中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)專題三新定義探究測(cè)試題

1、專題三新定義探究一、基本運(yùn)算新定義1. （2013?河北）定義新運(yùn)算：對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，都有 a b=a（a b） +1，等式右邊是通常的加法、減法及乘法運(yùn)算，比如：25=2（ 2 5） +1=2（ 3） +1= 6+1=（ 1）求（ 2） 3 的值；（ 2）若 3 x 的值小于 13，求 x 的取值范圍，并在圖所示的數(shù)軸上表示出來解：（ 1） a b=a（a b） +1，（ 2） 3= 2（ 2 3）+1=10+1=11；（ 2） 3x 13， 3（ 3x） +1 13， 9 3x+1 13， 3x 3，x 1在數(shù)軸上表示如下：2.（1） 23 ( 2+3)(2 3)+23 ( 2+3)

2、1 ( 5)+ 23 1 5+6 1（2）因?yàn)?a b ( a+b)( a b)+2 b( a+b)= a 2 b 2 +2 ab +2 b2 =ab 2 ；b ab ab a)+2a b+ab2222(+ )()= a+2 ab +2 a =a b所以 a b ba二、幾何圖形新定義1（2015?臺(tái)州）定義：如圖1，點(diǎn) m，n 把線段 ab 分割成 am， mn和 bn，若以 am， mn， bn為邊的三角形是一個(gè)直角三角形，則稱點(diǎn)m，n 是線段 ab的勾股分割點(diǎn)（ 1）已知點(diǎn) m， n 是線段 ab的勾股分割點(diǎn)，若 am=2， mn=3，求 bn的長(zhǎng)；（ 2）如圖 2，在 abc中， fg

3、是中位線，點(diǎn) d，e 是線段 bc的勾股分割點(diǎn)，且 ecdebd，連接 ad， ae 分別交 fg于點(diǎn) m， n，求證：點(diǎn)m， n 是線段 fg的勾股分割點(diǎn)；（3）已知點(diǎn)c 是線段 ab 上的一定點(diǎn)，其位置如圖3 所示，請(qǐng)?jiān)赽c上畫一點(diǎn)d，使點(diǎn) c， d是線段 ab的勾股分割點(diǎn)（要求尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，畫一種情形即可）；1 / 6（ 4）如圖 4，已知點(diǎn) m， n 是線段 ab的勾股分割點(diǎn)， mnambn， amc， mnd 和 nbe 均為等邊三角形， ae分別交 cm，dm，dn于點(diǎn) f，g，h，若 h 是 dn的中點(diǎn)，試探究 samf，sben和 s 四邊形 mnhg的數(shù)量關(guān)系，并說

4、明理由（1）解：當(dāng)mn為最大線段時(shí)，點(diǎn)m、 n 是線段 ab的勾股分割點(diǎn)，bn=；當(dāng) bn為最大線段時(shí)， 點(diǎn) m、n 是線段 ab的勾股分割點(diǎn)， bn=，綜上所述： bn=或；（2）證明： fg 是 abc的中位線， fg bc，=1，點(diǎn) m、n 分別是 ad、ae的中點(diǎn)， bd=2fm， de=2mn， ec=2ng，22222點(diǎn) d、 e是線段 bc的勾股分割點(diǎn)，且ecdebd， ec =bd+de，（ 2ng） =（ 2fm） +2222（2mn） ， ng=fm+mn，點(diǎn) m、 n是線段 fg的勾股分割點(diǎn)；（ 3）解：作法：在 ab上截取 ce=ca；作 ae的垂直平分線，并截取 cf

5、=ca；連接 bf，并作 bf 的垂直平分線，交 ab于 d；點(diǎn) d 即為所求；如圖所示： （ 4）解： s 四邊形 mnhg=samf+sben，理由如下：設(shè) am=a， bn=b，mn=c，h是 dn的中點(diǎn)， dh=hn=c， mnd、 bne 均為等邊三角形， d=dne=60，在 dgh和 neh中， dgh neh（ asa），dg=en=b， mg=c b， gmen， agm aen，c2=2ab ac+bc ，點(diǎn) m、 n是線段 ab的勾股分割點(diǎn)，2222，c=a +b ，（ a b） =（ b a）c，又 bac， a=b，在 dgh和 caf中， dgh caf（ asa）

6、，sdgh=scaf，c2=a2+b2，c2=a2+b2，sdmn=sacm+senb，sdmn=sdgh+s四邊形 mnhg，sacm=scaf+samf，s四邊形 mnhg=samf+sben2 / 62（2015?嘉興）類比等腰三角形的定義，我們定義：有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做“等鄰邊四邊形”（1）概念理解：如圖 1，在四邊形 abcd中，添加一個(gè)條件使得四邊形 abcd是“等鄰邊四邊形”請(qǐng)寫出你添加的一個(gè)條件（ 2）問題探究：小紅猜想：對(duì)角線互相平分的“等鄰邊四邊形”是菱形，她的猜想正確嗎？請(qǐng)說明理由如圖 2，小紅畫了一個(gè) rtabc，其中 abc=90， ab=2， bc=1，并將

7、 rtabc沿 abc的平分線bb方向平移得到 abc，連結(jié)aa， bc，小紅要使平移后的四邊形abca是“等鄰邊四邊形”，應(yīng)平移多少距離（即線段bb的長(zhǎng)）？（3）拓展應(yīng)用：如圖 3，“等鄰邊四邊形” abcd 中，ab=ad，bad+bcd=90， ac，bd為對(duì)角線， ac= ab，試探究 bc， cd， bd的數(shù)量關(guān)系解：（ 1）ab=bc或 bc=cd或 cd=ad或 ad=ab（任寫一個(gè)即可） ；（ 2）正確，理由為：四邊形的對(duì)角線互相平分， 這個(gè)四邊形是平行四邊形，四邊形是“等鄰邊四邊形”，這個(gè)四邊形有一組鄰邊相等，這個(gè)“等鄰邊四邊形”是菱形； abc=90， ab=2，bc=1，

8、ac=，將 rtabc平移得到 abc， bb=aa，ab ab，ab=ab=2，bc=bc=1，ac=ac=，（ i ）如圖 1，當(dāng) aa=ab 時(shí)，bb=aa=ab=2；（ ii ）如圖2，當(dāng) aa=ac時(shí)， bb=aa=ac=；（ iii）當(dāng)ac=bc= 時(shí)，如圖 3，延長(zhǎng) cb交 ab于點(diǎn) d，則 cb ab， bb平分 abc， abb=abc=45， bbd= abb=45bd=b，設(shè) bd=bd=x，則cd=x+1，bb=2x，在 rtbcd 中， bd+（cd）22222=（bc） x+（ x+1） =（） ，解得： x=1， x 2（不合題意，舍去） ， bb=x=12=（）

9、當(dāng) bc=ab=2 時(shí)，如圖 4，與（）方法一同理可得：222bd+（cd）=（bc） ，設(shè)bd=bd=x，則 x2+（ x+1） 2=22，解得： x1=， x2=（不合題意，舍去） ， bb= x=；（3）bc，cd， bd的數(shù)量關(guān)系為：222bc+cd=2bd，如圖 5， ab=ad，將 adc 繞點(diǎn) a 旋轉(zhuǎn)到abf，連接 cf， abf adc， abf=adc，baf=dac，af=ac，fb=cd， bad=caf， = =1， acf abd，= =，bd， bad+adc+bcd+abc=360， abc+adc360（ bad+bcd）=360 90=270， abc+ab

10、f=270，22=222222 cbf=90， bc +fb cf=（bd） =2bd， bc +cd=2bd3 / 63（2015?杭州）如圖 1，o的半徑為 r（ r 0），若點(diǎn) p在射線 op上，滿足 op?op=r2，則稱點(diǎn) p是點(diǎn) p 關(guān)于o 的“反演點(diǎn)” 如圖 2，o的半徑為 4，點(diǎn) b 在o上，boa=60， oa=8，若點(diǎn) a， b分別是點(diǎn)a， b 關(guān)于o 的反演點(diǎn)，求ab的長(zhǎng)解：設(shè) oa交o于 c，連結(jié) bc，如圖 2，oa?oa=42，而 r=4 ，oa=8，oa=2，ob?ob=42，ob=4，即點(diǎn) b 和 b重合， boa=60， ob=oc， obc為等邊三角形，而點(diǎn)

11、 a為 oc的中點(diǎn)， ba oc，在 rtoab中， sin aob=， ab=4sin60 =2三、函數(shù)新定義1（2015?揚(yáng)州）平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)p（ x，y）的橫坐標(biāo)x 的絕對(duì)值表示為|x| ，縱坐標(biāo)y 的絕對(duì)值表示為|y| ，我們把點(diǎn) p（ x，y）的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的絕對(duì)值之和叫做點(diǎn)p（ x，y）的勾股值，記為p，即 p=|x|+|y|（其中的“ +”是四則運(yùn)算中的加法）（ 1）求點(diǎn) a（ 1，3）， b（+2， 2）的勾股值a、 b；（ 2）點(diǎn) m在反比例函數(shù) y=的圖象上，且 m=4，求點(diǎn) m的坐標(biāo)；（ 3）求滿足條件 n =3 的所有點(diǎn) n圍成的圖形的面積解：（ 1） a（ 1

12、，3），b（+2， 2）， a=| 1|+|3|=4， b=|+2|+|2|=+2+2 =4；4 / 6（2）設(shè)：點(diǎn) m的坐標(biāo)為（ m，n），由題意得解得：，m（ 1， 3），（ 1， 3），（3， 1），（ 3， 1）（ 3）設(shè) n點(diǎn)的坐標(biāo)為（ x， y）， n =3， |x|+|y|=3 ， x+y=3， x y=3， xy=3，x+y=3 ，y= x+3，y= x 3，y=x 3，y=x+3，如圖：所有點(diǎn) n 圍成的圖形的面積 =3=182（2015?河南） 如圖，邊長(zhǎng)為 8 的正方形 oabc的兩邊在坐標(biāo)軸上， 以點(diǎn) c為頂點(diǎn)的拋物線經(jīng)過點(diǎn) a，點(diǎn) p是拋物線上點(diǎn) a， c間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)

13、（含端點(diǎn)） ，過點(diǎn) p 作 pfbc 于點(diǎn) f，點(diǎn) d、e 的坐標(biāo)分別為（ 0， 6），（ 4， 0），連接 pd、pe、 de（ 1）請(qǐng)直接寫出拋物線的解析式；（ 2）小明探究點(diǎn) p 的位置發(fā)現(xiàn)：當(dāng) p 與點(diǎn) a 或點(diǎn) c 重合時(shí)， pd與 pf的差為定值，進(jìn)而猜想：對(duì)于任意一點(diǎn) p， pd與 pf 的差為定值，請(qǐng)你判斷該猜想是否正確，并說明理由；（ 3）小明進(jìn)一步探究得出結(jié)論：若將“使 pde 的面積為整數(shù)”的點(diǎn) p 記作“好點(diǎn)”，則存在多個(gè)“好點(diǎn)”，且使 pde 的周長(zhǎng)最小的點(diǎn) p 也是一個(gè)“好點(diǎn)”請(qǐng)直接寫出所有“好點(diǎn)”的個(gè)數(shù)，并求出 pde 周長(zhǎng)最小時(shí)“好點(diǎn)”的坐標(biāo)解：（ 1）邊長(zhǎng)為

14、8 的正方形 oabc的兩邊在坐標(biāo)軸上，以點(diǎn) c 為頂點(diǎn)的拋物線經(jīng)過點(diǎn) a，c（ 0， 8）， a（ 8， 0），設(shè)拋物線解析式為：y=ax2+c，則，解得：故拋物線的解析式為：y= x2+8；（2）正確，理由：設(shè)p（ a， a2+8），則 f（ a， 8）， d（ 0， 6），pd=a2+2，pf=8（ a2+8） =a2， pd pf=2；（ 3）在點(diǎn) p 運(yùn)動(dòng)時(shí)， de大小不變，則 pe與 pd的和最小時(shí)， pde 的周長(zhǎng)最小，pd pf=2， pd=pf+2， pe+pd=pe+pf+2，當(dāng) p、e、f 三點(diǎn)共線時(shí)， pe+pf最小，此時(shí)點(diǎn) p， e 的橫坐標(biāo)都為 4，5 / 6將 x

15、= 4 代入 y= x2+8，得 y=6， p（ 4， 6），此時(shí) pde 的周長(zhǎng)最小，且 pde 的面積為 12，點(diǎn) p 恰為“好點(diǎn)， pde的周長(zhǎng)最小時(shí)”好點(diǎn)“的坐標(biāo)為： （ 4， 6），由（ 2）得： p（a， a2+8），點(diǎn) d、 e 的坐標(biāo)分別為（ 0， 6），（ 4， 0），當(dāng) 4a 0 時(shí)，spde=；4 spde12，當(dāng) a=0 時(shí)，spde=4， 8 a 4 時(shí)，spde=（ a2+8+6）（ a） 46 （ a 4）（ a2+8）= a2 3a+4，4spde13，當(dāng) a= 8 時(shí)， spde=12， pde的面積可以等于4 到 13 所有整數(shù)，在面積為12 時(shí)， a 的值

16、有兩個(gè)， 所以面積為整數(shù)時(shí)好點(diǎn)有11 個(gè)，經(jīng)過驗(yàn)證周長(zhǎng)最小的好點(diǎn)包含這11 個(gè)之內(nèi)， 所以好點(diǎn)共11 個(gè)， 11 個(gè)好點(diǎn)， p（ 4， 6）3、（ 2011?河北）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)p 從原點(diǎn)o 出發(fā)，沿x 軸向右以毎秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度運(yùn)動(dòng)t 秒（ t 0），拋物線 y=x 2+bx+c 經(jīng)過點(diǎn) o和點(diǎn) p，已知矩形abcd的三個(gè)頂點(diǎn)為a （1， 0）， b （ 1， 5）， d （4， 0）（ 1）求c， b （用含t的代數(shù)式表示）：（2）當(dāng) 4 t 5 時(shí)，設(shè)拋物線分別與線段ab，cd交于點(diǎn) m， n在點(diǎn) p 的運(yùn)動(dòng)過程中，你認(rèn)為amp 的大小是否會(huì)變化？若變化，說明理由；若不變，求出 amp的值；求 mpn的面積 s 與 t 的函數(shù)關(guān)系式，并求t 為何值時(shí)，；（3）在矩形abcd的內(nèi)部（不含邊界），把橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為“好點(diǎn)”若拋物線將這些“好點(diǎn)”分成數(shù)量相等的兩部分，請(qǐng)直接寫出t 的取值范圍222解：（ 1）把 x=0， y=0 代入 y=x +bx