實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量(簡(jiǎn)).ppt_第1頁(yè)
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1、4.3 實(shí)對(duì)稱矩陣,實(shí)數(shù)域上的,稱為實(shí)對(duì)稱矩陣.,如,A為對(duì)稱矩陣,本節(jié)證明：,實(shí)對(duì)稱矩陣,且對(duì)任一,實(shí)對(duì)稱矩陣A，,存在正交矩陣Q，,使得,的特征值和特征向量,一定可以對(duì)角化，,對(duì)稱矩陣,定理4.12,都是實(shí)數(shù).,一、,實(shí)對(duì)稱矩陣,實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值,說明：,若A是實(shí)數(shù)域上的,則,都是實(shí)數(shù).,對(duì)稱矩陣，,的特征值的性質(zhì),定理4.13,對(duì)應(yīng)于不同特征值的,是相互正交的.,A是實(shí)對(duì)稱矩陣,A的兩個(gè)特征值,則,實(shí)對(duì)稱矩陣的,特征向量,證,即,定理4.14,是對(duì)角矩陣.,定理4.14,則存在n階正交,設(shè)A是n階實(shí)對(duì)稱矩陣,矩陣Q,使得,是對(duì)角矩陣.,則存在n階正交,設(shè)A是n階實(shí)對(duì)稱矩陣,矩陣Q,使得

2、,例,特征值:,特征向量:,兩兩正交,將它們單位化,令,Q為正交矩陣,為單位正交向量組,例,解,特征值:,將 正交化.,Q-1AQ為對(duì)角矩陣.,求正交矩陣Q,使,例,Q-1AQ為對(duì)角矩陣.,求正交矩陣Q,使,特征值,將 正交化.,令,再將,單位化.,特征值:,兩兩正交.,再將它們單位化.,兩兩正交,為單位向量.,Q為正交矩陣.,對(duì)應(yīng)于,對(duì)應(yīng)于,令,例,證,是對(duì)應(yīng)的特征向量,2 =0,(1)=0, =0或1,試證冪等矩陣,則稱A是冪等矩陣.,的特征值,則,設(shè)是A的任一特征值,只能是0或1.,如果矩陣A滿足,證明:,特征向量分別是,用反證法,假設(shè),則有特征值,證,是對(duì)應(yīng)于不同特征值的特征向量,矛盾.,則,對(duì)應(yīng)的,不是A的特征向量.,是A的特征向量,線性無關(guān).

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