反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)

1、17.4.2反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì),1,1. 反比例函數(shù)的定義,3. 反比例函數(shù)的確定,4.它的三種常見的表達形式,2. 反比例函數(shù)的特征,k 0， x 0. x是1次,待定系數(shù)法,xy = k（k 0,y=kx-1（k0,復習回顧,引入新課,2,5、請回憶：正比例函數(shù)的圖象和性質(zhì),3,作函數(shù)圖象的一般步驟,知識回顧（二,描點法,列 表,描 點,連 線,4,反比例函數(shù) 的圖象,1、列表,2、描點,3、連線,0.5,1,2,4,4,2,1,0.5,請你另外取一個正整數(shù)k的值，作出其反比例函數(shù)圖象,圖象會和坐標軸相交嗎,通過對k取不同的正值，作出了反比例函數(shù)的圖象，你發(fā)現(xiàn)了反比例函數(shù)的圖象是什么?

2、分別在哪個象限內(nèi),思考,4 -2 -1 -0.50.5 1 24,注意喲：圖象不會與x軸、y軸相交,5,從畫反比例函數(shù)圖象看,描點法還應注意什么,反比例函數(shù)圖象畫法步驟,列 表,描 點,連 線,描點法,注意：列 x與y的對應值表時，x的值不能為零，但仍可以零的基礎，左右 均勻、對稱地取值,注意：描點時自左住右用光滑曲線順次連結(jié)，切忌用折線,注意： 兩個分支合起來才是反比例函數(shù)圖象,6,圖象不是直線，是兩支曲線，分別在一、三象限內(nèi),7,合作交流,探究新知,8,1,2,3,4,5,6,1,3,2,4,5,6,1,2,3,4,1,2,3,4,0,6,5,5,6,y,x,1,2,3,4,5,6,1,3

3、,2,4,5,6,1,2,3,4,1,2,3,4,0,6,5,5,6,x,y,有兩條曲線共同組成一個反比例函數(shù)的圖像，叫雙曲線,1,6,2,3,3,2,4,1.5,5,1.2,6,1,6,1,6,2,3,3,1.5,2,4,5,1.2,6,1,6,6,3,3,2,2,1.5,1.5,1.2,1.2,1,1,9,反比例函數(shù)圖像的兩個分支關于原點對稱，反比例函數(shù)的圖像(2個分支作為一個整體)是一個中心對稱圖形,10,列表(在自變量取值范圍內(nèi)取一些值,并計算相應的函數(shù)值,連線,描點,11,1,2,3,4,12,13,14,15,5,4,16,2. 反比例函數(shù) 的圖象在哪兩個象限？由什么確定,3. 反

4、比例函數(shù) ，具有怎樣的對稱性,4. 反比例函數(shù) 的圖象的變化趨勢是怎樣的,它和兩條坐標軸的位置關系是怎樣的,1. 反比例函數(shù) 和 的圖象在哪兩個象限？它們相同嗎,議一議,17,關系,在同一直角坐標系下，反比例函數(shù)y=6/x于y=-6/x的圖像關于x軸對稱，也關于y軸對稱,18,1,2,3,4,5,6,1,3,2,4,5,6,1,2,3,4,1,2,3,4,0,6,5,5,6,y,x,1,2,3,4,5,6,1,3,2,4,5,6,1,2,3,4,1,2,3,4,0,6,5,5,6,x,y,發(fā)現(xiàn)函數(shù)值y怎樣隨著自變量x的變化而變化,a,b,如圖xb xa,但yb ya,d,c,xa,xb,1、在

5、每一個象限內(nèi),2、在整個自變量的取值范圍內(nèi),在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小, 第一象限內(nèi)的 y 值總大于第三象限內(nèi)的 y 值,在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大, 第二象限內(nèi)的 y 值總大于第四象限內(nèi)的 y 值,19,反比例函數(shù)的性質(zhì),1.當k0時,同一象限內(nèi)函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小,2.當k0時,同一象限內(nèi)，函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大,20,當 時，在 內(nèi)， 隨的增大而,觀察反比例函數(shù) 的圖象,說出y與x之間的變化關系,a,b,c,d,a,b,c,d,減少,每個象限,當 時，在 內(nèi)， 隨的增大而,增大,每個象限,21,k0,k0,1.函數(shù)圖象的兩個分支 分別在第一、三象限,圖 象,

6、性質(zhì),y,反比例函數(shù)圖象性質(zhì),2.在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小,并且第一象限內(nèi)的 y 值總大于第三象限內(nèi)的 y 值,1.函數(shù)圖象的兩個分支 分別在第二、四象限,2.在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大,并且第二象限內(nèi)的 y 值總大于第四象限內(nèi)的 y 值,3.反比例函數(shù)自身都是中心對稱圖形,對稱中心是坐 標原點,2.反比例函數(shù)圖象無限向 x，y 軸逼近，但總不相交,1.反比例函數(shù)的圖象是雙曲線,22,d,活學活用,23,反比例函數(shù) 的圖象上有兩點a(x1,y1),b(x2,y2),且 x1x2 則y1y2的值是（ ） a 正數(shù) b負數(shù) c非正數(shù) d不能確定,本題要注意a,b是否在同一象限內(nèi),若a

7、,b在不同的象限則可能有多種情況出現(xiàn),d,數(shù)學題目形式靈活多變，大家要善于思考,24,下列函數(shù)中y隨x的增大而減小的是（ ） a,b,c,d,c,25,1.已知點a(-2,y1),b(-1,y2) 都在反比例函數(shù) 的圖象上,則y1與y2的大小關系(從大到小)為,y1 y2,當k0時: 在每一個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小,26,1.已知點a(-2,y1),b(-1,y2) 都在反比例函數(shù) 的圖象上,則y1與y2的大小關系(從大到小)為,y2 y1,當k0時: 在每一個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大,27,1.已知點a(-2,y1),b(-1,y2) 都在反比例函數(shù) 的圖象上,則y1與y2的大小關系(

8、從大到小)為,a(x1,y1),b(x2,y2)且x10 x2,y1 0y2,28,1.已知點a(-2,y1),b(-1,y2) 都在反比例函數(shù) 的圖象上,則y1、y2與y3的大小關系(從大到小)為,a(-2,y1),b(-1,y2),c(4,y3,y3 y1y2,29,1.下列函數(shù)中，其圖象位于第一、三象限的有_; 在其所在的每一個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大的有_,2.(1)已知點a(-2,y1),b(-1,y2),c(3,y3)都在反比例函數(shù) 的圖象上，比較y1、 y2 、y3的大小關系,解：k=40 圖象在第一、三象限內(nèi)，每一象限內(nèi)y隨x的增大而減小 x10, 點a(-2,y1)，點b(

9、-1,y2)在第三象限點c(3,y3)在第一象限。 y30, y2 y10 即y2 y1 0 y3,1）（2）（3,4,30,2、 已知點（-2，y1)（-1，y2）（3，y3）在y=4/x的圖象上，比較y1，y2，y3，的大小. 方法1： x分別取2、1、-2，-1，代入函數(shù)式中，求 出y1，y2和y3 方法2： 作函數(shù)圖象，將3個點標在曲線上，觀察 方法3： 利用性質(zhì)進行分析和判斷,變式訓練：已知y = k/x(k 0)上三個點 (a1，y1),(a2，y2)，（a3，y3）,若a1 a20 a3, 比較y1，y2，y3的大小,31,4）反比例函數(shù) 的圖象上有兩點a(x1,y1),b(x2

10、,y2),且 x1x2 則y1y2的值是（ ） a 正數(shù) b負數(shù) c非正數(shù) d不能確定,本題要注意a,b是否在同一象限內(nèi),若a,b在不同的象限則可能有多種情況出現(xiàn),d,數(shù)學題目形式靈活多變，大家要善于思考,32,例2 已知反比例函數(shù),上有兩點（-2，y1）（-1，y2,則y1，y2的大小關系是_,練習2、 已知反比例函數(shù),上有兩點（-2，y1）（-1，y2,則y1，y2的大小關系是_,練習3、 已知反比例函數(shù),上有三點（-2，y1）（-1，y2,1，y3）則y1，y2，y3的大小關系是_,33,4.在函數(shù) （a為常數(shù)）的圖象上有三點 ，函數(shù)值的 大小關系是 （ ） （a）y2y3y1 （b）y

11、3y2y1 （c）y1y3y2 （d）y3y1y2,d,p3,p1,p2,34,1用“”或“”填空： （1）已知和是反比例函數(shù)的兩對自變 量與函數(shù)的對應值若，則 （2）已知和是反比例函數(shù) 的兩對自變 量與函數(shù)的對應值若，則,35,2已知（ ），（ ），（ ）是反比例函數(shù) 的圖象上的三個點，并且，則 的大小關系是（） （a） （b） （c） （d,3已知（ ），（ ），（ ）是反比例函數(shù) 的圖象上的三個點，則 的大小關系是,4已知反比例函數(shù) （1）當x5時，0y 1； （2）當x5時，則y 1, （3）當y5時，x,c,或y 0,0 x1,36,若點（-2，y1）、（-1，y2）、（2，y3）在

12、 反比例函數(shù) 的圖象上，則（,a、y1y2y3 b、y2y1y3 c、y3y1y2 d、y3y2y1,b,37,c,2、在反比例函數(shù) 的圖像上有兩點 a(x1, y1)、b(x2, y2), 當x10 c. m,c,提示： 利用圖像比較大小簡單明了,38,1、函數(shù) 的圖象在第_象限, 在每一象限內(nèi)，y 隨x 的增大而_. 2、 函數(shù) 的圖象在第_象限, 在每一象限內(nèi)，y 隨x 的增大而_. 3、函數(shù) ,當x0時,圖象在第_象限, y隨x 的增大而_,一、三,二、四,一,減小,增大,減小,39,4.函數(shù) 的圖象在第_象限， 5. 雙曲線 經(jīng)過點（-3，_,二,四,6.函數(shù) 的圖象在二、四象限，則

13、m的取值范圍是 _ . 7.對于函數(shù) ，當 x0時，圖象在第 _象限,m 2,三,40,五、大顯身手： 1、已知反比例函數(shù) （k0）的圖象經(jīng)過點 p（-1，2），則這個函數(shù)的圖象位于（ ）。 a、第二、三象限 b、第一、三象限 c、第三、四象限d、第二、四象限 2、已知反比例函數(shù) ，下列結(jié)論不正確 的是（ ）。 a、 圖象經(jīng)過點（1,1） b、圖象在第一、三象限 c、當x1時，0y1 d、當x0時， y隨x的增大而增大,d,d,41,例1:已知反比例函數(shù)y= (k0）的圖象的一支如圖。 （1）判斷k是正數(shù)還是負數(shù)； （2）求這個反比例函數(shù)的解析式,y,x,0,4，2,3）補畫這個反比例函數(shù)圖象

14、的另一支,x,0,4，2,y,例題解析,圖像的分支在第二象限，所以k 0,把(-4,2)代入y= 中，得到 k=-8 所以反比例函數(shù)的解析式； y=,42,正、反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)的比較,直線,雙曲線,k0，一、三象限,k0，二、四象限,k0，y隨x的增大而增大,k0，一、三象限,k0，二、四象限,k0，y隨x的增大而減小,k0，在每個象限y隨x的增大而減小,k0，在每個象限y隨x的增大而增大,圖象,位置,43,4.反比例函數(shù) ,在每一象限內(nèi)，y 隨 x 的增大而減小，則m=_,2.反比例函數(shù) 的圖象經(jīng)過點(2,-3), 則它必經(jīng)過點(-1,_,1.反比例函數(shù) 經(jīng)過點(m,2),則m的值_,

15、性質(zhì)應用,3.對于函數(shù) ,當x0時，圖象在第_象限, y隨x的值增大而_,當x0時圖象在第_象限, y隨x的值增大而_,四,二,增大,增大,3,2,6,44,已知反比例函數(shù) ,y隨x的增大而減小，求a的值和表達式,補充練習,45,5.下列函數(shù)中y隨x的值增大而減小的有( ) a.y=3x b.y=3/x c.y=-3/x d.y=-3x 6.y=3/x,當x0時圖象在第_象限, y隨x的值增大而_,當x0時圖象在第_象限, y隨x的值增大而_,7.下列函數(shù)中y隨x的值增大而增大的有( ) a.y=-2x+1 b.y=3/x c.y=-3/x(x0) d.y=-2x,d,一,三,減小,減小,c,

16、x的正負確定反比例函數(shù)的象限 k的正負決定反比例函數(shù)的增減性,46,例1、已知反比例函數(shù) 的圖象經(jīng)過點a（1，4,1 ）求此反比例函數(shù) 的解析式； 畫出圖像； 并判斷點b（-4，-1）是否在此函數(shù)圖像上,2）根據(jù)圖像得， 若y 4, 則x的取值范圍- 若x 1，則y的取值范圍,3）若點（x1，y1), （x2，y2), （x3，y3),均在此函數(shù)圖像上，且x1 0 x2 x3請比較y1、y2、y3的大小,47,4 ）若過a點作apx軸于點p，求三角形aop的面積,48,小明在學完反比例函數(shù)性質(zhì)后做課外練習時又遇到了它百思不得其解的題目，你能幫他解決嗎,p,f,e,已知p（2， ）為反比例函數(shù)

17、圖象上第一象限的點，過p分別作x軸、y軸的平行線pe、pf,與坐標軸圍成的矩形peof的面積為多少,分析：解這道題關鍵要弄清長、寬,解：依題意得 pe=2 , pf,s矩形peof =pepf=2 1,b,結(jié)果一樣，注意點在第三象限,求解的過程中要長寬加絕對值,若點b（3， ）點c ( 4， )同樣方法構(gòu)造矩形，結(jié)果會怎樣嗎,c,49,如果題目再變化一下，大家思考一下又該怎樣解,已知點 p 為反比例函數(shù) 上的點，過p分別作x軸、y軸的平行線pe、pf,與坐標軸圍成的矩形peof的面積為多少,分析：要解這題，關鍵表達出長、寬即要求pe、pf,你能從本題得到什么啟發(fā)嗎,無論點在圖象上的何位置所圍成

18、的矩形面積都是定值,50,探究與發(fā)現(xiàn),面積性質(zhì)（一,51,5）若d、e、f是此反比例函數(shù)在第三象限圖像上的三個點，過d、e、f分別作x軸的垂線，垂足分別為m，n、k，連接od、oe、of，設 odm、oen、 ofk 的面積分別為s1、s2、s3，則下列結(jié)論成立的是 (,a s1s2 s3 b s1s2 s3 c s1 s3 s3 d s1=s2=s3,52,53,想一想,若將此題改為過p點作y軸的垂線段,其結(jié)論成立嗎,54,解:由性質(zhì)(1)得,a,55,a. s1s2 bs1s2 cs1=s2 ds1與s2的大小關系 不能確定,c,如圖，a、c是函數(shù) 的圖象上的任意兩點，過a作x軸的垂線，垂

19、足為b，過c作y軸的垂線，垂足為d，記rtaob的面積為s1，rtcod的面積為s2,則（,s1,s2,4,56,任意一組變量的乘積是一個定值,即xy=k,長方形面積 三角形的面積,面積不變性,m n k,m,n,m,n,過反比例函數(shù)圖象上任意一點向x軸,y軸作垂線,與坐標軸圍成的矩形面積等于|k|,若與原點相連,所構(gòu)成的直角三角形的面積等于|k|/2,57,2,58,3.已知,點p是反比例函數(shù) 圖象上的一點,作p a x軸 于a,若 直角三角形aop的面積是3，則這個反比例函數(shù)的解析式為（,a,b,c,d,或,或,c,59,4、如圖：四邊形oabc是邊長為1的正方形，反比例函數(shù) 的函數(shù)圖象過

20、點b，則k的值為（,y,x,o,a,b,c,1,60,感悟中考： 5、（04南昌）如圖：點p是 反比例函數(shù)y= - 上的一點， pdx軸于點d，則pod的 面積為 6、（06山西）在平面直角坐標系內(nèi)，從反比例函數(shù)y= 的圖象上一點分別作x、y軸的垂線段，與x、y軸所圍成的矩形的 面積是12，則該函數(shù)解析式是,x,2,1,x,k,y= 或y,61,7、圖中兩個三角形的面 積各是_,8、sabc的面積=_,62,63,2,1、(2006年重慶市)如圖所示.如果函數(shù)y=-kx(k0) 與 圖像交于a、b兩點，過點a作ac垂直于y軸，垂足為點c，則boc的面積為,s boc =s aoc,saoc =

21、 -4 = 2,拓展,64,2、四邊形abcd的面積=_,2,65,b,66,如圖，在直角坐標系中，一次函數(shù)y=k1x+b的圖像 與反比例函數(shù) 的圖像交于a(1,4), b(3,m)兩點 （1）求反比例函數(shù)解析式 （2）求aob面積,e,m,n,拓展提高,67,例3 已知反比例函數(shù) 的圖象經(jīng)過點(3，-4,1）寫出函數(shù)關系式,2）根據(jù)函數(shù)圖象，當x取什么值時，函數(shù)值小于0,3）當 時，求y的取值范圍,3,1,解,1） 將(3，4)代入 得,2) x0時，函數(shù)值小于0,3） 當x=-3時,當x=-1時,由圖象知，當-3x-1時，4y12,68,考察函數(shù) 的圖象,當x=-2時,y= _ , 當x-

22、2時,y的取值范圍是 _ ; 當y-1時,x的取值范圍是 _,1,1y0,x0,69,已知反比例函數(shù) （1）當x5時，0y 1； （2）當x5時，則y 1,或y （3）當y5時，x,0,0 x 1,70,直線與雙曲線,3.如圖，正比例函數(shù) 的圖象與反比例函數(shù) 的圖象相交于a、b兩點，其中點a的坐標為,1)分別寫出這兩個函數(shù)的 表達式; (2)你能求出點b的坐標嗎? 你是怎樣求的?與同伴交流,71,1)分別寫出這兩個函數(shù)的表達式; (2)你能求出點b的坐標嗎?你是怎樣求的?與同伴交流,解:(1)把a點坐標 分別代入y=k1x,和y=k2/x, 解得k1=2.k2=6,所以所求的函數(shù)表達式為:y=

23、2x,和y=6/x,2)b點的坐標是兩個函數(shù)組成的方程組的一個解,反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的交點問題： 列方程組，求公共解，即交點坐標 利用反比例函數(shù)的中心對稱性,72,總結(jié)：正比例函數(shù)與反比例函數(shù)圖象若相交，則兩個交點關于原點中心對稱,73,3）你能利用圖象直接寫出不等式 的解集嗎,y=2x,y=6/x,74,1.在同一直角坐標平面內(nèi)，如果直線,與雙曲線,沒有交點，那么,和,的關系一定是（,0,0b,0,0 c,同號,異號,a,d,2. 已知k0,則函數(shù) y1=kx,y2= 在同一坐標系中的圖象大致是 (,d,d,75,d,76,2.若 ，則函數(shù) 與 在同一平面直角坐標系中的圖象大致是（,b,

24、6、在同一直角坐標系中，正比例函數(shù)y=k1x與反比例函數(shù)y= k2x 沒有交點，則兩個常數(shù)的乘積k1 k2的取值范圍是,k1 k2 0,77,o,y,x,直線oa與雙曲線的另一交點b的坐標,d,c,bda的面積是多少,b（-2,-2,8,曲直結(jié)合,78,小結(jié),在每一個象限內(nèi): 當k0時，y隨x的增大而減小; 當k0時，y隨x的增大而增大,y=kx(k0)( 特殊的一次函數(shù),當k0時，y隨x的增大而增大; 當k0時，y隨x的增大而減小,79,2. 反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)特征,圖象是雙曲線,當k0時,雙曲線分別位于第一,三象限內(nèi) 當k0時, 雙曲線分別位于第二,四象限內(nèi),當k0時,在每一象限內(nèi),y隨

25、x的增大而減小 當k0時,在每一象限內(nèi),y隨x的增大而增大,雙曲線無限接近于x、y軸,但永遠不會與坐標軸相交,雙曲線是中心對稱圖形,任意一組變量的乘積是一個定值,即xy=k,形狀,位置,增減性,變化趨勢,對稱性,面積不變性 長方形面積 m n k,反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的交點問題： 列方程組，求公共解，即交點坐標 利用反比例函數(shù)的中心對稱性,80,交點問題,一、交點問題： 1、與坐標軸的交點問題： 無限趨近于x、y軸，與x、y軸無交點。 2、與正比例函數(shù)的交點問題： 利用反比例函數(shù)的中心對稱性。 列方程組，求公共解，即交點坐標,81,基礎再現(xiàn),1.己知函數(shù) 的圖象是雙曲線,且y隨x的增大而增大

26、,則m=_,1,2.如果反比例函數(shù) 的圖象位于第二、四象限，那么m的范圍為,m,3.若反比例函數(shù)的圖象與正比例函數(shù)的圖象有公共點，則反比例函數(shù)在第_象限,一、三,82,動手操作 煉就火眼金睛,1.已知點a(-2,y1),b(-1,y2),c(3,y3)都在y=4/x上,比較y1,y2,y3的大小 2.變式練習:已知點a(-2,y1),b(-1,y2),c(3,y3)都在y=k/x上, 比較y1,y2,y3的大小,3.反比例函數(shù)y=（m+1）/x經(jīng)過點a(x1,y1),b(x2,y2),當x1y2,則m的取值范圍是_,y3y1y2,當k0時, y3y1y2 當ky1y3,m-1,注意數(shù)形結(jié)合,小

27、心！這里有陷阱,83,補充練習,1、反比例函數(shù) 與正比例函數(shù) 在同一坐標系中的圖象不可能的是（,a,b,c,d,d,84,1、反比例函數(shù) 的圖象在 象限？ 反比例函數(shù) 的圖象在 象限？ 它們關于 成軸對稱,課內(nèi)練習,2、已知反比例函數(shù) 當x 5時，y 1； 當x 5時，則y,一、三,二、四,坐標軸,y1或yo,85,復習題,1反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點（1，2），那么這個反比例函數(shù)的解析式為，圖象在 第象限， 它的圖象關于成中心對稱 2反比例函數(shù) 的圖象與正比例函數(shù) 的圖象 交于點a（1，m），則m，反比例函數(shù)的解析式為 ，這兩個圖象的另一個交點坐標是,二、四,坐標原點,2,1,2,86,4.在函

28、數(shù) （a為常數(shù)）的圖象上有三點 ，函數(shù)值的 大小關系是 （ ） （a）y2y3y1 （b）y3y2y1 （c）y1y3y2 （d）y3y1y2,d,p3,p1,p2,87,一、判斷,1） 在每一象限內(nèi) ,y隨x的增大而減小 （,2） 在每一象限內(nèi), y隨x的增大而增大 （,二,2）反比例函數(shù) ，當x=1時，y2，則k= ， y隨x的 減小而,錯,錯,2,增大,象限,y隨x的增大而,注意:做題時審清題目的問法,3) 若反比例函數(shù) 在每一象限內(nèi),y隨x的增大而 增大,則它的圖象經(jīng)過一、三象限,錯,二、四,增大,88,3）反比例函數(shù) 的圖象上有兩點a(1,y1),b(2,y2), 則y1y2的值是（ ） a 正數(shù) b負數(shù) c非正數(shù) d不能確定,1）反比例函數(shù) ，當x=1時，y2，則k= ， y隨x的 增大而,2 )已知反比例函數(shù) ， 那么y的值隨x的增大而（ ） a 不變 b增大 c減小 d不確定,1,減小,c,a,89,如右圖，點a在反比例函數(shù) 的圖象上，且點a的橫坐標分別為1，acx軸，垂足為點c，且aoc的面積為2。 （1）求該反比例函數(shù)的解析式。 （2）若點（1，y1），（