18 19第1章11111構(gòu)成空間幾何體的基本元素

1、1.1 空間幾何體1.1.1構(gòu)成空間幾何體的基本元素學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.以長方體的構(gòu)成為例，認(rèn)識構(gòu)成幾何體的基本元素，同時(shí)在運(yùn)動(dòng)變 化的觀點(diǎn)下，體會空間中的點(diǎn)、線、面與幾何體之間的關(guān)系.（重點(diǎn)）2.了解軌跡與圓形的關(guān)系.（重點(diǎn)）3初步了解空間中直線與直線、直線與平面、平面與 平面間的位置關(guān)系.（重點(diǎn)）4.理解平面的無限延展性，學(xué)會判斷平面的方法.（難 點(diǎn)）自主預(yù)習(xí)探新知1 .幾何體只考慮一個(gè)物體占有空間部分的形狀和大小，而不考慮其他因素，則 這個(gè)空間部分叫做一個(gè)幾何體.2. 長方體長方體可以看作由六個(gè)矩形（包括它的內(nèi)部）所圍成的幾何體.長方體的面：圍成長方體的各個(gè)矩形，叫做長方體的面，它共有6個(gè)面.

2、長方體的棱：相鄰兩個(gè)面的公共邊，叫做長方體的棱，它共有 12條棱.（3）長方體的頂點(diǎn)：棱和棱的公共點(diǎn)叫做長方體的頂點(diǎn)，它共有8個(gè)頂點(diǎn).3. 構(gòu)成空間幾何體的基本元素點(diǎn)、線、面是構(gòu)成空間幾何體的基本元素.4. 平面及其表示方法（1）平面的概念：平面是處處平直的面，它是向四面八方無限延展的.（2）平面的表示方法：圖形表示在立體幾何中，通常畫一個(gè)平行四邊形表示一個(gè)平面，并把它想 象成無限延展的符號表示平面一般用希臘字母a，B, Y來命名，還可以用表示它的平行四邊形對角頂點(diǎn)的字母來命名5用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)理解空間基本圖形之間的關(guān)系（3）面動(dòng)成體：面運(yùn)動(dòng)的軌跡（經(jīng)過的空間部分）可以形成一個(gè)幾何體.6.空間中直

3、線與直線的位置關(guān)系空間中直線與直線有相交、平行與既不相交也不平行三種位置關(guān)系.7. 空間中直線與平面的位置關(guān)系(1) 直線在平面內(nèi)；(2) 直線與平面平行：直線與平面沒有公共點(diǎn)：(3) 直線與平面相交：直線與平面有且只有一個(gè)公共點(diǎn). 直線與平面垂直：如圖1-1-1,觀察直線AAi和平面AC,我們看到直線AAi和平面內(nèi)的兩條相交直 線AB和AD都垂直，容易想象，當(dāng)AD在平面AC內(nèi)繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到任何位置時(shí)， 都會與AA1垂直.直線AA1給我們與平面AC垂直的形象，這時(shí)我們說直線 AA1 和平面AC垂直，點(diǎn)A為垂足.記作直線 AA1丄平面AC.直線AA1稱作平面AC 的垂線，平面AC稱作直線AA1的垂

4、面.圖 1-1-1 點(diǎn)到平面的距離：在上圖中，容易驗(yàn)證，線段 AA1為點(diǎn)A1到平面AC內(nèi)的點(diǎn)所連線段的最短的一 條.線段AA的長稱作點(diǎn)A1到平面AC的距離.8. 空間中平面與平面的位置關(guān)系(1) 兩個(gè)平面相交：兩個(gè)平面相交于一條直線，此時(shí)我們說這兩個(gè)平面相交.如果兩個(gè)平面相交，并 且其中一個(gè)平面通過另一個(gè)平面的一條垂線，這兩個(gè)平面就給我們互相垂直的形 象，這時(shí)，我們就說兩個(gè)平面互相垂直.(2) 兩個(gè)平面平行：如果兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)，則說這兩個(gè)平面平行.如圖1-1-1,在長方體ABCD-A1B1C1D1中，如果面ABCD和面A1B1C1D1分別作 為長方體的底面，則棱AA1, BB1, CC1，

5、DD1都與底面垂直且等長，我們知道它 們都是這個(gè)底面上的高，它們的長度稱作兩個(gè)底面間的距離.基礎(chǔ)自測1. 判斷(正確的打“V”，錯(cuò)誤的打“X”)(1) 幾何體不僅包括它的外表面，還包括外表面圍起的內(nèi)部部分.()(2) 直線的移動(dòng)只能形成平面.()(3) 平靜的太平洋就是一個(gè)平面.()解析(1)正確.直線移動(dòng)可能形成曲面，故錯(cuò)誤.(3) 平面是沒有大小的，故錯(cuò)誤.答案 V (2) X (3) X2. 下列說法正確的是 .（1）長方體是由六個(gè)平面圍成的幾何體；（2）長方體可以看作一個(gè)矩形 ABCD上各點(diǎn)沿鉛垂線向上移動(dòng)相同距離到矩形A B C D 所圍成的幾何體；長方體一個(gè)面上的任一點(diǎn)到對面的距離

6、相等.【導(dǎo)學(xué)號：90662019】解析錯(cuò).因長方體由6個(gè)矩形（包括它的內(nèi)部）圍成，注意“平面”與“矩 形”的本質(zhì)區(qū)別；正確；（3）正確.答案3. 下列說法： 任何一個(gè)幾何體都必須有頂點(diǎn)、棱和面； 一個(gè)幾何體可以沒有頂點(diǎn)； 一個(gè)幾何體可以沒有棱； 一個(gè)幾何體可以沒有面.其中正確的個(gè)數(shù)是（）A. 1B. 2C. 3D. 4B 球只有一個(gè)曲面圍成，故 錯(cuò)，對，對，由于幾何體是空間圖形，故一 定有面，錯(cuò).4. 下列關(guān)于長方體的敘述不正確的是（）【導(dǎo)學(xué)號：90662019】A .將一個(gè)矩形沿豎直方向平移一段距離可形成一個(gè)長方體B. 長方體中相對的面都相互平行C .長方體中某一底面上的高的長度就是兩平行底

7、面間的距離D. 兩底面之間的棱互相平行且等長A A中只有移動(dòng)相同距離才能形成長方體.合作探究攻重難平面概念的理解卜例下列判斷正確的是. 平面是無限延展的； 一個(gè)平面長3 cm,寬4 cm； 兩個(gè)平面重疊在一起，比一個(gè)平面厚； 通過改變直線的位置，可以把直線放在某個(gè)平面內(nèi).解析正確.平面是無限延展的. 不正確.平面沒有大小. 不正確.平面沒有厚薄. 正確.平面可以看成是直線平行移動(dòng)形成的， 所以直線通過改變其位置，可以 放在某個(gè)平面內(nèi).答案規(guī)律方法1. 準(zhǔn)確理解平面與平面圖形的區(qū)別與聯(lián)系是解題的關(guān)鍵.2. 平面是無限延展的、無厚薄、無大小的圖形，但平面圖形，如三角形、平行 四邊形、圓等是有大小的

8、.3. 可以用三角形、平行四邊形、圓等平面圖形表示平面，但不能說它們是平面.跟蹤訓(xùn)練1. 已知下列四個(gè)結(jié)論：鋪得很平的一張白紙是一個(gè)平面； 平面的形狀是平行四邊形；一個(gè)平面的 面積可以等于1 m2其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A. 0B . 1C. 2D. 3A 在立體幾何中，平面是無限延展的,所以錯(cuò)誤；通常我們畫一個(gè)平行四邊形來表示一個(gè)平面，但并不是說平面就是平行四邊形，故錯(cuò). 從運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)認(rèn)識幾何體如圖1-1-2所示，請畫出中線段 AB繞著直線I旋轉(zhuǎn)一周形成的空間圖形.【導(dǎo)學(xué)號：90662019】圖 1-1-2思路探究線的運(yùn)動(dòng)可以形成平面或曲面，觀察AB和I的位置關(guān)系及旋轉(zhuǎn)的方 式和方向，可以嘗試

9、畫出形成的圖形.解規(guī)律方法1 點(diǎn)、線、面運(yùn)動(dòng)形成怎樣的圖形與其運(yùn)動(dòng)的形式和方向有關(guān)，如果直線與旋 轉(zhuǎn)軸平行，那么形成圓柱面，如果與旋轉(zhuǎn)軸斜交，那么形成圓錐面.2在判斷點(diǎn)、線、面按一定規(guī)律運(yùn)動(dòng)形成的幾何體的形狀時(shí)，可以借助身邊的 實(shí)物來模擬.跟蹤訓(xùn)練2. 本例若改為AB與I有如圖1-1-3所示的關(guān)系，請畫出旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何圖形.圖 1-1-3解長方體中基本元素之間的關(guān)系探究問題1. 射線運(yùn)動(dòng)后的軌跡是什么？提示 水平放置的射線繞頂點(diǎn)在水平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)一周，可形成平面.其它情況，可形成曲面.2. 如圖1-1-4所示，該幾何體是某同學(xué)課桌的大致輪廓，請你從這個(gè)幾何體里面尋找一些點(diǎn)、線、面，并將它們列舉

10、出來.圖 1-1-4提示面可以列舉如下：平面 A1A2B2B1，平面 A1A2D2D1，平面 C1C2D2D1，平面 B1B2C2C1，平面 A1B1C1D1,平面 A2B2C2D2.線可以列舉如下：直線AA1，直線BB1，直線CC1，直線DD1，直線A2B2，直線C2D2等；點(diǎn)可以列舉如下：點(diǎn)A，點(diǎn)A1,點(diǎn)B，點(diǎn)B1,點(diǎn)C，點(diǎn)C1,點(diǎn)D，點(diǎn)D1,點(diǎn)A，點(diǎn)B2，點(diǎn)C2,點(diǎn)D2.它們共同組成了課桌這個(gè)幾何體.卜例在長方體ABCD-A B C D 中，把它的12條棱延伸為直線,6個(gè)面延展為平面，那么在這12條直線與6個(gè)平面中,【導(dǎo)學(xué)號：90662019】(1) 與直線B C平行的平面有哪幾個(gè)？(2

11、) 與平面BC平行的平面有哪幾個(gè)？思路探究觀察圖形，結(jié)合定義，利用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來分析圖形中的線面位置關(guān)系.解(1)與直線B C平行的平面有平面 ABCD，平面ADD A.(2)與平面BC平行的平面為平面 AD .母題探究：1.(1)與直線B C垂直的平面有哪幾個(gè)？(2)與平面BC垂直的平面有哪幾個(gè)？解(1)有平面AB，平面CD.(2)有平面AB，平面A C,平面CD，平面AC.2本例中與棱A D 相交的棱有哪幾條？它們與棱 A D 所成的角是多少？ 解有 A A，A B ，D D，D C，由于長方體六個(gè)面都是矩形，所以它們與棱 A D 所成角都是903. 本例中長方體的12條棱中，哪些可以用來表

12、示面 A B與面D C之間的距 離？解A D，B C ，BC，AD的長均可以表示.規(guī)律方法1. 平行關(guān)系的判定(1) 直線與直線的平行關(guān)系：如圖1-1-5，在長方體的12條棱中，分成“長” “寬” “高”三組，其中“高” AA1, BB1, CC1, DD1相互平行；“長” AB， DC，A1B1, D1C1 相互平行；“寬” AD, BC, A1D1, B1C1 相互平行.圖 1-1-5(2) 直線與平面的平行關(guān)系：在長方體的12條棱及表面中，若棱所在的直線與某 一平面不相交，就平行.(3) 平面與平面的平行關(guān)系：長方體的對面相互平行.2. 垂直關(guān)系的判定(1) 直線與平面的垂直關(guān)系：在長方

13、體的棱所在直線與各面中，若直線與平面有 且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則二者垂直.(2) 平面與平面的垂直關(guān)系：在長方體的各表面中，若兩平面有公共點(diǎn)，則二者 垂直.當(dāng)堂達(dá)標(biāo)固雙基1 .下列命題中正確的個(gè)數(shù)為()書桌面是平面；9個(gè)平面重疊起來，要比7個(gè)平面重疊起來厚；有一個(gè)平 面的長是50 m，寬是20 m；平面是絕對平的、無厚度的、可以無限延展的抽 象的數(shù)學(xué)概念.A. 1 B. 2 C. 3D. 4A 由平面的概念知，只有 正確.2. 如圖1-1-6所示的是平行四邊形 ABCD所在的平面，有下列表示方法：平 面ABCD;平面BD;平面AD;平面ABC;AC;平面a其中不正確 的是()【導(dǎo)學(xué)號：906620

14、19】圖 1-1-6A .B .C.D .D 中AD不為對角線，故錯(cuò)誤；中漏掉平面”兩字，故錯(cuò)誤.3. 下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有()曲面上可以存在直線；平面上可存在曲線；曲線運(yùn)動(dòng)的軌跡可形成平面；直線運(yùn)動(dòng)的軌跡可形成曲面；曲面上不能畫出直線.A. 3個(gè) B . 4個(gè) C . 5個(gè) D . 2個(gè)B 只有不正確.4. 線段AB長為5 cm，在水平面上向右移動(dòng)4 cm后記為CD,將CD沿鉛垂線 方向向下移動(dòng)3 cm后記為C D ，再將C D 沿水平方向向左移動(dòng)4 cm后 記為A B，依次連接構(gòu)成長方體 ABCD-A B C D.(1)該長方體的高為;【導(dǎo)學(xué)號：90662019】平面A B BA與平面CDD C間的距離為;點(diǎn)A到平面BCC B的距離為.解析 如圖，在長方體 ABCD A B C D中，AB= 5 cm, BC = 4 cm, CC = 3 cm, / 長方體的高為3 cm;平面A B BA與平面CDD C之間的距離為4 cm ;點(diǎn)