數(shù)學分析選講答案

1、數(shù)學分析選講A/B模擬練習題參考答案1、 選擇題：（共18題，每題3分） 1、下列命題中正確的是（ A B ）A、若，則是的不定積分，其中為任意常數(shù) B、若在上無界，則在上不可積C、若在上有界，則在上可積D、若在上可積，則在上可積2、設，則當時，有（ B ）A與是等價無窮小 B與同階但非是等價無窮小C是比高階的無窮小D是比低階的無窮小3、若為連續(xù)奇函數(shù),則為( A )A、奇函數(shù) B、偶函數(shù)C、非負偶函數(shù) D、既不是非正的函數(shù),也不是非負的函數(shù).4、函數(shù)在上連續(xù)是在上可積的（ A ）條件A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充分必要條件 D. 非充分也非必要條件.5、若為連續(xù)奇函數(shù),則為(

2、B )A、奇函數(shù) B、偶函數(shù)C、非負偶函數(shù) D、既不是非正的函數(shù),也不是非負的函數(shù).6、設 則是的（ B ）A. 連續(xù)點 B. 可去間斷點 C.跳躍間斷點 D. 第二類間斷點7、設,當時,恒有,已知,.則正確的選項是( A )A、 B、 C、 D、A和B的大小關系不定.8、函數(shù)f(x,y) 在點連續(xù)是它在該點偏導數(shù)都存在的（ A ）A.既非充分也非必要條件 B充分條件C.必要條件 D.充要條件9、極限( D )A、 B、 C、 D、不存在.10、部分和數(shù)列有界是正項級數(shù)收斂的( C )條件A. 充分非必要 B. 必要非充分 C.充分必要 D.非充分非必要11、極限( A )A、 B、 C、 D

3、、不存在.12、與的定義等價的是（ B D ） A、 總有B、 至多只有的有限項落在之外C、存在自然數(shù)N，對當，有D、存在自然數(shù)N，對有13、曲線( D )A、沒有漸近線 B、僅有水平漸近線 C、僅有垂直漸近線 D、既有水平漸近線, 也有垂直漸近線14、下列命題中，錯誤的是（ A D ）A、若在點連續(xù)，則在既是右連續(xù)，又是左連續(xù) B、若對在上連續(xù)，則在上連續(xù)C、若是初等函數(shù)，其定義域為，則D、函數(shù)在點連續(xù)的充要條件是在點的左、右極限存在且相等15、設 為單調數(shù)列，若存在一收斂子列，這時有（ A ）A、B、不一定收斂C、不一定有界D、當且僅當預先假設了為有界數(shù)列時，才有A成立16、設在R上為一連

4、續(xù)函數(shù)，則有（ C ） A、當為開區(qū)間時必為開區(qū)間B、當為閉區(qū)間時必為閉區(qū)間C、當為開區(qū)間時必為開區(qū)間D、以上A,B,C都不一定成立17、下列命題中錯誤的是（ ）A、若，級數(shù)收斂，則收斂；B、若，級數(shù)收斂，則不一定收斂；C、若是正項級數(shù)，且有則收斂；D、若，則發(fā)散18、設 為一正項級數(shù)，這時有（ D ）A、若,則 收斂B、若 收斂，則C、若 收斂，則 D、以上A,B,C都不一定成立2、 填空題：（共15題，每題2分）1、設，則 2或-2 2、= 3、= 4、= 2 5、設收斂，則= 10 6、= 7、 2 8、 8 9、設，則 10、設，則 11、冪級數(shù)的收斂半徑為 1 12、積分的值為 0

5、13、曲線與軸所圍成部分的面積為 36 14、 15、= 0三、計算題：（共15題，每題8分）1、求.解： =2、將展開成的冪級數(shù)，并指出其收斂域。解： = = 且由 知 3、求解：原式（有界量乘以無窮小量）4、求解：令，原式 5、求解：原式 6、求極限解：7、設 , 求解：當時，； 8、設，其中為何值時，在x=0處可導，為什么，并求。解：，故要使存在，必須又要使有導數(shù)存在,必須b=0.綜上可知,當A=b=0,為任意常數(shù)時，在x=0處可導，且9、計算下列第一型曲面積分：其中為解: 由平面構成:10、解：11、解：由洛必達（LHospital）法則得12、解：13、 解: 14、 解: 15、解

6、: 四、證明題（共17題，共156分）1、（6分）設函數(shù)在上連續(xù)，在內可導，且。試證：如果，則方程在內僅有一個實根。證明：因為在上連續(xù)，在內可導，于是由零點存在定理知，至少存在一點使得，又，因此知在上為嚴格格單調增加的，故方程在內僅有一個實根。2、（10分）指出函數(shù)的不連續(xù)點，并判定不連續(xù)點的類型.解： 的不連續(xù)點為 又 而在點沒有定義，于是知為的第一類不連續(xù)點； 為的第二類不連續(xù)點；為的第三類不連續(xù)點。 3、（10分）設在上連續(xù)，在內可導，又，證明在內有.證明：由于又在上連續(xù)，在內可導，由拉格朗日中值定理知，使得，從而在內有4、（12分）設（1）證明在（0，0）點連續(xù)（2）求（3）證明在（0

7、，0）點可微解：（1）令則 故在（0，0）點連續(xù)。 （2） （3）由于 即在（0，0）點可微. 5、（6分）設在嚴格單調遞減，存在，且試證明.證明：令，則由題意有 6、(10分) 設為可微函數(shù).求，其中（1）解：將已知等式兩邊對x求導得 （2）將x=0代入(1)式解得，再將x=0代入（2）得7、(10分)在-1x1有意義，證明證明：令，則，即（1）將x=0代入（1）但8、(10分)求冪級數(shù)的收斂域。解：由于，則R=2，即當時其絕對收斂又當x+1=2，即x=1時，原級數(shù)為發(fā)散當，即時，原級數(shù)為收斂故原級數(shù)的收斂域為9、（7分）證明：當時，.證明：設，則在連續(xù). 則在單調增加。則對任意有，即10、

8、（10分）設在上可微，且滿足 (1)求證：在(0,1)內至少存在一點，使.證明：由(1)式及積分中值定理知，存在，使 (2)令,則由(2)式及假設可知在上滿足羅爾定理的條件，故存在使11、(10分) 求的收斂域，并求其和函數(shù).解：設，則由及都發(fā)散，可知的收斂域為(1,-1).再由于12、(10分)設 試證明：在x=0處連續(xù).證明： 則因此在x=0處連續(xù).13、（6分）證明由積分確定的連續(xù)函數(shù)零點定理：設在上連續(xù)，若，則，使得.證明：用反證法. 若對,由連續(xù)函數(shù)的零點定理可知,在上不變號.不妨設在上,由定積分的性質可得,此與條件矛盾,于是,必，使得.14、（10分）設在上連續(xù),且滿足.試證:,使得.證明：取變換,則,已知積分等式變?yōu)?注意到時,也有,因而在上連續(xù),于是.由此可得,使得.15、（12分）設在上連續(xù),在內可導,且,記,(1)求;(2)求證:,使得;解：(1) ;(2) 因為,又在上連續(xù),在內可導,由羅爾中值定理,使得,即;16、（7分）設，試證數(shù)列存在極限，并求此極限。證明：由知，。假設，則，由歸納法知為單調