“代換思想”在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

1、 “代換思想”在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用目 錄摘 要1ABSTRACT 1第一章 緒論2第二章 代換思想的分類以及各種代換解題的介紹3（一） 整體代換31 整體代換在求值中的應(yīng)用32 整體代換在化簡中的應(yīng)用43 整體代換在證明中的應(yīng)用44 整體代換在應(yīng)用題中的應(yīng)用45 整體代換在求最值中的應(yīng)用56 整體代換在幾何中的應(yīng)用6（二） 部分代換整體6（三） 三角代換61 根據(jù)平方關(guān)系確定三角代換72 根據(jù)相似性確定三角代換73 根據(jù)三角函數(shù)的值域確定三角代換84 根據(jù)三角函數(shù)的定義確定三角代換85 聯(lián)想?yún)?shù)方程確定三角代換96 聯(lián)想三角形中邊角關(guān)系確定三角代換9（四） 換元代換101 一元代換102 多元代

2、換10（五） 和差代換11（六） 均值代換11（七） 常值代換121 “1”的代換122 特殊值的代換13（八） 倒數(shù)代換14（九） 逆向代換141 逆向代換在證明中的應(yīng)用142 逆向代換在求值中的應(yīng)用153 逆向代換在求最值中的應(yīng)用15（十） 等積代換151 利用面積相等代換162 利用體積相等代換163 利用乘積相等代換17結(jié) 論18參考文獻(xiàn)18“代換思想”在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用摘 要：代換有著替代，更換的意思。在三國時代曹沖稱象就用到了代換的思想。代換法也稱“等量代換”，是常用的一種數(shù)學(xué)思考方法。通過適當(dāng)?shù)淖兓?用一種量替換另一種量，使數(shù)量關(guān)系簡單化、明朗化，從而尋求到解題途徑。這種方法沒

3、有固定的模式可循，往往需要視問題的具體情況而選擇適當(dāng)代換，應(yīng)用十分靈活。在中學(xué)數(shù)學(xué)中有著整體代換，部分代換整體，三角代換，和差代換，均值代換，等積代換，常值代換，換元代換，倒數(shù)代換，逆向代換等幾種代換思想。這幾種“代換思想”在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用十分廣泛，在代數(shù)和幾何中都有相應(yīng)的應(yīng)用。到目前為止，“代換思想”在數(shù)學(xué)中沒有很好的的被慨括起來，本文就針對“代換思想”在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用作簡要的介紹。關(guān)鍵詞：代換;初等數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)代換;數(shù)學(xué)應(yīng)用Substitution thinking in elementary mathematics applications Abstract：Substitution

4、with an alternative, replacement of the meaning. Three Kingdoms era Cao Chong said the elephant used to the idea of substitution. Substitution method is also known as equivalent substitution is commonly used in a mathematical way of thinking. Through appropriate changes, replaced with a measure of a

5、nother amount, the number of relations simplified, clarified, and thus seek to problem-solving way. This method is no fixed pattern to follow, and often require the specific circumstances of the problem and select the appropriate substitution, the application is very flexible overall substitution in

6、 secondary school mathematics, some substitution as a whole, trigonometric substitution, and differential substitution mean substitution, product substitution, constant substitution, for the change in the Yuan Dynasty, the reciprocal of substitution, the reverse substitution of several substitution

7、thinking these types of substitution ideology is widely used in elementary mathematics, algebra has a corresponding application and geometry. So far, the substitution ideas in mathematics, goods been generous enclosed in this paper for the substitution of thought in the Elementary Mathematics brief

8、introduction.Key words： Substitution Elementary Mathematics Mathematical substitution Mathematical application第一章 緒 論隨著數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)的改革，現(xiàn)在逐步轉(zhuǎn)向考查學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用價值、文化價值，考查發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力；增強(qiáng)了對應(yīng)用意識、解決簡單實際問題的能力的考查力度。而解題技巧屬于數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，同時解題技巧也屬于特殊能力。解題技巧在本質(zhì)上是調(diào)節(jié)解題活動的個體心理特性，是人類有機(jī)體與環(huán)境相互作用的過程中，通過主體能力的反映活動，在頭腦里構(gòu)建起來的心理形成物。因而，

9、解題技巧是可以培養(yǎng)和不斷提高的。在初等數(shù)學(xué)中“代換思想”是一種巧妙的解題技巧，如果運(yùn)用得當(dāng)，會達(dá)到意想不到的效果。“代換思想”最主要的是“等量代換”,是常用的一種數(shù)學(xué)思考方法，通過適當(dāng)?shù)淖兓? 用一種量替換另一種量, 使數(shù)量關(guān)系簡單化、明朗化, 從而尋求到解題途徑。它是代數(shù)數(shù)學(xué)思想方法的基礎(chǔ)，在代數(shù)和幾何中都有相應(yīng)的應(yīng)用?！暗攘看鷵Q”最早出現(xiàn)是在人教版數(shù)學(xué)三年級下冊第九單元“數(shù)學(xué)廣角”的例2, 其教學(xué)目的是讓學(xué)生體會“等量代換”的數(shù)學(xué)思想方法, 為以后學(xué)習(xí)簡單的代數(shù)知識做準(zhǔn)備。在隨后的初中，高中的學(xué)習(xí)中應(yīng)用十分廣泛。代換法有很多種，大致歸納起來有整體代換，部分代換整體，三角代換，和差代換，均值

10、代換，等積代換，常值代換，換元代換，倒數(shù)代換，逆向代換這十中常見的代換法。當(dāng)然，也有其余的代換法，只是在解題的過程中應(yīng)用的不多，在這里就不一一介紹了。本文就針對這十種代換法在解題中的應(yīng)用作了簡要的介紹，希望能對大家的解題技巧有所幫助。第二章 代換思想的分類以及各種代換解題的介紹 （一） 整體代換所謂“整體代換”, 就是把某個數(shù)學(xué)式子用一個新的量代換, 依此出發(fā)。整體思想它能使數(shù)學(xué)問題化繁為簡、變難為易，同時又能培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、敏捷性。其主要表現(xiàn)形式有整體聯(lián)想、整體構(gòu)造、整體運(yùn)用、整體代換、化零為整等。題型涉及中考、競賽等各類考試。因而整體思想是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)必備的思想方法。1.整體代換在求值中

11、的應(yīng)用例1 已知代數(shù)式的值為8，則的值為（ ）。(A)1 （B）2 (C)3 （D）4分析：在這里，我們沒有將中的值解出，而是將轉(zhuǎn)化為,將整體代換到里面。這樣就避免了算值所帶來的計算困難，使問題簡化。解 因為 ，所以 則故選（B）。例2 已知求代數(shù)式的值。分析：若直接求的值再代入求值，太復(fù)雜。從結(jié)論入手尋找突破口，再整體代入可起到化繁為簡的效果。解 2.代換在化簡中的應(yīng)用例3 化簡：。 分析：直接運(yùn)算，計算量較大。不妨把和看成一體再化簡。 解 設(shè),，則，所以原式。3.整體代換在證明中的應(yīng)用例4 已知，求證：。 證明 因為，左邊 右邊所以等式成立?？偨Y(jié)：用這個整體進(jìn)行代換。4.整體代換在應(yīng)用題中

12、的應(yīng)用例5 甲乙兩貨車分別自兩地同時相向開出, 經(jīng)過2小時相遇, 甲乙兩貨車分別到達(dá)后, 各需卸車半小時再往回返，試求甲乙兩貨車第二次相遇時, 從原出發(fā)時起共經(jīng)過多少小時？ 解 我們從整體考慮本題，甲乙兩貨車自開始到第二次相遇, 共走之間的三個單程, 而甲乙兩貨車合走一個單程需2個小時, 所以共需時間是（小時）總結(jié)：如想分別求出甲乙兩貨車各走的路程, 再計算時間將碰到很大困難, 而抓住三個單程的整體不變量, 這就使解題簡潔。5.整體代換在求最值中的應(yīng)用 例6 已知都為正數(shù)，求的最小值。分析：把已知式子作為整體代入，然后再用基本不等式求其最值。解 當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故的最小值為4。拓展：（

13、1）若題中條件不變，求的最小值改為求的最小值，結(jié)果將如何？解 當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立，故的最小值為。（2）已知都為正數(shù)，都為正常數(shù)，且，求的最值。解 =，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故的最小值為?？偨Y(jié)：只要所求形式為的線性和，都可以用此方法把已知式子作為整體代入，然后再用基本不等式求其最值。6.整體代換在幾何中的應(yīng)用例7 已知直角三角形的周長為,斜邊上的中線為,求該三角形的面積。解 設(shè)直角三角形兩直角邊為x和y，則 有（3）（2）得所以?？偨Y(jié)：設(shè)而不求的值，直接求的整體值, 從而使解題簡潔、明快。（二）部分代換整體在進(jìn)行式的變形如因式分解和解方程時經(jīng)常要設(shè)法轉(zhuǎn)化為基本類型。對于項數(shù)較多的代數(shù)式, 根

14、據(jù)代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征, 部分代換整體是一種好方法。例8 設(shè)實系數(shù)方程無實數(shù)根且各根的模均不為1, 求的取值范圍。解 由方程系數(shù)的對稱性知其為倒數(shù)方程。不可能是原方程的根，故原方程可化為。即令，得： 根據(jù)題意, 為虛數(shù)且模不為1 , 則必為虛數(shù), 即上述方程也無實根, 從而解得。（三）三角代換三角函數(shù)具有許多優(yōu)秀的性質(zhì)。因此在數(shù)學(xué)解題中,特別是在初等數(shù)學(xué)解題中,若題目的已知條件和所求解的結(jié)論間蘊(yùn)含著某種數(shù)量關(guān)系,而這種數(shù)量關(guān)系可以用三角函數(shù)表達(dá)出來,則可以把題目中相關(guān)的量或相關(guān)的“代數(shù)式”表為三角函數(shù),而把原問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題來解決,這種解題方法叫“三角代換”。“三角代換”是初等數(shù)學(xué)解題中的一

15、種常用技巧,這種技巧在解決一些運(yùn)算復(fù)雜、解題思路疑難的問題時常常能起到事半功倍、豁然開朗的效果。1根據(jù)平方關(guān)系確定三角代換 三角函數(shù)平方關(guān)系: 。從形式上考查, 當(dāng)題目的條件或結(jié)論含有下列形式的等式或代數(shù)式:時，這與同角三角函數(shù)的平方關(guān)系 ，是基本一致或相似的，所以可以考慮作三角代換：，,。例9 已知：，求證。分析：題目的已知中含有，這是標(biāo)準(zhǔn)的“三角函數(shù)平方關(guān)系”,所以可以作如下的三角代換:令則。解 令，則，由半角公式，得：，即：。例10 求函數(shù)的值域。 分析：初從形式看函數(shù)右邊不具有同角三角函數(shù)的平方關(guān)系, 但是，因此函數(shù)右邊隱含著“三角函數(shù)平方關(guān)系”，所以仍然可以作三角代換。解 設(shè)，則。所

16、以函數(shù)，因為，所以所以函數(shù)的值域是2根據(jù)相似性確定三角代換有些代數(shù)不等式證明題中的代數(shù)結(jié)構(gòu)和某些三角函數(shù)關(guān)系極為相似，可根據(jù)這一相似性確定三角代換。例11 已知：，且，求證：。 證明 左端各項的結(jié)構(gòu)均和三角關(guān)系的右端相似，因此可設(shè)，代入題設(shè)的左端，并根據(jù)得，根據(jù)均值不等式有以上各式相乘得，所以。3根據(jù)三角函數(shù)的值域確定三角代換正余弦函數(shù)是值域為的有界函數(shù)，正余割的值域是，正余切是無界函數(shù)。若代數(shù)式中的字母的取值范圍屬于上面三個中的一個，則可以考慮作相應(yīng)的代換。例12 設(shè)，求證：。證明 ，聯(lián)想，因此可設(shè)，則左端4根據(jù)三角函數(shù)的定義確定三角代換由于任何一對有序數(shù)組都和直角坐標(biāo)系中一點相對應(yīng)，而由三

17、角函數(shù)的定義，這對實數(shù)又可表示為，因此有些代數(shù)不等式的證明又可以根據(jù)三角函數(shù)的定義確定三角代換。例13 設(shè)，求證：。證明 把看為直角坐標(biāo)系內(nèi)終邊上一點，因為，所以設(shè)，則。5聯(lián)想?yún)?shù)方程確定三角代換對于圓或圓錐曲線的方程可聯(lián)想?yún)?shù)方程確定三角代換。例14 已知實數(shù)滿足，求證：。證明 將變形為，可設(shè)，則，所以。6聯(lián)想三角形中邊角關(guān)系確定三角代換 直角三角形的一個銳角的六種三角函數(shù)能溝通任意兩邊的關(guān)系。正余弦定理反應(yīng)了斜邊三角形的邊角關(guān)系，因此遇有三角形中邊的不等關(guān)系的證明，可以聯(lián)想邊角關(guān)系，用角的三角函數(shù)代換邊，即使不是三角形中的問題，也可以根據(jù)式子的特殊性構(gòu)造三角形，然后再進(jìn)行三角代換。例15

18、在中，求證：。 分析：聯(lián)想到正弦定理，將轉(zhuǎn)化為兩角正弦的和。證明 總結(jié)：26都是代數(shù)不等式的證明，當(dāng)代數(shù)不等式的證明很難下手時，若能考慮進(jìn)行三角代換，將代數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為三角不等式，進(jìn)而利用三角函數(shù)的性質(zhì)和眾多的三角公式推證，往往起到化難為易，事半功倍的效果。（四）換元代換換元是數(shù)學(xué)解題中常用的一種轉(zhuǎn)化策略, 其實質(zhì)是通過變換研究對象, 將問題移至新對象的知識背景中去研究, 使問題達(dá)到化難為易, 化繁就簡之目的。1 .一元代換 例16 解方程。 解 方程變形為，令則，于是方程又可化為。解得 ，從而得到 ，即 。 所以，故原方程的解為。2 .多元代換 例17 已知，求證。證明 令，于是問題轉(zhuǎn)化為在

19、條件下，證明成立。因為 ，所以 由此 即?？偨Y(jié)：本例通過多元代換 將一個看似復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化成一個結(jié)構(gòu)十分簡潔的形式, 從而易于發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì), 有利于問題的解決。（五）和差代換對于任意兩個實數(shù)，總存在實數(shù)使得，這就是和差代換。例18 求的值。解 設(shè)則 所以 原式=。（六）均值代換對于已知條件為的等式，可設(shè)來代換，且,這種代換稱為均值代換。例19 設(shè)。 證明 由，可設(shè)，其中則 當(dāng)且僅當(dāng)所以 。（七）常值代換1.“1”的代換“1”的代換涉及面廣, 有同角三角函數(shù)之間的平方關(guān)系、倒數(shù)關(guān)系、商的關(guān)系等 。(1).“1”的代換用于等式或不等式的證明例20 已知。證明 因為 所以 即 由條件等式進(jìn)行代換，

20、得：所以 而 所以 成立。（2）.“1”的代換用于多元函數(shù)求最值除了“天然”恒為1 的式子，題目有時會給出恒為1 的式子作為條件，對此要善加利用。例21 若且，求函數(shù)的最小值。解 ，。（3）.“1”的代換用于向量處理例22 設(shè)空間任意一點和不共線三點若點滿足向量關(guān)，試問：四點共面嗎？解 由，可得則所以即由三點不共線，可知不共線，所以公面且具有公共起點，從而四點共面。（4）.“1”的代換用于直線方程的確定 例23 過點的直線與拋物線交于兩點，為坐標(biāo)原點，若，求直線 的方程。解 由于直線過點，可設(shè)其方程為，則所以則又，故方程兩邊可以同時除以，得，故是關(guān)于 的方程的兩根，所以，故直線的方程為，即。2

21、 .特殊值的代換例24 若，求證。 證明 ， 且 即 。（八）倒數(shù)代換 若，則有。例25 解方程：。 解 方程左端變形為互為倒數(shù)的兩數(shù)之和, 即，由倒數(shù)關(guān)系代換：若，則，所以 ，若，則，所以 ，故原方程的三個根是，。（九）逆向代換逆代就是逆向代換，它是一種逆向思考問題的方法解多元問題的過程往往是消元簡化的過程，通常是消變元而忽視消常量，然而有時候若能根據(jù)題設(shè)條件的特點，消掉常量或是逆向代換：用變量代換常量，起到意想不到的效果。1.逆向代換在證明中的應(yīng)用例26 銳角中,。證明 。點評：證法如此簡潔明快!其關(guān)鍵就是用變量代換了常數(shù)，再利用三角變換(得到了角A,B的正弦，余弦的二次齊次式)，達(dá)到目標(biāo)

22、。2.逆向代換在求值中的應(yīng)用例27 已知解 。點評：本題可先解方程組求出，再求之值，但不如逆代簡便。3.逆向代換在求最值中的應(yīng)用 例28 解 ，又關(guān)于輪換對稱， ，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故的最小值是8。點評：本解法關(guān)鍵是逆代變形得到了，再根據(jù)原式輪換對稱的特點，求得最小值。（十）等積代換等積代換有三種，分別是指：面積相等，體積相等，乘積相等在解題時如能恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用這三種等積代換，可以幫助我們發(fā)現(xiàn)解決問題的“蹊徑”。1.用面積相等例29 從邊長為1的等邊三角形內(nèi)一點分別向三邊作垂線段，三條垂線段長的和為( )。 分析：雖然這個點在等邊三角形內(nèi)的位置不確定，但是它與三個頂點的連線可將等邊三角形分成三個小

23、三角形，故這三個小三角形面積的和等于原等邊三角形的面積。 如圖，是等邊三角形內(nèi)一點，連接，作。在 ， 所以應(yīng)選。例30 如圖（左），兩個半圓中長為4的弦與直徑平行且與小圓相切，那么圖中陰影部分的面積等于。分析：將小圓沿平行移動，使其與大圓同心，如圖(右)，顯然，左圖中的陰影面積等于右圖中(半圓環(huán))的陰影面積。 解 設(shè)與小圓相切于點，連結(jié)。則，所以圖中陰影部分的面積等于。2. 利用體積相等例31 一種圓筒狀包裝的保鮮膜，如下圖所示，其規(guī)格為“”，經(jīng)測量這筒保鮮膜的內(nèi)徑、外徑的長分別為、，則該種保鮮膜的厚度約為_（取，結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）。分析：保鮮膜原來的形狀可以看成長方體，圓筒狀時可以看成圓

24、柱體形狀雖然改變，但體積不變。解 設(shè)這種保鮮膜的厚度為，根據(jù)題意，解得，所以這種保鮮膜的厚度約為。例32 一個啤酒瓶的高度為，瓶中裝有高度的水將瓶蓋蓋好后倒置，這時瓶中水面高度，則瓶中水的體積和瓶子的容積之比為( )。(圓柱體的體積等于底面積乘以高，瓶底厚度不計)A5：11 B1：2 C6：11 D5：6分析：雖然啤酒瓶的形狀不規(guī)則，但是瓶子的下部分可視為圓圓柱體，由于瓶子的容積瓶不變，瓶中水的體積也不變，故可將左圖上部分不規(guī)則的空氣體積，用右圖上部分規(guī)則的空氣體積來代替。解 設(shè)瓶的底面積為，則左圖= ，右圖=， =+=， :=，所以應(yīng)選。3 .利用乘積相等例33 以長為的定線段為邊作正方形，取的中點，連結(jié)，在的延長線上