高考數(shù)學(xué)知識(shí)與方法點(diǎn)拔匯編

1、高考數(shù)學(xué)知識(shí)與方法點(diǎn)撥匯編第一部分 集合1理解集合中元素的意義是解決集合問題的關(guān)鍵：元素是函數(shù)關(guān)系中自變量的取值？還是因變量的取值？還是曲線上的點(diǎn)？ ；2數(shù)形結(jié)合是解集合問題的常用方法：解題時(shí)要盡可能地借助數(shù)軸、直角坐標(biāo)系或韋恩圖等工具，將抽象的代數(shù)問題具體化、形象化、直觀化，然后利用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。3（1）含n個(gè)元素的集合的子集數(shù)為2n,真子集數(shù)為2n1；非空真子集的數(shù)為2n-2；（2） 注意：討論的時(shí)候不要遺忘了的情況；（3）。第二部分 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)1映射：注意 第一個(gè)集合中的元素必須有象；一對(duì)一，或多對(duì)一。2函數(shù)值域的求法：直接法 ；配方法

2、 ；導(dǎo)數(shù)法 ；利用函數(shù)單調(diào)性 ；換元法 ；利用均值不等式 ； 利用數(shù)形結(jié)合或幾何意義（斜率、距離、絕對(duì)值的意義等）；利用函數(shù)有界性（、等）；判別式法3復(fù)合函數(shù)的相關(guān)問題（1）復(fù)合函數(shù)定義域求法： 若f(x)的定義域?yàn)閍，b,則復(fù)合函數(shù)fg(x)的定義域由不等式ag(x)b解出 若fg(x)的定義域?yàn)閍,b,求 f(x)的定義域，相當(dāng)于xa,b時(shí)，求g(x)的值域。（2）復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定：首先將原函數(shù)分解為基本函數(shù)：內(nèi)函數(shù)與外函數(shù)；分別研究?jī)?nèi)、外函數(shù)在各自定義域內(nèi)的單調(diào)性；根據(jù)“同性則增，異性則減”來判斷原函數(shù)在其定義域內(nèi)的單調(diào)性。注意：外函數(shù)的定義域是內(nèi)函數(shù)的值域。4分段函數(shù)：值域（最值）

3、、單調(diào)性、圖象等問題，先分段解決，再下結(jié)論。5函數(shù)的奇偶性函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件；是奇函數(shù)；是偶函數(shù) ；奇函數(shù)在原點(diǎn)有定義，則；在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)：奇函數(shù)有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)有相反的單調(diào)性；（6）若所給函數(shù)的解析式較為復(fù)雜，應(yīng)先等價(jià)變形，再判斷其奇偶性；6函數(shù)的單調(diào)性單調(diào)性的定義：在區(qū)間上是增（減）函數(shù)當(dāng)時(shí)；單調(diào)性的判定定義法：注意：一般要將式子化為幾個(gè)因式作積或作商的形式，以利于判斷符號(hào)；導(dǎo)數(shù)法（見導(dǎo)數(shù)部分）；復(fù)合函數(shù)法（見2 （2）；圖像法。注：證明單調(diào)性主要用定義法和導(dǎo)數(shù)法。7函數(shù)的周期性(1)周期性的定義：對(duì)定義域內(nèi)的任意，若有 （其中為非零常數(shù)）

4、，則稱函數(shù)為周期函數(shù)，為它的一個(gè)周期。所有正周期中最小的稱為函數(shù)的最小正周期。如沒有特別說明，遇到的周期都指最小正周期。（2）三角函數(shù)的周期 ； ； ；函數(shù)周期的判定：定義法（試值） 圖像法 公式法（利用（2）中結(jié)論）與周期相關(guān)的結(jié)論：或 的周期為；的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱周期2；的圖象關(guān)于直線軸對(duì)稱周期為2；的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，直線軸對(duì)稱周期4；8基本初等函數(shù)的圖像與性質(zhì)冪函數(shù)： （ ；指數(shù)函數(shù)：；對(duì)數(shù)函數(shù)：；正弦函數(shù)：；余弦函數(shù)： ；（6）正切函數(shù)：；一元二次函數(shù)：；其它常用函數(shù)：正比例函數(shù)：；反比例函數(shù)：；特別的，“勾”函數(shù)：；9二次函數(shù)：解析式：一般式：；頂點(diǎn)式：，為頂點(diǎn)；零點(diǎn)式： 。二

5、次函數(shù)問題解決需考慮的因素：開口方向；對(duì)稱軸；端點(diǎn)值；與坐標(biāo)軸交點(diǎn)；判別式；兩根符號(hào)。二次函數(shù)問題解決方法：數(shù)形結(jié)合；分類討論。10函數(shù)圖象圖象作法 ：描點(diǎn)法（注意三角函數(shù)的五點(diǎn)作圖）圖象變換法導(dǎo)數(shù)法圖象變換： 平移變換：，左“+”右“-”； 上“+”下“-”； 伸縮變換：， （縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長為原來的倍；， （橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)伸長為原來的倍； 對(duì)稱變換：； ； ； 翻轉(zhuǎn)變換：右不動(dòng)，右向左翻（在左側(cè)圖象去掉）；上不動(dòng)，下向上翻（|在下面無圖象）；11函數(shù)圖象（曲線）對(duì)稱性的證明(1)證明函數(shù)圖像的對(duì)稱性，即證明圖像上任意點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心（對(duì)稱軸）的對(duì)稱點(diǎn)仍在圖像上；（2）證明函數(shù)與圖象

6、的對(duì)稱性，即證明圖象上任意點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心（對(duì)稱軸）的對(duì)稱點(diǎn)在的圖象上，反之亦然；注：曲線C1：f(x,y)=0關(guān)于點(diǎn)（a,b）的對(duì)稱曲線C2方程為：f(2ax,2by)=0;曲線C1：f(x,y)=0關(guān)于直線x=a的對(duì)稱曲線C2方程為：f(2ax, y)=0;曲線C1：f(x,y)=0,關(guān)于y=x+a(或y=x+a)的對(duì)稱曲線C2的方程為f(ya,x+a)=0(或f(y+a,x+a)=0);f(a+x)=f(bx) （xR）y=f(x)圖像關(guān)于直線x=對(duì)稱；特別地：f(a+x)=f(ax) （xR）y=f(x)圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱；函數(shù)y=f(xa)與y=f(bx)的圖像關(guān)于直線x=對(duì)稱；1

7、2函數(shù)零點(diǎn)的求法：直接法（求的根）；圖象法；二分法.13導(dǎo)數(shù) 導(dǎo)數(shù)定義：f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)記作；常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式: ； 。導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：利用導(dǎo)數(shù)求切線：注意：所給點(diǎn)是切點(diǎn)嗎？所求的是“在”還是“過”該點(diǎn)的切線？利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性： 是增函數(shù)； 為減函數(shù)； 為常數(shù)； 利用導(dǎo)數(shù)求極值：求導(dǎo)數(shù)；求方程的根；列表得極值。利用導(dǎo)數(shù)最大值與最小值：求的極值；求區(qū)間端點(diǎn)值（如果有）；得最值。第三部分 三角函數(shù)、三角恒等變換與解三角形1角度制與弧度制的互化：弧度，弧度，弧度弧長公式：；扇形面積公式：。2三角函數(shù)定義：角中邊上任意一點(diǎn)為，設(shè)則：3三角函數(shù)符號(hào)規(guī)律：一全正，二正弦，三

8、兩切，四余弦；4誘導(dǎo)公式記憶規(guī)律：“函數(shù)名不（改）變，符號(hào)看象限”；5對(duì)稱軸：；對(duì)稱中心：； 對(duì)稱軸：；對(duì)稱中心：； 6同角三角函數(shù)的基本關(guān)系：；7兩角和與差的正弦、余弦、正切公式： 。8二倍角公式：；。9正、余弦定理正弦定理（是外接圓直徑）注：；。余弦定理：等三個(gè)；注：等三個(gè)。10、幾個(gè)公式:三角形面積公式：；內(nèi)切圓半徑r=；外接圓直徑2R=11已知時(shí)三角形解的個(gè)數(shù)的判定： AbaCh其中h=bsinA,A為銳角時(shí)：ah時(shí)，無解；a=h時(shí)，一解（直角）；hab時(shí)，一解（銳角）。第四部分 立體幾何1表（側(cè)）面積與體積公式：柱體：表面積：S=S側(cè)+2S底；側(cè)面積：S側(cè)=；體積：V=S底h 錐體：

9、表面積：S=S側(cè)+S底；側(cè)面積：S側(cè)=；體積：V=S底h：臺(tái)體：表面積：S=S側(cè)+S上底S下底；側(cè)面積：S側(cè)=；體積：V=（S+）h；球體：表面積：S=；體積：V= 。2位置關(guān)系的證明（主要方法）：直線與直線平行：公理4；線面平行的性質(zhì)定理；面面平行的性質(zhì)定理。直線與平面平行：線面平行的判定定理；面面平行線面平行。平面與平面平行：面面平行的判定定理及推論；垂直于同一直線的兩平面平行。直線與平面垂直：直線與平面垂直的判定定理；面面垂直的性質(zhì)定理。平面與平面垂直：定義-兩平面所成二面角為直角；面面垂直的判定定理。3結(jié)論：從一點(diǎn)O出發(fā)的三條射線OA、OB、OC，若AOB=AOC，則點(diǎn)A在平面BOC上

10、的射影在BOC的平分線上；A立平斜公式(最小角定理公式)：正棱錐的各側(cè)面與底面所成的角相等記為，則S側(cè)cos=S底；長方體的性質(zhì)長方體體對(duì)角線與過同一頂點(diǎn)的三條棱所成的角分別為則：cos2+cos2+cos2=1；sin2+sin2+sin2=2 。長方體體對(duì)角線與過同一頂點(diǎn)的三側(cè)面所成的角分別為則有cos2+cos2+cos2=2；sin2+sin2+sin2=1 。正四面體的性質(zhì)：設(shè)棱長為，則正四面體的： 高：；對(duì)棱間距離：；相鄰兩面所成角余弦值：；內(nèi)切球半徑：；外接球半徑：；體積：。第五部分 直線與圓1直線方程點(diǎn)斜式： ；斜截式： ；截距式： ；兩點(diǎn)式： ；一般式：，（A，B不全為0）。

11、（直線的方向向量：（，法向量（2求解線性規(guī)劃問題的步驟是：（1）列約束條件；（2）作可行域，寫目標(biāo)函數(shù)；（3）確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解。3兩條直線的位置關(guān)系：直線方程 平行的充要條件 垂直的充要條件 備注 有斜率 且 不可寫成 （驗(yàn)證） 分式4直線系直線方程 平行直線系 垂直直線系 相交直線系 5幾個(gè)公式設(shè)A（x1,y1）、B(x2,y2)、C（x3,y3），ABC的重心G：（）；點(diǎn)P（x0,y0）到直線Ax+By+C=0的距離：；兩條平行線Ax+By+C1=0與 Ax+By+C2=0的距離是；6圓的方程：標(biāo)準(zhǔn)方程： ； 。一般方程： （注：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圓A=C0

12、且B=0且D2+E24AF0；7圓的方程的求法：待定系數(shù)法；幾何法；圓系法。8圓系：； 注：當(dāng)時(shí)表示兩圓交線。 。9點(diǎn)、直線與圓的位置關(guān)系：（主要掌握幾何法）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：（表示點(diǎn)到圓心的距離）點(diǎn)在圓上；點(diǎn)在圓內(nèi)；點(diǎn)在圓外。直線與圓的位置關(guān)系：（表示圓心到直線的距離）相切；相交；相離。圓與圓的位置關(guān)系：（表示圓心距，表示兩圓半徑，且）相離；外切；相交；內(nèi)切；內(nèi)含。10與圓有關(guān)的結(jié)論：過圓x2+y2=r2上的點(diǎn)M(x0,y0)的切線方程為：x0x+y0y=r2；過圓(x-a)2+(y-b)2=r2上的點(diǎn)M(x0,y0)的切線方程為：(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2；以A(

13、x1，y2)、B(x2,y2)為直徑的圓的方程：(xx1)(xx2)+(yy1)(yy2)=0。第六部分 圓錐曲線1定義：橢圓：；雙曲線：；拋物線：略2結(jié)論 焦半徑：橢圓：（e為離心率）； （左“+”右“-”）；拋物線：弦長公式：；注：（）焦點(diǎn)弦長：橢圓：；拋物線：x1+x2+p=；（）通徑（最短弦）：橢圓、雙曲線：；拋物線：2p。過兩點(diǎn)的橢圓、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為： （同時(shí)大于0時(shí)表示橢圓，時(shí)表示雙曲線）；橢圓中的結(jié)論：內(nèi)接矩形最大面積 ：2ab；P，Q為橢圓上任意兩點(diǎn)，且OP0Q，則 ；橢圓焦點(diǎn)三角形：，（）；點(diǎn) 是內(nèi)心，交于點(diǎn)，則 ；當(dāng)點(diǎn)與橢圓短軸頂點(diǎn)重合時(shí)最大； 雙曲線中的結(jié)論：雙曲線

14、（a0,b0）的漸近線：； 共漸進(jìn)線的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為為參數(shù)，0）；雙曲線焦點(diǎn)三角形：，（）；P是雙曲線=1(a0，b0)的左（右）支上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2分別為左、右焦點(diǎn)，則PF1F2的內(nèi)切圓的圓心橫坐標(biāo)為；雙曲線為等軸雙曲線漸近線為漸近線互相垂直；（6）拋物線中的結(jié)論：拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn)弦AB性質(zhì)： x1x2=；y1y2=p2； ；以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；以AF（或BF）為直徑的圓與軸相切；。 拋物線y2=2px(p0)內(nèi)結(jié)直角三角形OAB的性質(zhì)： ； 恒過定點(diǎn)；中點(diǎn)軌跡方程：；，則軌跡方程為：； 。拋物線y2=2px(p0)，對(duì)稱軸上一定點(diǎn)，則：當(dāng)時(shí)，頂點(diǎn)到點(diǎn)A距離最小，最

15、小值為；當(dāng)時(shí)，拋物線上有關(guān)于軸對(duì)稱的兩點(diǎn)到點(diǎn)A距離最小，最小值為。3直線與圓錐曲線問題解法：直接法（通法）：聯(lián)立直線與圓錐曲線方程，構(gòu)造一元二次方程求解。注意以下問題：聯(lián)立的關(guān)于“”還是關(guān)于“”的一元二次方程？直線斜率不存在時(shí)考慮了嗎？判別式驗(yàn)證了嗎？設(shè)而不求（代點(diǎn)相減法）：-處理弦中點(diǎn)問題步驟如下：設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)、B(x2,y2)；作差得；解決問題。4求軌跡的常用方法：（1）定義法：利用圓錐曲線的定義； （2）直接法（列等式）；（3）代入法（相關(guān)點(diǎn)法或轉(zhuǎn)移法）；待定系數(shù)法；（5）參數(shù)法。第七部分 平面向量設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2)，則： ab(b0)a=b （x1y2x2

16、y1=0； ab(a、b0)ab=0x1x2+y1y2=0 .ab=|a|b|cos=x2+y1y2； cos=；注：|a|cos叫做a在b方向上的投影；|b|cos叫做b在a方向上的投影； ab的幾何意義：ab等于|a|與|b|在a方向上的投影|b|cos的乘積。三點(diǎn)共線的充要條件P，A，B三點(diǎn)共線； 第八部分 數(shù)列1定義：等差數(shù)列 ；等比數(shù)列 ；2等差、等比數(shù)列性質(zhì) 等差數(shù)列 等比數(shù)列通項(xiàng)公式 前n項(xiàng)和 性質(zhì) an=am+ (nm)d, an=amqn-m; m+n=p+q時(shí)am+an=ap+aq m+n=p+q時(shí)aman=apaq 成AP 成GP 成AP, 成GP,等差數(shù)列特有性質(zhì)：項(xiàng)數(shù)

17、為2n時(shí)：S2n=n(an+an+1)=n(a1+a2n)； ；項(xiàng)數(shù)為2n-1時(shí)：S2n-1=(2n-1)； ；若；若；若。S1 (n=1)SnSn-1 (n2)3數(shù)列通項(xiàng)的求法：an=歸納法；定義法（利用AP,GP的定義）；公式法：累加法（；疊乘法（型）；構(gòu)造法（型）；（6）迭代法；間接法（例如：）；作商法（型） 注：當(dāng)遇到時(shí)，要分奇數(shù)項(xiàng)偶數(shù)項(xiàng)討論，結(jié)果是分段形式。4前項(xiàng)和的求法：公式法；（2）拆、并、裂項(xiàng)法；（3）倒序相加法；（4）錯(cuò)位相減法。5等差數(shù)列前n項(xiàng)和最值的求法： ；利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)。 第九部分 不等式1均值不等式：注意：一正二定三相等；變形，。2（了解）絕對(duì)值不等式：3

18、不等式的性質(zhì)：；（6）。4不等式等證明（主要）方法：比較法：作差或作比；綜合法；分析法。 第十部分 復(fù)數(shù)1概念：z=a+biRb=0 (a,bR)z= z20；z=a+bi是虛數(shù)b0(a,bR)；z=a+bi是純虛數(shù)a=0且b0(a,bR)z0（z0）z20時(shí)，變量正相關(guān)； 0，a=0，a0)求最值時(shí)，要注意取得最值的條件“一正二定三相等”。3數(shù)列問題：已知Sn，求an時(shí)，an=（若能合并，則盡量合并成一個(gè)式子。）求等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn時(shí)，必須考慮q=1與q1兩種情況。等比數(shù)列的公比和任一項(xiàng)都不為0，即q0，an0。有時(shí)對(duì)等比數(shù)列的公比分q=1，q1，0q1三種情況討論。在等差或等比數(shù)列中，注意基本量思想(用a1，d或q表示)，或基本性質(zhì)解題(有時(shí)特別是小題)。4應(yīng)用點(diǎn)斜式y(tǒng)=kx+b設(shè)直線方程時(shí)，應(yīng)注意對(duì)斜率k是否存在要進(jìn)行討論。有時(shí)為避免討論或方便起見，設(shè)直線方程為x=my+n，應(yīng)注意此時(shí)直線不可能垂直于y軸。規(guī)范化提醒 這是取得高分的基本保證。規(guī)范化包括：解題過程有必要的文字說明或敘述，注意解完后再看一下題目，看你的解答是否符合題意，謹(jǐn)防因解題不全或失誤，答題或書寫不規(guī)范而失分?？傊?，要吃透題“情”，合理分配時(shí)間，做到一準(zhǔn)、二快、三規(guī)范。特別是要注意解題結(jié)果的規(guī)范化。1解與