y+z-2x)2+(z

39、+x-2y)2，的值第五講 恒等式的證明代數(shù)式的恒等變形是初中代數(shù)的重要內(nèi)容，它涉及的基礎(chǔ)知識較多，主要有整式、分式與根式的基本概念及運算法則，因式分解的知識與技能技巧等等，因此代數(shù)式的恒等變形是學好初中代數(shù)必備的基本功之一本講主要介紹恒等式的證明首先復習一下基本知識，然后進行例題分析 兩個代數(shù)式，如果對于字母在允許范圍內(nèi)的一切取值，它們的值都相等，則稱這兩個代數(shù)式恒等把一個代數(shù)式變換成另一個與它恒等的代數(shù)式叫作代數(shù)式的恒等變形恒等式的證明，就是通過恒等變形證明等號兩邊的代數(shù)式相等證明恒等式，沒有統(tǒng)一的方法，需要根據(jù)具體問題，采用不同的變形技巧，使證明過程盡量簡捷一般可以把恒等式的證明分為兩類

40、：一類是無附加條件的恒等式證明；另一類是有附加條件的恒等式的證明對于后者，同學們要善于利用附加條件，使證明簡化下面結(jié)合例題介紹恒等式證明中的一些常用方法與技巧1由繁到簡和相向趨進恒等式證明最基本的思路是“由繁到簡”(即由等式較繁的一邊向另一邊推導)和“相向趨進”(即將等式兩邊同時轉(zhuǎn)化為同一形式)例1 已知x+y+z=xyz，證明：x(1-y2)(1-z2)+y(1-x2)(1-z2)+z(1-x2)(1-y2)=4xyz分析 將左邊展開，利用條件x+y+z=xyz，將等式左邊化簡成右邊證 因為x+y+z=xyz，所以左邊=x(1-z2-y2-y2z2)+y(1-z2-x2+x2z2)+(1-y

41、2-x2+x2y2) =(x+y+z)-xz2-xy2+xy2z2-yz2+yx2+yx2z2-zy2-zx2+zx2y2=xyz-xy(y+x)-xz(x+z)-yz(y+z)+xyz(xy+yz+zx)=xyz-xy(xyz-z)-xz(xyz-y)-yz(xyz-x)+xyz(xy+yz+zx)=xyz+xyz+xyz+xyz=4xyz=右邊說明 本例的證明思路就是“由繁到簡”例2 已知1989x2=1991y2=1993z2，x0，y0，z0，且證 令1989x2=1991y2=1993z2=k(k0)，則又因為所以所以說明 本例的證明思路是“相向趨進”，在證明方法上，通過設參數(shù)k，使

42、左右兩邊同時變形為同一形式，從而使等式成立2比較法a=b(比商法)這也是證明恒等式的重要思路之一 例3 求證： 分析 用比差法證明左-右=0本例中，這個式子具有如下特征：如果取出它的第一項，把其中的字母輪換，即以b代a，c代b，a代c，則可得出第二項；若對第二項的字母實行上述輪換，則可得出第三項；對第三項的字母實行上述輪換，可得出第一項具有這種特性的式子叫作輪換式利用這種特性，可使輪換式的運算簡化證 因為所以所以說明 本例若采用通分化簡的方法將很繁像這種把一個分式分解成幾個部分分式和的形式，是分式恒等變形中的常用技巧全不為零證明：(1+p)(1+q)(1+r)=(1-p)(1-q)(1-r)同

43、理所以 所以(1+p)(1+q)(1+r)=(1-p)(1-q)(1-r)說明 本例采用的是比商法3分析法與綜合法根據(jù)推理過程的方向不同，恒等式的證明方法又可分為分析法與綜合法分析法是從要求證的結(jié)論出發(fā)，尋求在什么情況下結(jié)論是正確的，這樣一步一步逆向推導，尋求結(jié)論成立的條件，一旦條件成立就可斷言結(jié)論正確，即所謂“執(zhí)果索因”而綜合法正好相反，它是“由因?qū)Ч?，即從已知條件出發(fā)順向推理，得到所求結(jié)論證 要證 a2+b2+c2=(a+b-c)2，只要證a2+b2+c2=a2+b2+c2+2ab-2ac-2bc，只要證 ab=ac+bc，只要證 c(a+b)=ab，只要證這最后的等式正好是題設，而以上

44、推理每一步都可逆，故所求證的等式成立說明 本題采用的方法是典型的分析法例6 已知a4+b4+c4+d4=4abcd，且a，b，c，d都是正數(shù)，求證：a=b=c=d證 由已知可得a4+b4+c4+d4-4abcd=0，(a2-b2)2+(c2-d2)2+2a2b2+2c2d2-4abcd=0，所以(a2-b2)2+(c2-d2)2+2(ab-cd)2=0因為(a2-b2)20，(c2-d2)20，(ab-cd)20，所以a2-b2=c2-d2=ab-cd=0，所以 (a+b)(a-b)=(c+d)(c-d)0又因為a，b，c，d都為正數(shù)，所以a+b0，c+d0，所以ab，c=d所以ab-cd=a

45、2-c2=(a+c)(a-c)=0，所以ac故a=bc=d成立說明 本題采用的方法是綜合法4其他證明方法與技巧求證：8a+9b+5c=0a+b=k(a-b)，b+c=2k(b-c)，(c+a)=3k(c-a)所以6(a+b)=6k(a-b)，3(b+c)=6k(b-c)，2(c+a)=6k(c-a)以上三式相加，得6(a+b)+3(b+c)+2(c+a)=6k(a-b+b-c+c-a)，即 8a+9b+5c=0說明 本題證明中用到了“遇連比設為k”的設參數(shù)法，前面的例2用的也是類似方法這種設參數(shù)法也是恒等式證明中的常用技巧例8 已知a+b+c=0，求證2(a4+b4+c4)(a2+b2+c2)

46、2分析與證明 用比差法，注意利用a+b+c=0的條件左-右=2(a4+b4+c4)-(a2+b2+c2)2=a4+b4+c4-2a2b2-2b2c2-2c2a2=(a2-b2-c2)2-4b2c2=(a2-b2-c2+2bc)(a2-b2-c2-2bc)=a2-(b-c)2a2-(b+c)2=(a-b+c)(a+b-c)(a-b-c)(a+b+c)=0所以等式成立說明 本題證明過程中主要是進行因式分解分析 本題的兩個已知條件中，包含字母a，x，y和z，而在求證的結(jié)論中，卻只包含a，x和z，因此可以從消去y著手，得到如下證法證 由已知說明 本題利用的是“消元”法，它是證明條件等式的常用方法例10

47、 證明：(y+z-2x)3+(z+x-2y)3+(x+y-2z)3=3(y+z-2x)(z+x-2y)(x+y-2z)分析與證明 此題看起來很復雜，但仔細觀察，可以使用換元法令y+z-2x=a，z+x-2y=b，x+y-2z=c，則要證的等式變?yōu)閍3+b3+c3=3abc聯(lián)想到乘法公式：a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)，所以將，相加有a+b+c=y+z-2x+z+x-2y+x+y-2z=0，所以 a3+b3+c3-3abc=0，所以(y+z-2x)3+(z+x-2y)3+(x+y-2z)3=3(y+z-2x)(z+x-2y)(x+y-2z)說明

48、由本例可以看出，換元法也可以在恒等式證明中發(fā)揮效力例11 設x，y，z為互不相等的非零實數(shù)，且求證：x2y2z2=1分析 本題x，y，z具有輪換對稱的特點，我們不妨先看二元的所以x2y2=1三元與二元的結(jié)構(gòu)類似證 由已知有得x2y2z2=1說明 這種欲進先退的解題策略經(jīng)常用于探索解決問題的思路中總之，從上面的例題中可以看出，恒等式證明的關(guān)鍵是代數(shù)式的變形技能同學們要在明確變形目的的基礎(chǔ)上，深刻體會例題中的常用變形技能與方法，這對以后的數(shù)學學習非常重要練習五1已知(c-a)2-4(a-b)(b-c)=0，求證：2b=a+c2證明：(x+y+z)3xyz-(yz+zx+xy)3=xyz(x3+y3+z3