定積分產生的歷史意義

1、定積分產生的歷史意義定積分就是求函數f(X)在區(qū)間a，b中圖線下包圍的面積。即由 y=0，x=a，x=b，y=f(X)所圍成圖形的面積。其定義為：設函數f(x) 在區(qū)間a，b上連續(xù)，將區(qū)間a，b分成n個子區(qū)間x0，x1， (x1，x2， (x2，x3， ， (xn-1，xn，其中x0=a，xn=b?？芍鲄^(qū)間的長度依次是：x1=x1-x0， x2=x2-x1， ， xn=xn-xn-1。在每個子區(qū)間(xi-1，xi中任取一點i（1，2，。，n），作和式 。設=maxx1， x2， ， xn（即是最大的區(qū)間長度），則當0時，該和式無限接近于某個常數，這個常數叫做函數f(x) 在區(qū)間a，b的定積分

2、，記為 。定積分的概念起源于求平面圖形的面積和其他一些實際問題。定積分的思想在古代數學家的工作中，就已經有了萌芽。比如古希臘時期阿基米德在公元前240年左右，就曾用求和的方法計算過拋物線弓形及其他圖形的面積。公元 263 年我國劉徽提出的割圓術，也是同一思想。在歷史上，積分觀念的形成比微分要早。但是直到牛頓和萊布尼茨的工作出現之前（17世紀下半葉），有關定積分的種種結果還是孤立零散的，比較完整的定積分理論還未能形成，直到牛頓-萊布尼茨公式建立以后，計算問題得以解決，定積分才迅速建立發(fā)展起來。 未來的重大進展，在微積分才開始出現，直到16世紀。 此時的卡瓦列利與他的indivisibles方法

3、，并通過費爾馬工作，開始卡瓦列利計算度N = 9 N的積分奠定現代微積分的基礎， 卡瓦列利的正交公式 。17世紀初巴羅提供的第一個證明微積分基本定理。在一體化的重大進展是在17世紀獨立發(fā)現的牛頓-萊布尼茨的微積分基本定理。 定理演示了一個整合和分化之間的連接。 這方面，分化比較容易地結合起來，可以利用來計算積分。 特別是微積分基本定理，允許一個要解決的問題更廣泛的類。 同等重要的是，牛頓-萊布尼茨開發(fā)全面的數學框架。 由于名稱的微積分，它允許精確的分析在連續(xù)域的功能。 這個框架最終成為現代微積分符號。 定積分的逐漸發(fā)展和完善，促使了定積分術語和符號的規(guī)范。 艾薩克牛頓以上的變量使用一個小豎線表

4、示一體化，或放置在一個盒子里的變量， 豎線是很容易混淆。牛頓用 或 來指示分化，可方塊符號打印機難以重現，所以這些符號沒有被廣泛采用。 1675 年戈特弗里德萊布尼茨所使用的積分符號 “”從字母 S（“總結”或“總”）改編而來。符號表示的整合; A和 B 的下限和上限 ，分別一體化，定義域的融合; f是積，x在區(qū)間a，b上的變化進行評估; 從歷史上看，黎曼嚴格解釋無窮小的早期努力失敗后，正式定義為積分的加權求和的限制， 使有差別的限制（即間隔寬度）。 黎曼的間隔和連續(xù)性的依賴的缺點促使了新的定義，尤其是勒貝格積分，這是建立能力，延長了“措施”，以更靈活的方式的想法。 因此，符號是指在分區(qū)函數值

5、測量的重量被分配到每個值，加權總和。 在這里，A表示一體化的地區(qū)。 定積分的運用：1.解決求曲邊圖形的面積問題;2.求變速直線運動的路程：做變速直線運動的物體經過的路程s，等于其速度函數v=v(t) (v(t)0)在時間區(qū)間a，b上的定積分;3.變力做功：某物體在變力F=F(x)的作用下，在位移區(qū)間a，b上做的功等于F=F(x)在a，b上的定積分。 定積分既是一個基本概念，又是一種基本思想。 定積分的思想即“化整為零近似代替積零為整取極限”。定積分這種“和的極限”的思想，在高等數學、物理、工程技術、其他的知識領域以及人們在生產實踐活動中具有普遍的意義，很多問題的數學結構與定積分中求“和的極限”

6、的數學結構是一樣的，教材通過對曲邊梯形的面積、變速直線運動的路程等實際問題的研究，運用極限方法，分割整體、局部線性化、以直代曲、化有限為無限、變連續(xù)為離散等過程，使定積分的概念逐步發(fā)展建立起來?？梢哉f，定積分最重要的功能是為我們研究某些問題提供一種思想方法（或思維模式），即用無限的過程處理有限的問題，用離散的過程逼近連續(xù)，以直代曲，局部線性化等。定積分的概念及微積分基本公式，不僅是數學史上，而且是科學思想史上的重要創(chuàng)舉。 微積分創(chuàng)立是數學史上一個具有劃時代意義的創(chuàng)舉，也是人類文明的一個偉大成果。正如恩格斯評價的那樣：“在一切理論成就中，未必再有什么象17世紀下半葉微積分的發(fā)明那樣被當作人類精神的最高勝利了?！彼强茖W技術以及自然科學的各個分支中被廣泛應用的最重要的數學工具：如數學研究、求數列極限、