階微分方程的解的存在性定理.ppt

1、第三章 一階微分方程的解的存在性定理,3.1 解的存在唯一性定理與逐步逼近法 3.2 解的延拓 3.3 解對(duì)初值的連續(xù)性和可微性定理 3.4 奇解, 3.1 解的存在唯一性定理和逐步逼近法 /Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method/,概念和定義,存在唯一性定理,內(nèi)容提要/Constant Abstract/, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,本節(jié)要求/Requirements/, 掌握逐步逼近方法的本思想, 深刻理解解的存在唯一性定理的條件與結(jié)論, 3

2、.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,一 、概念與定義/Concept and Definition/,1. 一階方程的初值問(wèn)題(Cauchy problem)表示, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,2. 利普希茲條件,函數(shù),稱為在矩形域 :,(3.1.5),關(guān)于 y 滿足利普希茲 (Lipschitz)條件，如果存在常數(shù) L0,使得不等式,對(duì)所有,都成立。,L 稱為利普希茲常數(shù)。, 3.1 Existence & Uniqueness The

3、orem & Progressive Method,二 、存在唯一性定理,定理1,如果 f(x,y) 在 R 上連續(xù)且關(guān)于 y 滿足利普希茲條件,則方程(3.1.1)存在唯一的連續(xù)解,定義在區(qū)間, 且滿足初始條件,這里, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,定理1的證明需要證明五個(gè)命題：, 命題 1 求解微分方程的初值問(wèn)題等價(jià)于 求解一個(gè)積分方程 命題 2 構(gòu)造一個(gè)連續(xù)的逐步逼近序列 命題 3 證明此逐步逼近序列一致收斂 命題 4 證明此收斂的極限函數(shù)為所求 初值問(wèn)題的解 命題 5 證明唯一性, 3.1 Existen

4、ce & Uniqueness Theorem & Progressive Method,定理1的證明,命題1,設(shè),是初值問(wèn)題,的解的充要條件是,是積分方程,(3.1.6),的定義于,上的連續(xù)解。,證明:,微分方程的初值問(wèn)題的解滿足積分方程（3.1.6）。,積分方程（3.1.6）的連續(xù)解是微分方程的初值問(wèn)題的解。, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,證 明,因?yàn)?是方程(3.1.1)的解，故有:,兩邊從,積分得到:,把(3.1.2)代入上式,即有:,因此,是積分方程在,上的連續(xù)解., 3.1 Existence &

5、Uniqueness Theorem & Progressive Method,反之，如果,是 (3.1.6) 的連續(xù)解，則有：,(3.1.8),微分之，得到:,又把,代入(3.1.8)，得到:,因此，,是方程(3.1.1)定義于,上，且滿足初始條件(3.1.2)的解。,命題1證畢.,同理，可證在,也成立。, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,現(xiàn)在取,，構(gòu)造皮卡逐步逼近函數(shù)序列如下:, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,x,y,o,x0,x

6、0+a,x0-a,y0,y0-b,y0+b,x0-h,x0+h, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,命題2 對(duì)于所有的 (3.1.9) 中函數(shù),在,上有定義、連續(xù)，即滿足不等式:,證 明: （只在正半?yún)^(qū)間來(lái)證明，另半?yún)^(qū)間的證明類似）,當(dāng) n =1 時(shí), 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,即命題2 當(dāng) n=1 時(shí)成立。,現(xiàn)在用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)于任何正整數(shù) n ，命題2都成立。,即 當(dāng) n=k 時(shí)，,在,也就是滿足不等式,在,上有定義,連續(xù),上

7、有定義，連續(xù)，,而當(dāng) n=k+1 時(shí)，,上有定義，連續(xù)。,在, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,即命題在 n=k時(shí)也成立。,由數(shù)學(xué)歸納法得知命題對(duì)于所有 n 均成立。,命題,在,上是一致收斂的。,命題證畢,函數(shù)序列,考慮級(jí)數(shù):,它的部分和為：, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,為此，進(jìn)行如下的估計(jì)，由逐步逼近序列(3.1.9)有:, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Met

8、hod,設(shè)對(duì)于正整數(shù) n , 不等式,成立，,于是，由數(shù)學(xué)歸納法得到：對(duì)于所有的正整數(shù) k，有如下的估計(jì):, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,由此可知，當(dāng),時(shí),(3.1.14)的右端是正項(xiàng)收斂級(jí)數(shù),的一般項(xiàng)，,由維爾斯特拉斯(Weierstrass)判別法(簡(jiǎn)稱維氏判別法),級(jí)數(shù)(3.1.11) 在,上一致收斂,因而序列,也在,上一致收斂。,命題3證畢, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,則,也在,又可知,現(xiàn)設(shè),上連續(xù)，且由(3.1.10

9、),命題4,是積分方程(3.1.6)的定義于,證 明:,由利普希茲條件,以及,在,上一致收斂于,上的連續(xù)解。, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,因而，對(duì)(3.1.9)兩邊取極限,得到:,即,即知序列,在,一致收斂,這就是說(shuō),是積分方程(3.1.16)的定義于,上的連續(xù)解。,命題4 證畢, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,命題5,也是積分方程(3.1.6)的定義于,上的一個(gè)連續(xù)解, 則,證明,若,首先證明,也是序列,的一致收斂極限函數(shù)。,

10、為此，從,進(jìn)行如下的估計(jì), 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,現(xiàn)設(shè),則有, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,有,故由數(shù)學(xué)歸納法得知對(duì)于所有的正整數(shù) n ，有下面的估計(jì)式, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,因此，在,上有:,是收斂級(jí)數(shù)的公項(xiàng),故,時(shí),因而,在,上一致收斂于,根據(jù)極限的唯一性，,即得:,命題5證畢,綜合命題1-5，即得到存在唯一性定理的證明。, 3

11、.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,例,求初值問(wèn)題 的第三次近似解。, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,附 注/Remark/,1）如果在 R 上,存在且連續(xù),則 f (x,y) 在R上關(guān)于 y,滿足利普希茲條件，反之不成立。,證,在 R 上連續(xù)，則在 R 上有界，記為L(zhǎng),由中值定理,故 f(x,y) 在 R 上關(guān)于 y 滿足利普希茲條件。, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive M

12、ethod,這條件是充分條件，而非必要條件。,例1,R 為中心在原點(diǎn)的矩形域,但,故 f(x,y) 在 R 上關(guān)于 y 滿足利普希茲條件。,在 R 上存在且有界,f(x,y) 在 R 上關(guān)于 y 滿足利普希茲條件。,在 R 上存在且無(wú)界,f(x,y) 在 R 上關(guān)于 y 不滿足利普希茲條件。, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,2),定理1 中的兩個(gè)條件是保證 Cauchy P 存在 唯一的充分條件，而非必要條件。,例2 當(dāng)連續(xù)條件不滿足時(shí)，解也可能存在唯一。,f(x,y) 在以原點(diǎn)為中心的矩形域中不連續(xù)，但解存在唯

13、一, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,例3 當(dāng) Lipscitz 條件不滿足時(shí)，解也可能存在唯一。,f(x,y) 在 (x,0) 的任何鄰域內(nèi)不滿足Lipscitz 條件，但解存在唯一,不可能有界, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,3）,若f (x,y)在帶域 中連續(xù)， 且對(duì) y 滿足Lipschitz條件，則在整個(gè)區(qū)間 中

14、存在唯一滿足條件 的方程 的解 。記, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,4) 一階隱式方程的解的存在唯一性, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,事實(shí)上，由條件知 所確定的隱函數(shù) 在 鄰域內(nèi)存在且連續(xù)，且,在 鄰域內(nèi)連續(xù)，在以,為中心的某一閉矩形區(qū)域 D 中有界，所以 f(x,y),在D 中關(guān)于 y 滿足Lipschitz條件。,由解的存在唯一性定理，,的解 y(x) 存在唯一，,存在區(qū)間中的 h 可足夠小。同時(shí)，有, 3.1 Existe

15、nce & Uniqueness Theorem & Progressive Method,三 、 近似計(jì)算和誤差估計(jì),第 n 次近似解,第 n 次近似解的誤差公式, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,例4,方程 定義在矩形域,試確定經(jīng)過(guò)點(diǎn),(0,0) 的解的存在區(qū)間，并求在此區(qū)間上與真 正解的誤差不超過(guò)0.05 的近似解的表達(dá)式。,解,滿足解的存在唯一性定理的條件,Lipschitz 常數(shù)取為 L=2 ，因?yàn)? 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Met

16、hod, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,思考：,1、 求方程 ，滿足條件,的解的最大存在區(qū)間，即 h 的最大值。,2、證明下列初值問(wèn)題的解在指定的區(qū)間上存在且唯一：, 3.2 解的延拓定理,/ Theorem on extension of solution/, 解的延拓的引入, 解的延拓定理及其推論,內(nèi)容提要/Constant Abstract/,本節(jié)要求/Requirements/ 理解解的延拓方法。 會(huì)應(yīng)用解的延拓性定理估計(jì)解的存在區(qū)間。, 3.2 Extension Theorem,一 、 解的延拓的引入

17、,1 局部利普希茲條件,右端函數(shù) f ( x, y ) 在某一有界區(qū)域G 中有意義。,如果稱 f ( x, y )在G 內(nèi)滿足局部利普希茲條件，即對(duì),區(qū)域G內(nèi)的每一點(diǎn)，存在以其為中心的完全含于G 內(nèi)的,矩形域R，在 R 上 f (x, y) 滿足利普希茲條件。,（注意：點(diǎn)不同，域 R 大小和常數(shù) L 可能不同）, 3.2 Extension Theorem,2 解的延拓,設(shè),是,的解，若,也是初值問(wèn)題的解，,，當(dāng) 時(shí)，,則稱解 是解,在區(qū)間,上的延拓。, 3.2 Extension Theorem,3 延拓方法,設(shè)方程,的解,已定義在區(qū)間,上，,現(xiàn)取,然后以,作一小矩形，使它連同其邊界,使得在

18、區(qū)間,方程,有過(guò),的解,且在,處有,中心，,都含在區(qū)域 G 的內(nèi)部，再用解的存在唯一性定理，存在,由于唯一性，顯然解,和解,都在定義的區(qū)間,上，, 3.2 Extension Theorem,區(qū)間,上，,有過(guò),的解,且在,處有,由于唯一性，顯然解,和解,都在定義的區(qū)間,上，,但是在區(qū)間,上，,解,向右方的 延拓，,即將延拓要較大的區(qū)間,。再令,如果，,我們又可以取,為中心，作一小矩形, 3.2 Extension Theorem,可以取,為中心，作一小矩形,使它連同其邊界,都含在區(qū)域G 內(nèi)。仿前,又可以將解延拓到更大的區(qū)間,上，其中,是某一個(gè)正常數(shù)。對(duì)于 x 值減小的一邊可以進(jìn)行同樣討論,使解

19、向左方延拓。就是在原來(lái)的積分曲線,左右端個(gè)接上一個(gè)積分的曲線段。上述解的延拓的方法還,可繼續(xù)進(jìn)行。,那么,向兩邊延拓的最終情況如何呢?, 3.2 Extension Theorem,3 延拓方法, 3.2 Extension Theorem,二、 解的延拓定理及其推論,1 解的延拓定理,如果方程(3.1)右端的函數(shù),在有界區(qū)域 G,中連續(xù)，且在 G 內(nèi)滿足局部利普希茲條件，那么,方程(3.1)通過(guò)G 內(nèi)任何一點(diǎn),的解,可以延拓。,直到點(diǎn),任意接近區(qū)域G 的邊界。,以向 x 增大的一方的延拓來(lái)說(shuō)，如果,只能延拓的區(qū)間,上，則當(dāng),時(shí)，,趨近于區(qū)域 G 的邊界。, 3.2 Extension The

20、orem,2 推論,如果 G 是無(wú)界區(qū)域，在上面解的延拓定理的條件下,方程(3.1)的通過(guò)點(diǎn),的解,以向 x 增大的一方的延拓來(lái)說(shuō)，有下面的兩種情況:,可以延拓，,(1) 解,可以延拓到區(qū)間,(2) 解,只可以延拓到區(qū)間,其中m 為有限數(shù)，則當(dāng),時(shí)，或者,無(wú)界，或者,趨于區(qū)域 G 的邊界。, 3.2 Extension Theorem,例1,討論方程,以及通過(guò)點(diǎn) (ln2,-3) 的解的存在區(qū)間。,解,的通過(guò)點(diǎn)(0,0)的解,方程右端函數(shù)在整個(gè) x y 平面上滿足解的存在唯一,性定理及解的延拓定理的條件。,方程的通解為,通過(guò)點(diǎn)(0,0)的解為,其存在區(qū)間為,通過(guò)點(diǎn)(ln2,-3)的解為,其存在

21、區(qū)間為, 3.2 Extension Theorem,但向左方只能延拓到 0,過(guò)點(diǎn)(ln2,-3)的解,向右可以延拓到,因?yàn)楫?dāng),時(shí),這相當(dāng)于解的延拓定理推論中(2)的第一種情況。,注意：,(無(wú)界), 3.2 Extension Theorem,例2,討論方程,的解的存在區(qū)間。,滿足條件,方程右端函數(shù)右半平面 x 0 上定義且滿足解的,存在唯一性定理及解的延拓定理的條件。,解,通過(guò)點(diǎn)(1,0)的解為,其存在區(qū)間為,，但向左方只能延拓到 0,向右可以延拓到,因?yàn)楫?dāng),時(shí),這相當(dāng)于解的延拓定理推論中(2)的第二種情況。,(趨于G的邊界 y=0 ), 3.2 Extension Theorem,練習(xí),1

22、 討論方程,的解的存在區(qū)間。,上滿足條件,在, 3.2 Extension Theorem,練習(xí),1 討論方程,的解的存在區(qū)間。,上滿足條件,在, 3.2 Extension Theorem,3.3 解對(duì)初值的連續(xù)性和可微性,/Continuous and differentiable dependence of the solutions/, 解對(duì)初值的連續(xù)性, 解對(duì)初值的可微性,本節(jié)要求： 1 了解解對(duì)初值及參數(shù)的連續(xù)依賴性定理； 2 了解解對(duì)初值及參數(shù)的可微性定理。,內(nèi)容提要,3.3 Continuity & differentiability,3.3.1 解對(duì)初值的對(duì)稱性定理,設(shè) f

23、(x,y) 于域 D 內(nèi)連續(xù)且關(guān)于 y 滿足利普希茨條件，,是初值問(wèn)題,的唯一解，則在此表達(dá)式中， 與 可以調(diào)換其相對(duì)位置，即在解的存在范圍內(nèi)成立著關(guān)系式,3.3 Continuity & differentiability,3.3.2解對(duì)初值的連續(xù)依賴性定理,假設(shè) f (x,y) 于域 G 內(nèi)連續(xù)且關(guān)于 y 滿足局部利普希茨條件，,是初值問(wèn)題,的解，它于區(qū)間 有定義 ，那么，對(duì)任意給定的 ，必存在正數(shù)， 使得當(dāng),時(shí)，方程滿足條件 的解,在區(qū)間,也有定義，并且,3.3 Continuity & differentiability,引理,如果 f(x,y) 在某域 D 內(nèi)連續(xù)，且關(guān)于 y 滿足,

24、利普希茲條件（利普希茲常數(shù)為L(zhǎng)），則方程(3.1.1)任意兩個(gè)解 在它們公共存在區(qū)間成立不等式,其中 為所考慮區(qū)間內(nèi)的某一值。,3.3 Continuity & differentiability,（二）解對(duì)初值的連續(xù)依賴性,斷言，必存在這樣的正數(shù),使得只要 滿足不等式,則解 必然在區(qū)間,也有定義。,由于D是有界閉區(qū)域，且 f (x，y)在其內(nèi)關(guān)于 y 滿足利普希茨條件，由延拓性定理知，解 必能延拓到區(qū)域D的邊界上。設(shè)它在D的邊界上的點(diǎn)為,這是必然有,3.3 Continuity & differentiability,因?yàn)榉駝t設(shè) 則由引理,由 的連續(xù)性，對(duì),必存在,使得當(dāng) 時(shí)有,取,則當(dāng),3

25、.3 Continuity & differentiability,于是,對(duì)一切 成立，特別地有,即點(diǎn),均落在D的內(nèi)部，而不可能,位于D的邊界上。與假設(shè)矛盾，因此，解 在區(qū)間a,b上有定義。,3.3 Continuity & differentiability,在不等式,中，,將區(qū)間c，d換為a，b ，可知 ，當(dāng),時(shí)，有,定理得證。,3.3 Continuity & differentiability,的解 作為 的函數(shù)在它的存在范圍內(nèi)是連續(xù)的。,解對(duì)初值的連續(xù)性定理,假設(shè) f (x,y) 于域 G 內(nèi)連續(xù)且關(guān)于 y 滿足局部利普希茨條件，則方程,3.3 Continuity & differ

26、entiability,3.4 奇解,包絡(luò)和奇解,克萊羅方程（Clairant Equation）,本節(jié)要求： 了解奇解的意義； 2 掌握求奇解的方法。,主要內(nèi)容,一 包絡(luò)和奇解的定義,曲線族的包絡(luò)：是指這樣的曲線，它本身并不包含在曲線族中，但過(guò)這條曲線上的每一點(diǎn)，有曲線族中的一條曲線與其在此點(diǎn)相切。,奇解：在有些微分方程中，存在一條特殊的積分曲線，它并不屬于這個(gè)方程的積分曲線族，但在這條特殊的積分曲線上的每一點(diǎn)處，都有積分曲線族中的一條曲線與其在此點(diǎn)相切。這條特殊的積分曲線所對(duì)應(yīng)的解稱為方程的奇解。 注：奇解上每一點(diǎn)都有方程的另一解存在。,例 單參數(shù)曲線族,R是常數(shù)，c是參數(shù)。,x,y,o,顯然，,是曲線族 的包絡(luò)