4-2根軌跡的基本規(guī)律及繪制ppt課件

1、2021/3/24,1,第四章 線性系統(tǒng)的根軌跡法,第二節(jié) 根軌跡的基本規(guī)律及繪制,2021/3/24,2,教 學(xué) 重 點(diǎn),根軌跡八個(gè)規(guī)律的內(nèi)容。,教 學(xué) 難 點(diǎn),4-2 根軌跡的基本規(guī)律及繪制,2021/3/24,3,一、根軌跡的基本規(guī)律,根軌跡的基本規(guī)律從以下8個(gè)方面進(jìn)行討論：,1、根軌跡的起始點(diǎn)與終止點(diǎn)；,4、根軌跡的漸近線；,2、根軌跡的連續(xù)性、對(duì)稱性和分支數(shù)；,3、實(shí)軸上的根軌跡；,5、根軌跡在實(shí)軸上的分離點(diǎn)和分離角；,6、根軌跡的起始角和終止角(復(fù)數(shù)零極點(diǎn))；,7、根軌跡與虛軸的交點(diǎn)；,8、根之和。,2021/3/24,4,特征方程可寫為：,規(guī)律一 根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn),根軌跡起始于

2、開(kāi)環(huán)極點(diǎn)。,根軌跡終止于開(kāi)環(huán)零點(diǎn)。,根軌跡起始于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，終止于開(kāi)環(huán)零點(diǎn)。,2021/3/24,5,1當(dāng)m=n時(shí)，即開(kāi)環(huán)零點(diǎn)數(shù)與極點(diǎn)數(shù)相同時(shí)，根軌跡的起點(diǎn)與終點(diǎn)均為有限的值。,討論：,2當(dāng)mn時(shí)，即開(kāi)環(huán)零點(diǎn)數(shù)小于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)時(shí)，除有m條根軌跡終止于開(kāi)環(huán)零點(diǎn)(稱為有限零點(diǎn))外，還有n-m條根軌跡終止于無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)(稱為無(wú)限零點(diǎn))。,3當(dāng)mn時(shí)，即開(kāi)環(huán)零點(diǎn)數(shù)大于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)時(shí)，除有n條根軌跡起始于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)(稱為有限極點(diǎn))外，還有m-n條根軌跡起始于無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)(稱為無(wú)限極點(diǎn))。參數(shù)根軌跡,2021/3/24,6,根軌跡起始于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)(K*0)，終止于開(kāi)環(huán)零點(diǎn)(K*)；如果開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)n大于開(kāi)環(huán)零點(diǎn)數(shù)m，則有n-

3、m條根軌跡終止于s平面的無(wú)窮遠(yuǎn)處，如果開(kāi)環(huán)零點(diǎn)數(shù)m大于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)n，則有m-n條根軌跡起始于s平面的無(wú)窮遠(yuǎn)處。,結(jié)論：,2021/3/24,7,規(guī)律二 根軌跡的連續(xù)性、對(duì)稱性和分支數(shù),根軌跡的分支數(shù)(條數(shù))等于系統(tǒng)特征方程的次數(shù)n。(根軌跡描述特征根的變化規(guī)律),根軌跡是連續(xù)的曲線。(K*是連續(xù)變化的),根軌跡總是對(duì)稱于實(shí)軸。(實(shí)際的物理系統(tǒng)的參數(shù)都是實(shí)數(shù)數(shù)學(xué)模型的系數(shù)是實(shí)數(shù)特征根不是實(shí)數(shù)就是共軛復(fù)數(shù)),結(jié)論：根軌跡是連續(xù)且對(duì)稱于實(shí)軸的曲線，其分支數(shù)等于系統(tǒng)特征方程的次數(shù)。,2021/3/24,8,規(guī)律三 實(shí)軸上的根軌跡,設(shè)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù),其中p1、p2、p3、z1、z2為實(shí)極點(diǎn)和實(shí)零點(diǎn)，

4、p3、p4、z3、z4為共軛復(fù)數(shù)零、極點(diǎn)。,若實(shí)軸上某點(diǎn)右側(cè)的開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)的個(gè)數(shù)之和為奇數(shù)，則該點(diǎn)在實(shí)軸的根軌跡上。,2021/3/24,9,只有s0點(diǎn)右側(cè)實(shí)軸上的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)和開(kāi)環(huán)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)之和為奇數(shù)時(shí)，才滿足相角條件。,p1,p3,p4,z1,s0,z3,j,0,1,5,1,4,2,4,3,2,3,S0點(diǎn)符合 相角條件：,每一對(duì)共軛復(fù)數(shù)形式的零極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的向量的相角之和為2；,實(shí)軸上的零極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的向量的相角只有0和兩種情況。,2021/3/24,10,規(guī)律四 漸近線,當(dāng)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)n大于開(kāi)環(huán)零點(diǎn)數(shù)m時(shí)，系統(tǒng)有n-m條根軌跡終止于S平面的無(wú)窮遠(yuǎn)處，反應(yīng)n-m條根軌跡變化趨向的直線叫做根軌跡的漸近線，

5、因此，漸近線也有n-m條，且它們交于實(shí)軸上的一點(diǎn)(對(duì)稱性)。,漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)：,漸近線與實(shí)軸正方向的夾角：,2021/3/24,11,證明：,思路：研究s值很大時(shí)根軌跡（近似直線）的表達(dá)方式（通過(guò)列寫直線的方程）。,2021/3/24,12,多項(xiàng)式除法,2021/3/24,13,證明：,研究s值很大時(shí)根軌跡（近似直線）的表達(dá)方式（通過(guò)列寫直線的方程）。,2021/3/24,14,當(dāng)s值非常大時(shí)，開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)可以近似為：,由特征方程G(s)H(s)=-1得漸進(jìn)線方程為：,2021/3/24,15,由二項(xiàng)式定理,當(dāng)s值非常大時(shí)，近似有,2021/3/24,16,2021/3/24,17,令實(shí)部

6、和虛部分別相等,得：,2021/3/24,18,漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)：,漸近線與實(shí)軸正方向的夾角：,2021/3/24,19,例 已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)如下，試畫出該系統(tǒng)根軌跡的漸近線。,解 該系統(tǒng)n=4，m=1，n-m=3；三條漸近線與實(shí)軸交點(diǎn) 為,它們與實(shí)軸正方向的夾角分別是,2021/3/24,20,根軌跡的漸近線,s,-4,-3,-2,-1,0,B,C,A,-60,2021/3/24,21,四種情況下的漸近線,2021/3/24,22,規(guī)律五 根軌跡的分離點(diǎn)和分離角,兩條或兩條以上根軌跡分支在s平面上相遇又立即分開(kāi)的點(diǎn)，稱為根軌跡的分離點(diǎn)。,常見(jiàn)的根軌跡分離點(diǎn)位于實(shí)軸上。實(shí)軸上兩個(gè)相鄰的

7、開(kāi)環(huán)極點(diǎn)之間或兩個(gè)相鄰的開(kāi)環(huán)零點(diǎn)之間，至少有一個(gè)分離點(diǎn)。分離點(diǎn)也可能以共軛形式成對(duì)出現(xiàn)在復(fù)平面上。,2021/3/24,23,實(shí)軸上的分離點(diǎn),復(fù)平面上的分離點(diǎn),s,-4,-3,-2,-1,0,分離點(diǎn),s,A,B,0,s,d1,d2,C,s,分離點(diǎn)，實(shí)質(zhì)上就是系統(tǒng)特征方程的重實(shí)根（實(shí)軸上的分離點(diǎn)）或重共軛復(fù)根（復(fù)平面上的分離點(diǎn)）。,2021/3/24,24,分離點(diǎn)的坐標(biāo)d是下列方程的解：,證明：,閉環(huán)特征方程有重根的條件為：,變換形式,2021/3/24,25,2021/3/24,26,1、當(dāng)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)無(wú)有限零點(diǎn)時(shí)，應(yīng)取 分離點(diǎn)方程為 。,2、只有那些在根軌跡上的解才是根軌跡的分離點(diǎn)。分離點(diǎn)的確定

8、需代入特征方程中驗(yàn)算。,3、只有當(dāng)開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)分布非常對(duì)稱時(shí)，才會(huì)出現(xiàn)復(fù)平面上的分離點(diǎn)。,說(shuō)明,2021/3/24,27,例 已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳函如下，試求出系統(tǒng)根軌跡的分離點(diǎn)。,解 本系統(tǒng)無(wú)有限開(kāi)環(huán)零點(diǎn)，所以,d2=-2.58不在根軌跡上上，舍去。 d1=-1.42是實(shí)軸根軌跡上的點(diǎn)，所以是根軌跡在實(shí)軸上的分離點(diǎn)。,對(duì)比較復(fù)雜的方程(次數(shù)大于2)，也可用試探法求解。,2021/3/24,28,分離角：根軌跡進(jìn)入分離點(diǎn)的切線方向和離開(kāi)分離點(diǎn)的切線方向之間的夾角。,設(shè)l為進(jìn)入分離點(diǎn)的根軌跡的條數(shù)，則分離角,當(dāng)l=2時(shí)，分離角為,2021/3/24,29,起始角pi 根軌跡離開(kāi)開(kāi)環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)處的切線方

9、向與實(shí)軸正方向的夾角。,規(guī)律六 起始角與終止角,s,0,s,終止角zi 根軌跡進(jìn)入開(kāi)環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)處的切線方向與實(shí)軸正方向的夾角。,2021/3/24,30,所以,證明： 設(shè)A為根軌跡上離極點(diǎn)pi很近的一點(diǎn)。,A離pi很近,A點(diǎn)滿足相角條件,同理得：,代入：,2021/3/24,31,進(jìn)一步具體分析起始角與終止角的表示。,例 已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為,其中p1和p2為一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，各零級(jí)點(diǎn)在s平面上的分布如圖所示。試依據(jù)相角條件求出根軌跡離開(kāi)開(kāi)環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)p1的起始角p1。,s,s,0,2021/3/24,32,解 對(duì)于根軌跡上無(wú)限靠近p1的點(diǎn)A，由相角條件可得,由于A點(diǎn)無(wú)限靠近p1點(diǎn),s,s,

10、0,A,角度替換后得：,2021/3/24,33,規(guī)律七 根軌跡與虛軸的交點(diǎn),由此可得虛部方程和實(shí)部方程為,根軌跡與虛軸的交點(diǎn)就是閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的純虛根（實(shí)部為零）。用s=j代入特征方程可得,2021/3/24,34,解虛部方程可得角頻率c，即根軌跡與虛軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)值；用c代入實(shí)部方程，可求出系統(tǒng)開(kāi)環(huán)根軌跡增益的臨界值 。 對(duì)如何選擇合適的系統(tǒng)參數(shù)、使系統(tǒng)處于穩(wěn)定的工作狀態(tài)有重要意義。,2021/3/24,35,例 已知系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳函如下，試求出根軌跡與虛軸的交點(diǎn) 及相應(yīng)的開(kāi)環(huán)根軌跡增益的臨界值 。,令s=j并代入特征方程得,其虛部和實(shí)部方程分別為,解 系統(tǒng)特征方程是,解方程組得：,2021

11、/3/24,36,當(dāng)系統(tǒng)的階次較高時(shí)，解特征方程將會(huì)遇到困難，此時(shí)可用勞斯判據(jù)求出系統(tǒng)開(kāi)環(huán)根軌跡增益的臨界值和根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。,2021/3/24,37,規(guī)律八 根之和,當(dāng)n-m2時(shí)，閉環(huán)傳函特征根之和等于開(kāi)環(huán)傳函所有極點(diǎn)之和(常數(shù))。,證明：n-m2時(shí)，將開(kāi)環(huán)傳函表示的特征式展開(kāi)后得：,將閉環(huán)極點(diǎn)表示的特征式展開(kāi)后得：,兩式相等,2021/3/24,38,當(dāng)一些根隨K*的增加而增加時(shí)，必有另一些根隨K*的增加而減小。,當(dāng)K*變化時(shí)，隨K*變化的n個(gè)閉環(huán)特征根的和具有常數(shù)性。,在根軌跡圖上表現(xiàn)為一些根軌跡分支向左延伸，另外一些分支必向右延伸。(根軌跡的自平衡性),結(jié)論,2021/3/24,

12、39,二、手工繪制根軌跡圖示例,根軌跡的七條規(guī)律：,1 起點(diǎn)與終點(diǎn)：起始于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，終止于開(kāi)環(huán)零點(diǎn)；,2 連續(xù)性、對(duì)稱性和分支數(shù)：根軌跡連續(xù)且對(duì)稱于實(shí)軸，分支數(shù)等于系統(tǒng)特征方程的階數(shù)。,3 實(shí)軸上的根軌跡：實(shí)軸上某點(diǎn)右側(cè)的開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)的個(gè)數(shù)之和為奇數(shù)，則該點(diǎn)在實(shí)軸的根軌跡上；,2021/3/24,40,4 漸近線,5 分離點(diǎn),2021/3/24,41,6 起始角和終止角 7 與虛軸的交點(diǎn) 將 代入閉環(huán)特征方程，令方程兩邊實(shí)部和虛部分別相等，求出 。,2021/3/24,42,根軌跡由起點(diǎn)到終點(diǎn)是隨系統(tǒng)開(kāi)環(huán)根軌跡增益值K*的增加而運(yùn)動(dòng)的，要用箭頭標(biāo)示根軌跡運(yùn)動(dòng)的方向。,要標(biāo)出一些特殊點(diǎn)的K*值，

13、如起點(diǎn)(K*0)，終點(diǎn)(K*)；根軌跡在實(shí)軸上的分離點(diǎn)d(K*=Kd*)；與虛軸的交點(diǎn)(K*=Kr*)。還有一些要求標(biāo)出的閉環(huán)極點(diǎn)s及其對(duì)應(yīng)的開(kāi)環(huán)根軌跡增益K*，也應(yīng)在根軌跡圖上標(biāo)出，以便于進(jìn)行系統(tǒng)的分析與綜合。,根軌跡的起點(diǎn)（開(kāi)環(huán)極點(diǎn)pi)用符號(hào)“”標(biāo)示；根軌跡的終點(diǎn)(開(kāi)環(huán)零點(diǎn)zj)用符號(hào)“o”標(biāo)示。,手工繪圖時(shí)還需注意：,2021/3/24,43,解:(1)根軌跡起始于P1=0,P2=-1,P3=-2三個(gè)極點(diǎn),終止于無(wú)窮遠(yuǎn)處。,例 已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)如下，試?yán)L制該系統(tǒng)完整的根軌跡圖。,2021/3/24,44,系統(tǒng)根軌跡圖,s,w,j,(,),0,1,=,P,(,),0,3,=,P,(

14、,),0,2,=,P,-1,-2,0,s,2021/3/24,45,解:(1)根軌跡起始于P1=0,P2=-1,P3=-2三個(gè)極點(diǎn),終止于無(wú)窮遠(yuǎn)處。,例 已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)如下，試?yán)L制該系統(tǒng)完整的根軌跡圖。,(2)該系統(tǒng)有三條根軌跡在s平面上。三條根軌跡連續(xù)且對(duì)稱于實(shí)軸。,(3)實(shí)軸上的根軌跡為實(shí)軸上0到-1的線段和由-2至實(shí)軸上負(fù)無(wú)窮遠(yuǎn)線段。,2021/3/24,46,系統(tǒng)根軌跡圖,s,w,j,(,),0,1,=,P,(,),0,3,=,P,(,),0,2,=,P,-1,-2,0,s,2021/3/24,47,當(dāng)k=0時(shí),漸近線：求出根軌跡三條漸近線的交點(diǎn)位置和它們與實(shí)軸正方向的交角。,

15、當(dāng)k=1時(shí),當(dāng)k=2時(shí),2021/3/24,48,系統(tǒng)根軌跡圖,s,w,j,(,),0,1,=,P,(,),0,3,=,P,(,),0,2,=,P,-1,-2,0,s,+,60,-,60,2021/3/24,49,d2=-1.58不在實(shí)軸的根軌跡上，舍去；實(shí)際的分離點(diǎn)應(yīng)為d1=-0.42。,(5)分離點(diǎn)：,解方程：,(6)無(wú)復(fù)數(shù)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)和零點(diǎn)，不存在起始角和終止角。,2021/3/24,50,系統(tǒng)根軌跡圖,s,w,j,(,),0,1,=,P,(,),0,3,=,P,(,),0,2,=,P,-1,-2,0,1,d,s,+,60,-,60,2021/3/24,51,其中 是開(kāi)環(huán)極點(diǎn) 對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)值，

16、它是根軌跡的起點(diǎn)之一。合理的交點(diǎn)應(yīng)為 。,解虛部方程得,(7)根軌跡與虛軸的交點(diǎn)：用s=j代入特征方程并令方程兩邊實(shí)部和虛部分別相等：,2021/3/24,52,系統(tǒng)根軌跡圖,s,w,j,(,),0,1,=,P,(,),0,3,=,P,(,),0,2,=,P,-1,-2,0,1,d,s,+,60,-,60,),6,(,2,=,c,K,j,),6,(,2,=,-,c,K,j,*,*,2021/3/24,53,系統(tǒng)根軌跡圖,s,w,j,(,),0,1,=,P,(,),0,3,=,P,(,),0,2,=,P,-1,-2,0,1,d,s,+,60,-,60,),6,(,2,=,c,K,j,),6,(,

17、2,=,-,c,K,j,*,*,2021/3/24,54,例 已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)如下試?yán)L制該系統(tǒng)的根軌跡圖。,解 根軌跡起始于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)p1=0、p2=-4、p3=-2+4j、 p4=-2-4j；終止于4個(gè)無(wú)限零點(diǎn)（沒(méi)有有限零點(diǎn))。,2021/3/24,55,0,-4,2021/3/24,56,例 已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)如下試?yán)L制該系統(tǒng)的根軌跡圖。,共有4個(gè)根軌跡分支，連續(xù)且對(duì)稱于實(shí)軸。,實(shí)軸上的根軌跡是實(shí)軸上由0到-4的線段。,解 根軌跡起始于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)p1=0、p2=-4、p3=-2+4j、 p4=-2-4j；終止于4個(gè)無(wú)限零點(diǎn)（沒(méi)有有限零點(diǎn))。,2021/3/24,57,0,-4,202

18、1/3/24,58,漸近線在橫軸上的公共交點(diǎn)為,漸近線與橫軸的夾角為,k取0、l、2、3時(shí)，分別為450、1350、2250、3150。,(4)漸近線:,2021/3/24,59,0,-2,-4,2021/3/24,60,(5)分離點(diǎn)和分離角,經(jīng)整理可得,求解上式可得三個(gè)分離點(diǎn)為,分離角,l=2時(shí)，,2021/3/24,61,0,-2,-4,2021/3/24,62,(6)起始角,復(fù)數(shù)極點(diǎn)p3和p4的起始角,0,-4,2021/3/24,63,0,-2,-4,2021/3/24,64,(7)與虛軸的交點(diǎn),用s=j代入特征方程并令方程兩邊實(shí)部和虛部分別相等：,2021/3/24,65,0,-2,

19、-4,2021/3/24,66,0,-2,-4,2021/3/24,67,1、函數(shù)命令調(diào)用格式： rlocus(num,den),三、MATLAB繪制根軌跡,例 繪制如下開(kāi)環(huán)傳函的閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡,2021/3/24,68,解：MATLAB命令如下： num=conv(1 1.5,conv(1,2+j,1 2-j) den=conv(1 0,conv(1 2.5,conv(1 0.5+1.5*j,1 0.5-1.5*j) rlocus(num,den),2021/3/24,69,n是閉環(huán)極點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)之間的距離；n與負(fù)實(shí)軸夾角的余弦等于阻尼比。,等n線是以原點(diǎn)為圓心的一系列圓；等線是從原點(diǎn)出發(fā)的一系列射線。,2021/3/24,70,使用grid命令后的效果,2021/3/24,71,作業(yè)： 4-3 4-10,2021/3/24,72,傳函的MATLAB定義,傳遞函數(shù)以多項(xiàng)式和的形式給出, num=b0,b1,b2,bm den=a0,a1,a2,an g=tf(num,den) 或 g=tf(b0,b1,b2,bm,a0,a1,a2,an),2021/3/24,73,例 用MATLAB指令定義函數(shù), num=1 2 den=1 5 4 3 g=tf(num,den) 或 g=tf(1 2,1 5 4 3),2021/3/24,74,傳遞函數(shù)以典型環(huán)節(jié)