4-2根軌跡的基本規(guī)律及繪制ppt課件

1、2021/3/24,1,第四章 線性系統(tǒng)的根軌跡法,第二節(jié) 根軌跡的基本規(guī)律及繪制,2021/3/24,2,教 學(xué) 重 點,根軌跡八個規(guī)律的內(nèi)容。,教 學(xué) 難 點,4-2 根軌跡的基本規(guī)律及繪制,2021/3/24,3,一、根軌跡的基本規(guī)律,根軌跡的基本規(guī)律從以下8個方面進行討論：,1、根軌跡的起始點與終止點；,4、根軌跡的漸近線；,2、根軌跡的連續(xù)性、對稱性和分支數(shù)；,3、實軸上的根軌跡；,5、根軌跡在實軸上的分離點和分離角；,6、根軌跡的起始角和終止角(復(fù)數(shù)零極點)；,7、根軌跡與虛軸的交點；,8、根之和。,2021/3/24,4,特征方程可寫為：,規(guī)律一 根軌跡的起點和終點,根軌跡起始于

2、開環(huán)極點。,根軌跡終止于開環(huán)零點。,根軌跡起始于開環(huán)極點，終止于開環(huán)零點。,2021/3/24,5,1當(dāng)m=n時，即開環(huán)零點數(shù)與極點數(shù)相同時，根軌跡的起點與終點均為有限的值。,討論：,2當(dāng)mn時，即開環(huán)零點數(shù)小于開環(huán)極點數(shù)時，除有m條根軌跡終止于開環(huán)零點(稱為有限零點)外，還有n-m條根軌跡終止于無窮遠(yuǎn)點(稱為無限零點)。,3當(dāng)mn時，即開環(huán)零點數(shù)大于開環(huán)極點數(shù)時，除有n條根軌跡起始于開環(huán)極點(稱為有限極點)外，還有m-n條根軌跡起始于無窮遠(yuǎn)點(稱為無限極點)。參數(shù)根軌跡,2021/3/24,6,根軌跡起始于開環(huán)極點(K*0)，終止于開環(huán)零點(K*)；如果開環(huán)極點數(shù)n大于開環(huán)零點數(shù)m，則有n-

3、m條根軌跡終止于s平面的無窮遠(yuǎn)處，如果開環(huán)零點數(shù)m大于開環(huán)極點數(shù)n，則有m-n條根軌跡起始于s平面的無窮遠(yuǎn)處。,結(jié)論：,2021/3/24,7,規(guī)律二 根軌跡的連續(xù)性、對稱性和分支數(shù),根軌跡的分支數(shù)(條數(shù))等于系統(tǒng)特征方程的次數(shù)n。(根軌跡描述特征根的變化規(guī)律),根軌跡是連續(xù)的曲線。(K*是連續(xù)變化的),根軌跡總是對稱于實軸。(實際的物理系統(tǒng)的參數(shù)都是實數(shù)數(shù)學(xué)模型的系數(shù)是實數(shù)特征根不是實數(shù)就是共軛復(fù)數(shù)),結(jié)論：根軌跡是連續(xù)且對稱于實軸的曲線，其分支數(shù)等于系統(tǒng)特征方程的次數(shù)。,2021/3/24,8,規(guī)律三 實軸上的根軌跡,設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù),其中p1、p2、p3、z1、z2為實極點和實零點，

4、p3、p4、z3、z4為共軛復(fù)數(shù)零、極點。,若實軸上某點右側(cè)的開環(huán)零、極點的個數(shù)之和為奇數(shù)，則該點在實軸的根軌跡上。,2021/3/24,9,只有s0點右側(cè)實軸上的開環(huán)極點和開環(huán)零點的個數(shù)之和為奇數(shù)時，才滿足相角條件。,p1,p3,p4,z1,s0,z3,j,0,1,5,1,4,2,4,3,2,3,S0點符合 相角條件：,每一對共軛復(fù)數(shù)形式的零極點對應(yīng)的向量的相角之和為2；,實軸上的零極點對應(yīng)的向量的相角只有0和兩種情況。,2021/3/24,10,規(guī)律四 漸近線,當(dāng)開環(huán)極點數(shù)n大于開環(huán)零點數(shù)m時，系統(tǒng)有n-m條根軌跡終止于S平面的無窮遠(yuǎn)處，反應(yīng)n-m條根軌跡變化趨向的直線叫做根軌跡的漸近線，

5、因此，漸近線也有n-m條，且它們交于實軸上的一點(對稱性)。,漸近線與實軸的交點：,漸近線與實軸正方向的夾角：,2021/3/24,11,證明：,思路：研究s值很大時根軌跡（近似直線）的表達(dá)方式（通過列寫直線的方程）。,2021/3/24,12,多項式除法,2021/3/24,13,證明：,研究s值很大時根軌跡（近似直線）的表達(dá)方式（通過列寫直線的方程）。,2021/3/24,14,當(dāng)s值非常大時，開環(huán)傳遞函數(shù)可以近似為：,由特征方程G(s)H(s)=-1得漸進線方程為：,2021/3/24,15,由二項式定理,當(dāng)s值非常大時，近似有,2021/3/24,16,2021/3/24,17,令實部

6、和虛部分別相等,得：,2021/3/24,18,漸近線與實軸的交點：,漸近線與實軸正方向的夾角：,2021/3/24,19,例 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試畫出該系統(tǒng)根軌跡的漸近線。,解 該系統(tǒng)n=4，m=1，n-m=3；三條漸近線與實軸交點 為,它們與實軸正方向的夾角分別是,2021/3/24,20,根軌跡的漸近線,s,-4,-3,-2,-1,0,B,C,A,-60,2021/3/24,21,四種情況下的漸近線,2021/3/24,22,規(guī)律五 根軌跡的分離點和分離角,兩條或兩條以上根軌跡分支在s平面上相遇又立即分開的點，稱為根軌跡的分離點。,常見的根軌跡分離點位于實軸上。實軸上兩個相鄰的

7、開環(huán)極點之間或兩個相鄰的開環(huán)零點之間，至少有一個分離點。分離點也可能以共軛形式成對出現(xiàn)在復(fù)平面上。,2021/3/24,23,實軸上的分離點,復(fù)平面上的分離點,s,-4,-3,-2,-1,0,分離點,s,A,B,0,s,d1,d2,C,s,分離點，實質(zhì)上就是系統(tǒng)特征方程的重實根（實軸上的分離點）或重共軛復(fù)根（復(fù)平面上的分離點）。,2021/3/24,24,分離點的坐標(biāo)d是下列方程的解：,證明：,閉環(huán)特征方程有重根的條件為：,變換形式,2021/3/24,25,2021/3/24,26,1、當(dāng)開環(huán)系統(tǒng)無有限零點時，應(yīng)取 分離點方程為 。,2、只有那些在根軌跡上的解才是根軌跡的分離點。分離點的確定

8、需代入特征方程中驗算。,3、只有當(dāng)開環(huán)零、極點分布非常對稱時，才會出現(xiàn)復(fù)平面上的分離點。,說明,2021/3/24,27,例 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳函如下，試求出系統(tǒng)根軌跡的分離點。,解 本系統(tǒng)無有限開環(huán)零點，所以,d2=-2.58不在根軌跡上上，舍去。 d1=-1.42是實軸根軌跡上的點，所以是根軌跡在實軸上的分離點。,對比較復(fù)雜的方程(次數(shù)大于2)，也可用試探法求解。,2021/3/24,28,分離角：根軌跡進入分離點的切線方向和離開分離點的切線方向之間的夾角。,設(shè)l為進入分離點的根軌跡的條數(shù)，則分離角,當(dāng)l=2時，分離角為,2021/3/24,29,起始角pi 根軌跡離開開環(huán)復(fù)數(shù)極點處的切線方

9、向與實軸正方向的夾角。,規(guī)律六 起始角與終止角,s,0,s,終止角zi 根軌跡進入開環(huán)復(fù)數(shù)零點處的切線方向與實軸正方向的夾角。,2021/3/24,30,所以,證明： 設(shè)A為根軌跡上離極點pi很近的一點。,A離pi很近,A點滿足相角條件,同理得：,代入：,2021/3/24,31,進一步具體分析起始角與終止角的表示。,例 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為,其中p1和p2為一對共軛復(fù)數(shù)極點，各零級點在s平面上的分布如圖所示。試依據(jù)相角條件求出根軌跡離開開環(huán)復(fù)數(shù)極點p1的起始角p1。,s,s,0,2021/3/24,32,解 對于根軌跡上無限靠近p1的點A，由相角條件可得,由于A點無限靠近p1點,s,s,

10、0,A,角度替換后得：,2021/3/24,33,規(guī)律七 根軌跡與虛軸的交點,由此可得虛部方程和實部方程為,根軌跡與虛軸的交點就是閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的純虛根（實部為零）。用s=j代入特征方程可得,2021/3/24,34,解虛部方程可得角頻率c，即根軌跡與虛軸的交點的坐標(biāo)值；用c代入實部方程，可求出系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益的臨界值 。 對如何選擇合適的系統(tǒng)參數(shù)、使系統(tǒng)處于穩(wěn)定的工作狀態(tài)有重要意義。,2021/3/24,35,例 已知系統(tǒng)開環(huán)傳函如下，試求出根軌跡與虛軸的交點 及相應(yīng)的開環(huán)根軌跡增益的臨界值 。,令s=j并代入特征方程得,其虛部和實部方程分別為,解 系統(tǒng)特征方程是,解方程組得：,2021

11、/3/24,36,當(dāng)系統(tǒng)的階次較高時，解特征方程將會遇到困難，此時可用勞斯判據(jù)求出系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益的臨界值和根軌跡與虛軸的交點。,2021/3/24,37,規(guī)律八 根之和,當(dāng)n-m2時，閉環(huán)傳函特征根之和等于開環(huán)傳函所有極點之和(常數(shù))。,證明：n-m2時，將開環(huán)傳函表示的特征式展開后得：,將閉環(huán)極點表示的特征式展開后得：,兩式相等,2021/3/24,38,當(dāng)一些根隨K*的增加而增加時，必有另一些根隨K*的增加而減小。,當(dāng)K*變化時，隨K*變化的n個閉環(huán)特征根的和具有常數(shù)性。,在根軌跡圖上表現(xiàn)為一些根軌跡分支向左延伸，另外一些分支必向右延伸。(根軌跡的自平衡性),結(jié)論,2021/3/24,

12、39,二、手工繪制根軌跡圖示例,根軌跡的七條規(guī)律：,1 起點與終點：起始于開環(huán)極點，終止于開環(huán)零點；,2 連續(xù)性、對稱性和分支數(shù)：根軌跡連續(xù)且對稱于實軸，分支數(shù)等于系統(tǒng)特征方程的階數(shù)。,3 實軸上的根軌跡：實軸上某點右側(cè)的開環(huán)零、極點的個數(shù)之和為奇數(shù)，則該點在實軸的根軌跡上；,2021/3/24,40,4 漸近線,5 分離點,2021/3/24,41,6 起始角和終止角 7 與虛軸的交點 將 代入閉環(huán)特征方程，令方程兩邊實部和虛部分別相等，求出 。,2021/3/24,42,根軌跡由起點到終點是隨系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益值K*的增加而運動的，要用箭頭標(biāo)示根軌跡運動的方向。,要標(biāo)出一些特殊點的K*值，

13、如起點(K*0)，終點(K*)；根軌跡在實軸上的分離點d(K*=Kd*)；與虛軸的交點(K*=Kr*)。還有一些要求標(biāo)出的閉環(huán)極點s及其對應(yīng)的開環(huán)根軌跡增益K*，也應(yīng)在根軌跡圖上標(biāo)出，以便于進行系統(tǒng)的分析與綜合。,根軌跡的起點（開環(huán)極點pi)用符號“”標(biāo)示；根軌跡的終點(開環(huán)零點zj)用符號“o”標(biāo)示。,手工繪圖時還需注意：,2021/3/24,43,解:(1)根軌跡起始于P1=0,P2=-1,P3=-2三個極點,終止于無窮遠(yuǎn)處。,例 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試?yán)L制該系統(tǒng)完整的根軌跡圖。,2021/3/24,44,系統(tǒng)根軌跡圖,s,w,j,(,),0,1,=,P,(,),0,3,=,P,(

14、,),0,2,=,P,-1,-2,0,s,2021/3/24,45,解:(1)根軌跡起始于P1=0,P2=-1,P3=-2三個極點,終止于無窮遠(yuǎn)處。,例 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試?yán)L制該系統(tǒng)完整的根軌跡圖。,(2)該系統(tǒng)有三條根軌跡在s平面上。三條根軌跡連續(xù)且對稱于實軸。,(3)實軸上的根軌跡為實軸上0到-1的線段和由-2至實軸上負(fù)無窮遠(yuǎn)線段。,2021/3/24,46,系統(tǒng)根軌跡圖,s,w,j,(,),0,1,=,P,(,),0,3,=,P,(,),0,2,=,P,-1,-2,0,s,2021/3/24,47,當(dāng)k=0時,漸近線：求出根軌跡三條漸近線的交點位置和它們與實軸正方向的交角。,

15、當(dāng)k=1時,當(dāng)k=2時,2021/3/24,48,系統(tǒng)根軌跡圖,s,w,j,(,),0,1,=,P,(,),0,3,=,P,(,),0,2,=,P,-1,-2,0,s,+,60,-,60,2021/3/24,49,d2=-1.58不在實軸的根軌跡上，舍去；實際的分離點應(yīng)為d1=-0.42。,(5)分離點：,解方程：,(6)無復(fù)數(shù)開環(huán)極點和零點，不存在起始角和終止角。,2021/3/24,50,系統(tǒng)根軌跡圖,s,w,j,(,),0,1,=,P,(,),0,3,=,P,(,),0,2,=,P,-1,-2,0,1,d,s,+,60,-,60,2021/3/24,51,其中 是開環(huán)極點 對應(yīng)的坐標(biāo)值，

16、它是根軌跡的起點之一。合理的交點應(yīng)為 。,解虛部方程得,(7)根軌跡與虛軸的交點：用s=j代入特征方程并令方程兩邊實部和虛部分別相等：,2021/3/24,52,系統(tǒng)根軌跡圖,s,w,j,(,),0,1,=,P,(,),0,3,=,P,(,),0,2,=,P,-1,-2,0,1,d,s,+,60,-,60,),6,(,2,=,c,K,j,),6,(,2,=,-,c,K,j,*,*,2021/3/24,53,系統(tǒng)根軌跡圖,s,w,j,(,),0,1,=,P,(,),0,3,=,P,(,),0,2,=,P,-1,-2,0,1,d,s,+,60,-,60,),6,(,2,=,c,K,j,),6,(,

17、2,=,-,c,K,j,*,*,2021/3/24,54,例 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下試?yán)L制該系統(tǒng)的根軌跡圖。,解 根軌跡起始于開環(huán)極點p1=0、p2=-4、p3=-2+4j、 p4=-2-4j；終止于4個無限零點（沒有有限零點)。,2021/3/24,55,0,-4,2021/3/24,56,例 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下試?yán)L制該系統(tǒng)的根軌跡圖。,共有4個根軌跡分支，連續(xù)且對稱于實軸。,實軸上的根軌跡是實軸上由0到-4的線段。,解 根軌跡起始于開環(huán)極點p1=0、p2=-4、p3=-2+4j、 p4=-2-4j；終止于4個無限零點（沒有有限零點)。,2021/3/24,57,0,-4,202

18、1/3/24,58,漸近線在橫軸上的公共交點為,漸近線與橫軸的夾角為,k取0、l、2、3時，分別為450、1350、2250、3150。,(4)漸近線:,2021/3/24,59,0,-2,-4,2021/3/24,60,(5)分離點和分離角,經(jīng)整理可得,求解上式可得三個分離點為,分離角,l=2時，,2021/3/24,61,0,-2,-4,2021/3/24,62,(6)起始角,復(fù)數(shù)極點p3和p4的起始角,0,-4,2021/3/24,63,0,-2,-4,2021/3/24,64,(7)與虛軸的交點,用s=j代入特征方程并令方程兩邊實部和虛部分別相等：,2021/3/24,65,0,-2,

19、-4,2021/3/24,66,0,-2,-4,2021/3/24,67,1、函數(shù)命令調(diào)用格式： rlocus(num,den),三、MATLAB繪制根軌跡,例 繪制如下開環(huán)傳函的閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡,2021/3/24,68,解：MATLAB命令如下： num=conv(1 1.5,conv(1,2+j,1 2-j) den=conv(1 0,conv(1 2.5,conv(1 0.5+1.5*j,1 0.5-1.5*j) rlocus(num,den),2021/3/24,69,n是閉環(huán)極點到坐標(biāo)原點之間的距離；n與負(fù)實軸夾角的余弦等于阻尼比。,等n線是以原點為圓心的一系列圓；等線是從原點出發(fā)的一系列射線。,2021/3/24,70,使用grid命令后的效果,2021/3/24,71,作業(yè)： 4-3 4-10,2021/3/24,72,傳函的MATLAB定義,傳遞函數(shù)以多項式和的形式給出, num=b0,b1,b2,bm den=a0,a1,a2,an g=tf(num,den) 或 g=tf(b0,b1,b2,bm,a0,a1,a2,an),2021/3/24,73,例 用MATLAB指令定義函數(shù), num=1 2 den=1 5 4 3 g=tf(num,den) 或 g=tf(1 2,1 5 4 3),2021/3/24,74,傳遞函數(shù)以典型環(huán)節(jié)