高等代數(shù)--第八章 多項(xiàng)式.ppt

1、1,第一章 多項(xiàng)式,1 數(shù)域 2 一元多項(xiàng)式 3 整除的概念 4 最大公因式 5 因式分解定理 6 重因式 7 多項(xiàng)式函數(shù) 8 復(fù)系數(shù)與實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解 9 有理系數(shù)多項(xiàng)式,2,1 數(shù) 域,多項(xiàng)式是代數(shù)學(xué)中最基本的對(duì)象之一，它不但與高等方程的討論有關(guān)，而且在進(jìn)一步學(xué)習(xí)代數(shù)以及其它數(shù)學(xué)分支時(shí)也都會(huì)用到。本章介紹多項(xiàng)式的基本知識(shí)。 數(shù)：自然數(shù)整數(shù)有理數(shù)實(shí)數(shù)復(fù)數(shù)。 數(shù)的運(yùn)算：加、減、乘、除。這些運(yùn)算性質(zhì)稱為代數(shù)性質(zhì)。有理數(shù)、實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)對(duì)這四種運(yùn)算都是封閉的。有其它一些數(shù)集也具有這樣的性質(zhì)，引入：,3,定義一 設(shè) P 是由一些復(fù)數(shù)組成的集合，其中包括 0 和 1 ，如果 P 中任意兩個(gè)數(shù)（這兩個(gè)

2、數(shù)也可以相同）的和、差、積、商（除數(shù)不為零）仍然是 P 中的數(shù)，那么 P 就稱為一個(gè)數(shù)域。 有理數(shù)、實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)為數(shù)域，記為Q(rational number)、R（real number)、C(complex number)。 例1 所有具有形式 的數(shù)（a,b是任意有理數(shù)），構(gòu)成一個(gè)數(shù)域。 通常用 來表示這個(gè)數(shù)域。,4,證明 顯然 包含0和1并且對(duì)于加減法是封閉的?，F(xiàn)在證明它對(duì)乘除法也是封閉的。 設(shè) 于是 也不為零，而,5,由上兩式可以得出 乘、除法也是封閉的。 例2 所有可以表成形式 的數(shù)組成一數(shù)域，其中n,m為任意非負(fù)整數(shù)， 是整數(shù)。,6,例3 所有奇數(shù)組成的數(shù)集，對(duì)于乘法是封閉的，但對(duì)于

3、加、減不是封閉的。 的整倍數(shù)的全體構(gòu)成一數(shù)集，它對(duì)于加、減法是封閉的，但對(duì)于除法不封閉。,7,重要性質(zhì)：所有的數(shù)域都包含有理數(shù)作為他的一部分。 事實(shí)上，設(shè) P 是一個(gè)數(shù)域，由定義，1+1=2，2+1=3，n+1=n+1,全屬于P ，再由 P 對(duì)減法的封閉性，o-n=-n，也屬于P ，因而P 包含全體整數(shù)。任何一個(gè)有理數(shù)可以表成兩個(gè)整數(shù)的商，由P 對(duì)除法的封閉性即得上述結(jié)論。 返回,8,2 一元多項(xiàng)式,一元多項(xiàng)式的定義 基本運(yùn)算及其規(guī)律,9,基本定義,給定數(shù)域 P，x是一個(gè)符號(hào)。 定義2 設(shè)n是一個(gè)非負(fù)整數(shù)。形式表達(dá)式 （1） 其中 全屬于數(shù)域 P， 稱為系數(shù)在數(shù)域P 中的一元多項(xiàng)式，或者 簡(jiǎn)稱

4、為數(shù)域P上的一元多項(xiàng)式。,10,注：x 代表未知量或符號(hào)（如矩陣）。,稱為 i 次項(xiàng), 稱為i 次項(xiàng)的系數(shù) 多項(xiàng)式用 或 來表示。,11,定義3 如果在多項(xiàng)式f(x)與g(x)中，除去系數(shù)為零的項(xiàng)外，同次項(xiàng)的系數(shù)全相等，那么f(x)與g(x)就稱為相等，記為 f(x)=g(x)。 系數(shù)全為零的多項(xiàng)式稱為零多項(xiàng)式，記為0 稱為（1）的首項(xiàng)； ：首項(xiàng)系數(shù)； n為（1）的次數(shù)，記為 。 零多項(xiàng)式不定義次數(shù)。,12,運(yùn)算： 加法：如nm，為方便，在g(x)中令 ， 對(duì)于加減法：,13,乘積,14,對(duì)于乘法：如果 那么 ，且 數(shù)域P上的兩個(gè)多項(xiàng)式經(jīng)過加、減、乘運(yùn)算后，所得的結(jié)果仍是數(shù)域P上的多項(xiàng)式,15

5、,運(yùn)算規(guī)律： 1、加法交換律： f(x)+g(x)=g(x)+f(x) 2、加法結(jié)合律： (f+g)+h=f+(g+h) 3、乘法交換律： f(x)g(x)=g(x)f(x),16,4、乘法結(jié)合律 (f(x)g(x)h(x)=f(x)(g(X)h(x) 事實(shí)上：,17,左邊，f(x)g(x)中s次項(xiàng)的系數(shù)為 因此左邊t次項(xiàng)的系數(shù)為,18,因此右邊t次項(xiàng)的系數(shù)為 左邊=右邊。,右邊，g(x)h(x)中r次項(xiàng)的系數(shù)為,19,5、乘法對(duì)加法的分配律 f(x)(g(x)+h(x)=f(X)g(X)+f(X)h(X) 6、乘法消去律：f(x)g(x)=f(x)h(x),且 ,那么 g(x)=h(X) 定

6、義4 所有系數(shù)在數(shù)域P中的多項(xiàng)式的全體，稱為數(shù)域P上的一元多項(xiàng)式環(huán)，記為Px, P稱為Px的系數(shù)域,BACK,20,3 整除的概念,以后討論都是在某一固定的數(shù)域P上的 多項(xiàng)式環(huán)中進(jìn)行。 帶余除法 整除 整除的性質(zhì),21,帶余除法 對(duì)于Px中任意兩個(gè)多項(xiàng)式f(x)與g(x)，其中 ，一定有Px中的多項(xiàng)式q(x),r(x)存在，使 f(x)=q(x)g(x)+r(x)（） 成立，其中或者r(x)=0,并且這樣的q(x),r(x)是唯一的。 證明用歸納法來敘述 如果f(x)=0,取q(x)=r(x)=0即可。 以下設(shè)。令f(x),g(x)的次數(shù)分別為n,m。對(duì)f(x)的次數(shù)n作第二數(shù)學(xué)歸納法,22,

7、當(dāng)nm時(shí)，顯然取q(x)=0, r(x)=f(x), (1)式成立。 當(dāng)nm時(shí)，假設(shè)當(dāng)f(x)的次數(shù)小于n時(shí)，q(x),r(X)的存在已證?，F(xiàn)看次數(shù)為n的情形。令 分別為f(X),g(X)的首項(xiàng)，顯然 與f(x)有相同的首項(xiàng)，因而 的次數(shù)小于n或者為。對(duì)于后者，取 ；對(duì)于前者，由歸納法假設(shè)，對(duì)有存在使,23,其中 或者 。于是 即有使 f(x)=q(x)g(x)+r(x) 成立。由歸納法定理，對(duì)任意的 的存在性就證明了。,24,唯一性：設(shè)另有多項(xiàng)式使 其中 或者 于是,即 如果而所以,25,因此有 但是 矛盾。這就證明了 q(x)稱為g(x)除f(x)的商，r(x)為余式,26,例題,| |

8、|_ | | | |_ |,27,定義數(shù)域P上的多項(xiàng)式g(x)稱為整除f(x),如果有數(shù)域P上的多項(xiàng)式h(x)使得 f(x)=g(x)h(x) 成立。,“g(x)|f(x)”表示整除， g(x)稱為f(x)的因式， f(x)稱為g(x)的倍式； g(x) f(x)表示不能整除。,28,定理對(duì)于數(shù)域P上的任意兩個(gè)多項(xiàng)式f(x),g(X)， 其中 的充分必要條件是g(x)除f(x) 的余式為零。 注：帶余除法中g(shù)(x)必須不為零。但g(x)|f(x)中， g(x) 可以為 0。這時(shí) 當(dāng) g(x) 不等于 0時(shí)，有時(shí)用 表示 f(x) 被 g(x) 整除,29,結(jié)論: (1) f(x)|f(x) (

9、2) f(x)|0 (3) a|f(x)(a 不等于0）,30,性質(zhì)、f(x)|g(x), g(x)|f(x), 則f(x)=cg(x).其中c為非零常數(shù)。 事實(shí)上：由g(x)|f(x),有f(x)=h(x) g(x) 由f(x)|g(x)，有g(shù)(x)=t(x) f(x),所以 f(x)=h(x)t(x)f(x) 若f(x)=0,則g(X)=0,成立；若f(x)0, 由上式有h(x)t(x)=1 從而 所以h(X)為非零常數(shù)。,31,性質(zhì)2、f(x)|g(x), g(x)|h(x), 則 f(x)|h(x).,32,性質(zhì) 3 那么 注：1、f(x)與cf(x) (c0)有相同的因式、倍式。 2

10、、兩多項(xiàng)式的整除關(guān)系不因系數(shù)域的擴(kuò)大而改變。,BACK,33,4 最大公因式,兩個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式,兩個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式求法,兩個(gè)多項(xiàng)式互素,互素多項(xiàng)式的性質(zhì),多個(gè)多項(xiàng)式的情況,34,最大公因式,如果 既是f(x)的因式，又是g(x)的因式，那么就稱 為f(x)和g(x)的公因式。 定義6 設(shè)f(x),g(x)是Px中的兩個(gè)多項(xiàng)式。Px中的 多項(xiàng)式d(x)稱為f(x),g(x)的一個(gè)最大公因式，如果它滿足下列兩個(gè)條件： （1）d(x)是f(x),g(x)的公因式； （2） f(x),g(x)的公因式全是d(x)的因式。,35,如：f(x)是f(x)，0的最大公因式。 兩個(gè)零多項(xiàng)式的最大公因

11、式是0。,36,最大公因式的求法 結(jié)論：如果有等式 f(x)=q(x)g(x)+r(x) （1） 成立，那么f(x),g(x)和g(x),r(x)有相同的公因式。 事實(shí)上：如果 p(x)|g(x),p(x)|r(x), 那么由（1），p(x)|f(x). 反過來，如果p(x)|f(x),p(x)|g(x)，那 么p(x)一定整除它們的線性組合 r(x)=f(x)-q(x)g(x) 由此可見，如果g(x),r(x)有一個(gè)最大 公因式d(x)，那么d(x)也是f(x),g(x)的一個(gè) 最大公因式。,37,定理2 對(duì)于Px中任意兩個(gè)多項(xiàng)式 f(x),g(x),在Px中存在一個(gè)最大公因式d(x)，且d

12、(x)可以表示成f(x),g(x)的一個(gè)線性組合，即有Px中多項(xiàng)式u(x),v(x)使 d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x) 證明 如果f(x),g(x)有一個(gè)為零，譬如說，g(x)=0,那么f(x)就是一個(gè)最大公因式，且 f(x)=1f(x) +1 0,38,下面看一般情形。無妨設(shè)g(x) 0. 按帶余除法有：,39,其中,40,根據(jù)前面的結(jié)論， 是 與 的一個(gè)最大公因式； 同樣的理由，逐步推上去， 就是f(x)與g(x)的一個(gè)最大公因式。 這就是定理中的（2）式。 -輾轉(zhuǎn)相除法,41,由上面的倒數(shù)第二等式，我們有 再由倒數(shù)第三式，將 帶入上式， 消去 用同樣的方法,逐個(gè)消去 再合并

13、得到 -輾轉(zhuǎn)相除法,42,如果 都是f(x)與g(x)的兩個(gè)最大公因式，那么一定有 與 ,也就是 ,c0.這就是說，兩個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式在可以相差一個(gè)非零常數(shù)的情況下是唯一確定的。用 (f(x),g(x) 表示兩個(gè)非零多項(xiàng)式首項(xiàng)系數(shù)是1的哪個(gè)最大公因式。 例 （15）看書。,43,定義7 Px中兩個(gè)多項(xiàng)式f(x),g(x)稱為互素（質(zhì)）的，如果(f(x),g(x)=1。 兩個(gè)多項(xiàng)式互素當(dāng)且僅當(dāng)除零次多項(xiàng)式外沒有其它公因式。,互素多項(xiàng)式,44,定理3 Px中兩個(gè)多項(xiàng)式互素的充分必要條件是有Px中的多項(xiàng)式u(x),v(x)使 u(x)f(x)+v(x)g(x)=1 證明 必要性是定理2的直接推論

14、?，F(xiàn)在設(shè)有u(x),v(x)使 u(x)f(x)+v(x)g(x)=1 而d(x)是f(x)與g(x)的一個(gè)最大公因式。于是d(x)|f(x),d(x)|g(x)從而d(x)|1,即(f(x),g(x)=1。,45,互素多項(xiàng)式的性質(zhì) 定理4 如果(f(x),g(x)=1。且f(x)|g(x)h(x),那么 f(x)|h(x)。 證明由(f(x),g(x)=1可知，有u(x),v(x)使 u(x)f(x) +v(x)g(x) =1,等式兩邊乘h(x)，得 u(x)f(x)h(x)+v(x)g(x)h(x)=h(x) 因?yàn)閒(x)|g(x)h(x),所以f(x)整除等式左端，從而 f(x)|h(x

15、) 。,46,推論 如果 ,且 , 那么 。 證明 由 有 因?yàn)?,且 ,所以定理4有 , 即 帶入上式得 即,47,d(x)稱為 (s=2)的一個(gè)最大公因式，如果d(x)滿足下面的性質(zhì)： （1） ; (2) 如果 ,那么p(x)|d(x)。 用 來表示首項(xiàng)系數(shù)為1的最大公因式。且,多個(gè)多項(xiàng)式的情況,48,如果 ,稱 為互素的 注意 與 兩兩互素的關(guān)系,BACK,49,5 因式分解定理,不可約多項(xiàng)式,因式分解定理,標(biāo)準(zhǔn)分解式,50,不可約多項(xiàng)式,因式分解因系數(shù)域的不同而不同。如在有理數(shù)域上 在數(shù)域 上 在復(fù)數(shù)域上 由此可見，必須明確系數(shù)域后，所謂不能再分才有確切涵義。下面我們討論數(shù)域P上的多項(xiàng)

16、式環(huán)Px中多項(xiàng)式的因式分解。,51,定義8 數(shù)域P上次數(shù)1的多項(xiàng)式p(x)稱為 數(shù)域P上的不可約多項(xiàng)式，如果它不能表,成數(shù)域P上的兩個(gè)次數(shù)比p(x)低的多項(xiàng)式的乘積。 一次多項(xiàng)式總是不可約多項(xiàng)式。一個(gè)多項(xiàng)式是否不可約是依賴于系數(shù)域的。,52,不可約多項(xiàng)式p(x)的因式只有非零常數(shù)與它自身的非零常數(shù)倍cp(x)(c0)這兩種。反之，具有這種性質(zhì)的多項(xiàng)式一定是不可約多項(xiàng)式。由此可見，不可約多項(xiàng)式p(x)與任一多項(xiàng)式f(x)之間只可能有兩種關(guān)系，或者p(x)|f(x)，或者(p(x),f(x)=1。,53,定理5 如果p(x)是不可約多項(xiàng)式，那么對(duì)于任意的兩個(gè)多項(xiàng)式f(x),g(x)，由p(x)|f

17、(x)g(x)一定推出p(x)|f(x)或者p(x)|g(x)。 證明 如果p(x)|f(x),那么結(jié)論已經(jīng)成立。 如果p(x)| f(X),那么由以上說明可知 (p(x),f(x)=1 于是由定理4得 p(x)|g(x)。,54,利用歸納法，這個(gè)定理可以推廣為： 如果不可約多項(xiàng)式p(x)整除一些多項(xiàng)式 f1(x),f2(x),fs(x)的乘積f1(x)f2(x)fs(x), 那么p(x)一定整除這些多項(xiàng)式中的一個(gè)。,55,因式分解唯一性定理 數(shù)域P上每一個(gè)次數(shù)1的多項(xiàng)式f(x)都可以唯一地分解成數(shù)域P上一些不可約多項(xiàng)式的乘積。所謂唯一地是說，如果有兩個(gè)分解式 那么必有s=t，并且適當(dāng)排列因式

18、的次序后有 其中 是一些非零常數(shù)。,56,證明 先證分解式的存在。對(duì)f(x)的次數(shù)作數(shù)學(xué)歸納法。設(shè) 。 當(dāng)n=1時(shí)結(jié)論成立。 設(shè)結(jié)論對(duì)次數(shù)低于n的多項(xiàng)式已經(jīng)成立。,如果f(x)是不可約多項(xiàng)式，結(jié)論顯然成立，不妨設(shè)f(x)不是不可約的，即有 其中 的次數(shù)都低于n。,57,由歸納法假設(shè) 和 都可以分解成數(shù)域P上的一些不可約多項(xiàng)式的乘積。把 的分解式合并起來就得到f(x)一個(gè)分解式。 下面證唯一性。設(shè)f(x)可分解成兩種不可約多項(xiàng)式的乘積：,58,于是有： 我們對(duì)s作數(shù)學(xué)歸納法。當(dāng)s=1時(shí)，f(x)是不可約多項(xiàng)式，由定義必有s=t=1。且 現(xiàn)在設(shè)不可約因式的個(gè)數(shù)為s-1時(shí)唯一性已證。 由（1）式，

19、因此 必除盡其中一個(gè)，,59,不妨設(shè) 因 也是不可約多項(xiàng)式，所以有,在（1）式兩邊消去 ，就有 由歸納法假定有 s-1=t-1，即s=t。 (3),60,并且適當(dāng)排列次序后有 （2）（3）（4）合起來即為所證。,61,多項(xiàng)式的標(biāo)準(zhǔn)分解式為 其中c是f(x)的首項(xiàng)系數(shù)， 是不同的首項(xiàng)系數(shù)為1的不可約多項(xiàng)式，而 是正整數(shù)。,62,如果已經(jīng)有了兩個(gè)多項(xiàng)式的標(biāo)準(zhǔn)分解式，那么f(x),g(x)的最大公因式d(x)就是同時(shí)出現(xiàn)在標(biāo)準(zhǔn)分解式中的不可約多項(xiàng)式方冪的乘積，所帶的方冪指數(shù)為兩標(biāo)準(zhǔn)分解式中較小的一個(gè)。,63,整數(shù)的帶余除法。 對(duì)于任意整數(shù)a,b,b0,都存在唯一的整數(shù)q,r 使 a=qb+r 其中0

20、r|b|。 整數(shù)的因式分解理論能夠類似得到。,BACK,64,6 重因式,重因式的有關(guān)定義 重因式的判別方法 其他有關(guān)結(jié)論,65,重因式的定義,定義9 不可約多項(xiàng)式p(x)稱為多項(xiàng)式f(x)的k重 因式，如果 而 這里 k 大于或等于 1。 如果k=1，那么p(x)稱為f(x)的單因式； 如果k1，那么p(x)稱為f(x)的重因式。,66,f(x)的標(biāo)準(zhǔn)分解式為： 那么 分別是f(x)的 重， 重， 重因式。 指數(shù) 為單因式， 為重因式。,67,設(shè)有多項(xiàng)式 一階微商為 高階微商同樣定義。 一個(gè)多項(xiàng)式的一階微商是一個(gè)n-1階多項(xiàng)式，n階微商是 。n+1階微商呢？,68,微商公式,69,重因式的判

21、別方法 定理6 如果不可約多項(xiàng)式p(x)是f(x)的k重因式（k1)那么是微商 的k-1重因式。 證明 由假設(shè)，f(x)可分解為 其中p(x)不能整除g(x)。因此 令,70,那么p(x)整除右端的第二項(xiàng)，但不能整除第 一項(xiàng)，因此p(x)不能整除h(x)。這說明 ，但 不能整除 .所 以p(x)是的k-1重因式。,推論如果不可約多項(xiàng)式p(x)是f(x)的k重 因式（k1)，那么p(x)是 的因式， 但不是 的因式。,71,推論不可約多項(xiàng)式p(x)是f(x)的重因式 的充分必要條件為p(x)是f(x)和 的公因式。 推論多項(xiàng)式f(x)沒有重因式的充分必要條件是 f(x)與 互素。 這個(gè)推論表明，

22、判斷一個(gè)多項(xiàng)式有沒有 重因式， 可以通過輾轉(zhuǎn)相除法來解決。 設(shè)f(x)具有標(biāo)準(zhǔn)分解式,72,則由定理6有： 于是 這是一個(gè)沒有重因式的多項(xiàng)式，但是它與f(x)具有相同的不可約多項(xiàng)式，這是一個(gè)去 掉因式重?cái)?shù)的有效方法。這在求解方程根時(shí)很有用。,BACK,73,多項(xiàng)式函數(shù),多項(xiàng)式函數(shù)的定義,余數(shù)定理,多項(xiàng)式的根 重根,多項(xiàng)式根的個(gè)數(shù),不同多項(xiàng)式定義不同的函數(shù),74,多項(xiàng)式函數(shù),以上，我們把多項(xiàng)式作為形式表達(dá)式來考慮。下面我們把多項(xiàng)式看為函數(shù)。 設(shè)（） 是px中的多項(xiàng)式，是P中的數(shù) 稱為f(x)當(dāng)時(shí)的值。f(x)稱為P上的多項(xiàng)式函數(shù)。當(dāng)P是實(shí)數(shù)域時(shí)，就是數(shù)學(xué)分析中討論的多項(xiàng)式函數(shù)。,75,由帶余除法

23、我們得到下面的余數(shù)定理。,定理（余數(shù)定理）用一次多項(xiàng)式 去除多項(xiàng)式f(x)。所得的余式是一個(gè)常 數(shù)，這個(gè)常數(shù)等于函數(shù)值。 證明 所以 如果，那么就稱為f(x)的一個(gè)根或零點(diǎn)。,76,推論是f(x)的根的充分必要條件是 稱為f(x)的k重根，如果 是f(x)的k重因式。當(dāng)k=1時(shí)，稱為單根；當(dāng)k1時(shí)，稱為重根。,77,定理8 px中n次多項(xiàng)式(n0)在數(shù)域P中的根不可能多于n個(gè)，重根按重?cái)?shù)計(jì)算。 證 n=0顯然成立。n1時(shí)，f(x)可分解為Px上不可約多項(xiàng)式的乘積。由上推論及根重?cái)?shù)定義，f(x)在P上根的個(gè)數(shù)等于分解式中一次因式的個(gè)數(shù)，這個(gè)個(gè)數(shù)當(dāng)然不會(huì)超過n。,78,由上面知，每個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)都可

24、由一個(gè)多項(xiàng)式定義。不同的多項(xiàng)式會(huì)不會(huì)定義相同的函數(shù)呢？即是否存在 f(x) g(x) 而對(duì)于P中的所有數(shù) 都有？,定理9 說明：不同的多項(xiàng)式定義不同的函數(shù)。 數(shù)域上的多項(xiàng)式既可以作為形式表達(dá)式， 也可以作為函數(shù)來處理.,79,定理如果多項(xiàng)式f(x),g(x)的次數(shù)都不超過 n，而它們對(duì)n+1個(gè)不同的數(shù) 有相同的值，即 那么f(x)=g(x)。 證明由定理?xiàng)l件，有 即多項(xiàng)式f(x)-g(x)有n+1個(gè)不同的根。如果f(x)-g(x) 0,那么它就是一個(gè)次數(shù)不超過n的多項(xiàng)式，由定理，它不可能有n+1個(gè)根。因此，f(x)=g(x)。,BACK,80,復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式 實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式,復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式 實(shí)系數(shù)多

25、項(xiàng)式 在復(fù)數(shù)域上證明多項(xiàng)式整除,81,復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解,對(duì)于復(fù)數(shù)域，我們有： 代數(shù)基本定理每個(gè)次數(shù)的復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域中都有一個(gè)根。 由復(fù)變函數(shù)論來證明。也可敘述為： 每個(gè)次數(shù)的復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式，在復(fù)數(shù)域上一定有一個(gè)一次因式。 復(fù)數(shù)多項(xiàng)式的因式分解定理每個(gè)次數(shù)的復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域上都可以唯一分解成一次因式的乘積。,82,因此，復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式有標(biāo)準(zhǔn)分解式 其中是不同的復(fù)數(shù)， 是正整數(shù)。 標(biāo)準(zhǔn)分解式說明了每個(gè)n次復(fù)系數(shù) 多項(xiàng)式恰好有n個(gè)復(fù)根（重根按重?cái)?shù)計(jì)算）。,83,在復(fù)數(shù)域上，不可約多項(xiàng)式只能是 一次多項(xiàng)式,結(jié)論：在復(fù)數(shù)域， 如果 的根全部是 的根，則,84,實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式,對(duì)于實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式：

26、如果是f(x)的復(fù)根，那么，也是f(x)的根。因?yàn)?兩邊取共軛有,85,實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解定理 每個(gè)次數(shù)的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式在實(shí)數(shù)域上都可以唯一地分解為一次因式與二次不可約因式的乘積。 證明定理對(duì)一次多項(xiàng)式顯然成立。 設(shè)定理對(duì)次數(shù)小于n的多項(xiàng)式已經(jīng)證明。 設(shè)f(x)是n次實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式。由代數(shù)基本定理，f(x)有一復(fù)根。,86,如果是實(shí)數(shù)，那么 其中是n-1次多項(xiàng)式。 如果是復(fù)數(shù)，那么也是f(x)的根且。于是 顯然 是一個(gè)實(shí)系數(shù)二次不可約多項(xiàng)式。從而 是n-2次實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式。,87,由歸納假定， 或 可以分解成一次與二次不可約多項(xiàng)式的乘積，因而f(x)也可以如此分解,在實(shí)數(shù)域上， 不可約實(shí)多項(xiàng)式只

27、有兩種 （1）一次實(shí)多項(xiàng)式 （2）二次實(shí)多項(xiàng)式中滿足,88,實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式具有標(biāo)準(zhǔn)分解式： 其中 全是實(shí)數(shù)， 是正整數(shù)， 并且 在實(shí)數(shù)域上是不可 約即適合,BACK,89,有理系數(shù)多項(xiàng)式,有理系數(shù)多項(xiàng)式分解化為整系數(shù)多項(xiàng)式分解,Gauss 引理,求多項(xiàng)式的有理根,有理系數(shù)不可約多項(xiàng)式的判定,90,有理系數(shù)多項(xiàng)式,在有理數(shù)域上，每個(gè)次數(shù)的有理系數(shù)多項(xiàng)式都可唯一地分解成不可約的有理系數(shù)多項(xiàng)式的乘積。 但是對(duì)于任一個(gè)給定的多項(xiàng)式，要具體分解卻很復(fù)雜，即使在判斷一個(gè)有理系數(shù)多項(xiàng)式是否可約也不是容易的。而在復(fù)數(shù)域上只有一次多項(xiàng)式不可約；在實(shí)數(shù)域上不可約多項(xiàng)式只有一次和某些二次。 本節(jié)我們主要給出有理系數(shù)多

28、項(xiàng)式的兩個(gè)重要事實(shí)：,91,第一有理系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解問題可以歸結(jié)為整系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解問題，并進(jìn)而解決有理系數(shù)多項(xiàng)式求有理根的問題。 第二在有理系數(shù)多項(xiàng)式環(huán)中有任意次的不可約多項(xiàng)式。,92,設(shè) 是一個(gè)有理系數(shù)多項(xiàng)式 適當(dāng)乘以整數(shù)c，總可以使cf(x)是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式。 如果cf(x)的各項(xiàng)系數(shù)有公因子，可以提出來，得到 cf(x)=dg(x) 即,其中g(shù)(x)是整系數(shù)多項(xiàng)式， 且各項(xiàng)系數(shù)沒有異于的公因子。,93,例如,94,如果一個(gè)非零的整系數(shù)多項(xiàng)式 的系數(shù) 沒有異于的公因子， 即它們是互素的，它就稱為一個(gè)本原多項(xiàng)式。 任何一個(gè)有理系數(shù)多項(xiàng)式f(x)都可以分解為一 個(gè)有理數(shù)r與一個(gè)本原

29、多項(xiàng)式g(x)的乘積，即 f(x)=rg(x)。且這種分解除相差一個(gè)正負(fù)號(hào)是唯 一的。,95,下面討論一個(gè)本原多項(xiàng)式是否可以分解為兩個(gè) 低次的有理系數(shù)多項(xiàng)式，或兩個(gè)低次的整系數(shù)多 項(xiàng)式的乘積。 定理10(高斯(Gauss)引理)兩個(gè)本原多項(xiàng)式的乘積仍是本原多項(xiàng)式。 證明設(shè) 是兩個(gè)本原多項(xiàng)式，,96,而 是它們的乘積。 用反證法。 如果h(x)不是本原的，也就是說h(x)的系數(shù),有一個(gè)異于的公因子， 即有一個(gè)素?cái)?shù)p整除h(x)的每個(gè)系數(shù)。,97,因?yàn)閒(x)是本原的，所以p不能同時(shí)整除f(x)的每一個(gè)系數(shù)。令 是第一個(gè)不能被整除的系數(shù)，即 同樣，g(x)也是本原的，令是第一個(gè)不能被p整除的系數(shù)，即 現(xiàn)在來看h(x)的系數(shù)，由乘法定義,