二次型論文[沐風(fēng)書苑]

1、二次型理論與代數(shù)學(xué)在中國的傳播高等代數(shù)學(xué) 論文題目 二次型理論與代數(shù)學(xué)在中國的傳播 作者姓名 班級學(xué)號 學(xué)科專業(yè) 所在學(xué)院 任課教師 提交日期 2014年11月20日 教學(xué)f二次型理論與代數(shù)學(xué)在中國的傳播摘 要：高等代數(shù)是歷史悠久、內(nèi)容豐富的一門基礎(chǔ)學(xué)科。二次型作為高等代數(shù)的重要內(nèi)容, 已被廣泛應(yīng)用到很多實際問題中。二次型在中國的傳播為代數(shù)學(xué)得發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。關(guān)鍵詞：二次型；代數(shù)學(xué)；傳播1 二次型的研究背景及近況二次型的研究是從18世紀(jì)開始的，它是對二次曲線和二次曲面的分類問題進(jìn)行討論研究，將二次曲線和二次曲面的方程進(jìn)行變形，選有主軸方向的軸作為坐標(biāo)軸以簡化方程的形狀。更進(jìn)一步來看，隨著科學(xué)技

2、術(shù)的迅速發(fā)展以及電子計算機(jī)的普及使用，線性代數(shù)理論知識已被廣泛利用，而二次型內(nèi)容屬于線性代數(shù)重要的綜合性知識部分，也被廣泛重視。線性代數(shù)二次型理論在當(dāng)今社會的多個領(lǐng)域中都有廣泛的實際應(yīng)用，比如微分學(xué)研究很多函數(shù)線性近似問題。同時，關(guān)于二次型的相關(guān)問題也是多數(shù)院校學(xué)生學(xué)習(xí)和研究生考試的重點和難點部分，它的內(nèi)容體現(xiàn)了線性代數(shù)教材的綜合性知識應(yīng)用。例如，在解析幾何中，為了能讓學(xué)生更清楚地分析理解曲線和二次曲線的幾何性質(zhì)，常常會把二次曲線和二次型曲面的一般形式轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形，這就運用到二次型化標(biāo)準(zhǔn)形的方法。從整體來看，二次型理論在物理學(xué)、力學(xué)、數(shù)理統(tǒng)、等領(lǐng)域都有重要的實際應(yīng)用。所以，理解并學(xué)會應(yīng)用二次型

3、知識是非常有必要的。2 二次型的簡介2.1 二次型的發(fā)展自1748年瑞士數(shù)學(xué)家歐拉討論了三元二次型的化簡問題后，各地掀起了研究二次型理論的浪潮。當(dāng)然，中國也不甘示弱?？梢哉f，柯召是中國二次型研究的開拓者，30年前，柯召在表二次型為線性型平方和的問題方面，在二次型表為不可分解型之和以及二次型的等價分類等問題上，作了一系列重要工作。表平方和問題。設(shè)是一個整系數(shù)正定二次型，R表示最小的i，j正整數(shù)r n，使得對一個任給的n元二次型f，存在r n個線性型這里表示有理數(shù)域。尋求R的工作始于E.G.H蘭道（Landau）和莫德爾。1937年，莫德爾證明了Rn+3。1937年，柯召對Rn+3給出了一個簡潔的

4、證明，并于1938年證明了Rn+3，從而徹底解決了這一問題。這是他在二次型方面的第一個重要工作。1940年，他還證明了對于任給的非定n元么模二次型f，存在1和線性型Li，使得2不可分問題。設(shè)f是一個整系數(shù)正定二次型，如果f不能表成二個整系數(shù)非負(fù)二次型的和，我們稱f是n元不可分解型。1937年，莫德爾證明了對于n5，不存在不可分解型，而在n8時有這樣的型存在?？抡俸蛺蹱柼叵ＷC明了n12時，除開n13，17，19，23外，均存在n元不可分解型，使這一問題得以基本解決。1958年，柯召證明了不存在13元不可分解型。這些結(jié)果，至今仍具有重要的學(xué)術(shù)價值。1988年，在日本召開的國際信息論會議上，兩位獲獎

5、人中的一位美國數(shù)學(xué)家N.J.A斯托勒（Stoane），對一位中國代表談到柯召30年代有關(guān)二次型的論文時說：“我很驚異中國人那么早就已作出了巨大的成就?！彼雇欣者€請這位代表帶信向柯召致意：“我拜讀了您1938年關(guān)于二次型的論文，棒極了。”2.2 二次型的特點二次型內(nèi)容是線性代數(shù)的重要內(nèi)容之一。通過學(xué)習(xí)二次型章節(jié)內(nèi)容，使學(xué)生掌握必要的基礎(chǔ)理論和常用的思維方法等，使學(xué)生初步受到用代數(shù)方法解決幾何和物理等實際問題的能力訓(xùn)練，逐步培養(yǎng)學(xué)生具有比較熟練的運算能力、抽象思維能力、 邏輯推理能力、 空間想象能力和自學(xué)能力。二次型的特點就是內(nèi)容抽象，理論知識偏多，需要理解的知識及應(yīng)用相結(jié)合的。因此，在學(xué)習(xí)二次型

6、知識的過程中，對所涉及的概念、性質(zhì)及定理要充分理解，同時很多東西也需要記憶，尤其要注意一些基本定義、基本定理之間的相互聯(lián)系、相互滲透的，并且其知識需要反復(fù)揣摩的。比如二次型的標(biāo)準(zhǔn)形、正定二次型等知識與前面章節(jié)的聯(lián)系，只有弄清這些關(guān)系，才能對所涉及的概念通過不斷重復(fù)而達(dá)到加深印象的目的，也能對所給問題作進(jìn)一步深入的理解。作為線性代數(shù)的中心內(nèi)容，二次型包括二次型及矩陣表示、二次型的標(biāo)準(zhǔn)型、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形、正定二次型四方面內(nèi)容。二次型與正定二次型是其教學(xué)重點及難點。需要掌握二次型、正定二次型的概念，了解實二次型的標(biāo)準(zhǔn)形以及二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形的方法。通過分析教材可知學(xué)習(xí)二次型需要充分利用行列式、矩陣、

7、向量組、線性方程組等知識。3 二次型及其矩陣表示3.1.1 二次型基本內(nèi)容定義1.1 設(shè)是一個數(shù)域，一個系數(shù)在數(shù)域中的個變量的二次齊次多項式的方式如下 +則稱該形式為數(shù)域上的元二次型，或簡稱二次型7.注意 (1) 為了計算與討論方便，上式的系數(shù)寫成. (2) 上式也可以這樣寫 定義1.2 設(shè)是兩組數(shù)，則系數(shù)在數(shù)域上的關(guān)系式為 稱為由到的一組線性變換，簡稱線性替換8. 式，則稱為非退化線性替換.3.1.2 二次型矩陣表示(1) 設(shè)從，可以有 (1)此中，為實數(shù),且.把上式的系數(shù)寫成一個的矩陣則它稱為(1)的二次型矩陣.(2) 讓，會有 因而就有 .則稱作為二次型矩陣表達(dá)式，并且矩陣稱為實對稱矩陣

8、，而稱為二次型的系數(shù)矩陣, 簡稱為二次型的矩陣9二次型矩陣的秩稱為二次型的秩.顯然，二次型 與實對稱矩陣A是相對應(yīng)的. 注意 (1) 二次型矩陣一般都是對稱矩陣，則有. (2) 二次型與其矩陣是互相唯一確定的，即 當(dāng)同時 (3) 在中，二次型 完全是由決定對稱矩 陣的. 3.1.3 合同矩陣定義1.3 矩陣在數(shù)域p上范圍內(nèi)是合同的，假設(shè)矩陣在數(shù)域p上內(nèi)是可逆的，讓.特別注意 (1) 合同具有反身性： 傳遞性： ，則有 對稱性： (2) 合同矩陣有一樣的秩 (3) 與對稱矩陣合同的矩陣也是對稱的 3.2 正定二次型 定義3.1 如果在二次型中，對不都為零的任意實數(shù)都有，稱作為正定二次型，并將正定二次型矩陣叫做正定矩陣；若是對不都為零的任意實數(shù)都有，則稱作為負(fù)定二次型，同時對稱矩陣是負(fù)定的。4 結(jié) 語隨著人類社會