計(jì)數(shù)原理與排列組合課件

1、計(jì)數(shù)原理與排列組合,基 本 原 理,組合,排列,排列數(shù)公式,組合數(shù)公式,應(yīng) 用 問 題,1、知識(shí)結(jié)構(gòu),一。復(fù)習(xí)回顧,2。分類記數(shù)原理，分步記數(shù)原理,3。排列與組合,4。解排列組合問題基本思路,排列組合問題,有序,無序,排列,組合,分類或分步,分類或分步,直接法,直接法,間接法,不易解,不易解,題型2 可重復(fù)元素排列問題,例2】五名學(xué)生報(bào)名參加四項(xiàng)體育比賽，每人限報(bào)一項(xiàng)，報(bào)名方法的種數(shù)為多 少？五名學(xué)生爭奪四項(xiàng)比賽的冠軍(冠軍不并列)，獲得冠軍的可能性有多少種？ 解答：報(bào)名的方法種數(shù)為4444445(種) 獲得冠軍的可能情況有555554(種,方法小節(jié)： 解決“允許重復(fù)排列問題”常用“住店法”，

2、要注意區(qū)分兩類元素：一類元素可以重復(fù)，另一類不能重復(fù)，把不能重復(fù)的元素看作“客”，能重復(fù)的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解,基礎(chǔ)知識(shí)梳理,二、題型與方法,例3】如圖，用5種不同的顏色給圖中A、B、C、D四個(gè)區(qū)域涂色，規(guī)定每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不同，求有多少種不同的涂色方法,題型3 涂色問題,解法一（分步法）如題圖分四個(gè)步驟來完成涂色這件事需分為四步，第一步涂A區(qū)有5種涂法；第二步涂B有4種方法；第三步涂C有3種方法；第四步涂D有3種方法(還可以使用涂A的顏色)，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理共有5433180種涂色方法,2011高考導(dǎo)航,解法二（分類法）：完成涂色的方法分為兩類，第一類：四

3、個(gè)區(qū)域涂四種不同的顏色共有 120種涂法； 第二類：四個(gè)區(qū)域涂三種不同的顏色，由于A、D不相鄰只能是A、D兩區(qū)域顏色一樣，將A、D看做一個(gè)區(qū)域，共 60種涂法 由分類計(jì)數(shù)原理知共有涂法12060180(種,方法總結(jié)： 對涂色問題，有兩種解法，法1是逐區(qū)圖示法，注意不相鄰可同色. 法2根據(jù)用色多少分類法,題型4 排列中的“相鄰”、“不相鄰問題,例4】 a1，a2，a8共八個(gè)元素，分別計(jì)算滿足下列條件的排列數(shù) (1)八個(gè)元素排成一排，且a1，a2，a3，a4四個(gè)元素排在一起； (2)八個(gè)元素排成一排，且a1，a2，a3，a4四個(gè)元素互不相鄰； (3)八個(gè)元素排成一排，且a1，a2，a3，a4四個(gè)元

4、素互不相鄰，并且a5，a6，a7，a8也互不相鄰； (4)排成前后兩排每排四個(gè)元素,解答：(1)（捆綁法）先將a1，a2，a3，a4四個(gè)元素看成一個(gè)元素與a5，a6，a7，a8排列一排，有 種排法，再排a1，a2，a3，a4有 不同排法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理知滿足條件的排列數(shù)為 2 880,2)(插空法）先排a5，a6，a7，a8四個(gè)元素排成一排，有 種排法；再將元素a1，a2，a3，a4插入由a5，a6，a7，a8間隔及兩端的五個(gè)位置中的四個(gè)，有 種排法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理知：滿足條件的排列數(shù)為 2 880,3)先排a5，a6，a7，a8，；共有 種排法；然后排a1，a2，a3，a4排在或中的共有

5、2 種排法；根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理共有 2 1 152種排法 (4)前排有 種排法，后排有 種排法，由分步計(jì)數(shù)原理知共有 8！種排法,方法總結(jié),1）若某些元素必須相鄰，常用捆綁法，即先把這幾個(gè)相鄰元素捆在一起看成一個(gè)元素，再與其他元素全排列，最后再考慮這幾個(gè)相鄰元素的順序,2）若某些元素不相鄰，常用插空法，即先將普通元素全排列，然后再從排就的每兩個(gè)元素之間及兩端選出若干個(gè)空擋插入這些特殊元素,3)前后排問題，直排法,變式4 4個(gè)男同學(xué)，3個(gè)女同學(xué)站成一排 (1)3個(gè)女同學(xué)必須排在一起，有多少種不同的排法？ (2)任何兩個(gè)女同學(xué)彼此不相鄰，有多少種不同的排法？ (3)其中甲、乙兩同學(xué)之間必須恰有3人，

6、有多少種不同的排法？ (4)甲、乙兩人相鄰，但都不與丙相鄰，有多少種不同的排法？ (5)女同學(xué)從左到右按高矮順序排，有多少種不同的排法？(3個(gè)女生身高互不相等,解答：(1)3個(gè)女同學(xué)是特殊元素，我們先把她們排好，共有 種排法；由于3個(gè)女同學(xué)必須排在一起，我們可視排好的女同學(xué)為一整體，再與男同學(xué)排隊(duì)，這時(shí)是5個(gè)元素的全排列，應(yīng)有 種排法，由分步計(jì)數(shù)的原理,有 720種不同排法 (2)先將男生排好，共有 種排法，再在這4個(gè)男生的中間及兩頭的5個(gè)空檔中插入3個(gè)女生有 種方案，故符合條件的排法共有 1 440種不同排法,3)甲、乙2人先排好，有 種排法，再從余下5人中選3人排在甲、乙2人中間，有 種排法，這時(shí)把已排好的5人視為一整體，與最后剩下的2人再排，又有 種排法，這樣總共有 720種不同排法,4)先排甲、乙和丙3人以外的其他4人，有 種排法；由于甲、乙要相鄰，故再把甲、乙排好，有 種排法；最后把甲、乙排好的這個(gè)整體與丙分別插入原先排好的4人的