因式分解(競賽題)含答案

1、因式分解3、導入:有兩個人相約到山上去尋找精美的石頭，甲背了滿滿的一筐，乙的筐里只有一個他認為是最精美的石 頭。甲就笑乙：“你為什么只挑一個??？”乙說：“漂亮的石頭雖然多，但我只選一個最精美的就夠了?！奔仔Χ徽Z，下山的路上，甲感到負擔越來越重，最后不得已不斷地從一筐的石頭中挑一個最差的扔下， 到下山的時候他的筐里結果只剩下一個石頭！啟示：人生中會有許多的東西，值得留戀，有的時候你應該學會去放棄。二、知識點回顧：1運用公式法在整式的乘、除中，我們學過若干個乘法公式，現(xiàn)將其反向使用，即為因式分解中常用的公式，例如:2 2a -b=(a+b)(a -b);099(2) a 2ab+b =(a b)

2、;(3) a 3+b3=(a+b)(a 2-ab+b2);(4) a 3-b3=(a -b)(a 2+ab+b2).下面再補充幾個常用的公式：(5) a 2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c) 2;3.3 32.22(6) a +b +c -3abc=(a+b+c)(a +b +c -ab-bc-ca);(7) a n-bn=(a-b)(a n-1+an-2b+an-3b2+abn-2+bn-1)其中 n 為正整數(shù)；(8) a n-bn=(a+b)(a n-1-an-2b+an-3b2-+abn-2-bn-1)，其中 n 為偶數(shù)；n nn-1n-2n-32n-2n-1r(9)

3、a +b =(a+b)(a -a b+a b-ab +b )，其中 n 為奇數(shù).運用公式法分解因式時，要根據(jù)多項式的特點，根據(jù)字母、系數(shù)、指數(shù)、符號等正確恰當?shù)剡x擇公式.三、專題講解例1分解因式：(1)-2x 5n-1y n+4x 3n-1y n+2-2x n-1yn+4 ；(2)x 3-8y 3-z3 -6xyz ;解(1)原式=-2xn-1yn(x 4n-2x2ny2+y4)=-2xn-1 yn(x 2n) 2-2x2ny2+(y2)2=-2xn-1yn(x 2n-y2)=-2xn-1yn(x n-y)2(xn+y)2. 原式=x3+(-2y) 3+(-z) 3-3x(-2y)( -Z)2

4、 2 2=(x -2y-z)(x +4y +z +2xy+xz-2yz).例 2 分解因式：a3+b3+c3-3abc.本題實際上就是用因式分解的方法證明前面給出的公式.分析我們已經知道公式33223(a+b) =a +3a b+3ab +b的正確性，現(xiàn)將此公式變形為3.3 3a +b =(a+b) -3ab(a+b).這個-式也是一個常用的公式，本題就借助于它來推導.I ” ，33解原式=(a+b) -3ab(a+b)+c -3abc=:(a+b)3+c 3 -3ab(a+b+c)2 2=(a+b+c) (a+b) -c(a+b)+c -3ab(a+b+c)2 2 2=(a+b+c)(a +

5、b +c -ab-bc-ca).說明公式(6)是一個應用極廣的公式，用它可以推出很多有用的結論，例如：我們將公式(6)變形為3.3 3a +b +c -3abc=；a + b + c)+2b，亠 Ebe=-7 (a + b + c) (a -b) 1 + (b -c) 2 +c-ai) J.333333333顯然，當 a+b+c=0 時，貝U a +b +c =3abc ;當 a+b+c 0 時，貝U a +b +c -3abc 0,即卩 a +b +c 3 abc, 而且，當且僅當a=b=c時，等號成立.如果令 x=a 0, y=b 0, z=c 0,則有等號成立的充要條件是x=y=z .這也是一個常用的結論.變式練習1 分解因式： X15+X14+X13+x2+x+1 .分析 這個多項式的特點是：有16項，從最高次項X15開始，x的次數(shù)順次遞減至 0,由此想到應用公式an-bn來分解.解因為161514132八x -1=(x -1)(x +x +x + x +x+1),所以+k + 1)-1原式(八 ih J窗h th=+ 1)(32 + 1)(51 + 1說明 在本題的分解過程中，用到先乘以 (x-1)，再除以(x-1)的技巧，這一技巧在等式變形中很常用.2 .拆項、添項