(最新整理)空間直角坐標(biāo)系和空間向量典型例題

1、(完整)空間直角坐標(biāo)系和空間向量典型例題(完整)空間直角坐標(biāo)系和空間向量典型例題 編輯整理：尊敬的讀者朋友們：這里是精品文檔編輯中心，本文檔內(nèi)容是由我和我的同事精心編輯整理后發(fā)布的，發(fā)布之前我們對(duì)文中內(nèi)容進(jìn)行仔細(xì)校對(duì)，但是難免會(huì)有疏漏的地方，但是任然希望（(完整)空間直角坐標(biāo)系和空間向量典型例題）的內(nèi)容能夠給您的工作和學(xué)習(xí)帶來(lái)便利。同時(shí)也真誠(chéng)的希望收到您的建議和反饋，這將是我們進(jìn)步的源泉，前進(jìn)的動(dòng)力。本文可編輯可修改，如果覺(jué)得對(duì)您有幫助請(qǐng)收藏以便隨時(shí)查閱，最后祝您生活愉快 業(yè)績(jī)進(jìn)步，以下為(完整)空間直角坐標(biāo)系和空間向量典型例題的全部?jī)?nèi)容。12空間直角坐標(biāo)系與空間向量一、建立空間直角坐標(biāo)系的幾

2、種方法構(gòu)建原則:遵循對(duì)稱(chēng)性，盡可能多的讓點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上。作法:充分利用圖形中的垂直關(guān)系或構(gòu)造垂直關(guān)系來(lái)建立空間直角坐標(biāo)系類(lèi)型舉例如下：（一）用共頂點(diǎn)的互相垂直的三條棱構(gòu)建直角坐標(biāo)系例1已知直四棱柱abcda1b1c1d1中，aa12，底面abcd是直角梯形,a為直角，abcd，ab4，ad2，dc1，求異面直線(xiàn)bc1與dc所成角的余弦值解析：如圖1，以d為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以da、dc、dd1所在直線(xiàn)為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則c1（，1，2)、b（2，4，），設(shè)與所成的角為，則（二）利用線(xiàn)面垂直關(guān)系構(gòu)建直角坐標(biāo)系例2如圖2，在三棱柱abca1b1c1中,ab側(cè)面bb1c1c,e為棱cc1

3、上異于c、c1的一點(diǎn),eaeb1已知，bb12,bc1，bcc1求二面角aeb1a1的平面角的正切值解析：如圖2，以b為原點(diǎn)，分別以bb1、ba所在直線(xiàn)為y軸、z軸，過(guò)b點(diǎn)垂直于平面ab1的直線(xiàn)為x軸建立空間直角坐標(biāo)系由于bc1，bb12，ab，bcc1,在三棱柱abca1b1c1中，有b（，）、a(，）、b1（,2,）、設(shè)且,由eaeb1，得，即，即或（舍去）故由已知有，故二面角aeb1a1的平面角的大小為向量與的夾角因，故,即（三)利用面面垂直關(guān)系構(gòu)建直角坐標(biāo)系例3如圖3，在四棱錐vabcd中，底面abcd是正方形，側(cè)面vad是正三角形，平面vad底面abcd(1）證明ab平面vad；（2

4、)求面vad與面vdb所成的二面角的余弦值解析:（1）取ad的中點(diǎn)o為原點(diǎn),建立如圖3所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè)ad2，則a(1，)、d（1，）、b（1，2,）、v（，），（，2，）,（1，）由,得abva又abad，從而ab與平面vad內(nèi)兩條相交直線(xiàn)va、ad都垂直， ab平面vad;（2）設(shè)e為dv的中點(diǎn),則，,ebdv又eadv，因此aeb是所求二面角的平面角故所求二面角的余弦值為（四)利用正棱錐的中心與高所在直線(xiàn)構(gòu)建直角坐標(biāo)系例4已知正四棱錐vabcd中,e為vc中點(diǎn)，正四棱錐底面邊長(zhǎng)為2a，高為h（1）求deb的余弦值；（2)若bevc，求deb的余弦值解析：（1)如圖4，以v在平面ac

5、的射影o為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，其中oxbc，oyab，則由ab2a，ovh，有b（a,a，）、c（a，a,)、d（-a，-a,）、v（0，0，h）、，,即；（2)因?yàn)閑是vc的中點(diǎn)，又bevc，所以,即，這時(shí)，即引入空間向量坐標(biāo)運(yùn)算，使解立體幾何問(wèn)題避免了傳統(tǒng)方法進(jìn)行繁瑣的空間分析，只需建立空間直角坐標(biāo)系進(jìn)行向量運(yùn)算，而如何建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,成為用向量解題的關(guān)鍵步驟之一下面以高考考題為例，剖析建立空間直角坐標(biāo)系的三條途徑（五）利用圖形中的對(duì)稱(chēng)關(guān)系建立坐標(biāo)系圖形中雖沒(méi)有明顯交于一點(diǎn)的三條直線(xiàn)，但有一定對(duì)稱(chēng)關(guān)系（如正三棱柱、正四棱柱等）,利用自身對(duì)稱(chēng)性可建立空間直角坐標(biāo)系例5已知兩個(gè)正四棱

6、錐pabcd與qabcd的高都為2，ab4（1）證明：pq平面abcd；（2）求異面直線(xiàn)aq與pb所成的角；(3）求點(diǎn)p到面qad的距離簡(jiǎn)解:（1)略；(2）由題設(shè)知，abcd是正方形,且acbd由（1）,pq平面abcd,故可分別以直線(xiàn)為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖1），易得，所求異面直線(xiàn)所成的角是(3)由（2）知，點(diǎn)設(shè)n=（x，y,z）是平面qad的一個(gè)法向量，則得取x1，得點(diǎn)p到平面qad的距離點(diǎn)評(píng)：利用圖形所具備的對(duì)稱(chēng)性，建立空間直角坐標(biāo)系后，相關(guān)點(diǎn)與向量的坐標(biāo)應(yīng)容易得出第（3)問(wèn)也可用“等體積法求距離二、向量法解立體幾何（1） 知識(shí)點(diǎn)向量的數(shù)量積和坐標(biāo)運(yùn)算是兩個(gè)非零向量，它們

7、的夾角為，則數(shù)叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作，即 其幾何意義是的長(zhǎng)度與在的方向上的投影的乘積。 其坐標(biāo)運(yùn)算是： 若,則； ;（2） 例題講解題型:求角度相關(guān)1。 異面直線(xiàn)所成的角圖1分別在直線(xiàn)上取定向量則異面直線(xiàn)所成的角等于向量所成的角或其補(bǔ)角（如圖1所示),則2. 直線(xiàn)與平面所成的角圖2在上取定，求平面的法向量（如圖2所示)，再求,則為所求的角。 3 二面角圖3甲方法一：構(gòu)造二面角的兩個(gè)半平面的法向量(都取向上的方向，如圖3所示),則 若二面角是“鈍角型”的如圖3甲所示，那么其大小等于兩法向量圖3乙的夾角的補(bǔ)角，即圖4 若二面角是“銳角型”的如圖3乙所示,那么其大小等于兩法向量的夾角，即。方

8、法二:在二面角的棱上確定兩個(gè)點(diǎn)，過(guò)分別在平面內(nèi)求出與垂直的向量（如圖4所示),則二面角的大小等于向量的夾角，即 題型：求距離相關(guān)1. 異面直線(xiàn)的距離圖1分別在直線(xiàn)上取定向量求與向量都垂直的向量，分別在上各取一個(gè)定點(diǎn),則異面直線(xiàn)的距離等于在上的射影長(zhǎng),即。證明:設(shè)為公垂線(xiàn)段,取 設(shè)直線(xiàn)所成的角為，顯然2. 平面外一點(diǎn)到平面的距離圖5求平面的法向量,在面內(nèi)任取一定點(diǎn)，點(diǎn)到平面的距離等于在上的射影長(zhǎng)，即.三、法向量例題解析題型：求空間角1、運(yùn)用法向量求直線(xiàn)和平面所成角設(shè)平面的法向量為=(x， y, 1）,則直線(xiàn)ab和平面所成的角的正弦值為sin= cos（-) = cos， | = 2、運(yùn)用法向量求

9、二面角設(shè)二面角的兩個(gè)面的法向量為，則或是所求角。這時(shí)要借助圖形來(lái)判斷所求角為銳角還是鈍角,來(lái)決定是所求,還是是所求角。題型:求空間距離1、求兩條異面直線(xiàn)間的距離 設(shè)異面直線(xiàn)a、b的公共法向量為，在a、b上任取一點(diǎn)a、b，則異面直線(xiàn)a、b的距離：d =abcosbaa=略證：如圖，ef為a、b的公垂線(xiàn)段,a為過(guò)f與a平行的直線(xiàn),在a、b上任取一點(diǎn)a、b,過(guò)a作aaef，交a于a，則，所以baa=（或其補(bǔ)角）異面直線(xiàn)a、b的距離d =abcosbaa= *其中,的坐標(biāo)可利用a、b上的任一向量（或圖中的），及的定義得 解方程組可得.2、求點(diǎn)到面的距離求a點(diǎn)到平面的距離，設(shè)平面的法向量法為，在內(nèi)任取一點(diǎn)b,則a點(diǎn)到平面的距離：d =，的坐標(biāo)由與平面內(nèi)的兩個(gè)不共線(xiàn)向量的垂直關(guān)系,得到方程組（類(lèi)似于前面所述, 若方程組無(wú)解,則法向量與xoy平面平行，此時(shí)可改設(shè)，下同）。3、求直線(xiàn)到與直線(xiàn)平行的平面的距離求直線(xiàn)a到平面的距離，設(shè)平面的法向量法為，在直線(xiàn)a上任取一點(diǎn)a，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)b，則直線(xiàn)a到平面的距離：d = 4、求兩平行平面的距離設(shè)兩個(gè)平行設(shè)平面、的公共法向量法為，