矩形的性質(zhì)與判定.ppt

1、矩 形,1.2.1 矩形的性質(zhì),在小學(xué)，我們初步認識了長方形，觀察圖2-41 中的長方形，它是什么平行四邊形嗎？它有什么特點呢？,圖2-41,這些四邊形的四個角都是直角.,我發(fā)現(xiàn)這些長方形的對邊平行且相等，因此，它們是平行四邊形.,有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形，也稱為長方形.,平行四邊形,矩形,矩形的四個角都是直角，對邊相等，對角線互相平分.,可以知道：,矩形是中心對稱圖形，對角線的交點是它的對稱中心.,由于矩形是平行四邊形，因此,如圖2-42，四邊形ABCD為矩形，那么對角 線AC與DB相等嗎？,圖2-42,圖2-42,如圖，四邊形ABCD是矩形，,于是有 AB=DC， CBA=BCD

2、=90 ， BC=CB.,因此 CBABCD. (SAS),從而 AC=BD.,即矩形的對角線相等.,圖2-42,矩形的對角線相等.,由此得到矩形的性質(zhì)：,圖2-43,解 ABCD是矩形，,從而, AOB是等邊三角形., AB=OA=2cm.,又AOB = 60，, ABC = 90，, 在RtABC中，,圖2-43,解 ABCD是矩形，,從而,在紙上畫一個矩形ABCD(如圖2-44)，把它剪下來，怎樣折疊能使矩形在折痕兩旁的部分互相重合？滿足這個要求的折疊方法有幾種？由此猜測：矩形是軸對稱圖形嗎？如果是，它有幾條對稱軸？你的猜測正確嗎？,圖2-44,如圖，矩形ABCD的對角線相交于點O.,O

3、,過點O作直線EFBC，且分別與邊BC ，AD相交于點E，F(xiàn).,由于 ，因此OBC是等腰三角形，從而直線EF是線段BC的垂直平分線.,由于ADBC，因此EFAD. 同理，直線EF是 線段AD的垂直平分線.,因此點B和點C關(guān)于直線EF對稱，點A和點D關(guān)于 直線EF對稱，從而在關(guān)于直線EF的軸反射下，矩形 ABCD的像與它自身重合，因此矩形ABCD是軸對稱 圖形，直線EF是矩形ABCD的一條對稱軸.,類似地，過點O作直線MNAB，且分別與邊AB，DC相交于點M，N，則點M，N分別是邊AB，DC的中點，直線MN是矩形ABCD的一條對稱軸.,矩形是軸對稱圖形，過每一組對邊中點的直線都是矩形的對稱軸.,

4、由此得到：,已知矩形的一條對角線的長度為2cm，兩條對角線的 一個夾角為60，求矩形的各邊長.,1.,答：矩形的各邊長分別為1cm和,2. 如圖，四邊形ABCD 為矩形，試利用矩形的性質(zhì) 說明：直角三角形ABC斜邊AC上的中線BO等于 斜邊的一半.,例,如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，若AOB=60，AB=4cm，則AC的長為 cm.,8,矩 形,1.2.2 矩形的判定,矩形的四個角是直角，那么，四個角是直角的四邊形是矩形嗎？三個角是直角呢？兩個角是直角呢？,如圖2-46，四邊形ABCD 的四個角都是直角. 由于“同旁內(nèi)角互補， 兩直線平行”，因此ABDC， ADBC，從而

5、四邊形ABCD 是平行四邊形. 所以ABCD 是矩形. 由此得到四個角是直角的四邊形是矩形.,圖2-46,三個角是直角的四邊形是矩形.,三個角是直角的四邊形，容易知道另一個角也 是直角，由此得到：,從“矩形的對角線相等且互相平分”這一性質(zhì)受到啟發(fā)，你能畫出對角線長度為4cm的一個矩形嗎？這樣的矩形有多少個？,你能說出這樣畫出的四邊形一定是矩形的道理嗎？,如圖2-47，由畫法可知，四邊形ABCD的兩條對角線互相平分，因此它是平行四邊形，又已知其對角線相等，上述問題抽象出來就是：對角線相等的平行四邊形是矩形嗎？,我們來進行證明.,在ABCD中，由于AB=DC，AC=DB，BC=CB，,因此 ABC

6、DCB. (SSS),從而 ABC=DCB.,又ABC+DCB =180，,于是 ABC=90.,所以 ABCD是矩形.,圖2-47,對角線相等的平行四邊形是矩形.,由此得到矩形的判定定理：,對角線相等的四邊形是矩形嗎？,圖2-48,舉 例,（2） OBC是等腰三角形，其中OB = OC，, AC與DB相等且互相平分., OBC是等腰三角形., AC = 2OC = 2OB = BD., ABCD是矩形.,圖2-48,例3 如圖：在 ABCD中，對角線AC、BD交于點O,EFAC, O 是垂足，EF分別交AB、CD于點E、F，且BE=OE=0.5AE 求證: ABCD是矩形,1. 如圖，在四邊

7、形ABCD中，A=B=C=D， 求證：四邊形ABCD是矩形.,證明：因為四邊形中，A=B=C=D ， 四邊形的內(nèi)角和為360， 所以A=B=C=D= 90 ， 所以四邊形ABCD是矩形. (三個角是直角的四邊形是矩形.),2. 如圖，在ABCD中，對角線AC，BD相交于點O， AOB = 60，AB= 2，AC= 4，求ABCD的面積.,解： OA= =2，AB= 2，, OAB是等腰三角形., OAB是等邊三角形.,又AOB = 60，, OA=OB=2， AC=BD=4., ABCD是矩形. (對角線相等的平行四邊形是矩形.),作OEAD于點E.,E,在Rt OAE中，AO=2，OE= =1，,例