新課標高考數(shù)學二輪復習：專題九《分類討論的思想》[教學借鑒]

1、【專題九】分類討論的思想【考情分析】高考中的分類討論思想就是根據(jù)所研究對象的性質差異，分各種不同的情況予以分析解決.分類討論題覆蓋知識點較多，利于考查學生的知識面、分類思想和技巧；同時方式多樣，具有較高的邏輯性及很強的綜合性，樹立分類討論思想，應注重理解和掌握分類的原則、方法與技巧、做到“確定對象的全體，明確分類的標準，分層別類不重復、不遺漏的分析討論.”【知識交匯】分類討論思想是解決問題的一種邏輯方法，也是一種數(shù)學思想，這種思想在簡化研究對象，發(fā)展思維方面起著重要作用，因此，有關分類討論的思想的數(shù)學命題在高考試題中占有重要地位。所謂分類討論，就是在研究和解決數(shù)學問題時，當問題所給對象不能進行

2、統(tǒng)一研究，我們就需要根據(jù)數(shù)學對象的本質屬性的相同點和不同點，將對象區(qū)分為不同種類，然后逐類進行研究和解決，最后綜合各類結果得到整個問題的解決，這一思想方法，我們稱之為“分類討論的思想”1. 分類討論的思想方法是中學數(shù)學的基本方法之一，是歷年高考的重點分類討論的思想具有明顯的邏輯特點；分類討論問題一般涵蓋知識點較多，有利于對學生知識面的考察；解決分類討論問題，需要學生具有一定的分析能力和分類技巧；分類討論的思想與生產實踐和高等數(shù)學都緊密相關。2. 分類討論的思想的本質分類討論思想的本質上是“化整為零，積零為整”，從而增加了題設條件的解題策略3. 運用分類討論的思想解題的基本步驟確定討論對象和確定

3、研究的全域；對所討論的問題進行合理的分類（分類時需要做到不重復、不遺漏、標準統(tǒng)一、分層不越級）；逐類討論：即對各類問題詳細討論，逐步解決；歸納總結，整合得出結論4. 明確分類討論的思想的原因，有利于掌握分類討論的思想方法解決問題，其主要原因有：由數(shù)學概念引起的分類討論：如絕對值定義、等比數(shù)列的前項和公式等等；由數(shù)學運算要求引起的分類討論：如偶次方根非負、對數(shù)中的底數(shù)和真數(shù)的要求、不等式兩邊同乘一實數(shù)對不等號方向的影響等等；由函數(shù)的性質、定理、公式的限制引起的分類討論；由幾何圖形中點、線、面的相對位置不確定引起的分類討論；由參數(shù)的變化引起的分類討論：某些含參數(shù)的問題，由于參數(shù)的取值不同會導致所得

4、結果不同，或由于不同的參數(shù)值要運用不同的求解或證明方法；其他根據(jù)實際問題具體分析進行分類討論，如排列、組合問題，實際應用題等。【思想方法】一、問題中的變量或含有需討論的參數(shù)的，要進行分類討論【例1】設，函數(shù).(1) 當時,求曲線在處的切線方程;(2) 當時,求函數(shù)的最小值.【解析】（1）當時， 令 得 所以切點為（1，2），切線的斜率為1， 所以曲線在處的切線方程為：。 （2）當時， ，恒成立。 在上增函數(shù)。故當時， 當時，（）（i）當即時，在時為正數(shù)，所以在區(qū)間上為增函數(shù)。故當時，且此時(ii)當，即時，在時為負數(shù)，在間 時為正數(shù)。所以在區(qū)間上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)故當時，且此時(iii)當

5、；即 時，在時為負數(shù)，所以在區(qū)間1,e上為減函數(shù)，故當時，。綜上所述，當時，在時和時的最小值都是。所以此時的最小值為；當時，在時的最小值為，而，所以此時的最小值為。當時，在時最小值為，在時的最小值為，而，所以此時的最小值為所以函數(shù)的最小值為【點評】本題涉及的知識點有帶絕對值的式子，因此要了解絕對值概念的定義，進行分類討論。二、根據(jù)數(shù)學中的定理，公式和性質確定分類標準【例2】求和=【解析】：當時，； 當時，此題為等比數(shù)列求和， 若時，則由求和公式，。 若時, 。綜合可得【點評】：由于等比數(shù)列定義本身有條件限制，等比數(shù)列求和公式是分類給出的。因此，應用等比數(shù)列求和公式時也需要討論，這里進行了兩層分

6、類：第一層分類的依據(jù)是等比數(shù)列的概念，分為和；第二層分類依據(jù)是等比數(shù)列求和公式的應用條件。三、涉及幾何問題時，由幾何元素的形狀、位置的變化需要分類討論【例3】若四面體各棱長是1或2，且該四面體不是正四面體，則其體積的值是 .(只須寫出一個可能的值)【解析】首先得考慮每個面的三條棱是如何構成的.排除1，1，2，可得1，1，1，1，2，2，2，2，2，然后由這三類面在空間構造滿足條件的一個四面體，再求其體積.由平時所見的題目，至少可構造出二類滿足條件的四面體，五條邊為2，另一邊為1，對棱相等的四面體.對于五條邊為2，另一邊為1的四面體，參看圖1所示，設AD=1，取AD的中點為M，平面BCM把三棱錐

7、分成兩個三棱錐，由對稱性可知AD面BCM，且VABCM=VDBCM，所以VABCD=SBCMAD.CM=.設N是BC的中點，則MNBC，MN=，從而SBCM=2=，故VABCD=1=.對于對棱相等的四面體，可參見圖2.其體積的計算可先將其置于一個長方體之中，再用長方體的體積減去四個小三棱錐的體積來進行.亦可套公式V=，不妨令a=b=2，c=1，則V=.四、問題中的條件是分類給出的【例4】（2009年湖北卷理科）已知數(shù)列滿足：（m為正整數(shù)），若，則m所有可能的取值為_?！窘馕觥浚?）若為偶數(shù)，則為偶, 故當仍為偶數(shù)時， 故當為奇數(shù)時，故得m=4。（2）若為奇數(shù)，則為偶數(shù)，故必為偶數(shù)，所以=1可得

8、m=5五、解題過程不能統(tǒng)一敘述，必須分類討論的某商店經銷一種奧運會紀念品，每件產品的成本為30元，并且每賣出一件產品需向稅務部門上交元（為常數(shù)，2a5 ）的稅收。設每件產品的售價為x元(35x41),根據(jù)市場調查,日銷售量與(e為自然對數(shù)的底數(shù))成反比例。已知每件產品的日售價為40元時，日銷售量為10件。(1)求該商店的日利潤L（x）元與每件產品的日售價x元的函數(shù)關系式；(2)當每件產品的日售價為多少元時，該商品的日利潤L（x）最大，并求出L（x）的最大值。解（1）設日銷售量為則日利潤（2）當2a4時，33a+3135，當35 x41時，當x=35時，L（x）取最大值為當4a5時，35a+31

9、36，易知當x=a+31時，L（x）取最大值為綜合上得用分類討論的思維策略解數(shù)學問題的操作過程：明確討論的對象和動機確定分類逐類進行討論歸納綜合結論檢驗分類是否完備（即分類對象彼此交集為空集，并集為全集）。做到“確定對象的全體，明確分類的標準，分層類別不重復、不遺漏的分析討論.”【專題演練】1已知集合A=xx23x+2=0,B=xx2ax+(a1)=0，C=xx2mx+2=0，且AB=A，AC=C，則a的值為 ，m的取值范圍為 .2給出定點A（a,0)（a0）和直線l：x=1，B是直線l上的動點，BOA的角平分線交AB于點C.求點C的軌跡方程，并討論方程表示的曲線類型與a值的關系.3. 設函數(shù)

10、f(x)=x2+xa+1，xR.(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性；(2)求函數(shù)f(x)的最小值.4. 設，函數(shù)若的解集為A，求實數(shù)的取值范圍?！緟⒖即鸢浮?. 解: A=1,2,B=x(x1)(x1+a)=0,由AB=A可得1a=1或1a=2；由AC=C，可知C=1或.答案：2或3 3或（2，2）2. 解：依題意，記B（1，b)，(bR），則直線OA和OB的方程分別為y=0和y=bx.設點C(x,y)，則有0xa，由OC平分AOB，知點C到OA、OB距離相等.根據(jù)點到直線的距離公式得y= 依題設，點C在直線AB上，故有由xa0，得 將式代入式，得y2(1a)x22ax+(1+a)y2=0若y0，

11、則(1a)x22ax+(1+a)y2=0(0xa)若y=0則b=0,AOB=，點C的坐標為（0，0）滿足上式.綜上，得點C的軌跡方程為（1a）x22ax+(1+a)y2=0(0xa(i)當a=1時，軌跡方程化為y2=x(0x1 此時方程表示拋物線弧段；(ii)當a1，軌跡方程化為 所以當0a1時，方程表示橢圓弧段；當a1時，方程表示雙曲線一支的弧段.3. 解：(1)當a=0時，函數(shù)f(x)=(x)2+x+1=f(x)，此時f(x)為偶函數(shù).當a0時，f(a)=a2+1,f(a)=a2+2a+1.f(a)f(a),f(a)f(a)此時函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).（2）當xa時，函數(shù)f(x)=x2x+a+1=(x)2+a+若a，則函數(shù)f(x)在(,a上單調遞減.從而函數(shù)f(x)在（,a上的最小值為f(a)=a2+1若a，則函數(shù)f(x)在（,a上的最小值為f()=+a，且f()f(a).當xa時，函數(shù)f(x)=x2+xa+1=(x+)2a+若a，則函數(shù)f(x)在a,+上的最小值為f()=a，且f()f(a)；若a，則函數(shù)f(x)在a,+)單調遞增.從而函數(shù)f(x)在a,+上的最小值為f(a)=a2+