2021年高考數(shù)學(xué)學(xué)霸糾錯筆記：數(shù)列

1、忽略了n的取值已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式【錯解】由，可得兩式相除可得【錯因分析】僅適用于且時的情況，故不能就此斷定就是數(shù)列的通項公式【試題解析】當時，；當時，由，可得兩式相除可得，故已知數(shù)列的遞推公式求通項公式的常見類型及解法(1)形如an1anf(n)，常用累乘法，即利用恒等式ana1求通項公式(2)形如an1anf(n)，常用累加法即利用恒等式ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)求通項公式(3)形如an1band(其中b，d為常數(shù)，b0,1)的數(shù)列，常用構(gòu)造法其基本思路是：構(gòu)造an1xb(anx)(其中x)，則anx是公比為b的等比數(shù)列，利用它即可求出an.(4)形如an1(

2、p，q，r是常數(shù))的數(shù)列，將其變形為.若pr，則是等差數(shù)列，且公差為，可用公式求通項；若pr，則采用(3)的辦法來求(5)形如an2pan1qan(p，q是常數(shù)，且pq1)的數(shù)列，構(gòu)造等比數(shù)列將其變形為an2an1(q)(an1an)，則anan1(n2，nN*)是等比數(shù)列，且公比為q，可以求得anan1f(n)，然后用累加法求得通項(6)形如a12a23a3nanf(n)的式子，由a12a23a3nanf(n)，得a12a23a3(n1)an1f(n1)，再由可得an.(7)形如an1anf(n)的數(shù)列，可將原遞推關(guān)系改寫成an2an1f(n1)，兩式相減即得an2anf(n1)f(n)，然

3、后按奇偶分類討論即可(8)形如anan1f(n)的數(shù)列，可將原遞推關(guān)系改寫成an2an1f(n1)，兩式作商可得，然后分奇、偶討論即可(9)an1anqan1an(q0)型，將方程的兩邊同時除以an1an，可構(gòu)造一個等差數(shù)列具體步驟：對an1anqan1an(q0)兩邊同時除以an1an，得到q，即q，令bn，則bn是首項為，公差為q的等差數(shù)列.(10)anpa(n2，p0)型，一般利用取對數(shù)構(gòu)造等比數(shù)列具體步驟：對anpa兩邊同取常用對數(shù)，得到lg anrlg an1lg p，令bnlg an，則bn可歸為an1panq(p0,1，q0)型.1已知數(shù)列的前項和為，數(shù)列滿足，則_.【答案】【解

4、析】當時，因為，兩式相減得 ，所以當時，又不符合上式，所以，因為，所以.【名師點睛】本題考查的知識點是數(shù)列的通項公式，其中正確理解由數(shù)列的前n項和Sn，求通項公式的方法：和步驟是解答本題的關(guān)鍵由已知中的前項和，結(jié)合，分別討論時與時的通項公式，并由時，的值不滿足時的通項公式，故要將數(shù)列的通項公式寫成分段函數(shù)的形式忽略數(shù)列中為0的項設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，公差為d，且滿足，則當最大時，_【錯解】由，得，即，由可知，解不等式組即得又，故當時最大【錯因分析】由于，所以，當或時最大，錯解中忽略了數(shù)列中為0的項【試題解析】 【正解1】由，得，即，由可知，解不等式組即得故當或時最大【正解2】由，可得，所以，

5、由并結(jié)合對應(yīng)的二次函數(shù)的圖象知，當或時最大【正解3】由，得，即，由可知，故當或時最大數(shù)列是特殊的函數(shù)關(guān)系，因此常利用函數(shù)的思想解決數(shù)列中最值問題1等差數(shù)列的前n項和與函數(shù)的關(guān)系等差數(shù)列的前n項和公式為可變形為Snn2n，令A(yù)，Ba1，則SnAn2Bn.當A0，即d0時，Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)，(n，Sn)在二次函數(shù)yAx2Bx的圖象上，為拋物線yAx2Bx上一群孤立的點利用此性質(zhì)可解決前n項和Sn的最值問題2等差數(shù)列前n項和的最值(1)若等差數(shù)列的首項a10，公差d0，則等差數(shù)列是遞減數(shù)列，正數(shù)項有限，前n項和有最大值，且滿足(2)若等差數(shù)列的首項a10，則等差數(shù)列是遞增數(shù)列，負數(shù)項有限，前n

6、項和有最小值，且滿足3求等差數(shù)列前n項和的最值的方法(1)二次函數(shù)法：用求二次函數(shù)最值的方法(配方法)求其前n項和的最值，但要注意nN*.(2)圖象法：利用二次函數(shù)圖象的對稱性來確定n的值，使Sn取得最值(3)項的符號法：當a10，d0時，滿足的項數(shù)n，使Sn取最大值；當a10時，滿足的項數(shù)n，使Sn取最小值，即正項變負項處最大，負項變正項處最小，若有零項，則使Sn取最值的n有兩個4在等差數(shù)列中，若，則（1）為偶數(shù)當時最大；（2）為奇數(shù)當或時最大2等差數(shù)列中，記，則當_時，取得最大值.【答案】4【解析】在等差數(shù)列中，即，由，得，即，當時，當，因此在中，當時，當時，故當時，取得最大值，故答案為.

7、【名師點睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項公式和前項和公式的計算，屬于難題.求等差數(shù)列前項和的最大值的方法通常有兩種：將前項和表示成關(guān)于的二次函數(shù)，即，當時有最大值（若不是整數(shù)，等于離它較近的一個或兩個整數(shù)時最大）；可根據(jù)且確定最大時的值.忽視奇數(shù)項或偶數(shù)項的符號在等比數(shù)列中，求的值.【錯解】因為為等比數(shù)列，所以，由可得，故.【錯因分析】錯解中忽略了在等比數(shù)列中，奇數(shù)項或偶數(shù)項的符號相同這一隱含條件【試題解析】因為為等比數(shù)列，所以，由可得，故又在等比數(shù)列中，所有的奇數(shù)項的符號相同，所以，所以1特別注意q1時，Snna1這一特殊情況2由an1qan，q0，并不能立即斷言an為等比數(shù)列，還要驗證a10

8、.3在運用等比數(shù)列的前n項和公式時，必須注意對q1與q1分類討論，防止因忽略q1這一特殊情形而導(dǎo)致解題失誤4Sn，S2nSn，S3nS2n未必成等比數(shù)列(例如：當公比q1且n為偶數(shù)時，Sn，S2nSn，S3nS2n不成等比數(shù)列；當q1或q1且n為奇數(shù)時，Sn，S2nSn，S3nS2n成等比數(shù)列)，但等式(S2nSn)2Sn(S3nS2n)總成立3設(shè)數(shù)列的前n項和為.已知，且.（1）證明：；（2）求.【答案】（1）見解析；（2）.【解析】（1）由條件，對任意，有，因而對任意，有，.兩式相減，得，即，又，所以.故對一切，.（2）由（1）知，所以，于是數(shù)列是首項，公比為3的等比數(shù)列；數(shù)列是首項，公比

9、為3的等比數(shù)列.所以.應(yīng)用等比數(shù)列性質(zhì)時的注意點(1)在解決等比數(shù)列的有關(guān)問題時，要注意挖掘隱含條件，利用性質(zhì)，特別是性質(zhì)“若mnpq，則amanapaq”，可以減少運算量，提高解題速度(2)在應(yīng)用相應(yīng)性質(zhì)解題時，要注意性質(zhì)成立的前提條件，有時需要進行適當變形此外，解題時注意設(shè)而不求思想的運用.忽視q=1致錯在數(shù)列中，若，求的前n項和【錯解】.【錯因分析】錯解在進行等比數(shù)列求和時忽略了對公比是否等于1的討論；此外，還需討論相關(guān)數(shù)列是否為等比數(shù)列.【試題解析】當時，所以；當時，所以；當時，綜上，.1直接應(yīng)用公式求和時，要注意公式的應(yīng)用范圍，如當?shù)缺葦?shù)列公比為參數(shù)(字母)時，應(yīng)對其公比是否為1進行

10、討論2在應(yīng)用錯位相減法時，注意觀察未合并項的正負號；結(jié)論中形如an，an1的式子應(yīng)進行合并3在應(yīng)用裂項相消法時，要注意消項的規(guī)律具有對稱性，即前剩多少項則后剩多少項4各項均為正數(shù)的數(shù)列的首項，前項和為，且.（1）求的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，求的前項和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因為，所以當時，得：，即，因為的各項均為正數(shù)，所以，且，所以 由知，即，又因為，所以，所以 故，所以數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列所以（2）由（1）得，所以，所以，得，當且時，解得；當時，由得；綜上，數(shù)列的前項和【名師點睛】（1）本題主要考查數(shù)列前n項和公式，考查等差數(shù)列的通項的求法，考查錯位相減求和，意

11、在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理計算能力.（2）數(shù)列，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，則采用錯位相減法.1.數(shù)列求和，一般應(yīng)從通項入手，若通項未知，先求通項，然后通過對通項變形，轉(zhuǎn)化為與特殊數(shù)列有關(guān)或具備某種方法適用特點的形式，從而選擇合適的方法求和2.解決非等差、非等比數(shù)列的求和，主要有兩種思路(1)轉(zhuǎn)化的思想，即將一般數(shù)列設(shè)法轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，這一思想方法往往通過通項分解或錯位相減來完成；(2)不能轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列的數(shù)列，往往通過裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法等來求和1數(shù)列的定義按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項數(shù)列中的每一項都和它的序號有

12、關(guān)，排在第一位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第1項，通常也叫做首項，排在第二位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第2項排在第n位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第n項所以，數(shù)列的一般形式可以寫成簡記為2數(shù)列的分類分類標準名稱含義按項的個數(shù)有窮數(shù)列項數(shù)有限的數(shù)列，如數(shù)列1，2，3，4，5，7，8，9，10無窮數(shù)列項數(shù)無限的數(shù)列，如數(shù)列1，2，3，4，按項的變化趨勢遞增數(shù)列從第2項起，每一項都大于它的前一項，如數(shù)列1，3，5，7，9，遞減數(shù)列從第2項起，每一項都小于它的前一項，如數(shù)列10，9，8，7，6，5，常數(shù)列各項都相等的數(shù)列，如數(shù)列2，2，2，2，擺動數(shù)列從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項，如1，2，1，2按項的

13、有界性有界數(shù)列任一項的絕對值都小于某一正數(shù)，如1，1，1，1，1，1，無界數(shù)列不存在某一正數(shù)能使任一項的絕對值小于它，如2，4，6，8，10，3數(shù)列的表示方法（1）列舉法：將數(shù)列中的每一項按照項的序號逐一寫出，一般用于“雜亂無章”且項數(shù)較少的情況（2）解析法：主要有兩種表示方法，通項公式：如果數(shù)列的第n項與序號n之間的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式，即遞推公式：如果已知數(shù)列的第一項(或前幾項)，且任一項與它的前一項 (或前幾項)間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式（3）圖象法：數(shù)列是特殊的函數(shù)，可以用圖象直觀地表示數(shù)列用圖象表示時，可

14、以以序號為橫坐標，相應(yīng)的項為縱坐標描點畫圖由此可知，數(shù)列的圖象是無限個或有限個孤立的點4數(shù)列的前n項和與通項的關(guān)系數(shù)列的前n項和通常用表示，記作，則通項若當時求出的也適合時的情形，則用一個式子表示，否則分段表示5等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系由等差數(shù)列的通項公式，可得令，則，其中，為常數(shù)（1）當時，在一次函數(shù)的圖象上，數(shù)列的圖象是直線上均勻分布的一群孤立的點，且當時數(shù)列為遞增數(shù)列，當時數(shù)列為遞減數(shù)列（2）當時，等差數(shù)列為常數(shù)列，數(shù)列的圖象是平行于x軸的直線（或x軸）上均勻分布的一群孤立的點6等差數(shù)列的前n項和首項為，末項為，項數(shù)為n的等差數(shù)列的前n項和公式：令，可得，則當，即時，是關(guān)于n的二次函數(shù)，

15、點是函數(shù)的圖象上一系列孤立的點；當，即時，是關(guān)于n的一次函數(shù)，即或常函數(shù)，即，點是直線圖象上一系列孤立的點我們可以借助二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)來研究等差數(shù)列的前n項和的相關(guān)問題7用前n項和公式法判定等差數(shù)列等差數(shù)列的前n項和公式與函數(shù)的關(guān)系給出了一種判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列的方法：若數(shù)列的前n項和，那么當且僅當時，數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列；當時，數(shù)列不是等差數(shù)列8等差數(shù)列的常用性質(zhì)由等差數(shù)列的定義可得公差為的等差數(shù)列具有如下性質(zhì)：（1）通項公式的推廣：，（2）若，則特別地，若，則；若，則有窮等差數(shù)列中，與首末兩項等距離的兩項之和都相等，都等于首末兩項的和，即 （3）下標成等差數(shù)列的項組成以m

16、d為公差的等差數(shù)列（4）數(shù)列是常數(shù)是公差為td的等差數(shù)列（5）若數(shù)列為等差數(shù)列，則數(shù)列是常數(shù)仍為等差數(shù)列（6）若，則9與等差數(shù)列各項的和有關(guān)的性質(zhì)利用等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式易得等差數(shù)列的前n項和具有如下性質(zhì)：設(shè)等差數(shù)列（公差為d）和的前n項和分別為，（1）數(shù)列是等差數(shù)列，首項為，公差為（2）構(gòu)成公差為的等差數(shù)列（3）若數(shù)列共有項，則，（4）若數(shù)列共有項，則，（5），10等比數(shù)列的性質(zhì)若數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，前n項和為，則有如下性質(zhì)：（1）若，則；若，則推廣：若，則（2）若成等差數(shù)列，則成等比數(shù)列（3）數(shù)列仍是公比為的等比數(shù)列；數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；若數(shù)列是

17、公比為的等比數(shù)列，則數(shù)列是公比為的等比數(shù)列（4）成等比數(shù)列，公比為（5）連續(xù)相鄰項的和（或積）構(gòu)成公比為或的等比數(shù)列（6）當時，；當時，（7）（8）若項數(shù)為，則，若項數(shù)為，則（9）當時，連續(xù)項的和（如）仍組成等比數(shù)列（公比為，）注意：這里連續(xù)m項的和均非零11求和常用方法方法1錯位相減法求和的注意點在運用錯位相減法求數(shù)列前n項和時要注意四點：乘數(shù)（式）的選擇；對公比q的討論（是否為1）；兩式相減后的未消項及相消項呈現(xiàn)的規(guī)律；相消項中構(gòu)成數(shù)列的項數(shù)方法2裂項相消法求和的注意點在應(yīng)用裂項相消法求和時應(yīng)注意：（1）把通項裂項后，是否恰好等于相應(yīng)的兩項之差；（2）在正負項抵消后，是否只剩下了第一項和最

18、后一項，是否還有其他項方法3求和方法分組求和法的解題步驟利用分組求和法解題的步驟：根據(jù)通項公式的特征準確拆分，將其分解為可以直接求和的一些數(shù)列的和；分組求和，分別求出各個數(shù)列的和；得出結(jié)論，對拆分后每個數(shù)列的和進行組合，解決原數(shù)列的求和問題1已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前4項和為15，且，則A16B8C4D2【答案】C【解析】設(shè)正數(shù)的等比數(shù)列an的公比為，則，解得，故選C【名師點睛】本題利用方程思想求解數(shù)列的基本量，熟練應(yīng)用公式是解題的關(guān)鍵.2記為等差數(shù)列的前n項和已知，則ABCD【答案】A【解析】由題知，解得，,故選A【名師點睛】本題主要考查等差數(shù)列通項公式與前n項和公式，滲透方程思想與數(shù)學(xué)

19、計算等素養(yǎng)利用等差數(shù)列通項公式與前n項公式即可列出關(guān)于首項與公差的方程，解出首項與公差，再適當計算即可做了判斷3已知數(shù)列滿足，則A10B20C100D200【答案】C【解析】因為，所以數(shù)列是以為首相，為公差的等差數(shù)列，所以，則.【名師點睛】本題考查由遞推公式證明數(shù)列是等差數(shù)列以及等差數(shù)列的通項公式，屬于一般題.4等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，則ABCD【答案】B【解析】根據(jù)題意，等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，則有，則，故選B5已知數(shù)列的前項和為，且，則A200B210C400D410【答案】B【解析】由題，又因為，所以當時，可解的，當時，與相減得，當為奇數(shù)時，數(shù)列是以為首相，為公差的等差數(shù)列，當為

20、偶數(shù)時，數(shù)列是以為首相，為公差的等差數(shù)列，所以當為正整數(shù)時，則，故選B.【名師點睛】本題考查的知識點主要是數(shù)列通項公式的求法及應(yīng)用，等差數(shù)列的前項和公式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于一般題.6在數(shù)列中，已知，則等于A BC D【答案】B【解析】將等式兩邊取倒數(shù)得到，是公差為的等差數(shù)列，=，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式的求法得到，故=.故答案為B.【名師點睛】這個題目考查的是數(shù)列通項公式的求法，數(shù)列通項的求法中有常見的已知和的關(guān)系，求表達式，一般是寫出再作差得通項，但是這種方法需要檢驗n=1時通項公式是否適用；還有構(gòu)造新數(shù)列的方法，取倒數(shù)，取對數(shù)的方法等.7已知數(shù)列是遞增數(shù)列，且對，都

21、有，則實數(shù)的取值范圍是A BC D【答案】D【解析】an是遞增數(shù)列，an+1an恒成立，an=n2+n，（n+1）2+（n+1）n2+n恒成立，2n1對于nN*恒成立而2n1在n=1時取得最大值3，3.故選D【名師點睛】本題主要考查由數(shù)列的單調(diào)性來構(gòu)造不等式，解決恒成立問題研究數(shù)列單調(diào)性的方法有：比較相鄰兩項間的關(guān)系，將an+1和an作差與0比較，即可得到數(shù)列的單調(diào)性；研究數(shù)列通項即數(shù)列表達式的單調(diào)性.8已知數(shù)列滿足（），將數(shù)列中的整數(shù)項按原來的順序組成新數(shù)列，則的末位數(shù)字為A B C D【答案】C【解析】由（），可得此數(shù)列為： ， 的整數(shù)項為,數(shù)列的各項依次為： ，末位數(shù)字分別是，故的末位數(shù)

22、字為3，故選C9【2019年高考浙江卷】設(shè)a，bR，數(shù)列an滿足a1=a，an+1=an2+b，則A 當B 當C 當D 當【答案】A【解析】當b=0時，取a=0，則.當時，令，即.則該方程，即必存在，使得，則一定存在，使得對任意成立，解方程，得，當時，即時，總存在，使得，故C、D兩項均不正確.當時，則，.（）當時，則， ，則， ，故A項正確.（）當時，令，則，所以，以此類推，所以，故B項不正確.故本題正確答案為A.【名師點睛】遇到此類問題，不少考生會一籌莫展.利用函數(shù)方程思想，通過研究函數(shù)的不動點，進一步討論的可能取值，利用“排除法”求解.10“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)

23、學(xué)方法計算出半音比例，為這個理論的發(fā)展做出了重要貢獻.十二平均律將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于.若第一個單音的頻率為f，則第八個單音的頻率為A BC D【答案】D【解析】因為每一個單音的頻率與前一個單音的頻率的比都為，所以，又，則，故選D.【名師點睛】此題考查等比數(shù)列的實際應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是能夠判斷單音成等比數(shù)列.等比數(shù)列的判斷方法主要有如下兩種：（1）定義法，若（）或（），數(shù)列是等比數(shù)列；（2）等比中項公式法，若數(shù)列中，且（），則數(shù)列是等比數(shù)列.11記Sn為等比數(shù)列an的前n項和.若，則S4=_【答案】【解

24、析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由已知，即.解得，所以【名師點睛】準確計算，是解答此類問題的基本要求本題由于涉及冪的乘方運算、繁分式的計算，部分考生易出現(xiàn)運算錯誤一題多解：本題在求得數(shù)列的公比后，可利用已知計算，避免繁分式計算12記為等差數(shù)列的前項和，若，則_.【答案】100【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，根據(jù)題意可得得【名師點睛】本題考點為等差數(shù)列的求和，為基礎(chǔ)題目，利用基本量思想解題即可，充分記牢等差數(shù)列的求和公式是解題的關(guān)鍵.13在等比數(shù)列中，成等差數(shù)列，則_【答案】【解析】，成等差數(shù)列，即，解得：，故填.【名師點睛】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合應(yīng)用問題，關(guān)鍵是能夠求解出等比數(shù)列的基本量，屬于基礎(chǔ)題.14設(shè)是等比數(shù)列的前項和， ，若，則的最小值為_【答案】20【