《簡單曲線的極坐標方程》教學設計

1、1.3簡單曲線的極坐標方程（谷楊華）一、教學目標（一）核心素養(yǎng)通過這節(jié)課學習，了解極坐標方程的意義、能在極坐標系中給出簡單曲線的方程， 體會極坐標 下方程與直角坐標系下曲線方程的互化，培養(yǎng)學生歸納類比推理、邏輯推理能力.（二）學習目標1 通過實例，了解極坐標方程的意義，了解曲線的極坐標方程的求法.2掌握特殊情形的直線與圓的極坐標方程.3 能進行曲線的極坐標方程與直角坐標方程的互化，體會在用方程刻畫平面圖形時選擇適當 坐標系的意義.（三）學習重點1 掌握特殊情形的直線與圓的極坐標方程.2 進行曲線的極坐標方程與直角坐標方程的互化.（四）學習難點1 求曲線的極坐標方程.2.對不同位置的直線和圓的極

2、坐標方程的理解.二、教學設計（一）課前設計1. 預習任務（1）讀一讀：閱讀教材第12頁至第15頁，填空：一般地，在極坐標系中，如果平面曲線 C上任意一點的極坐標中 至少有一個滿足方程f（D=o，并且坐標適合方程f（D=o的點都在曲線C上，那么方程f（）=o叫做曲線C的極坐標方程.2. 預習自測（1）下列點不在曲線二COST上的是（）B.GD.(i，【知識點】極坐標方程【解題過程】將選項中點一一代入驗證可得選項D不滿足方程【思路點撥】由極坐標方程定義可得【答案】D.(2) 極坐標系中，圓心在極點，半徑為2的圓的極坐標方程為()A. 2B. 4C.cos ： - 2D. ：?sin v -1【知識

3、點】極坐標方程【解題過程】任取圓上一點的極坐標為(幾，依題意=2- R,所以選A【思路點撥】根據(jù)題意尋找的等量關系式【答案】A.(3) 將下列曲線的直角坐標方程化為極坐標方程： 射線 y 二-3x(x 乞 0);圓 x2 y2 2 = 0 .【知識點】直角坐標方程與極坐標方程互化【解題過程】因為x =cosv , y = ：?sin代入可得sinv - 3cosv,tanv - . 34 n又因為x0，所以射線在第三象限，故取A(pA0 ) 將 x=Pcos& , y = Psin& 代入 x2+y2+2x=0 整理得 P = -2cos6【思路點撥】利用極坐標與直角坐標互化可得4 n【答案】

4、0= 3( p 0 )-2 cos.(4) 極坐標系下，直線，cos( )2與圓p= .2的公共點個數(shù)是 .4【知識點】極坐標方程、直線與圓的位置關系【解題過程】直線方程 pos( ) = . 2，即-： ( cos-sin“ = . 2，422所以直角坐標方程為x+ y-2 = 0.圓的方程p=,2,即p = 2,所以直角坐標方程為x2 + y2= 2. 因為圓心到直線的距離為d= I。+總2| = = r，所以直線與圓相切，即公共點個數(shù)是 1.【思路點撥】將問題轉化為平面直角坐標系中的問題處理【答案】1(二)課堂設計1 知識回顧(1) 極坐標系的建立：在平面內取一個定點 0,叫做極點；自極

5、點0引一條射線Ox，叫做極 軸；再選定一個長度單位、一個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向)，這樣 就建立了一個極坐標系.(2) 極坐標系內一點的極坐標的規(guī)定：設 M是平面內一點，極點0與點M的距離0M叫做 點M的極徑，記為；-;以極軸Ox為始邊，射線0M為終邊的角xOM叫做點M的極角，記為. 有序數(shù)對(廠)叫做點M的極坐標，記為M ( ：). 一般地，不作特殊說明時，我們認為_0，可取任意實數(shù).(3) 把直角坐標系的原點作為極點，x軸的正半軸作為極軸，并在兩種坐標系中取相同的單 位長度設M是平面內任意一點，它的直角坐標是(x, y)，極坐標是(訂旳，貝x -cos v， y

6、=sin v:2 = x2 y2， tan-y (x = 0)x2 問題探究探究一結合實例，類比認識極坐標方程活動 類比推理概念在平面直角坐標系中，平面曲線C可以用方程f(x,y)=O表示.曲線與方程滿足如下關系:(1) 曲線C上點的坐標都是方程f (x, y) = 0的解；(2) 以方程f(x,y)=O的解為坐標的點都在曲線C上.那么，在極坐標系中，平面曲線是否可以用方程f(J) =0表示呢？我們先看一個例子半徑為a的圓的圓心坐標為C(a,O)，你能用一個等式表示圓上任意一點的極坐標(幾旳滿 足的條件嗎？類比直角坐標方程的求解過程，我們先建立極坐標系，如 右圖所示，設圓經(jīng)過極點 0,圓與極軸

7、的另一個交點為 A，則 OA =2a，設MC)為圓上除0,A以外的任意一點，則OM _ AM，所以在 Rt. AMO 中，OM 二 OA cos MOA,即 =2a cost經(jīng)驗證，點O(O,1), A(2a,0)的坐標滿足上式.于是上述等式為圓上任意一點的極坐標(匚旳2滿足的條件，反之，坐標適合上述等式的點都在這個圓上所以我們類比直角坐標方程可以得到極坐標方程的定義，即：一般地，在極坐標系中，如果平面曲線 C上任意一點的極坐標中至少有一個滿足方程 f()=o，并且坐標適合方程f()=o的點都在曲線C上，那么方程fd叫做曲 線C的極坐標方程.由于平面上點的極坐標的表示形式不惟一，即一條曲線上點

8、的極坐標有多組表示形式， 所以我們這里要求至少有一組能滿足極坐標方程.則這個點在曲線上【設計意圖】利用類比的思想，從熟悉的概念得到新的數(shù)學概念， 體會概念的提煉、抽象過程. 活動 歸納梳理、理解提升分析上述實例，你能得出求解極坐標方程的一般步驟嗎？求曲線的極坐標方程的方法和步驟與求直角坐標方程的步驟類似， 就是把曲線看作適合某 種條件的點的集合或軌跡.將已知條件用曲線上的點的極坐標 =的關系式f(c) = 0表示出 來，就得到曲線的極坐標方程，具體如下：(1) 建立適當?shù)臉O坐標系，設 M (門)是曲線上任意一點.(2)連接OM，根據(jù)幾何條件建立關于極徑和極角二之間的關系式.(3) 將列出的關系

9、式進行整理，化簡，得出曲線的極坐標方程.檢驗并確認所得方程即為所求.若方程的推導過程正確，化簡過程都是同解變形，證 明可以省略.【設計意圖】通過實例類比總結方法，培養(yǎng)學生數(shù)學抽象、歸類整理意識.探究二探究直線的極坐標方程活動互動交流、初步實踐組織課堂討論：結合極坐標方程的定義及求解極坐標方程 的步驟，我們動手求解：直線I經(jīng)過極點，從極軸到直線I的角 為一的直線的極坐標方程3如右圖，以極點O為分界點，直線I上的點的極坐標分成射線OM,射線OM 兩個部分，射線OM上任意一點的極角都為丄,所以射線0M的極坐標方程為:3（- 0）；3而射線0M 上任意一點的極角都是，所以射線0M的極坐標方程為：二蘭（

10、r _ 0）3 3綜上：直線I的極坐標方程可以用（_ 0）和二二蘭（二0）表示3 3現(xiàn)在產(chǎn)生一個問題：能否用一個方程來表示呢？我們定義：若:：: 0，則0，我們規(guī)定點M（D 與P（-J）關于極點對稱這樣就可以將的取值范圍推廣到全體實數(shù).于是在允許L R，那么上述直線I的極坐標方程就可以寫為：；(L R)或 v - 4 ( L R)33【設計意圖】得到特殊直線的極坐標方程，加深對極坐標方程內涵與外延的理解，突破重點. 探究三 探究極坐標方程與直角坐標方程的聯(lián)系活動 鞏固理解，加深認識在學習了極坐標方程及求解步驟后，動手做一做：在極坐標系中，圓心為A（l/ ）,半徑為41的圓的極坐標方程是多少呢？

11、如右圖所示，設P（門）為圓上任一點，當O,代P三點不共線是，在 OPA中利用余弦定理可得22応2OA2 OP2_2OAOPcosC _）=AP242n.1：_2 ：、cos（）=14即= 2 cos（ ）4當O,代P三點共線時，點P的坐標為（0,）或（2,二），這兩點的坐標滿足上式，所以上式4 4為所求的圓的極坐標方程在找平面曲線的極坐標方程時，就要找極徑p和極角9之間的關系式，常用解三角形（正弦 定理，余弦定理）的知識以及利用三角形的面積相等來建立 p、9之間的關系.【設計意圖】鞏固極坐標方程的求解，同時為極坐標方程與直角坐標方程的轉化作準備.活動強化提升、靈活應用還有沒有其它方法 來求解様

12、小標力用噸?x軸的正半軸作根據(jù)上節(jié)的直角坐標與極坐標的互化，先把直角坐標系的原點作為極點，為極軸，并在兩種坐標系中取相同的單位長度.，然后先求直角坐標系下的圓的方程；即A佇,今），半徑F，所以圓的直角坐標方程為:（一尹5 一尹=1，整理得:x1 2 y2 = . 2x . 2y，因為 x= co，化簡得：-2cos(4)y = Psin&，代入直角坐標方程得 P2 =V2PcosT + j2Psine = 2Pcos(T=)【設計意圖】掌握極坐標方程與直角坐標方程的轉化，進一步認識極坐標系.活動鞏固基礎，檢查反饋例1極坐標方程表示（）2A.直線B .射線C.圓【知識點】曲線與極坐標方程.D .

13、橢圓【解題過程】，話2x2所以曲線表示的是圓.由于圓心在極坐標系下為A（1,4），則在直角坐標系下圓心【思路點撥】通過轉化為直角坐標方程來判斷.【答案】C同類訓練極坐標方程sin 1（廠2R）表示的曲線是（A .兩條相交直線B.兩條射線C. 一條直線D. 條射線【知識點】曲線與極坐標方程.【解題過程】：sin二=-22k二(k Z)或二65 二2k二(k Z),又 tr，6(1) 2x _3y _1 =0(2) x2 y2 2y =02 2(3) x - y =10【知識點】直角坐標方程化成極坐標方程.【解題過程】(1 )由x = Pcos日,y = PsinT ,代入直角坐標方程2x3y-1

14、 = 0得, 2PcosB3Psin&1=0 即 P(2cos8-3sin 8)_1=0(2) 由上同理可得：-2sinr(3)專cos2 JO【思路點撥】利用直角坐標與極坐標互化公式求解.【答案】(1) r(2cos3si n 旳一仁 0 ；( 2)亍二-2si ” ; (3)-2 cos -10同類訓練把下列極坐標方程化為直角坐標方程.(1) ?si nv-2(2)亍=2cosv-4si nr【知識點】直角坐標方程與極坐標方程互化.【解題過程】(1)由X -COST ,y =“si nr，代入極坐標方程s in - 2得，y = 2，即y - 2 = 0(2) 由：2cosn -4si n

15、r，等式兩邊同乘以 得 專=2 cos4 2 nr ,所以 x2 y2 =2x-4y , 即：(x -1)2 (y 2)2 =5【思路點撥】極坐標方程化為直角坐標方程要通過變形，構造形如sinv，亍cost， 2的形式，進行整體代換.【答案】(1) y-2=0 ;(2) (x-1)2 (y 2)2=5.【設計意圖】鞏固極坐標方程的求解、判斷以及直角坐標方程與極坐標方程的互化.活動4強化提升、靈活應用例3已知直線的極坐標方程為 、n(2)二亍，求點代2,)到這條直線的距離.【知識點】極坐標與直角坐標互化、點到直線的距離.【解題過程】以極點為直角坐標原點，極軸為 x軸正半軸建立平面直角坐標系，直線

16、的極坐標/-TC* q方程sin() -化為直角坐標方程，得：x y=1.4 2把點A的極坐標(2,匚-)化為直角坐標，得：C2,2)4所以點A(2, 7)到直線、曲匸詩的距離為子-在平面直角坐標系下，由點到直線的距離公式，得點A到直線的距離d二【思路點撥】把極坐標問題轉化為直角坐標系中問題.【答案】 同類訓練 求極點到直線(sinv -cost) =2的距離.【知識點】極坐標與直角坐標互化、點到直線的距離.【解題過程】以極點為直角坐標原點，極軸為 x軸正半軸建立平面直角坐標系，直線的極坐標 方程r(sin r -cosr) =2化為直角坐標方程，得：y-x=2.把極點的極坐標(0,0)化為直

17、角坐標，得：(0,0)在平面直角坐標系下，由點到直線的距離公式，得點A到直線的距離d = 0一一22，所以42極點到直線(Sin V -cost) =2的距離為 2 .【思路點撥】把極坐標問題轉化為直角坐標系中問題.【答案】2 .3. 課堂總結知識梳理(1) 一般地，在極坐標系中，如果平面曲線C上任意一點的極坐標中至少有一個滿足方程f(廠)=0，并且坐標適合方程f(，門)=0的點都在曲線C上，那么方程f()= 0叫做曲線 C的極坐標方程.(2) 求曲線的極坐標方程的一般步驟： 建立適當?shù)臉O坐標系，設 ML,是曲線上任意一點. 連接OM，根據(jù)幾何條件建立關于極徑丫和極角之間的關系式. 將列出的關

18、系式進行整理，化簡，得出曲線的極坐標方程. 檢驗并確認所得方程即為所求.若方程的推導過程正確，化簡過程都是同解變形，證明可以省略.（3）若0,貝則.0,我們規(guī)定點M（T）與P）關于極點對稱.重難點歸納（1） 求解平面曲線的極坐標方程時，就要找極徑p和極角B之間的關系式,常用解三角形（正弦 定理，余弦定理）的知識以及利用三角形的面積相等來建立 p、9之間的關系.（2） 極坐標方程化為直角坐標方程要通過變形，構造形如pcos 9 pin 9 p2的形式，進行整 體代換其中方程的兩邊同乘以（或同除以）p及方程兩邊平方是常用的變形方法但對方程進 行變形時，方程必須保持同解，因此應注意對變形過程的檢驗.

19、（三）課后作業(yè)基礎型自主突破1 經(jīng)過極點，從極軸到直線l的夾角是一的直線I的極坐標方程是（）4jiA. 一_（匸 _0）4【知識點】極坐標方程.TtP =4TtD.( r R)4【解題過程】將直線丨畫在極坐標系中,易得選項D正確.【思路點撥】根據(jù)根據(jù)圖像進行判斷.【答案】D.2.直線*x y= 0的極坐標方程（限定p 0是(7B. 6n7A 7n【知識點】極坐標方程與直角坐標方程互化.【解題過程】由_33xy= 0，得 fcos psin 0= 0，即tan 0= 33，a 0= 和9= 7兀又p0因此直線的方程可以用0= 6和 =舟冗表示【思路點撥】極坐標方程與直角坐標方程互化.【答案】C3

20、. 極坐標方程cos 0= - （p （表示的曲線是（）.2A 余弦曲線B.兩條相交直線C 兩條射線D 一條射線【知識點】極坐標方程的求解.【解題過程】T cos 0= 2 , - 0= + 2knK Z).又p0二cos 0=表示兩條射線.242【思路點撥】利用三角函數(shù)圖像可得.【答案】C.4. 圓的極坐標方程p= cos0- 2sin 0對應的直角坐標方程為()1 2251 225A.(x 二)2 (y 1)2B.(x-：)2 (y 1)2 :2 4241 2251 225C.(x -；) (y -1)D.(x 二)(y -1)：424【知識點】極坐標方程與直角坐標方程互化.【解題過程】；

21、t =cos -2sin, t2 二 Tcosv -2?sin，所以 X y2 = x-2y即(x -I)2 ( y 1)2 = 5，所以選 B.2 4【思路點撥】利用極坐標與直角坐標互化公式求解.【答案】B.5. 極坐標系內，點(1導)到直線pcos 0= 2的距離是.【知識點】極坐標與直角坐標的轉化.【解題過程】點(1,-)的直角坐標為(0, 1),直線pcos 0= 2的直角坐標方程為x= 2,故點(0,21)到直線x= 2的距離是d = 2.【思路點撥】極坐標問題轉化為直角坐標問題來求解.【答案】2.6. 在極坐標系中，A, B分別是直線3 pcos 4 psin 0+ 5 = 0和圓

22、 尸2cos 0上的動點，貝U A,B兩點之間距離的最小值是 .【知識點】直線與圓的極坐標方程、點到直線的距離.【數(shù)學思想】分類討論思想.【解題過程】：由題意，得直線的平面直角坐標方程為 3x-4y+ 5= 0,圓的普通方程為(x- 1)2+ y2二1,則圓心(1, 0)到直線的距離d=|3洙三詈55所以A，B兩點之間距離的最小值3 一 5-8 一 5-r-d為【思路點撥】極坐標問題轉化為直角坐標問題來求解.3【答案】5能力型師生共研7. 在極坐標系中，圓p= 2sin B的圓心的極坐標是()3 二A. (1,二)B.(1=)2 2C. (1,0)D. (1,二)【知識點】極坐標與直角坐標互化

23、、圓的標準方程.【解題過程】由 尸2sin B得p= 2 psin 0,化成直角坐標方程為x2 + y2= 2y,化成標準方 程為x2+ (y+ 1)2= 1,圓心坐標為(0, 1),其對應的極坐標為(1, ).2【思路點撥】極坐標問題轉化為直角坐標問題來求解.【答案】B.8 .在直角坐標系xOy中，以O為極點，x正半軸為極軸建立極坐標系，曲線 C的極坐標方程 為cosC )，M , N分別為C與x軸，y軸的交點.3(1)寫出C的直角坐標方程，并求 M , N的極坐標；設MN的中點為P,求直線OP的極坐標方程.【知識點】極坐標與直角坐標互化、極坐標方程.【解題過程】(1)由cos( )=1，得

24、:(cos 3sin)=13 2 2又 x= pcos 0 y= pin 0,曲線c的直角坐標方程為|+尋=1, 即 x+ 3y2 = 0.當 0= 0 時，尸2, 點 M(2,0).2 由知，M點的坐標（2,0），點N的坐標（0,、3）.3又P為MN的中點，二點卩（1,工），則點P的極坐標為（仝,丄）.336n所以直線OP的極坐標方程為 A 6（ p R）.【思路點撥】把極坐標化為直角坐標求解.【答案】（1）M（2,0），N（2 .、3,=） ； （2） An（ p R）326探究型多維突破9.在平面直角坐標系xOy中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，取相同的長度單位建立極坐標系，直線I

25、的極坐標方程為：、cos（ ）=2. 2，曲線C的極坐標方程為4IL2，求直線I與曲線C的交點的極坐標.【知識點】極坐標方程的應用.【數(shù)學思想】分類討論的思想.P = 4sin 日- 得: sin Jcosr【解題過程】由T）L4sin2 二 T，即:sin vcosr - cos2(1)當 COST -0 時，即時，： =42(2)當 cosv0 時，即JT:一時，此時 si- cost，23T交點極坐標為（4,）2【思路點撥】類比直角坐標系，聯(lián)立方程組求解.TT【答案】（4,-）.2 210.已知橢圓的中心在坐標原點 O,橢圓的方程為:篤 占=1，a,b分別為橢圓上的兩點, a b且 OA

26、 _ OB.1 1求證：斎荷為定值；求”O(jiān)B面積的最大值和最小值.【知識點】極坐標方程的應用.【解題過程】將橢圓的直角坐標方程化為極坐標方程得 a2b2b2cos2 . _2coc2 9，由于 0A丄0B，可設 A（p，9）， Bb cos 9+ a cos 92 2釘 b2sin29 + a2coV 9于是IQaI2+ QBT= P+P=(pcos 9) 2( psin 2 刖 2孑 +b2= X 即 P =n 2a2b2込 & + 2，則社 b2cos2 d + a2sin2 91，2 2 2 2 2 2 2b cos2 0 + a sin 0i + b sin 0i+ a cos 0i

27、帝=2 2a + b11討.所以麗+ lOB2為疋值.1 1(2)解析：依題意得到 Sa AQB = 2|QA|QB| = 2PP =2 21 a2b212 (b2cos2 0i + a2sin2 0i)( b2sin2 d + a2cos 91)22b2ab . 2c，當且僅當 / 2-2 2Sin 2 9 . Z 2(a -b ) + a babSAQB有最大值為ab.2. 2 a b sin 2 9= 1，Saqb有最小值為 22；當 sin 29 = 0，a + b【思路點撥】由于涉及到長度，所以將橢圓直角坐標方程轉化為極坐標方程求解.11a2 + b2a2b2【答案】(1) |QA|

28、2 + |QB= a2b2 ； ( 2) SaAQB有最小值為 孑二$， SAQB有最大值為 學.自助餐1.過點A（2,）且平行于極軸的直線的極坐標方程是（4A.：?sin v - 2 B .sin - - 2 C. cos)- 、 2一【知識點】極坐標方程的求解.如圖所示， 在直線 I上任意取點M （ p， 9）（ p 0），過x軸于H.【解題過程】如圖所示，Ae在直線I上任意取點 M（），過M作MH-x軸于A(2,) . MH 二 2sin 2，44Rt QMH , MH=OM |sin 日，二 Psin 日=J2,所以，選B【思路點撥】利用根據(jù)所給的幾何條件，尋找門的關系式.【答案】B.

29、2. 極坐標方程分別是尸cosB和psin B的兩個圓的圓心距是（）B.2C.1D. 2【知識點】極坐標與直角坐標互化、兩圓的關系.【解題過程】：將方程化為直角坐標方程因為p不恒為零,可以用p分別乘方程兩邊，得p=posB 和p2= pin （bi x2+y2=x和x2+y2=y.它們的圓心分別是（丄,0）、（0,丄），圓心距是上.2 2 2【思路點撥】先化為直角坐標方程，在按直角坐標求解.【答案】A.2 n n3. 在極坐標系中，曲線C:尸2sin （上的兩點A, B對應的極角分別為 空，3，則弦長|AB|=【知識點】極坐標與直角坐標互化、兩點間的距離.【解題過程】A, B兩點的極坐標分別為（.3，空）3二），化為直角坐標為（一三,3）,（二丄）.332222故 AB =、（一 3 一 3）2 （3 一3）2 二 3V 222 2【思路點撥】先化為直角坐標方程，在按直角坐標求解.【答案】3 .n4. 曲線0= 0,0和 尸4所圍成圖形的面積是 .【知識點】極坐標與直角坐標的互化、扇形的面積.【數(shù)學思想】數(shù)形結合的思想【解題過程】將極坐標方程化為直角坐標系下的方程，分別為射線y = 0, y =3x（x 一 0），圓x2 y2 =16，他們圍成的是一個圓心角為，半徑為4的扇形，所以S|-|r2二