高中數(shù)學學業(yè)水平測試復習 專題十二 不等式 第44講 基本不等式及其應用

1、1,基本不等式,ab,a,b,2,1,基本不等式成立的條件,a,0,b,0,2,等號成立的條件：當且僅當,a,b,時取等號,2,幾個重要的不等式,1,a,2,b,2,2,ab,a,b,R,2,b,a,a,b,2,a,b,同號,3,ab,a,b,2,2,a,b,R,4,a,2,b,2,2,a,b,2,2,a,b,R,以上不等式等號成立的條件均為,a,b,3,算術平均數(shù)與幾何平均數(shù),設,a,0,b,0,則,a,b,的算術平均數(shù)為,a,b,2,幾何平,均數(shù)為,ab,基本不等式可敘述為,兩個正數(shù)的算術平均數(shù),不小于它們的幾何平均數(shù),4,利用基本不等式求最值問題,已知,x,0,y,0,則,1,如果積,x

2、y,是定值,p,那么當且僅當,x,y,時,x,y,有最,小,值,2,p,簡記：積定和最小,2,如果和,x,y,是定值,p,那么當且僅當,x,y,時,xy,有最,大,值,p,2,4,簡記：和定積最大,1,利用基本不等式求最值,例,1,1,已知,x,y,0,2,x,3,1,2,y,若,1,x,m,y,m,0,的最小值為,3,則,m,等于,A,2,B,2,2,C,3,D,4,2,若,a,0,b,0,且,a,b,4,則下列不等式恒成立的,是,A,1,ab,1,4,B,1,a,1,b,1,C,ab,2,D,a,2,b,2,8,解析,1,由,2,x,3,1,2,y,得,x,y,3,1,x,m,y,1,3,

3、x,y,1,x,m,y,1,3,1,m,y,x,mx,y,1,3,1,m,2,m,當且僅當,y,x,mx,y,時取等號,則,1,3,1,m,2,m,3,解得,m,4,故選,D,2,因為,a,0,b,0,a,b,4,所以,a,2,b,2,a,b,2,2,ab,16,2,ab,根據(jù)基本不等式有,4,a,b,2,ab,所以,ab,4,2,ab,8,所以,16,2,ab,8,即,a,2,b,2,8,答案,1)D,2)D,2,基本不等式與學科知識的綜合,例,2,1,已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,a,n,滿足,a,7,a,6,2,a,5,若存在兩項,a,m,a,n,使得,a,m,a,n,4,a,1,則,1,

4、m,4,n,的最小值為,A,3,2,B,5,3,C,9,4,D,25,6,2,已知函數(shù),f,x,x,2,ax,11,x,1,a,R,若對于任意,x,N,f,x,3,恒成立，則,a,的取值范圍,_,解析,1,由各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,a,n,滿足,a,7,a,6,2,a,5,可得,a,1,q,6,a,1,q,5,2,a,1,q,4,q,2,q,2,0,解得,q,2,或,q,1,舍去,a,m,a,n,4,a,1,q,m,n,2,16,2,m,n,2,2,4,m,n,6,1,m,4,n,1,6,m,n,1,m,4,n,1,6,5,n,m,4,m,n,1,6,5,2,n,m,4,m,n,3,2,當且僅

5、當,n,m,4,m,n,時,等號成立，故,1,m,4,n,的最小值為,3,2,2,對任意,x,N,f,x,3,恒成立，即,x,2,ax,11,x,1,3,恒成立，即知,a,x,8,x,3,設,g,x,x,8,x,x,N,則,g,2,6,g,3,17,3,g,2,g,3,g,x,min,17,3,x,8,x,3,8,3,a,8,3,即,a,的取值范圍是,8,3,答案,1)A,2,8,3,剖析,1,應用基本不等式判斷不等式是否成立：對,所給不等式,或式子,變形，然后利用基本不等式求解,2,條件不等式的最值問題：通過條件轉化成能利用,基本不等式的形式求解,3,求參數(shù)的值或范圍：觀察題目特點，利用基本

6、不,等式確定相關成立條件，從而得參數(shù)的值或范圍,3,不等式的實際應用,例,3,某工廠某種產(chǎn)品的年固定成本為,250,萬元,每生產(chǎn),x,千件，需另投入成本為,C,x,當年產(chǎn)量不足,80,千件時,C,x,1,3,x,2,10,x,萬元,當年產(chǎn)量不小于,80,千件,時,C,x,51,x,10 000,x,1,450,萬元,每件商品售價為,0.05,萬元通過市場分析，該廠生產(chǎn)的商品能全部售完,1,寫出年利潤,L,x,萬元,關于年產(chǎn)量,x,千件,的函數(shù),解析式,2,當年產(chǎn)量為多少千件時，該廠在這一商品的生產(chǎn),中所獲利潤最大,解,1,當,0,x,80,時,L,x,1,000,x,0.05,1,3,x,2,

7、10,x,250,1,3,x,2,40,x,250,當,x,80,時,L,x,1 000,x,0.05,51,x,10 000,x,1 450,250,1 200,x,10 000,x,L,x,1,3,x,2,40,x,250,0,x,80,1 200,x,10 000,x,x,80,2,當,0,x,80,時,L,x,1,3,x,2,40,x,250,對稱軸為,x,60,即當,x,60,時,L,x,最大,950,萬元,當,x,80,時,L,x,1,200,x,10 000,x,1,200,2,10 000,1 000,萬元,當且僅當,x,100,時,L,x,最大,1 000,萬元,綜上所述，當

8、年產(chǎn)量為,100,千件時，該廠在這一商,品的生產(chǎn)中所獲利潤最大,剖析,1,設變量時一般要把求最大值或最小值的變,量定義為函數(shù),2,根據(jù)實際問題抽象出函數(shù)的解析式后，只需利用,基本不等式求得函數(shù)的最值,3,在求函數(shù)的最值時，一定要在定義域,使實際問題,有意義的自變量的取值范圍,內(nèi)求解,1,下列不等式一定成立的是,A,lg,x,2,1,4,lg,x,x,0,B,sin,x,1,sin,x,2,x,k,k,Z,C,x,2,1,2,x,x,R,D,1,x,2,1,1,x,R,解析,當,x,0,時,x,2,1,4,2,x,1,2,x,lg,x,2,1,4,lg,x,x,0,故選項,A,不正確；運用基本,

9、不,等,式,時,需,保,證,一,正,二,定,三,相,等,而,當,x,k,k,Z,時,sin,x,的正負不定，故選項,B,不正確；由,基本不等式可知，選項,C,正確,當,x,0,時，有,1,x,2,1,1,故選項,D,不正確,答案,C,2,已知正實數(shù),x,y,滿足,x,2,y,1,則,1,x,2,y,的最小值,是,A,6,B,8,C,9,D,16,解析,因為,x,0,y,0,x,2,y,1,所以,1,x,2,y,1,x,2,y,x,2,y,5,2,y,x,2,x,y,5,2,2,y,x,2,x,y,9,答案,C,3,已知函數(shù),f,x,x,x,4,x,R,若存在正實數(shù),k,使得方程,f,x,k,在

10、區(qū)間,2,上有兩個根,a,b,其中,a,b,則,ab,2,a,b,的取值范圍是,A,2,2,2,2,B,4,0,C,2,2,D,4,2,解析,依題意,a,b,2,4,且,ab,12,又,ab,a,b,2,2,因,a,b,不等所以不取等號,所以,12,ab,16,所以,4,ab,2,a,b,0,故選,B,答案,B,4,設,x,y,R,且,x,y,5,則,3,x,3,y,的最小值是,A,10,B,6,3,C,4,6,D,18,3,解析,因為,x,y,R,且,x,y,5,所以,3,x,3,y,2,3,x,3,y,2,3,x,y,2,3,5,18,3,故選,D,答案,D,5,已知正數(shù),x,y,滿足,x

11、,2,y,xy,0,則,x,2,y,的,最小值為,A,8,B,4,C,2,D,0,解析,由,x,2,y,xy,0,得,2,x,1,y,1,且,x,0,y,0,所以,x,2,y,x,2,y,2,x,1,y,4,y,x,x,y,4,4,4,8,答案,A,6,若,a,b,0,則代數(shù)式,a,2,1,b,a,b,的最小值為,A,2,B,3,C,4,D,5,解析,因為,b,a,b,b,a,b,2,2,a,2,4,所以,a,2,1,b,a,b,a,2,1,a,2,4,a,2,4,a,2,4,當且僅當,b,a,b,a,2,4,a,2,即,a,2,b,2,2,時等號,成立,答案,C,7,已知,x,0,則函數(shù),y

12、,4,x,x,的最大值是,A,2,2,B,4,C,2,2,D,4,解析,y,x,4,x,x,4,x,因為,x,0,所以,x,0,4,x,0,所以,x,4,x,4,所以,y,x,4,x,4,當且僅當,x,2,時，等號成立，所以函數(shù)的最大值,為,4,答案,D,8,設,x,0,y,0,x,y,xy,2,則,x,y,的最小值,是,A,3,2,B,1,3,C,2,3,2,D,2,3,解析,因為,x,0,y,0,所以,xy,2,x,y,x,y,2,2,解不等式可得,x,y,的最小值是,2,3,2,答案,C,9,已知,x,0,則函數(shù),y,x,2,x,1,x,的最大值是,_,解析,根據(jù)題意，由于,x,0,則函

13、數(shù),y,x,2,x,1,x,x,1,x,1,x,1,x,1,2,x,1,x,1,1,當,x,1,時取得等號，故可知函數(shù)的最大值為,1,答案,1,10,已知,a,b,為正實數(shù)，且,a,2,b,1,則,1,a,1,b,的最,小值為,_,解析,根據(jù)題意，由于,a,2,b,1,那么可知,1,a,1,b,a,2,b,1,a,1,b,3,2,b,a,a,b,3,2,2,b,a,a,b,3,2,2,當,且當,2,b,a,a,b,時等號成立，故可知結論為,3,2,2,答案,3,2,2,11,已知,x,0,y,0,且,2,x,5,y,20. (1,求,u,lg,x,lg,y,的最大值,2,求,1,x,1,y,的最小值,解,1,x,0,y,0,由基本不等式，得,2,x,5,y,2,10,xy,2,x,5,y,20,2,10,xy,20,xy,10,當且僅當,2,x,5,y,時，等號成立,因此有,2,x,5,y,20,2,x,5,y,解得,x,5,y,2,此時,xy,有最大值,10,u,lg,x,lg,y,lg,xy,lg 10,1,當,x,