高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)必備39：排列、組合、二項(xiàng)式定理 [教學(xué)借鑒]

1、第39講 排列、組合、二項(xiàng)式定理備注：【高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)必備精品共42講 全部免費(fèi) 歡迎下載】一【課標(biāo)要求】1分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理通過(guò)實(shí)例，總結(jié)出分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理；能根據(jù)具體問(wèn)題的特征，選擇分類加法計(jì)數(shù)原理或分步乘法計(jì)數(shù)原理解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題；2排列與組合通過(guò)實(shí)例，理解排列、組合的概念；能利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式，并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題；3二項(xiàng)式定理能用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理； 會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開(kāi)式有關(guān)的簡(jiǎn)單問(wèn)題二【命題走向】本部分內(nèi)容主要包括分類計(jì)數(shù)原理、分步計(jì)數(shù)原理、排列與組合、二項(xiàng)式定理三部分；考查內(nèi)容：（1）兩個(gè)原理；（2）排

2、列、組合的概念，排列數(shù)和組合數(shù)公式，排列和組合的應(yīng)用；（3）二項(xiàng)式定理，二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)及二項(xiàng)式系數(shù)和。排列、組合不僅是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，而且在實(shí)際中有廣泛的應(yīng)用，因此新高考會(huì)有題目涉及；二項(xiàng)式定理是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，也是高考每年必考內(nèi)容，新高考會(huì)繼續(xù)考察?？疾煨问剑?jiǎn)为?dú)的考題會(huì)以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，屬于中低難度的題目，排列組合有時(shí)與概率結(jié)合出現(xiàn)在解答題中難度較小，屬于高考題中的中低檔題目；預(yù)測(cè)2007年高考本部分內(nèi)容一定會(huì)有題目涉及，出現(xiàn)選擇填空的可能性較大，與概率相結(jié)合的解答題出現(xiàn)的可能性較大三【要點(diǎn)精講】1排列、組合、二項(xiàng)式知識(shí)相互關(guān)系表2兩個(gè)基本原理（1）分類

3、計(jì)數(shù)原理中的分類；（2）分步計(jì)數(shù)原理中的分步；正確地分類與分步是學(xué)好這一章的關(guān)鍵。3排列（1）排列定義，排列數(shù)（2）排列數(shù)公式：系 =n(n1)(nm+1)；（3）全排列列： =n!；（4）記住下列幾個(gè)階乘數(shù)：1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720；4組合（1）組合的定義，排列與組合的區(qū)別；（2）組合數(shù)公式：Cnm=；（3）組合數(shù)的性質(zhì)Cnm=Cnn-m；rCnr=nCn-1r-1；Cn0+Cn1+Cnn=2n；Cn0-Cn1+(-1)nCnn=0，即 Cn0+Cn2+Cn4+=Cn1+Cn3+=2n-1；5二項(xiàng)式定理（1）二項(xiàng)式展開(kāi)公式：(a+b)n=Cn0an

4、+Cn1an-1b+Cnkan-kbk+Cnnbn；（2）通項(xiàng)公式：二項(xiàng)式展開(kāi)式中第k+1項(xiàng)的通項(xiàng)公式是：Tk+1=Cnkan-kbk；6二項(xiàng)式的應(yīng)用（1）求某些多項(xiàng)式系數(shù)的和；（2）證明一些簡(jiǎn)單的組合恒等式；（3）證明整除性。求數(shù)的末位；數(shù)的整除性及求系數(shù)；簡(jiǎn)單多項(xiàng)式的整除問(wèn)題；（4）近似計(jì)算。當(dāng)|x|充分小時(shí)，我們常用下列公式估計(jì)近似值：(1+x)n1+nx；(1+x)n1+nx+x2；（5）證明不等式。四【典例解析】題型1：計(jì)數(shù)原理例1完成下列選擇題與填空題（1）有三個(gè)不同的信箱，今有四封不同的信欲投其中，則不同的投法有 種A81B64C24D4（2）四名學(xué)生爭(zhēng)奪三項(xiàng)冠軍，獲得冠軍的可能

5、的種數(shù)是（ ）A81B64C24D4（3）有四位學(xué)生參加三項(xiàng)不同的競(jìng)賽，每位學(xué)生必須參加一項(xiàng)競(jìng)賽，則有不同的參賽方法有 ；每項(xiàng)競(jìng)賽只許有一位學(xué)生參加，則有不同的參賽方法有 ；每位學(xué)生最多參加一項(xiàng)競(jìng)賽，每項(xiàng)競(jìng)賽只許有一位學(xué)生參加，則不同的參賽方法有 。解析：（1）完成一件事是“分步”進(jìn)行還是“分類”進(jìn)行，是選用基本原理的關(guān)鍵。將“投四封信”這件事分四步完成，每投一封信作為一步，每步都有投入三個(gè)不同信箱的三種方法，因此：N=3333=34=81，故答案選A。本題也可以這樣分類完成，四封信投入一個(gè)信箱中，有C31種投法；四封信投入兩個(gè)信箱中，有C32（C41A22+C42C22）種投法；四封信投入三

6、個(gè)信箱，有兩封信在同一信箱中，有C42A33種投法、，故共有C31+C32（C41A22+C42C22）+C42A33=81（種）。故選A。（2）因?qū)W生可同時(shí)奪得n項(xiàng)冠軍，故學(xué)生可重復(fù)排列，將4名學(xué)生看作4個(gè)“店”，3項(xiàng)冠軍看作“客”，每個(gè)“客”都可住進(jìn)4家“店”中的任意一家，即每個(gè)“客”有4種住宿法。由分步計(jì)數(shù)原理得：N=444=64。故答案選B。（3）學(xué)生可以選擇項(xiàng)目，而競(jìng)賽項(xiàng)目對(duì)學(xué)生無(wú)條件限制，所以類似（1）可得N=34=81（種）；競(jìng)賽項(xiàng)目可以挑學(xué)生，而學(xué)生無(wú)選擇項(xiàng)目的機(jī)會(huì)，每一項(xiàng)可以挑4種不同學(xué)生，共有N=43=64（種）；等價(jià)于從4個(gè)學(xué)生中挑選3個(gè)學(xué)生去參加三個(gè)項(xiàng)目的競(jìng)賽，每人參加

7、一項(xiàng)，故共有C43A33=24（種）。例2（06江蘇卷）今有2個(gè)紅球、3個(gè)黃球、4個(gè)白球，同色球不加以區(qū)分，將這9個(gè)球排成一列有種不同的方法（用數(shù)字作答）解析：本題考查排列組合的基本知識(shí)，由題意可知，因同色球不加以區(qū)分，實(shí)際上是一個(gè)組合問(wèn)題，共有。點(diǎn)評(píng)：分步計(jì)數(shù)原理與分類計(jì)數(shù)原理是排列組合中解決問(wèn)題的重要手段，也是基礎(chǔ)方法，在高中數(shù)學(xué)中，只有這兩個(gè)原理，尤其是分類計(jì)數(shù)原理與分類討論有很多相通之處，當(dāng)遇到比較復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)，用分類的方法可以有效的將之化簡(jiǎn),達(dá)到求解的目的題型2：排列問(wèn)題例3（1）（1.（2009浙江卷理）在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，含的項(xiàng)的系數(shù)是( ) A B C D 答案 B 解析 對(duì)于

8、，對(duì)于，則的項(xiàng)的系數(shù)是【點(diǎn)評(píng)】：此題重點(diǎn)考察二項(xiàng)展開(kāi)式中指定項(xiàng)的系數(shù)，以及組合思想；【突破】：利用組合思想寫(xiě)出項(xiàng)，從而求出系數(shù)；（2）（2009江西卷理）展開(kāi)式中不含的項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值的和為，不含的項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值的和為，則的值可能為 A B C D 答案 D解析 ，則可取，選D點(diǎn)評(píng)：合理的應(yīng)用排列的公式處理實(shí)際問(wèn)題，首先應(yīng)該進(jìn)入排列問(wèn)題的情景，想清楚我處理時(shí)應(yīng)該如何去做。例4（1）用數(shù)字0，1，2，3，4組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，則其中數(shù)字1，2相鄰的偶數(shù)有個(gè)（用數(shù)字作答）；（2）電視臺(tái)連續(xù)播放6個(gè)廣告，其中含4個(gè)不同的商業(yè)廣告和2個(gè)不同的公益廣告，要求首尾必須播放公益廣告，則共有 種不同的播放

9、方式（結(jié)果用數(shù)值表示）.解析：（1）可以分情況討論： 若末位數(shù)字為0，則1，2，為一組，且可以交換位置，3，4，各為1個(gè)數(shù)字，共可以組成個(gè)五位數(shù)； 若末位數(shù)字為2，則1與它相鄰，其余3個(gè)數(shù)字排列，且0不是首位數(shù)字，則有個(gè)五位數(shù)； 若末位數(shù)字為4，則1，2，為一組，且可以交換位置，3，0，各為1個(gè)數(shù)字，且0不是首位數(shù)字，則有=8個(gè)五位數(shù)，所以全部合理的五位數(shù)共有24個(gè)。（2）分二步：首尾必須播放公益廣告的有A22種；中間4個(gè)為不同的商業(yè)廣告有A44種，從而應(yīng)當(dāng)填 A22A4448. 從而應(yīng)填48。點(diǎn)評(píng)：排列問(wèn)題不可能解決所有問(wèn)題，對(duì)于較復(fù)雜的問(wèn)題都是以排列公式為輔助題型三：組合問(wèn)題例5（2009

10、全國(guó)卷理）甲組有5名男同學(xué)，3名女同學(xué)；乙組有6名男同學(xué)、2名女同學(xué)。若從甲、乙兩組中各選出2名同學(xué)，則選出的4人中恰有1名女同學(xué)的不同選法共有( D )（A）150種 （B）180種 （C）300種 (D)345種 解: 分兩類(1) 甲組中選出一名女生有種選法; (2) 乙組中選出一名女生有種選法.故共有345種選法.選D（2）將4個(gè)顏色互不相同的球全部放入編號(hào)為1和2的兩個(gè)盒子里，使得放入每個(gè)盒子里的球的個(gè)數(shù)不小于該盒子的編號(hào)，則不同的放球方法有（）A10種B20種C36種 D52種【解析】： （2）將4個(gè)顏色互不相同的球全部放入編號(hào)為1和2的兩個(gè)盒子里，使得放入每個(gè)盒子里的球的個(gè)數(shù)不小

11、于該盒子的編號(hào)，分情況討論：1號(hào)盒子中放1個(gè)球，其余3個(gè)放入2號(hào)盒子，有種方法；1號(hào)盒子中放2個(gè)球，其余2個(gè)放入2號(hào)盒子，有種方法；則不同的放球方法有10種，選A。點(diǎn)評(píng)：計(jì)數(shù)原理是解決較為復(fù)雜的排列組合問(wèn)題的基礎(chǔ)，應(yīng)用計(jì)數(shù)原理結(jié)合例6（1）某校從8名教師中選派4名教師同時(shí)去4個(gè)邊遠(yuǎn)地區(qū)支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，則不同的選派方案共有 種；（2）5名志愿者分到3所學(xué)校支教，每個(gè)學(xué)校至少去一名志愿者，則不同的分派方法共有（ ）（A）150種 (B)180種 (C)200種 (D)280種 解析：（1）可以分情況討論， 甲去，則乙不去，有=480種選法；甲不去，乙去，有=480種選法；甲、乙

12、都不去，有=360種選法；共有1320種不同的選派方案；（2）人數(shù)分配上有1,2,2與1,1,3兩種方式，若是1,2,2，則有60種，若是1,1,3，則有90種，所以共有150種，選A。點(diǎn)評(píng)：排列組合的交叉使用可以處理一些復(fù)雜問(wèn)題，諸如分組問(wèn)題等；題型4：排列、組合的綜合問(wèn)題例7平面上給定10個(gè)點(diǎn)，任意三點(diǎn)不共線，由這10個(gè)點(diǎn)確定的直線中，無(wú)三條直線交于同一點(diǎn)（除原10點(diǎn)外），無(wú)兩條直線互相平行。求：（1）這些直線所交成的點(diǎn)的個(gè)數(shù)（除原10點(diǎn)外）。（2）這些直線交成多少個(gè)三角形解法一：（1）由題設(shè)這10點(diǎn)所確定的直線是C102=45條。這45條直線除原10點(diǎn)外無(wú)三條直線交于同一點(diǎn)，由任意兩條直

13、線交一個(gè)點(diǎn)，共有C452個(gè)交點(diǎn)。而在原來(lái)10點(diǎn)上有9條直線共點(diǎn)于此。所以，在原來(lái)點(diǎn)上有10C92點(diǎn)被重復(fù)計(jì)數(shù)；所以這些直線交成新的點(diǎn)是：C45210C92=630。（2）這些直線所交成的三角形個(gè)數(shù)可如下求：因?yàn)槊總€(gè)三角形對(duì)應(yīng)著三個(gè)頂點(diǎn)，這三個(gè)點(diǎn)來(lái)自上述630個(gè)點(diǎn)或原來(lái)的10個(gè)點(diǎn)。所以三角形的個(gè)數(shù)相當(dāng)于從這640個(gè)點(diǎn)中任取三個(gè)點(diǎn)的組合，即C6403=43486080（個(gè)）解法二：（1）如圖對(duì)給定的10點(diǎn)中任取4個(gè)點(diǎn)，四點(diǎn)連成6條直線，這6條直線交3個(gè)新的點(diǎn)。故原題對(duì)應(yīng)于在10個(gè)點(diǎn)中任取4點(diǎn)的不同取法的3倍，即這些直線新交成的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是：3C104=630。（2）同解法一。點(diǎn)評(píng)：用排列、組合解決有

14、關(guān)幾何計(jì)算問(wèn)題，除了應(yīng)用排列、組合的各種方法與對(duì)策之外，還要考慮實(shí)際幾何意義例8已知直線ax+by+c=0中的a,b,c是取自集合3,2,1,0,1,2,3中的3個(gè)不同的元素，并且該直線的傾斜角為銳角，求符合這些條件的直線的條數(shù)。解 設(shè)傾斜角為，由為銳角，得tan=-0,即a、b異號(hào)。（1）若c=0，a、b各有3種取法，排除2個(gè)重復(fù)（3x-3y=0,2x-2y=0,x-y=0），故有33-2=7（條）；（2）若c0，a有3種取法，b有3種取法，而同時(shí)c還有4種取法，且其中任兩條直線均不相同，故這樣的直線有334=36條，從而符合要求的直線共有7+36=43條；點(diǎn)評(píng)：本題是1999年全國(guó)高中數(shù)學(xué)

15、聯(lián)賽中的一填空題，據(jù)抽樣分析正確率只有0.37。錯(cuò)誤原因沒(méi)有對(duì)c=0與c0正確分類；沒(méi)有考慮c=0中出現(xiàn)重復(fù)的直線。題型5：二項(xiàng)式定理例9（1）（2009陜西卷文）若,則的值為 A. 2B.0 C. D. 答案 C 解析 由題意容易發(fā)現(xiàn),則, 同理可以得出,亦即前2008項(xiàng)和為0, 則原式= 故選C.（2）的展開(kāi)式中含x的正整數(shù)指數(shù)冪的項(xiàng)數(shù)是（A）0（B）2（C）4（D）6解析：本題主要考查二項(xiàng)式展開(kāi)通項(xiàng)公式的有關(guān)知識(shí)；（2）的展開(kāi)式通項(xiàng)為，因此含x的正整數(shù)次冪的項(xiàng)共有2項(xiàng).選B；點(diǎn)評(píng)：多項(xiàng)式乘法的進(jìn)位規(guī)則。在求系數(shù)過(guò)程中,盡量先化簡(jiǎn)，降底數(shù)的運(yùn)算級(jí)別,盡量化成加減運(yùn)算，在運(yùn)算過(guò)程可以適當(dāng)注意

16、令值法的運(yùn)用，例如求常數(shù)項(xiàng)，可令.在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，要注意項(xiàng)的系數(shù)和二項(xiàng)式系數(shù)的區(qū)別例10（1）（2008江蘇10）將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣：123456789101112131415按照以上排列的規(guī)律，第行（）從左向右的第3個(gè)數(shù)為 【解析】本小題考查歸納推理和等差數(shù)列求和公式前n1 行共有正整數(shù)12（n1）個(gè)，即個(gè)，因此第n 行第3 個(gè)數(shù)是全體正整數(shù)中第3個(gè)，即為【答案】（2）（2009北京卷理）若為有理數(shù)），則 （ ） A45 B55 C70 D80答案 C解析 本題主要考查二項(xiàng)式定理及其展開(kāi)式. 屬于基礎(chǔ)知識(shí)、基本運(yùn)算的考查. ， 由已知，得，.故選C.（2）已知的展開(kāi)式中第三項(xiàng)

17、與第五項(xiàng)的系數(shù)之比為,其中=1，則展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是（ ）(A)45i (B) 45i (C) 45 (D)45（2）第三項(xiàng)的系數(shù)為，第五項(xiàng)的系數(shù)為，由第三項(xiàng)與第五項(xiàng)的系數(shù)之比為可得n10，則，令405r0，解得r8，故所求的常數(shù)項(xiàng)為45，選A；（3）(2009湖南卷理)在的展開(kāi)式中，的系數(shù)為_(kāi)7_(用數(shù)字作答)答案 7 解析 由條件易知展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)分別是，即所求系數(shù)是點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式展開(kāi)式的特殊值法，基礎(chǔ)題；題型6：二項(xiàng)式定理的應(yīng)用例11證明下列不等式：（1）（）n,（a、bx|x是正實(shí)數(shù),nN）;（2）已知a、b為正數(shù)，且+=1，則對(duì)于nN有（a+b）n-an-bn22n-2n+1。

18、證明：（1）令a=x+，b=x，則x=；an+bn=(x+)n+(x-)n=xn+Cn1xn-1+Cnnn+xn-Cn1xn-1+(-1)nCnnn=2(xn+Cn2xn-22+Cn4xn-44+)2xn即（）n（2）(a+b)n=an+Cn1an-1b+Cnnbn(a+b)n=bn+Cn1bn-1a+Cnnan上述兩式相加得：2(a+b)n=(an+bn)+Cn1(an-1b+bn-1a)+Cnk(an-kbk+bn-kak)+Cnn(an+bn) (*)+=1，且a、b為正數(shù)ab=a+b2 ab4又an-kbk+bn-kak2=2()n(k=1,2,n-1)2(a+b) n2an+2bn+

19、Cn12()n+Cn22（）n+Cnn-12()n(a+b)nan-bn(Cn1+Cn2+Cnn-1)（）n(2n2)2n=22n2n+1點(diǎn)評(píng)：利用二項(xiàng)式定理的展開(kāi)式，可以證明一些與自然數(shù)有關(guān)的不等式問(wèn)題。題（1）中的換元法稱之為均值換元（對(duì)稱換元）。這樣消去奇數(shù)次項(xiàng)，從而使每一項(xiàng)均大于或等于零。題（2）中，由由稱位置二項(xiàng)式系數(shù)相等，將展開(kāi)式倒過(guò)來(lái)寫(xiě)再與原來(lái)的展開(kāi)式相加，這樣充分利用對(duì)稱性來(lái)解題的方法是利用二項(xiàng)式展開(kāi)式解題的常用方法。例12（1）求46n+5n+1被20除后的余數(shù)；（2）7n+Cn17n-1+Cn27n-2+Cnn-17除以9，得余數(shù)是多少？（3）根據(jù)下列要求的精確度，求1.0

20、25的近似值。精確到0.01；精確到0.001。解析：（1）首先考慮46n+5n+1被4整除的余數(shù)。5n+1=(4+1)n+1=4n+1+Cn+114n+Cn+124n-1+Cn+1n4+1，其被4整除的余數(shù)為1，被20整除的余數(shù)可以為1，5，9，13，17，然后考慮46n+1+5n+1被5整除的余數(shù)。46n=4(5+1)n=4(5n+Cn15n-1+Cn25n-2+Cnn-15+1)，被5整除的余數(shù)為4，其被20整除的余數(shù)可以為4，9，14，19。綜上所述，被20整除后的余數(shù)為9。（2） 7n+Cn17n-1+Cn27n-2+Cnn-17 =(7+1)n1=8n1=(9-1)n1 =9n-Cn19n-1+Cn29n-2+(1)n-1Cnn-19+(1)nCnn-1(i)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)原式=9n-Cn19n-1+Cn29n-2+（1）n-1Cnn-192除以9所得余數(shù)為7。(ii)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)原式=9n-Cn19n-1+Cn