[理學(xué)]張量分析第四章.ppt

1、第四章 張量函數(shù)和張量分析,在前面三章中主要對(duì)集合的代數(shù)結(jié)構(gòu)進(jìn)行了討論，并由多 重線性映射引入了張量空間。而第三章中對(duì)張量空間的各 元素（張量）間的各種代數(shù)運(yùn)算（加法、數(shù)乘、張量積、 點(diǎn)積等）作了詳盡的分析。但這些代數(shù)運(yùn)算所構(gòu)成的張量 空間的代數(shù)結(jié)構(gòu)仍無(wú)法對(duì)張量空間點(diǎn)列的收斂性、張量空 間與張量空間的映射及映射的連續(xù)性等進(jìn)行描述。本章的 主要內(nèi)容旨在解決上述問(wèn)題。,4.1 張量函數(shù),設(shè)V是三維Euclid矢量空。o; i1, i2, i3是V的一組標(biāo)準(zhǔn)正交 坐標(biāo)系。設(shè)Pr是由V張成的r 階張量空間。且對(duì)任意r 階張,量A Pr ，有：,如果對(duì)任意的A Pr，存在二組實(shí)數(shù)：,使得：,（4.1-1

2、）,那么,的滿足（4.1-1）的每一組3 r個(gè)取值確定,一個(gè)A。而滿足（4.1-1）的所有A構(gòu)成Pr的一個(gè)子集合，且,稱這一子集合為Pr的一個(gè)閉集（若等號(hào)不成立則稱為開(kāi)集）,。記為P。,設(shè) P是 Pr張量空間的開(kāi)集。按第一章第四節(jié)的標(biāo)量積可以,定義A,B P的標(biāo)量積：,（4.1-1）,容易證明,具有下列性質(zhì)：,i）對(duì)稱性：,（4.1-2）,ii）線性性：,（4.1-3）,iii）正定性：,（4.1-4）,對(duì)任意Pr中的張量 A, B P 。由（4.1-1）式可引入張量的,模和兩張量之間的距離。其定義如下：,（4.1-5）,（4.1-6）,一、張量函數(shù),設(shè)V是三維 Euclid 矢量空間，o;

3、i1, i2, i3是V 的一組標(biāo)準(zhǔn)正 交坐標(biāo)系。Pr、Ps是由o; i1, i2, i3基底構(gòu)成的 r 階和 s 階張 量空間。若存在映射 F 使得：,（4.1-7）,F( )是r階張量自變量的s階張量值函數(shù)。張量函數(shù)的自變,量取值的開(kāi)集 ( 或閉集 ) P,Pr 的 P 稱為張量函數(shù)的,定義域；張量函數(shù) F( )的所有定義域中 的取值集合（s,階張量集合）稱為張量函數(shù)的值域。,當(dāng)r2, s2時(shí)有：,1r=0, s=0時(shí)：, 記為x；F記為f。則：,（4.1-8a）,f (x)稱為零階張量自變量的零階張量值函數(shù)。f (x)就是一元,實(shí)函數(shù)。,2r=1，s=0時(shí)： 記為u；F記為f。則：,（4

4、.1-8b）,F (u)稱為一階張量自變量的零階張量值函數(shù)?；蚍Qf (u)是,矢量自變量的標(biāo)量值函數(shù)。,3r=1，s=1時(shí)： 記為u，F(xiàn)記為f，則：,（4.1-8c）,F (u)稱為一階張量自變量的一階張量值函數(shù)?；蚍Qf (u)是,矢量自變量的矢量值函數(shù)。,4r=2，s=0時(shí)： 記為A；F記為F。則：,（4.1-8d）,F (A)稱為二階張量自變量的零階張量值函數(shù)。或稱F (A)是,二階張量自變量的標(biāo)量值函數(shù)。,5r=2，s=2時(shí)： 記為A；F記為F。則：,（4.1-8e）,F(A)稱為二階張量自變量的二階張量值函數(shù)。,例1：,張量函數(shù)例子。,（a）設(shè)矢量a是V中任意給定的矢量；x是V中的矢量

5、。則：,式中f ( )取為法則a ( ) 。那么 f (x ) = a ( x )是矢量自變量,的標(biāo)量值函數(shù)。函數(shù)可寫為：,而對(duì)同一個(gè)a及變矢量x：,式中f ( )取為法則a ( ) 。那么 f (x ) = a ( x )是矢量自變,量的矢量值函數(shù)。函數(shù)可寫為：,（b）對(duì)任意位置矢量x所標(biāo)定的物體中的點(diǎn)。該點(diǎn)的應(yīng)力,狀態(tài)可由應(yīng)力張量 表示。對(duì)確定的受力物體，同一點(diǎn)不,同截面上的應(yīng)力可由該截面的外法線矢量和應(yīng)力張量表示,。且：,式中n是截面的單位外法線；是二階應(yīng)力張量；p是外法,線為n截面上的應(yīng)力矢量 。顯然物體受力是確定的 ，而對(duì),同一位置矢量標(biāo)定的點(diǎn)， 是不變的常二階張量。因此 p,n的函

6、數(shù)（不同截面上的應(yīng)力矢量不同）。即：,（c）第三章例23給出的：,式中應(yīng)變二階張量 = ( )是應(yīng)力二階張量的函數(shù)。,即是二階張量自變量的二階張量值函數(shù)。,二、張量函數(shù)的連續(xù)性,為了引入張量函數(shù)的連續(xù)性，首先回顧一元實(shí)函數(shù)的連續(xù),性定義。設(shè)一元實(shí)函數(shù)為 f (x) 。若對(duì)任意給定的正數(shù)，,總存在著一個(gè)正數(shù) 。使得當(dāng)所有x滿足：,時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)都有：,則稱f (x)在x0點(diǎn)連續(xù)。該定義是通過(guò)兩個(gè)絕對(duì)值 | x - x0 |、,| f (x) f (x0) | 確定了f (x) 在 x0 點(diǎn)的連續(xù)性。由實(shí)函數(shù)理論,| x - x0 |和| f (x) f (x0) |按距離的概念分別代表了實(shí)數(shù)x和

7、x0,離概念的引入使得一元實(shí)函數(shù)的連續(xù)性可以推廣到張量函,的距離及給定的x和x0的函數(shù)值f (x)和f (x0)的距離。正是距,數(shù)的連續(xù)性定義。,設(shè)張量函數(shù)為 F (A) 。若對(duì)任意給定的正數(shù) ，總存在著,一個(gè)正數(shù) 。使得當(dāng)所有的自變量張量 A 滿足：,時(shí)，對(duì)應(yīng)的張量函數(shù)都有：,（4.1-9）,則稱 F( A ) 在 A0 點(diǎn)連續(xù)。,對(duì)張量函數(shù) F ( A )，若（4.1-9）式成立，則該式也可寫成,極限的形式：,（4.1-10）,這一表達(dá)式中：,表示：,在V 中的坐標(biāo)系o; i1, i2, i3下，張量函數(shù) F ( A )可表示為：,將這一表示形式代入（4.1-10）式得：,這表明張量函數(shù)F

8、 ( A ) 的每一個(gè)分量函數(shù)（分量函數(shù)本身,是 r 階張量自變量的標(biāo)量值函數(shù)）,在 A0 點(diǎn)是連續(xù)函數(shù)。那么 F ( A ) 的 A0 點(diǎn)是連續(xù)函數(shù)。,關(guān)于張量函數(shù)連續(xù)性的更深入的理論分析主要是針對(duì)函數(shù),在 A0 是否連續(xù)以及在 A0 點(diǎn)不連續(xù)時(shí)的性質(zhì)等。而本章的,所有分析總是假定張量函數(shù) F ( A )在自變量的定義域的每,一點(diǎn)都連續(xù)的。即認(rèn)為張量函數(shù)都是自變量張量的連續(xù)函,數(shù)。因此本節(jié)中不討論張量的不連續(xù)性的問(wèn)題。,4.2 各向同性張量函數(shù),對(duì)Pr ,作為 r 個(gè)V 中矢量的張量積的線性表示。如果對(duì), 中線性表示的每一個(gè)由 r 個(gè)V 中矢量張量積的項(xiàng)都作用,任意給定的正交二階張量 Q ，

9、而不發(fā)生變化。則稱是,各向同性的 。當(dāng)作為 s 階張量自變量的函數(shù)是各向同,性的。則稱 是各向同性張量函數(shù)。對(duì)任意給定的二階正,交張量 Q。記：,（4.2-1）,那么 是各向同性的，則：,若是 張量函數(shù)。 ( )是各向同性的，則定義：,且稱 ( )是s階張量自變量的r階張量值各向同性函數(shù)。,簡(jiǎn)稱 ( )是各向同性張量函數(shù)。,例2：,i）,ii）,iii）,其中u、A是矢量和二階張量；f、F、F是矢量值、標(biāo)量值,和二階張量值函數(shù)。,證：,i）,由4.2-2式得：,ii）,（坐標(biāo)變換不改變標(biāo)量）,iii） ,例3：,試證明：,是各向同性函數(shù)。,證：,是各向同性張量函數(shù)。,例4：,對(duì)任意二階張量A。

10、試證明：,i）,是各向同性張量函數(shù)。,ii）,該式也稱為Cayley-Hamilton定理。,（4.2-3）,iii）,（4.2-4）,證：,i）,F(A)是各向同性張量函數(shù)。,ii）,設(shè)A的特征值為，特征矢量為u o。則：, A的特征方程,又 u0,iii） ,取,則：,將I1(A) 、 I2(A)代入（4.2-3）式得：,兩邊取跡得：,一、對(duì)稱二階張量自變量標(biāo)量值各向同性函數(shù),定理：自變量是二階對(duì)稱張量 A的標(biāo)量值函數(shù)F (A)是各向 同性的。當(dāng)且僅當(dāng)F (A)可表示為 A的不變量 I1(A)，I2(A)， I3(A)的函數(shù)：,（4.2-5）,證：,設(shè)A的特征值為1、 2 、 3，對(duì)應(yīng)的特

11、征矢量為r1、r2、,r3。則由譜表示定理（3.4-14）式：,（如果有相等的特征值時(shí)，總存在三個(gè)相互正交的三個(gè)特,征方向。此時(shí)取r1 r2 r3。）, F (A) 是各向同性函數(shù)。對(duì)任意 Q ：,對(duì)A有：,由于Q的任意性?？偞嬖赒使得：,因此若要：,等式左邊和等式右邊的,或者說(shuō)左邊F只是1、2 、3的函數(shù)，而與 r1、r2 、r3,不是F的自變量。,無(wú)關(guān);右邊的F也只是1,2 ,3的函數(shù)，而與,無(wú)關(guān)。否則若左邊F是r1、 r2 、 r3的函數(shù)，右邊是,等式的含義是當(dāng)給定 r1、 r2 、 r3和,的函數(shù)。那么等式兩邊的函數(shù)是兩個(gè)不同的函數(shù)。此時(shí),的函數(shù)的函數(shù)值相等。因此若要兩邊是同一個(gè)函數(shù)，

12、則F(,，兩個(gè)不同,A)只能是1、 2 、 3的函數(shù)。即：,又 1、 2 、 3是方程：,的根。,另一方面,是各向同性函數(shù)（見(jiàn)習(xí)題4.5）。當(dāng)：,時(shí)F(A)是各向同性函數(shù)。因此最后得F(A)是各向同性函數(shù),時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)：,應(yīng)當(dāng)注意的是：,中F和,是同一函數(shù)的不同變量表示。因此F和,的函數(shù)形式可能不同。如二元實(shí)函數(shù)：,的函數(shù)形,則：,證畢。,例5：,設(shè)A=A*。試證明：,是各向同性函數(shù)。,證：,由（4.2-2）式中第一和第二式有：,F(A)是各向同性函數(shù)。,證畢。,二、對(duì)稱二階張量自變量二階張量值各向同性函數(shù),引理1：若F(A)是二階對(duì)稱張量A的二階張量值各向同性函 數(shù)。則F(A)與A有相同的單

13、位特征矢量。,證：,設(shè)A的單位特征矢量為r，其對(duì)應(yīng)的特征值為。則：,由r構(gòu)造二階張量：,對(duì)任意 u V ：,因此由r構(gòu)造的R是正交二階張量。,當(dāng)F(A)是各向同性函數(shù)時(shí)，對(duì)任意正交二階張量Q有：,當(dāng) Q = R時(shí) ：,又,（a）,（b）,同理：,（c）,由（a）（b）（c）可知r、F(A) r 、r F(A)都是二階張量,R的特征矢量。同時(shí)r還是二階對(duì)稱張量 A的特征矢量。由,于 r、F(A) r 、r F(A) 是同一個(gè)矢量方向，因此這三個(gè)矢,量相差一個(gè)實(shí)數(shù)乘積。或者說(shuō) r、F(A) r 、r F(A) 是具有,相同方向的長(zhǎng)度不同的三個(gè)矢量。即：,（d）,（e）,將第一式兩邊右點(diǎn)乘r，第二式

14、兩邊左點(diǎn)乘r。兩式相減得：,將這一結(jié)論代入（d），（e）式得：,這表明F(A)所具有的左、右特征矢量r與A所具有的左、右,特征矢量r相同。,證畢。,引理2：若A是二階張量。當(dāng)：,i）,ii）,iii）,時(shí)：I, A, A2是線性無(wú)關(guān)二階張量組；,時(shí)：I, A是線性無(wú)關(guān)二階張量組；,時(shí)：I是線性無(wú)關(guān)二階張量組。,證：,i） 若I, A, A2是線性無(wú)關(guān)組。由線性無(wú)關(guān)定義可知，只,有當(dāng)1=2=3= 0時(shí)：,設(shè)1、2、3對(duì)應(yīng)的特征矢量為r1, r2, r3。則：,（f）, 將,代入（f）式得：,（g）,這是關(guān)于1、2、3的齊次線性代數(shù)方程組。其系數(shù)行列,式：,;,方程組（g）的解為：,這表明I, A

15、, A2是線性無(wú)關(guān)組。,ii） I, A是線性無(wú)關(guān)組。則當(dāng) 1 = 2 = 0 時(shí)：,取,對(duì)應(yīng)的特征矢量為r1, r2。則：,（h）,;,;,方程（h）的解為：,這表明I, A是線性無(wú)關(guān)組。,iii） 取,對(duì)應(yīng)的特征矢量為r。顯然有：,;,這表明I是線性無(wú)關(guān)組。,證畢。,定理：二階對(duì)稱張量自變量的二階張量值函數(shù)F(A)是各向 同性的。當(dāng)且僅當(dāng)：,i）,時(shí)：,（4.2-6）,ii）,時(shí)：,（4.2-7）,iii）,時(shí)：,（4.2-8）,其中1、2、3是A的特征值；,稱張量自變量主不變量的標(biāo)量值函數(shù)。,是二階對(duì),證：,當(dāng)F(A)表示為（4.2-6）的形式時(shí)：,是A的主不變量,的函數(shù)。即：,由習(xí)題4

16、.5可得：,顯然有：,這表明當(dāng)F(A)表示為（4.2-6）式形式時(shí)是各向同性函數(shù)。,同理可得F(A)表示為（4.2-7）和（4.2-8）式形式時(shí)是各,向同性函數(shù)。,若F(A)是各向性函數(shù)；A是對(duì)稱二階張量。當(dāng)A的特征值,時(shí)，由引理1可知F(A)與A有相同的特征矢量r1, r2, r3。且：,由引理2可知I, A, A2是線性無(wú)關(guān)組。因此：,作為由A的特征矢量r1,r2,r3張量積構(gòu)成的二階張量可由線性 無(wú)關(guān)的二張量組I, A, A2線性表示。即：,該式即為（4.2-6）式。同理可得（4.2-7）和（4.2-8）式。,證畢。,例6：,試求二階對(duì)稱張量自變量的各向同性二階張量值線性函數(shù)。,表達(dá)式,

17、解：,F(A)是各向同性張量函數(shù)。由（4.2-6）式：,若F(A)是線性張量函數(shù)。則：,是A的線性標(biāo)量值函數(shù)，將用A的主不變量表示為：,由（4.2-4）式得：,是A的線性標(biāo)量值函數(shù)只可能取為：, F(A)是線性各向同性二階張量值函數(shù)。則：,（4.2-9）,例7：,設(shè)A是四階各向同性張量；,若m 0 ，且：,試求 f = 0 的分量表達(dá)式。,解：,又A是各向同性四階張量由（3.5-7）式得：,容易驗(yàn)證當(dāng)3+2=0時(shí)：,因此四階張量A可表示為：,最后得：,或：,4.3 張量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微分,在一元實(shí)函數(shù)分析中，實(shí)函數(shù) f (x)的導(dǎo)數(shù)通過(guò)極限：,定義。如果這個(gè)極限存在，則稱f(x)在x點(diǎn)可導(dǎo)。且記

18、極限,值為,數(shù)時(shí)，由于張量函數(shù)的自變量是張量，且張量的除法是沒(méi) 有意義的。因此對(duì)張量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不能采用上述極限的形 式。另一方面在一元實(shí)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義中，自變量的改變 只有兩種變化趨勢(shì)。即x0和 x0 , 而對(duì)張量函數(shù)，即 使對(duì)自變量是矢量的情況, 自變量u的改變量可以是任意 方向的改變。因此在張量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義中必須能夠反映 所有自變量改變（包括增加、減少和方向的不同）的情況 。為此將一元實(shí)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義形式等價(jià)地變成為：,。當(dāng)將一元實(shí)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)概念推廣到一般張量函,式中O(x )表示x的高階小量，當(dāng)x趨于零時(shí)O(x )趨,于零。這一表達(dá)式中函數(shù)的變化量可看作是兩部分。一部,分是x的線性部分

19、，另一部分是x的高階小量部分（非,非線性部分）。同時(shí)按這種形式定義的導(dǎo)數(shù)不需要進(jìn)行除 法運(yùn)算。正是這一特點(diǎn)，張量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可以看作是一元 實(shí)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的這一形式定義的推廣。,商法則：設(shè)Ps,Pr。若()是 r 階張量自變量的,S 階張量值線性函數(shù)。則存在唯一的Ps+r ，使得：,（4.3-1）,證：（僅給出左點(diǎn)乘證明）,而()是線性函數(shù)。因此有：,（a）,（b）,（a）（b）兩式比較可得：,這說(shuō)明當(dāng)（4.3-2）式成立（或 滿足該式時(shí)），（4.3-1） 第一式成立。,（4.3-2）式給出了的確定表達(dá)式。即的分量由作用,在Pr張量空間基底組的每一個(gè)基底上的值確定。,是滿足（4.1-1）第一式的另一

20、r+s階張量。則：,設(shè),將該式與（4.3-1）第一式相減得：,由于張量的r點(diǎn)乘是線性運(yùn)算，（見(jiàn)3.1-8式。）因此有：,存在的唯一性得證。,證畢。,（4.3-2）,例8：,設(shè)、是二階張量。 ()是的二階張量值線性函數(shù)。,若實(shí)現(xiàn)基底變換：,試求()的 r 點(diǎn)乘表示式中的 。,解：,由（4.3-2）式得：,依次可由：,推得：,其余,均為零。最后得：,設(shè)F是s階張量；A是r階張量；V是A的增量。則按一元實(shí)函 數(shù)導(dǎo)數(shù)定義推廣有：,（4.3-3）,式中LA(V )是V的線性部分。o(| V |)是V的非線性部分。當(dāng) | V |0時(shí)，o(| V |)0。定義（4.3-3）式中LA(V )當(dāng)| V | 0時(shí)

21、，是r階張量自變量A的s階張量值函數(shù)F在A處沿V方 向的微分。且記為：,（4.3-4）,由于LA(V )是r階張量自變量V 的s階張量值LA的線性函數(shù)。,由商法則得：,若記：,則：,（4.3-5）,（4.3-6）,式中,稱為張量函數(shù)F(A)在A處的導(dǎo)數(shù)。,定理：張量函數(shù)F(A)在A處的導(dǎo)數(shù)若存在，則,是唯一,的。并且對(duì)任意VPr增量有：,（4.3-7）,證：,如果,存在，由于LA 是線性張量函數(shù)，由商法則的,唯一性可知，F(xiàn)(A)在A處的導(dǎo)數(shù)是唯一的。,由（4.3-6）得（將V用sV代換）,證畢。,例9：,設(shè)V 中標(biāo)準(zhǔn)正交坐標(biāo)系為o; i1, i2, i3。由o; i1, i2, i3構(gòu)成的,P

22、s和Pr張量空間基底為,和,。若,，,。試證明：,（4.4-8）,證：,由（4.3-4）式：, LA( V )是 r階張量自變量的 s階張量值線性函數(shù)。由,商法則可知,是 r + s 階張量。,又,最后得：,例10：,設(shè)F(A)是二階張量自變量的標(biāo)量值各向同性函數(shù)。試證明,函數(shù)F(A)的微分和導(dǎo)數(shù)是各向同性函數(shù)。,證：,又,（F(A)是各向同性函數(shù)） 。,即 dF (A;V )是各向同性函數(shù)。,由于V的任意性。最后得：,即,是各向同性函數(shù)。,例11：,計(jì)算,的導(dǎo)數(shù)和微分。,解：,由于V的任意性：,例12：,試求I1(A)、I2(A)、 I3(A)的導(dǎo)數(shù)。,解：,例13：,試求 F (A) =

23、det A的導(dǎo)數(shù)。,解：,由第三章例8有：,代入上式得：, a,b,c是非共面矢量。矢量u都可由a,b,c線性表示。即：,將該式代入,表達(dá)式中得：,由于V的任意性：,（4.3-10）,（4.3-9）,4.4 Leibniz法則和鏈?zhǔn)椒▌t,在例12中求,量函數(shù)，(trA)2看作是標(biāo)量函數(shù)的平方函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算，,的過(guò)程中對(duì)(trA)2 求導(dǎo)時(shí)，將trA看作一個(gè)標(biāo),并利用一元函數(shù)地求導(dǎo)法則：,因此(trA)2作為二階張量自變量的標(biāo)量值函數(shù)，(trA)2對(duì)A的,導(dǎo)數(shù)運(yùn)算為：,這一求導(dǎo)運(yùn)算在一元實(shí)函數(shù)中就是兩函數(shù)的積函數(shù)求導(dǎo)運(yùn) 算。當(dāng)將一元實(shí)函數(shù)推廣到一般張量函數(shù)時(shí)，兩個(gè)張量函 數(shù)的積函數(shù)求導(dǎo)運(yùn)算由推

24、廣的Leibniz法則給出。另一方面,與一元實(shí)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)運(yùn)算相對(duì)應(yīng)的張量復(fù)合函數(shù) 的求導(dǎo)運(yùn)算則由推廣的鏈?zhǔn)椒▌t給出。本節(jié)通過(guò)兩個(gè)定理 給出這兩個(gè)法則。,設(shè)F、G、A分別是r、s、p階張量。若線性映射,使得：,則稱映射,是張量函數(shù)的乘積運(yùn)算。容易驗(yàn)證,函數(shù)間的張量積 ; r點(diǎn)乘 ; 數(shù)量積時(shí)都是張量函數(shù)間的乘積,取為張量,運(yùn)算（這一點(diǎn)與一元實(shí)函數(shù)不同。一元實(shí)函數(shù)的乘積運(yùn)算,只有一種。即函數(shù)的數(shù)量積）。,定理：（Leibniz法則）,設(shè)F , G , A分別是r、s、p階張量。若F (A)，G (A)在A處可,微。則,在A處亦可微。且：,（4.4-1）,證：,例14：,設(shè) x F 。試求

25、f = ( x ) u ( x )的微分。,解：,由（4.4-2）式（式中V 取 d x）：,例15：,解：,設(shè)A是二階張量。求,的微分。,（4.4-2）,當(dāng)r = 0時(shí)：由張量微分定義（4.3-7）式有：,(O是二階零張量。 ),當(dāng)r = 1時(shí)：,或,; ,（4.4-3）,式中 I 是 2r 階單位張量。當(dāng) A是二階張量時(shí)：,將其代入（4.4-2）式：,當(dāng)r = -1時(shí)，由（4.4-2）式：,（4.4-4）,定理：（鏈?zhǔn)椒▌t）,設(shè)A 、 F、G 分別是 r、s、t 階張量。且 F、G是A的函數(shù)，,亦在 A處可微。則復(fù)合函數(shù)：,在 A處可微。且：,（4.4-5）,證：,（a）,令：,則：,當(dāng),

26、時(shí)：,（b）,（a）、（b）兩式相減得：,證畢。,例16：,是標(biāo)量自變量二階張量值函數(shù)。計(jì)算,若,的導(dǎo)數(shù)。,解：,是線性運(yùn)算。或：,這里的法則就是轉(zhuǎn)置運(yùn)算*。且*運(yùn)算是線性運(yùn)算。由商,法則，,作為二階張量自變量的二階張量值線性函數(shù),，存在四階常張量使得：,其中,最后得：,（4.4-6）,例17：,若A-1 存在，試計(jì)算 det (A (t)對(duì) t 的導(dǎo)數(shù)。,解：,（4.4-7）,4.5 張量場(chǎng)絕對(duì)微分,三維Euclid矢量空間A，若給定標(biāo)準(zhǔn)正交坐標(biāo)系 o;i1,i2,i3 。,如果位置矢量：,處都有一同類型張量A(x) ，則A稱為張量場(chǎng)。 A(x)稱為張,量場(chǎng)A在x點(diǎn)的值。實(shí)質(zhì)上張量場(chǎng)A(x)

27、是位置矢量自變量的,張量值函數(shù)。由于自變量是位置矢量，因而張量場(chǎng)的微分,同坐標(biāo)的微分密切相關(guān)。本節(jié)僅就具有標(biāo)準(zhǔn)正交坐標(biāo)系o,;i1,i2,i3的矢量空間 V張成的張量空間的張量場(chǎng)絕對(duì)微分進(jìn),分析。,一、張量場(chǎng)的絕對(duì)微分和導(dǎo)數(shù)（梯度）,設(shè)A是r階張量， x是位置矢量。A(x)在,的區(qū)域U內(nèi),處處連續(xù)。則A(x)在x處沿d x = d xi ii 方向的微分為：（見(jiàn),（4.3-5）式。）,（4.5-1）,式中：,（4.5-2）,稱為 A(x)在x處的導(dǎo)數(shù)或梯度。,在張量場(chǎng)的運(yùn)算中廣泛地采用,算符。其定義為：,（4.5-3）,將A(x)的導(dǎo)數(shù)按（4.3-8）式表示，則：,（4.5-5）,（4.5-5）式和（4.5-6）式中A,（4.5-6）,A稱為 r 階張量 A(x)的,、,右梯度和左梯度。由,A,A的表達(dá)式可知， A(x)的左梯,、,梯度和右梯是r +1階張量。且對(duì) A(x)僅當(dāng) A(x)是標(biāo)量值函,函數(shù)時(shí)：,而一般情況下：,例18：,試證明：,（4.5-7）,式中 A、B是x的函數(shù)；,F。,證：,例19：,設(shè)位置矢量 x 點(diǎn)處一自由矢量 u(x) ; x + dx點(diǎn)處一自由矢量,u (x + dx)。 x + u(x)和x + dx +