模糊聚類分析【特制教育】

1、一、模糊集及模糊關(guān)系,1,古柏文書,1、模糊問題的提出,在自然科學(xué)或社會科學(xué)研究中,存在著許多定義不很嚴(yán)格或者說具有模糊性的概念。這里所謂的模糊性，主要是指客觀事物的差異在中間過渡中的不分明性，如某一生態(tài)條件對某種害蟲、某種作物的存活或適應(yīng)性可以評價為“有利、比較有利、不那么有利、不利”；災(zāi)害性霜凍氣候?qū)r(nóng)業(yè)產(chǎn)量的影響程度為“較重、嚴(yán)重、很嚴(yán)重”，等等。這些通常是本來就屬于模糊的概念，為處理分析這些“模糊”概念的數(shù)據(jù)，便產(chǎn)生了模糊集合論,2,古柏文書,根據(jù)集合論的要求，一個對象對應(yīng)于一個集合，要么屬于，要么不屬于，二者必居其一，且僅居其一。這樣的集合論本身并無法處理具體的模糊概念。為處理這些模

2、糊概念而進(jìn)行的種種努力，催生了模糊數(shù)學(xué)。模糊數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)是模糊集。模糊集的理論是1965年美國自動控制專家查德(L. A. Zadeh)教授首先提出來的，近10多年來發(fā)展很快。 模糊集合論的提出雖然較晚，但目前在各個領(lǐng)域的應(yīng)用十分廣泛,3,古柏文書,2、模糊集的概念,對于一個普通的集合A，空間中任一元素x，要么xA，要么xA，二者必居其一。這一特征可用一個函數(shù)表示為： A(x)即為集合A的特征函數(shù)。將特征函數(shù)推廣到模糊集，在普通集合中只取0、1兩值推廣到模糊集中為0, 1區(qū)間,4,古柏文書,5,古柏文書,簡單地可表達(dá)為： 設(shè)U是論域，稱映射 A(x)：U0,1 確定了一個U上的模糊子集A，映

3、射A(x)稱為A的隸屬函數(shù)，它表示x對A的隸屬程度. 使A(x) = 0.5的點x稱為A的過渡點，此點最具模糊性. 當(dāng)映射A(x)只取0或1時，模糊子集A就是經(jīng)典子集，而A(x)就是它的特征函數(shù). 可見經(jīng)典子集就是模糊子集的特殊情形,6,古柏文書,例：設(shè)論域U = x1 (140), x2 (150), x3 (160), x4 (170), x5 (180), x6 (190)(單位：cm)表示人的身高，那么U上的一個模糊集“高個子”(A)的隸屬函數(shù)A(x)可定義為,7,古柏文書,也可用Zadeh表示法,上式表示一個有n個元素的模糊子集?！?”叫做查德記號，不是求和,8,古柏文書,模糊集的運

4、算,9,古柏文書,也可以表示為,相等：A = B A(x) = B(x)； 包含：AB A(x)B(x)； 并：AB的隸屬函數(shù)為 (AB)(x)=A(x)B(x)； 交：AB的隸屬函數(shù)為 (AB)(x)=A(x)B(x)； 余：Ac的隸屬函數(shù)為 Ac (x) = 1- A(x,10,古柏文書,模糊集的并、交、余運算性質(zhì),冪等律：AA = A， AA = A； 交換律：AB = BA，AB = BA； 結(jié)合律：(AB)C = A(BC)， (AB)C = A(BC) ； 吸收律：A(AB) = A，A( AB)= A； 分配律：(AB)C = (AC)(BC)； (AB)C = (AC)(BC)

5、； 0-1律： AU = U，AU = A； A = A，A = ； 還原律： (Ac)c = A,11,古柏文書,對偶律：(AB)c = AcBc， (AB)c = AcBc,對偶律的證明：對于任意的 xU (論域)， (AB)c(x) = 1 - (AB)(x) = 1 - (A(x)B(x) = (1 - A(x)(1 - B(x) = Ac(x)Bc(x) = AcBc (x,模糊集的運算性質(zhì)基本上與經(jīng)典集合一致，除了排中律以外，即 AAc U， AAc . 模糊集不再具有“非此即彼”的特點，這正是模糊性帶來的本質(zhì)特征,12,古柏文書,例：設(shè)論域U = x1, x2, x3, x4,

6、x5(商品集)，在U上定義兩個模糊集： A =“商品質(zhì)量好”， B =“商品質(zhì)量壞”，并設(shè),A = (0.8, 0.55, 0, 0.3, 1). B = (0.1, 0.21, 0.86, 0.6, 0,則Ac=“商品質(zhì)量不好”, Bc=“商品質(zhì)量不壞,Ac= (0.2, 0.45, 1, 0.7, 0). Bc= (0.9, 0.79, 0.14, 0.4, 1,可見Ac B, Bc A,又 AAc = (0.8, 0.55, 1, 0.7, 1) U, AAc = (0.2, 0.45, 0, 0.3, 0),13,古柏文書,3、截集,定義2 若A為X上的任一模糊集，對任意0 1，記A=

7、xxX, A(x),稱A為A的截集。 (A) = A= x | A(x) A是普通集合而不是模糊集。由于模糊集的邊界是模糊的, 如果要把模糊概念轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，需要選取不同的置信水平 (0 1) 來確定其隸屬關(guān)系。截集就是將模糊集轉(zhuǎn)化為普通集的方法。模糊集A 是一個具有游移邊界的集合，它隨值的變小而增大，即當(dāng)1 2時，有A1A2,14,古柏文書,模糊集的-截集A是一個經(jīng)典集合，由隸屬度不小于的成員構(gòu)成. 例：論域U=u1, u2, u3, u4 , u5 , u6(學(xué)生集)，他們的成績依次為50,60,70,80,90,95，A=“學(xué)習(xí)成績好的學(xué)生”的隸屬度分別為0.5,0.6,0.7,0.8

8、, 0.9,0.95，則,A0.9 (90分以上者) = u5 , u6, A0.6 (60分以上者) = u2, u3, u4 , u5 , u6,15,古柏文書,16,古柏文書,17,古柏文書,定理：設(shè)A, B(U ) (A, B是論域U 的兩個模糊子集)，,0,1，于是有-截集的性質(zhì),1) AB AB； (2) A A； (3) (AB)= AB，(AB)= AB,18,古柏文書,4、隸屬函數(shù)的確定,1. 模糊統(tǒng)計方法,與概率統(tǒng)計類似，但有區(qū)別：若把概率統(tǒng)計比喻為“變動的點”是否落在“不動的圈”內(nèi)，則把模糊統(tǒng)計比喻為“變動的圈”是否蓋住“不動的點,2. 指派方法,一種主觀方法，一般給出隸

9、屬函數(shù)的解析表達(dá)式,3. 借用已有的“客觀”尺度,19,古柏文書,20,古柏文書,5、模糊關(guān)系與模糊矩陣,1）模糊關(guān)系的定義 定義3.5 設(shè)X、Y是兩個非空集合，則直積 XY=(x, y)|x X， y Y 為論域中的一個模糊子集R, 稱為從集合X到Y(jié)的一個模糊關(guān)系，也稱二元模糊關(guān)系。R由其隸屬函數(shù) R ： X Y 0,1 刻畫。R (x, y)表明(x, y)具有關(guān)系R的程度。 當(dāng) X=Y時，稱R為X上的模糊集合;當(dāng)論域為n個集合的直積X1 X2 Xn 時,則稱R為n元模糊關(guān)系,21,古柏文書,2）模糊關(guān)系的合成 定義： 設(shè)U、V、W是論域，Q是U到V的一個模糊關(guān)系，R是V到W的一個模糊關(guān)系

10、，則Q對R的合成Q R指的是U到W的一個模糊關(guān)系，它具有隸屬函數(shù),3）模糊關(guān)系的運算 模糊關(guān)系是一類特殊的模糊集，同模糊集合一樣有交、并、補、包含、相等等運算。法則相似,22,古柏文書,4）模糊關(guān)系的性質(zhì) 設(shè)R,R1,R2F(UV),且t T，Rt F(UV),則,23,古柏文書,5）模糊矩陣的定義 定義：設(shè)A=u1,u2, ,un, B= =v1,v2, ,vm及R F(AB),將序偶(ui ,vj)的隸屬度R(ui ,vj) 0,1記作rij，稱矩陣R=(rij)nm 為模糊矩陣,24,古柏文書,6）模糊矩陣的運算 設(shè)R和S均為nm階模糊矩陣，則其并運算為對應(yīng)元素求大；交運算為對應(yīng)元素求小

11、；補運算為1減每個元素,7）模糊矩陣的截矩陣 R= (rij)mn ，對任意0,1,記R= (rij)mn ，其中,則稱R為R的截矩陣,25,古柏文書,8）模糊矩陣的合成 定義：設(shè)Q= (qij)nm ,R= (rjk)ml 為模糊矩陣,合成矩陣S= (sik)nl , S=QR,26,古柏文書,9）模糊矩陣的性質(zhì),恒等律, 交換律,分配律, 結(jié)合律, 吸收律, 復(fù)原律,對偶律, 同一律和模糊集合的性質(zhì)一樣。另外有,對模糊矩陣，互補律不成立,27,古柏文書,28,古柏文書,例1：模糊矩陣的合成,10）模糊關(guān)系和模糊矩陣的合成例子,29,古柏文書,例2：某家中，子女與父母的長像相似關(guān)系R是模糊關(guān)

12、系,可看作A=子，女、B=父，母,模糊關(guān)系可表示為,模糊矩陣R,該家中父母與祖父母（C=祖父，祖母）的相似關(guān)系也是模糊關(guān)系,模糊矩陣S,孫子、孫女與祖父母的相似程度,RS,此模糊關(guān)系表明：孫子與祖父、祖母的相似程度為0.2、0.2;孫女與祖父、祖母的相似程度為0.5、0.6,30,古柏文書,二、模糊聚類分析方法,31,古柏文書,模糊聚類分析方法,分類伴隨著模糊性，將模糊數(shù)學(xué)中的有關(guān)概念與方法引進(jìn)聚類分析，通過建立模糊相似關(guān)系，進(jìn)而對客觀事物進(jìn)行分類。 （1）原始數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化方法 要構(gòu)造模糊關(guān)系矩陣，必須對樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，使樣本數(shù)據(jù)壓縮到0，1閉區(qū)間內(nèi),32,古柏文書,這樣就可以將原始數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)

13、化值為,例如，可以先求出n個樣本的第j個指標(biāo)的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差,33,古柏文書,2）標(biāo)定 各分類對象之間相似性統(tǒng)計量rij的計算，可以采用夾角余弦法和相似系數(shù)法。如,這里rij表示兩個樣本之間相似程度的變量，當(dāng)rij接近于1，表明這兩個樣本越接近,34,古柏文書,下面是相關(guān)系數(shù)法確定的rij,35,古柏文書,3）聚類 通過上述標(biāo)定，得到模糊相似矩陣，反映了樣本間的相似關(guān)系，但它只具有自反性和對稱性，不具有傳遞性，此時，可以通過平方法得到的傳遞閉包，也就是論域上的一個模糊等價矩陣，選擇不同的值，得到不同的水平截集，得到動態(tài)聚類結(jié)果，生成動態(tài)聚類樹,36,古柏文書,因此，為了聚類，我們必須采用,37

14、,古柏文書,這樣下去，就必然會存在一個自然數(shù)K，使得,38,古柏文書,示例,顯然，對于上述所描述的九個農(nóng)業(yè)區(qū)域，用夾角余弦公式計算所得的相似系數(shù)矩陣,39,古柏文書,就是這九個農(nóng)業(yè)區(qū)域所構(gòu)成的分類對象集合上的一個模糊相似關(guān)系，經(jīng)過自乘計算后可以驗證：R=R4R4=R4,40,古柏文書,這樣就可以在不同的截集水平下進(jìn)行聚類了,1)取=1，得,各自成為一類,41,古柏文書,2)取=0.99，得,G6，G7歸并為一類，而G1，G2，G3，G4，G8，G9各自成為一類,42,古柏文書,行與第3行和其它各行均不相同，故G2與G8聚為一類，G4與G9聚為一類，G5、G6、G7聚為一類，而G1和G3各自成為

15、一類,3)取=0.95，得,43,古柏文書,和其它各行均不相同，故G2、G4、G8、G9聚為一類，G5、G6、G7聚為一類，G1和G3各自聚為一類,4)取=0.94，得,44,古柏文書,其它各行均不相同，故G1、G2、G4、G8、G9聚為一類，G5、G6、G7聚為一類，G3各自成為一類,5)取=0.93，得,45,古柏文書,G4、G8、G9聚為一類，G3、G5、G6、G7聚為一類,6)取=0.80，得,46,古柏文書,7)取=0.67，得,G9均聚為一類,47,古柏文書,三、模糊綜合評判方法,48,古柏文書,模糊綜合評判方法,模糊綜合評判方法，是一種運用模糊數(shù)學(xué)原理分析和評價具有“模糊性”的事

16、物的系統(tǒng)分析方法。它是一種以模糊推理為主的定性與定量相結(jié)合、精確與非精確相統(tǒng)一的分析評價方法。由于這種方法在處理各種難以用精確數(shù)學(xué)方法描述的復(fù)雜系統(tǒng)問題方面所表現(xiàn)出的獨特的優(yōu)越性，近年來已在許多學(xué)科領(lǐng)域中得到了十分廣泛的應(yīng)用,49,古柏文書,單層次模糊評判,1、確定評判系統(tǒng)指標(biāo)集和指標(biāo)權(quán)重集,50,古柏文書,單層次模糊評判,2、確定評判指標(biāo)評價等級（備擇集,51,古柏文書,單層次模糊評判,3、確定單因素評判矩陣,rij表示第i個指標(biāo)對第j個備擇類的隸屬度大小,52,古柏文書,單層次模糊評判,53,古柏文書,單層次模糊評判,54,古柏文書,單層次模糊評判,4、評判,5、評價結(jié)果處理 maxdi對

17、應(yīng)為評判等級 計算得分f=90d1+80d2+703+60d4,55,古柏文書,多層次模糊評判,在復(fù)雜大系統(tǒng)中，需要考慮的因素往往是很多的，而且因素之間還存在著不同的層次。這時，應(yīng)用單層次模糊綜合評判模型就很難得出正確的評判結(jié)果。所以，在這種情況下，就需要將評判因素集合按照某種屬性分成幾類，先對每一類進(jìn)行綜合評判，然后再對各類評判結(jié)果進(jìn)行類之間的高層次綜合評判。這樣，就產(chǎn)生了多層次模糊綜合評判問題,56,古柏文書,多層次模糊評判,1、確定評判系統(tǒng)指標(biāo)集和指標(biāo)權(quán)重集,指標(biāo)類,各類指標(biāo),指標(biāo)類權(quán)重,子指標(biāo)權(quán)重,57,古柏文書,多層次模糊評判,2、確定類指標(biāo)和子指標(biāo)評價等級（備擇集,58,古柏文書,

18、多層次模糊評判,3、 確定各類因素評判矩陣R1，R2，Rn,59,古柏文書,多層次模糊評判,4、各類評價,60,古柏文書,多層次模糊評判,5、形成按類評價矩陣R,61,古柏文書,多層次模糊評判,6、總評價,7、評價結(jié)果處理 maxdi對應(yīng)為評判等級 計算得分f=90d1+80d2+703+60d4,62,古柏文書,例1,農(nóng)業(yè)生態(tài)經(jīng)濟系統(tǒng)，是一類多要素的復(fù)雜系統(tǒng)，其內(nèi)部諸要素之間的相互作用關(guān)系及各要素對系統(tǒng)功能的影響程度在量上是難以精確衡量的，即系統(tǒng)具有“模糊性”特征；其次，農(nóng)業(yè)生態(tài)經(jīng)濟系統(tǒng)也還是一個包含著若干不同生產(chǎn)層次(或若干子系統(tǒng))的復(fù)合系統(tǒng)，其系統(tǒng)功能從整體上來說是一種綜合功能，具有“多

19、屬性”特點。因此，農(nóng)業(yè)生態(tài)經(jīng)濟系統(tǒng)功能評價是一種多屬性或多準(zhǔn)則評價問題。這就要求評價者必須根據(jù)評價問題的性質(zhì)、目標(biāo)、要求等選擇適宜的評價模型和方法。在這方面，模糊綜合評判模型為我們提供了一種有效的方法,63,古柏文書,農(nóng)業(yè)生態(tài)經(jīng)濟系統(tǒng)功能，是一種綜合性功能，它主要由經(jīng)濟效益、生態(tài)效益和社會效益三個方面來反映。所以，對農(nóng)業(yè)生態(tài)經(jīng)濟系統(tǒng)功能的考察及評價，必須立足于這三個基本方面。而這三個方面的效益又是由不同的要素來體現(xiàn)的，每一種要素都有表征其屬性特征的指標(biāo)。這些要素指標(biāo)的組合就構(gòu)成了農(nóng)業(yè)生態(tài)經(jīng)濟系統(tǒng)功能綜合評價的指標(biāo)體系,64,古柏文書,評價要素集合為：U=u1，u2，u3 其中，各單要素子集ui=(i=1，2，3)分別為： U1=u11，u12，u13，u14，u15 U2=u21，u22，u23，u24，u25 U3=u31，u32，u33，u34，u35,65,古柏文書,評語集