有限元與有限差分法基礎(chǔ)

1、有限元法基礎(chǔ)及有限差分法基礎(chǔ),有限元法,有限差分法,有限元法基礎(chǔ),有限元發(fā)展過程 有限元應(yīng)用 有限元發(fā)展方向,有限元法的基本思想,基本思想,1）將連續(xù)的求解系統(tǒng)離散為一組由節(jié)點相互聯(lián)在一起的單元組合體,2）在每個單元內(nèi)假設(shè)近似函數(shù)來分片表示系統(tǒng)的求解場函數(shù),有限元法的基本思想,有限元法的基本思想,有限元法的基本思想,有限元法的基本思想,有限元法的基本思想,離散為單元網(wǎng)格的沖壓件仍然要保證是一個連續(xù)體，單元與單元之間沒有裂縫、不能重疊，所有單元通過單元節(jié)點相互關(guān)聯(lián)著 板料無論產(chǎn)生多大的塑性變形，單元與單元之間依然不會產(chǎn)生裂縫、交叉和重疊，關(guān)聯(lián)單元的節(jié)點也不能脫開,有限元法的基本思想,不合格單元,

2、單元裂縫,單元重疊,有限元法的基本思想,變形前后單元之間都是連續(xù)的,變形前的網(wǎng)格,變形后的網(wǎng)格,有限元法的基本思想,基本思想 通過在單元內(nèi)假設(shè)不同的插值函數(shù)，建立不同的單元模型，適應(yīng)各種各樣的變形模式和受力模式,有限元法的基本思想,有限元法分類,1）位移法：基于最小勢能原理或虛功原理,2）力法： 基于最小余能原理,3）雜交法：基于修正余能原理,4）混合法：基于Reissner變分原理,有限元法的基本思想,位移法基本過程,1）離散化過程,3）約束處理過程,2）單元平衡方程組裝過程,5）應(yīng)變、應(yīng)力回代過程,4）方程組求解過程,離散化過程,最小勢能原理,彈性體的勢能,為彈性體變形后所具有的內(nèi)能,為彈

3、性體所受的外力功,離散化過程, 為彈性體的應(yīng)變, 為彈性體的應(yīng)力,u為彈性體的可容位移,彈性體處于平衡狀態(tài)時，其勢能應(yīng)為最小,0,離散化過程,單元插值關(guān)系,單元幾何關(guān)系,單元本構(gòu)關(guān)系,N為單元形函數(shù)矩陣,L為單元幾何微分算子,為單元彈性矩陣,單元節(jié)點自由度向量,離散化過程,B 稱為應(yīng)變矩陣,單元平衡方程或單元剛度方程,k 稱為單元剛度矩陣,f 稱為單元載荷向量,單元剛度矩陣的特性,對稱性,奇異性,主元恒正且對角占優(yōu),離散化過程,線彈性問題幾何方程三維問題,三維問題,線彈性問題幾何方程二維問題,二維問題,平面應(yīng)力和平面應(yīng)變狀態(tài),線彈性問題幾何方程二維問題,二維問題,軸對稱狀態(tài),線彈性問題幾何方程

4、一維問題,一維問題,線彈性問題本構(gòu)方程三維問題,三維問題,E為彈性模量；為泊松比,線彈性問題本構(gòu)方程平面應(yīng)力,二維問題,平面應(yīng)力狀態(tài),線彈性問題本構(gòu)方程平面應(yīng)力,平面應(yīng)力狀態(tài),線彈性問題本構(gòu)方程平面應(yīng)變,二維問題,平面應(yīng)變狀態(tài),線彈性問題本構(gòu)方程平面應(yīng)變,平面應(yīng)變狀態(tài),線彈性問題本構(gòu)方程軸對稱,二維問題,軸對稱狀態(tài),線彈性問題本構(gòu)方程軸對稱,二維問題,軸對稱狀態(tài),線彈性問題本構(gòu)方程軸對稱,軸對稱狀態(tài),線彈性問題本構(gòu)方程一維問題,一維問題,常用單元模型,單元模型,插值關(guān)系,一一對應(yīng),單元類型,一維單元、二維單元、三維單元,等參單元、超參單元、次參單元,常用單元模型,一維單元,2節(jié)點線單元,3節(jié)點

5、線單元,梁單元,常用單元模型,二維單元,3節(jié)點三角形線性單元,6節(jié)點三角形二次單元,常用單元模型,二維單元,10節(jié)點三角形三次單元,4節(jié)點四邊形雙線性單元,常用單元模型,二維單元,8節(jié)點四邊形二次單元,12節(jié)點四邊形三次單元,常用單元模型,三維單元,4節(jié)點四面體線性單元,10節(jié)點四面體二次單元,常用單元模型,三維單元,8節(jié)點六面體線性單元,20節(jié)點六面體二次單元,常用單元模型,準三維空間單元,桁架單元,一維2節(jié)點線單元+單元局部隨體坐標系,為什么要建立單元局部隨體坐標系 ？,簡化分析問題的復(fù)雜程度。 在局部坐標系中，空間桁架的每根桿每變成了一維2節(jié)點線單元,常用單元模型,準三維空間單元,框架單

6、元,三維梁單元+一維2節(jié)點線單元+單元局部隨體坐標系,兩端都是剛性聯(lián)結(jié),可以要承受拉壓、彎曲、扭轉(zhuǎn)3種變形模式,框架單元的特點,常用單元模型,準三維空間單元,板單元,薄板單元,中厚板單元,彎曲和橫向剪切2種變形模式抵抗板的變形,如果板很薄，忽略橫向剪切抗力，認為抵抗載荷的主要因素是彎矩,常用單元模型,準三維空間單元,殼單元,抵抗拉壓變形的二維單元+板單元+單元局部隨體坐標系。適合于薄殼單元和中厚殼單元,從幾何上分為薄殼單元和中厚殼單元, 組合單元,常用單元模型,準三維空間單元, 殼理論單元,由空間殼理論嚴格構(gòu)造的殼單元。適合于薄殼單元和中厚殼單元, 退化單元,由三維實體單元退化成的殼單元。只適

7、合于中厚殼單元,單元模型構(gòu)造,有限元法的基本思想,通過單元分片近似，在每個單元內(nèi)假設(shè)近似函數(shù)來分片表示系統(tǒng)的場函數(shù),選擇近似函數(shù),簡單、實用的原則 在有限元法中，近似函數(shù)稱為插值函數(shù),單元模型構(gòu)造,插值函數(shù),一般都采用多項式函數(shù)，主要原因是:,采用多項式插值函數(shù)比較容易推導(dǎo)單元平衡方程，特別是易于進行微分和積分運算。,隨著多項式函數(shù)階次的增加，可以提高有限元法的計算精度。從理論上說，無限提高多項式的階數(shù)，可以求得系統(tǒng)的精確解。,單元模型構(gòu)造方法,整體坐標系法 局部坐標系法,Lagrange插值方法 Hermite插值方法,單元模型構(gòu)造方法,2節(jié)點線單元,1,2,u1,u2,x1,x2,u,x,

8、1. 假設(shè)插值多項式,2. 利用節(jié)點值求 a0 和 a1,單元模型構(gòu)造方法,3. 代入a0 和 a1，得插值多項式 u(x),4. 按u1 和 u2合并同類項，設(shè) l = x2- x1,單元模型構(gòu)造方法,關(guān)鍵,如何構(gòu)造插值多項式 u ?,二維問題三維問題，如何構(gòu)造插值多項式?,收斂性條件 在單元內(nèi)，場函數(shù)必須是連續(xù)的； 完備性：插值多項式的階次必須由低到高依次增加，不能出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象； 協(xié)調(diào)性：各單元邊界必須連續(xù)，單元邊界不能出現(xiàn)開裂現(xiàn)象。,插值多項式收斂性條件,收斂：當單元逐漸縮小時，如果插值多項式滿足收斂性條件，則數(shù)值解將收斂于精確解,插值多項式收斂性條件,協(xié)調(diào)單元 滿足插值多項式收斂性條件

9、和的單元 完備單元 滿足插值多項式收斂性條件的單元 cr 階連續(xù)性 插值多項式的第r階導(dǎo)數(shù)是連續(xù)的,插值多項式收斂性條件,非協(xié)調(diào)單元與部分協(xié)調(diào)單元 對于一般固體力學問題來說，協(xié)調(diào)性要求單元在變形時，相鄰單元之間不應(yīng)引起開裂、重疊或其它不連續(xù)現(xiàn)象。例如，梁、板、殼等單元，在單元邊界不但要求位移是連續(xù)的，而且其一階導(dǎo)數(shù)也必須是連續(xù)的。板、殼單元位移函數(shù)沿單元邊界的法向?qū)?shù)（轉(zhuǎn)角）的連續(xù)性一般比較難實現(xiàn)，因此出現(xiàn)了許多不完全滿足協(xié)調(diào)性要求的“非協(xié)調(diào)單元”或“部分協(xié)調(diào)單元”，有時它們的精度也很好。,插值多項式選擇條件,插值多項式應(yīng)該盡可能滿足其收斂性條件（收斂性） 由插值多項式所確定的場函數(shù)變化應(yīng)該與

10、局部坐標系的選擇無關(guān)（各向同性） 假設(shè)的插值多項式系數(shù)的數(shù)量應(yīng)該等于單元的節(jié)點數(shù)（解的唯一性）,選擇條件,插值多項式選擇條件,深入分析,由收斂性條件可知，插值多項式中必須含有常數(shù)項（剛體位移項），高階項的次數(shù)必須依次增加，不允許有跳躍,插值多項式選擇條件,由選擇條件可知，插值多項式函數(shù)在所有自由度方向上要滿足各向同性性，這樣就不會隨局部坐標系變化而改變了,深入分析,插值多項式選擇條件,深入分析,選擇條件是為了能由單元節(jié)點值唯一確定插值多項式,4節(jié)點四邊形的插值多項式應(yīng)該是,插值多項式系數(shù)i (i = 0,1,2,3) 也是4個,單元模型構(gòu)造整體坐標系法,基本思想,針對彈性體有限元網(wǎng)格建立一個統(tǒng)

11、一的坐標系，每個單元的插值多項式都在這個坐標系上建立,單元模型構(gòu)造整體坐標系法,2節(jié)點線單元,1,2,u1,u2,x1,x2,u,x,1. 假設(shè)插值多項式,2. 利用節(jié)點值求 a0 和 a1,單元模型構(gòu)造整體坐標系法,3. 代入a0 和 a1，得插值多項式 u(x),4. 按u1 和 u2合并同類項，設(shè) l = x2- x1,單元模型構(gòu)造整體坐標系法,N1 和 N2 稱為單元的形函數(shù)； N 稱為單元的形函數(shù)矩陣； ue 稱為單元節(jié)點位移向量。,2節(jié)點線的單元形函數(shù),單元模型構(gòu)造整體坐標系法,二維3節(jié)點三角形單元,建立整體坐標系oxy,單元模型構(gòu)造整體坐標系法,1. 假設(shè)插值多項式,2. 首先，

12、利用節(jié)點值求 0 、 1 和 2,二維3節(jié)點三角形單元,單元模型構(gòu)造整體坐標系法,A為單元面積,單元模型構(gòu)造整體坐標系法,3. 將 0 、 1 和 2 代入插值多項式，按u1、u2、u3合并同類項,單元模型構(gòu)造整體坐標系法,4. 同理可得,單元模型構(gòu)造整體坐標系法,5. 單元插值多項式為,單元模型構(gòu)造整體坐標系法,6. 單元插值多項式寫成矩陣形式（常用）,單元模型構(gòu)造整體坐標系法,7. 單元插值多項式的另一種矩陣形式（不常用）,單元模型構(gòu)造整體坐標系法,4節(jié)點四面體單元,單元模型構(gòu)造整體坐標系法,1. 假設(shè)插值多項式,2. 插值多項式為,單元模型構(gòu)造整體坐標系法,（i=1,2,3,4）,循環(huán)輪

13、換腳標1、2、3、4，相應(yīng)可以得到a2，b2 ， c2 ， d2 、 a3 ， b3 ， c3 ， d3 、 a4 ， b4 ， c4 ， d4,單元模型構(gòu)造整體坐標系法,3. 單元插值多項式寫成矩陣形式（常用）,單元模型構(gòu)造整體坐標系法,4. 單元插值多項式另一種矩陣形式（不常用）,單元模型構(gòu)造整體坐標系法,從理論上講，整體坐標系法可以求任意單元的形函數(shù)，但計算過程太復(fù)雜 只能求一維2節(jié)點線單元、二維3節(jié)點三角形單元和三維4節(jié)點四面體單元3種簡單單元的形函數(shù) 復(fù)雜的或二次以上的單元必須采用局部坐標系法求 位移場 u 是形函數(shù) Ni 的線性組合，因此形函數(shù)Ni同樣具有插值多項式的特性,單元剛度

14、矩陣2節(jié)點線單元,一維2節(jié)點線單元,單元插值關(guān)系,單元幾何關(guān)系,單元本構(gòu)關(guān)系,N=N1 N2,De=E,單元剛度矩陣2節(jié)點線單元,單元剛度矩陣,A為單元截面積；l為單元長度,矩陣B,單元剛度矩陣三角形單元,二維3角形單元,單元插值關(guān)系,單元剛度矩陣三角形單元,單元幾何關(guān)系,單元剛度矩陣三角形單元,單元本構(gòu)關(guān)系,平面應(yīng)力問題,單元剛度矩陣三角形單元,矩陣B,單元剛度矩陣三角形單元,單元剛度矩陣,h為單元厚度,k為對稱的6*6常數(shù)矩陣,A為單元面積,作業(yè),求4節(jié)點四面體單元的單元剛度矩陣,單元模型構(gòu)造整體坐標系法,單元形函數(shù)的特性,正規(guī)性：單元形函數(shù)之和等于1。,正交性：形函數(shù)在本節(jié)點的值等于1，

15、在其它節(jié)點的值等于0。,例如: 2節(jié)點線單元形函數(shù),單元模型等參單元,等參單元,單元內(nèi)任意一點的位移u與單元節(jié)點位移ue之間的關(guān)系為,一般單元坐標的插值關(guān)系也采用與位移插值關(guān)系相同的變換關(guān)系即單元內(nèi)任意一點的坐標x與單元節(jié)點坐標xe之間的關(guān)系為,單元模型等參單元,等參單元,凡是幾何形狀和位移場采用同階同參數(shù)插值關(guān)系來描述的單元，稱為等參單元,前面介紹的所有單元都屬于等參單元,在描述單元的幾何形狀和位移場時，并不一定非采用同階插值關(guān)系,單元模型等參單元,等參單元,3節(jié)點三角形等參單元,單元模型等參單元,超參單元,如果幾何形狀插值函數(shù)的階數(shù)高于位移場插值函數(shù)的階數(shù)，稱為超參單元,次參單元,如果幾何

16、形狀插值函數(shù)的階數(shù)低于位移場插值函數(shù)的階數(shù)，稱為次參單元,單元平衡方程組裝過程,為什么要組裝 ?,消除內(nèi)力,組裝的原則是什么 ?,單元自由度與結(jié)構(gòu)自由度對應(yīng),單元平衡方程組裝過程,2,F,1,3,U3,U4,U2,U1,U5,U6,結(jié)構(gòu)自由度向量U,單元平衡方程組裝過程,2,單元平衡方程組裝過程,2,單元平衡方程組裝過程,單元平衡方程組裝過程,單元平衡方程組裝過程,K 稱為總體剛度矩陣,U 稱為位移向量,F 稱為載荷向量,總體剛度矩陣K的特性,對稱性,奇異性,稀疏性,非零元素帶狀分布,約束處理過程,為什么要約束處理 ?,總體平衡方程組是奇異的,消除無限制的剛體運動,使總體平衡方程組存在唯一一組

17、解,約束處理過程邊界條件,邊界條件分類,力(載荷)邊界條件,位移邊界條件,集中載荷力,表面分布力,自重力,熱交換引起的溫度載荷,固定位移約束,強制位移約束,關(guān)聯(lián)位移約束,約束處理過程模型簡化,約束處理過程模型簡化,約束處理過程約束方程,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,約束處理過程約束處理方法,位移約束處理方法,賦0賦1法,乘大數(shù)法,約束處理過程賦0賦1法,強制位移約束條件處理 U4=C,約束處理過程賦0賦1法,強制位移約束條件處理 U4=C,約束處理過程賦0賦1法,有6個方程，5個未知數(shù)，如果約束方程可以消除有限元平衡方程組的奇異性，則取任意5個方程聯(lián)立求解，都會得到方程

18、組的唯一一組解。,系數(shù)矩陣由原來的對稱的變成了非對稱的，這對于大規(guī)模有限元方程組求解是十分不利的，采用相同的求解方法，在求解時間和矩陣存貯容量方面都增加了一倍。,約束處理過程賦0賦1法,為了保證系數(shù)矩陣的對稱性，去掉方程組第4行,約束處理過程賦0賦1法,引入強制位移約束方程 U4=C，使方程組求解時直接將自由度U4求出,約束處理過程賦0賦1法,固定位移約束條件處理 U4=0,約束處理過程賦0賦1法,基本原理 利用初等變換對求解方程組進行相同的行列變換，既保證方程組解不會改變，又可以保持方程組系數(shù)矩陣的對稱性。 在進行初等變換時，只要保證對方程組系數(shù)矩陣做相同的行列變換，就可以保持方程組系數(shù)矩陣

19、的對稱性。,約束處理過程乘大數(shù)法,乘大數(shù)法,基本原理 利用矩陣的初等變換不改變方程組解的思想。,約束處理過程乘大數(shù)法,強制位移邊界條件,約束處理過程乘大數(shù)法,強制約束方程,A是一個大數(shù)，是系數(shù)矩陣中對角線元素K44的1010倍量級以上,為什么要乘以大數(shù)A ？,放大位移約束方程的優(yōu)勢,約束處理過程乘大數(shù)法,強制位移邊界條件,約束處理過程乘大數(shù)法,固定位移邊界條件,C = 0,約束后的方程組簡化為,約束處理過程兩種方法比較,賦0賦1法在約束處理過程中是嚴格精確的，而乘大數(shù)法是一種近似約束處理方法，它的精度取決于所乘大數(shù)A值,兩種方法都可以消除有限元平衡方程的奇異性，得到符合實際邊界條件的唯一一組解

20、。但兩種方法還是有很大的區(qū)別,約束處理過程兩種方法比較,采用乘大數(shù)法約束處理后的有限元平衡方程在求解時可能造成解的失真，大數(shù)A值越大可能解的偏差會越大，而賦0賦1法就不會出現(xiàn)類似的問題，它在約束過程和求解過程都是精確的 乘大數(shù)法相對于賦0賦1法在約束處理過程上簡單一些,約束處理過程兩種方法比較,賦0賦1法實際上是將關(guān)聯(lián)位移約束方程代入到有限元平衡方程中的，是代入法。而乘大數(shù)是將占絕對優(yōu)勢的關(guān)聯(lián)位移約束方程合并到有限元平衡方程中的，是罰方法，計算誤差來自于合并過程，計算精度取決于關(guān)聯(lián)位移約束方程的優(yōu)勢大小 商業(yè)軟件中，位移邊界條件的約束處理都采用賦0賦1法，乘大數(shù)很少被采用主要原因是它是一種近似

21、方法，而且大數(shù)的大小也不好確定，有時還會造成求解失敗,約束處理過程彈簧單元,假設(shè)柔性彈簧 k,f = kU4,彈簧約束方程 f = kU4,約束處理過程彈簧單元,方程組求解過程特點,方程組求解有限元計算過程中很重要的一部分，在有限元法的發(fā)展過程中，有限元方程的求解效率一直是其應(yīng)用的最大瓶頸之一 有限元方程組的特點： 有限元方程組的系數(shù)矩陣具有對稱、稀疏、帶狀分布以及正定、主元占優(yōu)。有效地利用這些特點，以減少系數(shù)矩陣的存貯量，提高方程組求解效率,方程組求解過程分類比較,線性方程組的解法主要分兩大類: 直接解法：以高斯消去法基礎(chǔ)，以等帶寬或變帶寬方式存貯系數(shù)矩陣內(nèi)元素，對于求解規(guī)模比較大的問題，要

22、存貯的元素非常巨大。 迭代解法：只需要存貯系數(shù)矩陣中非零元素，存貯量很小，一般是變帶寬存貯量的20%或更少，有些算法的求解效率也非常高，適合求解大規(guī)模線性方程組。但是這種解法對接近病態(tài)的方程組很難保證收斂性。,方程組求解過程帶寬定義,有限元方程組系數(shù)矩陣是稀疏的、非零元素呈帶狀分布，帶寬就是它的寬度，帶寬的大小是由系統(tǒng)有限元網(wǎng)格的節(jié)點號排序決定的，具體求法是,帶寬=(單元最大節(jié)點號之差+1)*節(jié)點自由度數(shù),帶寬是網(wǎng)格節(jié)點標注方法直接決定的，不同標注方法帶寬可能相關(guān)很大,方程組求解過程帶寬,帶寬是網(wǎng)格節(jié)點標注方法直接決定的，不同標注方法帶寬可能相關(guān)很大,方程組求解過程帶寬,所示四邊形網(wǎng)格的三種節(jié)

23、點號標注方法，每個節(jié)點是2個自由度 結(jié)構(gòu)的帶寬分別是12，18，56，相差很大，其中12和56之間相差近5倍，這就意味著系數(shù)矩陣的存貯量也是相差5倍，因此，對于大規(guī)模復(fù)雜系統(tǒng)的節(jié)點號優(yōu)化是十分必要的,方程組求解過程系數(shù)矩陣存貯,系數(shù)矩陣存貯 如果節(jié)點號排序優(yōu)化的比較好，系數(shù)矩陣的存貯量就會減少很多。根據(jù)系數(shù)矩陣的對稱性，一般都是按半帶寬存貯。 系數(shù)矩陣存貯的方法 二維等帶寬存貯 一維變帶寬存貯,方程組求解過程二維等帶寬存貯,二維等帶寬存貯,方程組求解過程二維等帶寬存貯,二維等帶寬存貯消除了最大帶寬以外的全部零元素，節(jié)省了系數(shù)矩陣元素的存貯量。但是由于取最大帶寬為存貯范圍，因此不能排除在帶寬內(nèi)的

24、大量零元素。當系數(shù)矩陣的各行帶寬變化不大時，適合采用二維等帶寬存貯，方程組求解過程中系數(shù)矩陣元素的尋址也比較方便，求解效率較高。 當出現(xiàn)局部帶寬特別大的情況時，采用二維等帶寬存貯時，將由于局部帶寬過大而使整體系數(shù)矩陣的存貯大大增加。,方程組求解過程一維變帶寬存貯,一維變帶寬存貯 一維變帶寬存貯方法就是把變化的帶寬內(nèi)的元素按一定的順序存貯在一個一維數(shù)組中。由于它不按最大帶寬存貯，因此比二維等帶寬存貯更節(jié)省內(nèi)存。按照解法可分為按行一維變帶寬存貯和按列一維變帶寬存貯。,按行一維變帶寬存貯,方程組求解過程一維變帶寬存貯,輔助的尋址數(shù)組M,一維變帶寬存貯是最節(jié)省內(nèi)存的一種方法，但是由于要借助于尋址數(shù)組尋

25、找系數(shù)矩陣元素的位置，相對二維等帶寬存貯方法來說要復(fù)雜一些，而且在程序?qū)崿F(xiàn)時也要復(fù)雜得多，方程組求解過程中也要消耗一些數(shù)組尋址時間。因此，在選用存貯方法時要權(quán)衡二者的利弊，統(tǒng)盤考慮。一般當帶寬變化不大，計算機內(nèi)存允許時，采用二維等帶寬存貯方法是比較合適的。,方程組求解過程一維變帶寬存貯,方程組求解過程求解方法,方程組求解方法 高斯消去法 三角分解法 雅可比（Jacobi）迭代法 高斯-賽德爾（Gauss-Seidel）迭代法,應(yīng)變、應(yīng)力回代過程,單元應(yīng)變和應(yīng)力回代求解 通過求解有限元平衡方程得到有限元節(jié)點位移后，就可以進行系統(tǒng)的剛度校核。如果所分析問題要進行強度校核，就要回代求解單元的應(yīng)變和應(yīng)

26、力。 由插值關(guān)系和幾何關(guān)系可得單元應(yīng)變，再通過本構(gòu)關(guān)系得到單元應(yīng)力,有限差分法,從彈性力學的基本方程建立以來，這些方程在各種問題的邊界條件下如何求解，一直是很多數(shù)學工作者和力學工作者研究的內(nèi)容。即彈性力學的經(jīng)典解法存在一定的局限性，當彈性體的邊界條件和受載情況復(fù)雜一點，往往無法求得偏微分方程的邊值問題的解析解，許多工程重要問題，不能夠得出函數(shù)式的解答。 因此，彈性力學問題的各種數(shù)值解法便具有重要的實際意義。,工程中常用的數(shù)值解法有有限單元法和差分法。,有限單元法 是以有限個單元的集合體來代替連續(xù)體，屬于物理上的近似。,差分法 是把彈性力學的基本方程和邊界條件（一般均為微分方程）近似地改用差分方

27、程（代數(shù)方程）來表示，把求解微分方程的問題改換成為求解代數(shù)方程的問題，屬于數(shù)學上的近似。,第一節(jié) 差分方程,第二節(jié) 應(yīng)力函數(shù)的差分解,第三節(jié) 深梁應(yīng)力函數(shù)的差分解,第一節(jié) 差分方程,差分法是沿用已久的一種數(shù)值解法。隨著計算機的普及和相應(yīng)的軟件發(fā)展，此法成為解彈性力學問題的一種有效的方法。,我們在彈性體上，用相隔等間距h而平行于坐標軸的兩組平行線織成正方形網(wǎng)格，x=y=h，如圖。,設(shè)f=f(x,y)為彈性體內(nèi)的某一個連續(xù)函數(shù)。該函數(shù)在平行于x軸的一根網(wǎng)線上，如在-上,它只隨x坐標的改變而變化。在鄰近結(jié)點處，函數(shù)f可展為泰勒級數(shù)如下：,我們將只考慮離開結(jié)點充分近的那些結(jié)點，即（x-x0）充分小。于

28、是可不計（x-x0）的三次及更高次冪的各項，則上式簡寫為：,在結(jié)點，x=x0-h, 在結(jié)點1, x=x0+h，代入(b) 得：,聯(lián)立(c),(d),解得差分公式：,同理，在網(wǎng)線-上 可得到差分公式,差分公式(-)及(-)是以相隔2h的兩結(jié)點處的函數(shù)值來表示中間結(jié)點處的一階導(dǎo)數(shù)值，可稱為中點導(dǎo)數(shù)公式。,以相鄰三結(jié)點處的函數(shù)值來表示一個端點處的一階導(dǎo)數(shù)值，可稱為端點導(dǎo)數(shù)公式。,應(yīng)當指出：中點導(dǎo)數(shù)公式與端點導(dǎo)數(shù)公式相比，精度較高。因為前者反映了結(jié)點兩邊的函數(shù)變化，而后者卻只反映了結(jié)點一邊的函數(shù)變化。因此，我們總是盡可能應(yīng)用前者，而只有在無法應(yīng)用前者時才不得不應(yīng)用后者。,以上(-)(-)是基本差分公式

29、,從而可導(dǎo)出其它的差分公式如下：,第二節(jié) 應(yīng)力函數(shù)的差分解,當不計體力時，我們已把彈性力學平面問題歸結(jié)為在給定邊界條件下求解雙調(diào)和方程的問題。用差分法解平面問題，就應(yīng)先將雙調(diào)和方程變換為差分方程，而后求解之。,一旦求得彈性體全部節(jié)點的值后，就可按應(yīng)力分量差分公式（對節(jié)點0）算得彈性體各節(jié)點的應(yīng)力。,可見，用差分法解平面問題，共有兩大任務(wù)： 一、建立差分方程 將（1-68）代入雙調(diào)和方程,對于彈性體邊界以內(nèi)的每一結(jié)點，都可以建立這樣一個差分方程。,整理即得,二、聯(lián)立求解這些線性代數(shù)方程，就能求得各內(nèi)結(jié)點處的值。,為了求得邊界上各結(jié)點處的值，須要應(yīng)用應(yīng)力邊界條件，即：,一般建立和求解差分方程，在數(shù)

30、學上不會遇到很大困難。但是，當對于邊界內(nèi)一行的（距邊界為h的）結(jié)點，建立的差分方程還將涉及邊界上各結(jié)點處的值，并包含邊界外一行的虛結(jié)點處的值。,代入上式，即得：,l1=cos(N,x)=cos=dy/ds, l2=cos(N,y)=sin=-dx/ds,于是，式（a）可改寫為：,由右圖可見，,關(guān)于邊界上任一點處,由此得：,的值，可將（b）式從,A點到B點對s積分得到：,將此式亦從A點到B點沿s進行積分，就得到邊界上任一點B處的值。為此利用分部積分法，得：,由高等數(shù)學可知，,將式(b),(c)代入，整理得：,由前知，把應(yīng)力函數(shù)加上一個線性函數(shù)，并不影響應(yīng)力。因此，可設(shè)想把應(yīng)力函數(shù)加上a+bx+cy，然后調(diào)整a，b，c三個數(shù)值，使得,由式(d)及式(c)可見，設(shè),即可根