激光原理與技術原理部分第10講光學諧振腔-縱模、橫模

1、激光原理與技術原理部分,第10講 光學諧振腔：縱模、橫模,10.1 光學諧振腔的縱模,平平腔的駐波 均勻平面波近似 一般的開放式光學諧振腔都滿足條件： 在滿足該條件時，可以將均勻平面波認為是腔內存在的穩(wěn)定電磁場的本征態(tài)，為平行平面腔內的電磁場提供一個粗略但是形象的描述； 嚴格的理論證明，只要滿足條件 ，則腔內損耗最低的模式仍可以近似為平面波，而 是光腔的菲涅爾數，它描述了光腔衍射損耗的大小。,10.1.1 自由空間中的駐波,沿z方向傳播的平面波可以表示為： 沿-z方向傳播的平面波為： 發(fā)生重疊時的電磁場分布為： 該疊加的場分布的振幅在沿z方向上有一個余弦分布。 在z點處的振幅為 當 時，振幅有

2、最大值 ，稱此位置為波腹； 當 時，振幅有最大值 ，稱此位置為波節(jié)； 駐波頻率為平面波頻率，而且可以為任意值。,10.1.1平平腔的駐波,平行平面腔中的駐波 當光波在腔鏡上反射時，入射波與反射波發(fā)生干涉，而多次往復反射形成的多光束干涉，穩(wěn)定的振蕩要求干涉加強，發(fā)生相長干涉的條件為：波從某一點出發(fā)，經腔內往返一次再回到原位時，相位應與初始出發(fā)時相差2的整數倍。 以表示往返一周后的相位差： 其中的q為任意正整數，將滿足上式的波長以 來標記，則有： 上式意味著一定長度的諧振腔只能對一定頻率的光波形成正反饋， 為腔的諧振頻率，同時表明腔內的諧振頻率是分立的。,10.1.1平平腔的駐波,當發(fā)生諧振時，腔

3、內的光學長度為光波半波長的整數倍，這是腔內駐波的特征。 當腔內為均勻的折射率為 的物質時有： 其中L為腔的幾何長度，則 ， 其中的 是物質中的諧振波長。 當腔內物質為分段均勻，則有： 當物質沿軸線分布不均勻時有：,10.1.2 光學諧振腔中的縱模,將腔內穩(wěn)定存在的、由整數q表征的光波縱向分布稱為腔的縱模(Longitudinal mode)。在簡化模型中，q單值的決定模的諧振頻率。 腔的兩相鄰縱模的頻率之差稱為縱模間隔： 對于腔內是均勻介質的諧振腔 則有：,10.1.2 光學諧振腔中的縱模,例： 對于L=10cm的氣體激光器，=1，則有 ； 對于L=100cm的氣體激光器， ； 對于L=10c

4、m，=1.76的固體激光器， ； 當其他參數固定時，光腔的腔長增加，頻率間隔減?。?對于微波腔，其尺寸可以與波長相比擬，則在腔中只會激發(fā)低階本征模式，而在光學諧振腔中，它工作在極高的諧波上，既q是一個很大的整數。 例如L=100cm，=632.8nm的He-Ne激光器：,10.1.3 腔內的多縱模振蕩,某個縱模q能夠在腔內存在必須滿足以下條件： 滿足腔內諧振頻率條件： q必須落在激活介質發(fā)光的原子譜線內，此時激活介質才能對該縱模提供增益； 滿足振蕩閾值條件 ； 在光學諧振腔中能夠存在的 縱模數最多只能有：,10.1.3 腔內的多縱模振蕩,頻率漂移 對某個腔內縱模q： 由此可知，當腔長L或者折射

5、率發(fā)生 變化時，縱模的諧振頻率也會發(fā)生變化。 這種振蕩頻率隨外界環(huán)境變化而發(fā)生緩 慢變化的現象稱為頻率漂移。 假設腔內縱模頻率會隨溫度發(fā)生變化， 如圖所示，當溫度為T0時，只有q能 夠振蕩；當溫度為T2時，q漂出T 的范圍，而q+1漂進T ，則腔內模 式發(fā)生了變化，稱為跳?，F象 頻率漂移現象都是有害的嗎？,10.2.0 開腔模式的物理概念和衍射理論分析方法,我們關心的問題：在由無側面的共軸反射鏡構成的開放光學諧振腔區(qū)域中，是否存在不隨時間變化的穩(wěn)定的電磁場分布？ 如何求出這個分布的具體形式？ 在考察光學諧振腔中電磁場的分布時，我們首先關心的是鏡面上的分布，因為鏡面一般作為激光輸出窗口，而輸出激

6、光的場分布就直接與鏡面上的場分布有關。,10.2 開腔模式的物理概念,開腔中有多種損耗： 由于反射鏡尺寸有限，在反射鏡邊界處引起的衍射損耗，該損耗會影響開腔中振蕩的激光模式的橫向分布； 反射鏡不完全反射、介質吸收等因素引起的損耗不影響模式的橫向分布； 開腔的理想模型：兩塊反射鏡片處于均勻的各向同性介質中；,10.2 開腔模式的物理概念,假設初始時在鏡面1上有分布為u1的電磁場從鏡面1向鏡面2傳輸，經過一次渡越，在鏡面2上有分布為u2的場，在經過反射后再次渡越回到鏡面1時場的分布為u3，如此反復。 受到各種損耗的影響，不僅每次渡越會造成能量的衰減，而且振幅橫向分布也會由于衍射損耗的存在而發(fā)生改變

7、； 由于衍射損耗僅發(fā)生在鏡面的邊緣，因此只有中心振幅大，邊緣振幅小的場才會盡可能少的受到衍射損耗的影響。經過多次渡越后，這樣的模式除了振幅整體下降，其橫向分布將不發(fā)生變化，即在腔內往返傳輸一次后可以“再現”出發(fā)時的振幅分布。,10.2 開腔模式的物理概念,將開腔中這種經一次往返可再現的穩(wěn)定電磁場分布稱為開腔的自再現模； 自再現模經一次往返所發(fā)生的能量損耗定義為模的往返損耗，它等于衍射損耗； 自再現模經一次往返所產生的相位差定義為往返相移，往返相移應為2的整數倍，這是由腔內模的諧振條件決定的。,10.2 開腔模式的物理概念,孔闌傳輸線 開腔物理模型中衍射的作用 腔內會隨機的產生各種不同的模，而衍

8、射效應將其中可以實現自再現的模式選擇出來； 由于衍射的影響，鏡面上每一點的電磁場都可以視作前一個鏡面上每一點作為次級子波源發(fā)出光波場的疊加，因此每點的相位之間的關聯就越來越緊密，即相干性越來越好；,10.3 開腔衍射理論分析,菲涅爾-基爾霍夫衍射積分 惠更斯-菲涅爾原理：波前上每一點都可以看成是新的波源，發(fā)出次級子波，空間中的任意一點的光場就是這些子波在該點相干疊加的結果； 該原理是研究光學衍射現象的基礎，因此也必然是開腔模式的物理基礎； 該原理的數學表達式是基爾霍夫衍射積分方程；,10.3 開腔衍射理論分析,設已知空間某一曲面S上光波長的振幅和相位分布函數為u(x,y)，則空間任一點P處的光

9、場分布，可以看作曲面S上每點作為次級子波源發(fā)出的非均勻球面波在P點的疊加，由菲涅爾-基爾霍夫衍射積分公式來描述： 為什么用菲涅爾-基爾霍夫衍射積分公式？ 其中k=2/為波矢的模，也稱為波數； dS是S面上的面積元； 為源點與P點之間連線的長度； 為源點處S面法線與P點連線之間的夾角； 表示球面波，(1+cos)為傾斜因 子，表示非均勻球面波；,10.3 開腔衍射理論分析,將該公式應用于研究諧振腔問題，它描述了鏡面S1上光場u1(x,y)經過衍射后在鏡面S2上面形成光場分布u2; 要做出如下假設： 1、 在小角度近似下有： 并且在此 情況下可以將光場的兩種偏 振狀態(tài)作為獨立變量分別求解； 2、

10、，被積函數中的指 數因子 不能簡單將用L代 替，只能根據不同諧振腔情況 來簡化； 3、腔內振幅衰減是緩慢的；,10.3 開腔衍射理論分析,經過q次傳播后： 將第一個假設帶入其中有： 由開腔理論中描述的自再現模的定義可知，在開腔內穩(wěn)定傳輸的光波模式應滿足關系： 在穩(wěn)定情況下，uq從鏡面S1傳播到S2時，除 了一個表示振幅衰減和相位移動的、與坐標 無關的復常數因子外， 其分布能夠被 uq+1再現。,10.3 開腔衍射理論分析,腔內存在的穩(wěn)定光波場，它們由一個腔面?zhèn)鞑サ搅硪粋€腔面的過程中，雖然會受到衍射效應的影響，但是這些光波長在兩個腔面處的相對振幅分布和相位分布保持不變。,10.3 開腔衍射理論分

11、析,以E(x,y)表示開腔中的穩(wěn)定光場分布函數u，則上式可以簡化為： 該式是開腔自再現模滿足的積分方程，滿足以上方程的函數E稱為本征函數，為本征值，而K為積分方程的核； 對于對稱腔：,10.3 開腔衍射理論分析,滿足上式的本征函數E就是腔的自再現模，也稱為腔的橫模，E一般是復函數，其模|E(x,y)|描述的是鏡面上的振幅分布，其幅角argE(x,y)表示鏡面上的相位分布； 為復常數，不妨設為： 其中的a、為與坐標無關的實常數，則自再現模可以表示為： 由此可見，e-a表示腔內渡越一次后自再現模的振幅衰減，a越大損耗越大，a=0表示無損耗傳輸； 表示渡越一次后自再現模的相位滯后，越大相位滯后越多。,10.3 開腔衍射理論分析,從鏡面S1出射的光功率為： 被鏡面S2反射后的自再現模的功率為： 自再現模在腔內渡越一次時受到的