2005年高考.江蘇卷.數(shù)學(xué)試題精析詳解

1、2005 年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（江蘇卷）第一卷 （選擇題共60 分）參考公式：三角函數(shù)的和差化積公式sinsin2sincos2sinsin2cos2sin22coscos2coscos2coscos2sinsin222若事件 A 在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是p，則它在 n 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k 次的概率P (k)C k pk(1p) nknn一組數(shù)據(jù) x1, x2 , xn 的方差 S21( x1x) 2(x2x) 2( xnx)2n其中 x 為這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)值一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題意要求的

2、。（ 1）設(shè)集合 A=1,2 ，B=1,2,3 ， C=2,3,4 ，則 ( AB) C（ A ）1,2,3（B ） 1,2,4（C） 2,3,4（ D） 1,2,3,4答案： D 評(píng)述 ：本題考查交集、并集等相關(guān)知識(shí)。 解析 ：因?yàn)?AB 1,2 ，所以（ AB) C1,2,3,4 ，故選 D.（ 2）函數(shù) y 21 x3(x R) 的反函數(shù)的解析表達(dá)式為（ A ） ylog 22（ B ）x3（ C） ylog 23x（ D ）2ylog 2x32ylog 223x答案 :A評(píng)述 :本題考查由原函數(shù)的解析式,去求其反函數(shù)的解析式的求法 .解析 :由 y 21 x3, 得 21 xy 3 ,

3、則 1xlog 2 ( y3) ,所以其反函數(shù)為 : y 1log2 ( x 3),即 ylog 22.故選 A.x 3（ 3）在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列 an 中，首項(xiàng) a1 3，前三項(xiàng)和為21，則 a3 a4 a5（A ）33（B）72（C）84（ D） 189答案 :C評(píng)述 :本題考查了等比數(shù)列的相關(guān)概念,及其有關(guān)計(jì)算能力.解析 :設(shè)等比數(shù)列 a n 的公比為q(q0), 由題意得 :a1+a2+a3=21,即 3+3q+3q 2=21,q2+q-6=0,求得 q=2(q=-3 舍去 ),所以 a3+a4+a5=q2(a1+a 2+a3)=42184, 故選 C.（ 4）在正三棱柱 ABC

4、-A1B 1C1 中，若 AB=2 ， AA 1=1 ，則點(diǎn) A 到平面 A 1BC 的距離為（ A ）3（ B ）333（D） 342（C）4答案 :B評(píng)述 : 本題考查了正三棱柱ABC-A1B 1C1 中 ,點(diǎn)到平面的距離,可以轉(zhuǎn)化為三角形中利用面積公式計(jì)算 ,或利用“等積代換法”計(jì)算等。解析 ：如圖，作 AMBC ，連接 A 1M. 在正三棱柱 ABC-A 1B1 C1 中 ,易證平面 AMA 1 垂直于平面 A 1BC, 再證 ANA1M ,即 AN 為點(diǎn) A 到平面 A 1BC 的距離 .在直角三角形AA 1M 中 ,易求得 :AN=3VA A BC ,可求點(diǎn) A 到平2.或利用等積

5、代換法 :由 VA ABC11面 A 1BC 的距離 .故選 B.ACMBNC1A1B1（ 5）ABC 中， A, BC3, 則 ABC 的周長(zhǎng)為3（ A ）4 3 sin( B)3（ B ） 4 3 sin( B) 336（ C） 6sin( B)3（D ） 6sin( B)336答案 :D 評(píng)述 : 本題考查了在三角形正弦定理的的運(yùn)用,以及三角公式恒等變形、化簡(jiǎn)等知識(shí)的運(yùn)用。解析 ：在ABC 中，由正弦定理得：AC3 , 化簡(jiǎn)得 AC= 2 3 sin B,sin B32AB3，化簡(jiǎn)得 AB=23 sin(2B) ，sin(B)3332所以三角形的周長(zhǎng)為： 3+AC+AB=3+23 sin

6、 B + 23 sin( 2B)3=3+ 33 sin B3 cos B6sin( B) 3.故選 D.6（ 6）拋物線 y=4x 2 上的一點(diǎn) M 到焦點(diǎn)的距離為1，則點(diǎn) M 的縱坐標(biāo)是（A）17（B） 15（C） 7（D）016168答案 :B 評(píng)述 : 本題考查了拋物線的定義,拋物線的性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)的綜合運(yùn)用. 解析 : 由題意拋物線為 : x21 y ,則焦點(diǎn)為 F(0,1 ) ,準(zhǔn)線為 :y=1;4161615M(x 0,y0)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離相等,推得 : y0由拋物線上的點(diǎn),15 ,故選 B.16即 M 點(diǎn)的縱坐標(biāo)為16（ 7）在一次歌手大獎(jiǎng)賽上，七位評(píng)委為歌手打出的分

7、數(shù)如下：9.48.49.49.99.69.49.7去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均值和方差分別為（ A ）9.4,0.484（ B） 9.4,0.016（ C）9.5,0.04（ D） 9.5,0.016答案 :D 評(píng)述 : 本題考查了統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中平均數(shù)、方差有關(guān)概念、公式及有關(guān)計(jì)算等。 解析 ： 7 個(gè)數(shù)據(jù)中去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，余下的5 個(gè)數(shù)為：9.4,9.4,9.6,9.4,9.5則平均數(shù)為： x9.49.49.69.49.59.46 9.5 ，即 x9.5。5方差為： s21 ( 9.49.5) 2(9.49.5) 2(9.59.5) 2 0.0165即 s20.01

8、6，故選D.（ 8）設(shè) , 為兩兩不重合的平面，l,m,n 為兩兩不重合的直線，給出下列四個(gè)命題：若, 則；若 m, n, m ,n , 則 ；若, l, 則 l ；若l ,m,n,l , 則 m n.其中真命題的個(gè)數(shù)是（A ）1（B）2（C）3（D）4答案 :B 評(píng)述 : 本題考查了立體幾何中面面垂直、平行的性質(zhì)和判定； 線面平行的性質(zhì)及相關(guān)線線、線面平行的判定等，同時(shí)考查了空間想象能力，綜合推理能力等。 解析 ：（ 1）由面面垂直知，不正確；（ 2）由線面平行判定定理知，缺少m、 n 相交于一點(diǎn)這一條件，故不正確；（ 3）由線面平行判定定理知，正確；（ 4）由線面相交、及線面、線線平行分析

9、知，正確。綜上所述知，（ 3），（4）正確，故選B。（ 9） 設(shè) k=1,2,3,4,5, 則（ x+2） 5 的展開式中xk 的系數(shù)不可能是（A ）10（B）40（C）50（D）80答案： C 評(píng)述 ：本題考查了二項(xiàng)式定理的展開式及各項(xiàng)系數(shù)等知識(shí)的綜合運(yùn)用。 解析 ： ( x 2)5C50 x5C51 2 x4C52 22 x3C53 23 x2C54 24 x C55 25= x510x 440x380 x280 x32 ，比較系數(shù)知：k的系數(shù)不可能為：50，故選 C。x (k=1,2,3,4,5)（ 10） 若 sin()1 , 則 cos( 22)633（ A ）711（D ）79（

10、B ）（ C）933答案： A評(píng)述 ：本題考查三角函數(shù)兩角和公式，倍角公式及三角恒等變形和相關(guān)計(jì)算能力。解析 : cos(22)2 cos2 ()133= 2coscossin3sin 2-13=2 ( 1 cos3 sin) 21（ #）22又由題意知： sin()1361則 sincoscossin663即1 cos3 sin1223117，故選 A。所以：（# ）= 299（ 11） 點(diǎn) P（ -3,1）在橢圓 x2y21(ab0) 的左準(zhǔn)線上 .過點(diǎn) P 且方向?yàn)?a=(2,-5) 的光a2b2線，經(jīng)直線y=-2 反射后通過橢圓的左焦點(diǎn)，則這個(gè)橢圓的離心率為（ A ）答案： A3121

11、（ B ）3(C)（ D）322評(píng)述 ：本題考查了橢圓的定義，性質(zhì)，向量與解析幾何知識(shí)交匯綜合運(yùn)用，同時(shí)考查了理性思維，綜合計(jì)算技能，技巧等。解析 ：如圖 ,過點(diǎn) P（ -3， 1）的方向向量 a(2, 5)所以 KPQ5 ,則 l PQ ; y15 ( x 3) ，即 L PQ ;5x 2 y1322聯(lián)立：5x2 y13得Q(9 ,2) ，y25由光線反射的對(duì)稱性知：K QF152所以 LQF; y 25 ( x9) ，即 LQF 1 : 5x 2 y5 0125令 y=0, 得 F1（ -1， 0）綜上所述得：c=1，a 23,則 a3Lcyc13.故選 A。P(-3,0)所以橢圓的離心率

12、ea33xF1(-1,0F2)y=-29Q(-, 2)（ 12） 四棱錐的 8 條棱代表 8 種不同的化工產(chǎn)品，有公共點(diǎn)的兩條棱代表的化工產(chǎn)品放在同一倉(cāng)庫(kù)是危險(xiǎn)的， 沒有公共頂點(diǎn)的兩條棱代表的化工產(chǎn)品放在同一倉(cāng)庫(kù)是安全的，現(xiàn)打算用編號(hào)為、的 4 個(gè)倉(cāng)庫(kù)存放這 8 種化工產(chǎn)品，那么安全存放的不同方法種數(shù)為（A ）96（B）48（C）24（D）0參考答案： DACBDCDBCAAB答案： B 評(píng)述 ：本題考查了排列組合綜合運(yùn)用問題，可以畫出四棱錐標(biāo)出 8 個(gè)數(shù)字幫助直觀分析，注意分類要全面準(zhǔn)確 ,抓住問題實(shí)質(zhì)。解析 ：由題意分析，如圖,先把標(biāo)號(hào)為1， 2， 3， 4 號(hào)化工產(chǎn)品分別放入4 個(gè)倉(cāng)庫(kù)內(nèi)

13、共有424A4種放法；再把標(biāo)號(hào)為，8號(hào)化工產(chǎn)品對(duì)應(yīng)按要求安全存5 67放 :7放入， 8 放入， 5 放入， 6 放入 ; 或者 6 放入， 7 放入， 8 放入，5放入兩種放法。綜上所述: 共有 A442 48種放法 . 故選 B.P1423AD857B6C第二卷 （非選擇題共90 分）二、填空題：本大題共6 小題，每小題 4 分，共24 分。把答案填在答題卡相應(yīng)位置。（ 13）命題“若 ab，則 2a 2b 1”的否命題為.答案：若aba b,則 22 1評(píng)述 ：本題考查了命題間的關(guān)系，由原命題寫出其否命題。 解析 ：由題意原命題的否命題為“若ab, 則2 a2b1”。（ 14）曲線 y

14、x3x 1 在點(diǎn)（ 1,3）處的切線方程是.答案： 4x-y-1=0評(píng)述 ：本題考查了一階導(dǎo)數(shù)的幾何意義，由線y=f(x) 在點(diǎn) P（ x0,y0）處的一階導(dǎo)數(shù)值y / xx0f / ( x0 ) 為曲線 y=f(x) 在點(diǎn) P 處切線的斜率，同時(shí)考查了直線方程的求法。解析 ：由題意得 y/3x 21, y/ x 1 4.3即曲線 y=x +x+1 在點(diǎn)（ 1， 3）處切線的斜率K=4 ，所以切線方程為：y-3=4(x-1), 即 4x-y-1=0.（ 15）函數(shù) ylog 0.5 (4 x23x) 的定義域?yàn)?答案： 1 ,0)( 3,144 評(píng)述 ：本題綜合考查了函數(shù)的定義域，對(duì)數(shù)函數(shù)的意

15、義，一元二次不等解法等相關(guān)知識(shí)的綜合運(yùn)用。 解析 ：由題意得： log0 .5 (4x 23x) 0則由對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)得：04x 23x104x23x即3x14 x2求得函數(shù)的定義域?yàn)椋? ,0)( 3,1 。44（ 16）若 3a=0.618, a k, k1 , k Z ，則 k=.答案： -1評(píng)述 ：本題考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，及數(shù)形結(jié)合解題思想。解析 ：如圖觀察分析指數(shù)函數(shù)y=3x 的圖象， 函數(shù)值為 0。168 1,0) 上，與 3a=0.168,a k , k1)比較得 : a1.（ 17）已知 a,b 為常數(shù)，若f (x) x24x3, f (ax b)x210x 24, 則 5a b

16、.答案： 2 評(píng)述 ：本題考查了復(fù)合函數(shù)解析式的運(yùn)用，待定系數(shù)法及其相關(guān)計(jì)算能力。 解析 ：由 f(x)=x 2+4x+3,f(ax+b)=x 2+10x+24,得：（ ax+b） 2+4(ax+b)+3=x 2+10x+24,即： a2x2+2abx+b 2+4ax+4b+3=x 2+10x+24,a21比較系數(shù)得：2ab 4a10b24b 324求得： a=-1,b=-7,或 a=1,b=3，則 5a-b=2.（ 18）在 ABC 中， O 為中線 AM 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若AM 2，則 OA(OB + OC) 的最小值是.答案 :-2 評(píng)述 :本題考查了向量與解析幾何知識(shí)交匯問題,可利用向量

17、的性質(zhì) ,結(jié)合均值不等式知識(shí)綜合求解 ;或者選取特殊三角形,把向量式轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)關(guān)系式,利用二次函數(shù)求出其最小值 .解法一 :如圖 , OA (OBOC) 2 OA OM2 OAOM2 OAOMOAOAA= 2 (2) 22.OM即 OA (OBOC ) 的最小值為 :-2.BC解法二 : 選取如圖等腰直角三角形ABC, 由斜邊上的中線 AM=2,則 A(0,0) ,B(2 2,0),C(0,22),M( 2, 2),設(shè) O(x,y), ( 且 x=y,x0,2),則 OA (OBOC)=(x, y)( 22x, y)(x,2 2y)= ( x,y)(222x,2 22y)= 2x 222x

18、2 y222y(由 xy得 ） 4x24 2x .設(shè) f(x)=4x2-42x , x 0,2 ,結(jié)合二次函數(shù)圖象知:當(dāng) x=2時(shí),2yf(x) min=414222 42.C(0,22 )22M( 2,2 )O(x,y)A(0,0)B(22 ,0) x三、解答題：本大題共5 小題，共 66 分 .解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（ 19）（本小題滿分 12分）如圖，圓 O1 與圓 O2 的半徑都是 1，O1O2=4 ，過動(dòng)點(diǎn) P 分別作圓 O1、圓 O2 的切線 PM 、PN（ M 、N 分別為切點(diǎn)），使得 PM2PN. 試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并求動(dòng)點(diǎn)P 的軌跡方程 .PMNO1O2

19、分析 ：本題是解析幾何中求軌跡方程問題，由題意建立坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，由幾何關(guān)系式：2PN ,即 ，結(jié)合圖形由勾股定理轉(zhuǎn)化為：PO121 2( PO221) ,設(shè) P(x,y) 由距離公式寫出代數(shù)關(guān)系式,化簡(jiǎn)整理得出所求軌跡方程 .解析 : 以 O1O2 的中點(diǎn) O 為原點(diǎn)， O1O2 所在直線為x 軸，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，yPMNxO1OO2則 O1（ -2， 0）， O2（ 2，0），由已知：2PN ,即 ，因?yàn)閮蓤A的半徑都為 1,所以有： PO121 2( PO221) ，設(shè) P（ x,y ）則（ x+2 ） 2+y 2-1=2(x-2) 2+y 2 -1， 即 ( x6)

20、 2y233綜上所述，所求軌跡方程為：( x 6) 2y233 （或 x2y 212x30 ） 評(píng)析 :本題命題意圖是考查解析幾何中求軌跡方程的方法,考查建立坐標(biāo)系,數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法 ,勾股定理 ,兩點(diǎn)間距離公式等相關(guān)知識(shí)點(diǎn),及分析推理、計(jì)算化簡(jiǎn)技能、技巧等。（ 20）（本小題滿分12 分，每小問4 分）甲、乙兩人各射擊一次，擊中目標(biāo)的概率分別是2 和 3 . 假設(shè)兩人射擊是否擊中目標(biāo)，相互34之間沒有影響；每次射擊是否擊中目標(biāo)，相互之間沒有影響.（）求甲射擊 4 次，至少 1 次未擊中目標(biāo)的概率；（）求兩人各射擊4 次，甲恰好擊中目標(biāo) 2 次且乙恰好擊中目標(biāo)3 次的概率；（）假設(shè)某人連續(xù)

21、2 次未擊中 目標(biāo) ,則停止射擊 .問:乙恰好射擊 5次后，被中止射擊的概率是多少？ 分析 ：本題是一道概率綜合運(yùn)用問題，第一問中求“至少有一次末擊中問題”可從反面求其概率問題； 第二問中先求出甲恰有兩次末擊中目標(biāo)的概率，乙恰有3 次末擊中目標(biāo)的概率， 再利用獨(dú)立事件發(fā)生的概率公式求解。第三問設(shè)出相關(guān)事件，利用獨(dú)立事件發(fā)生的概率公式求解，并注意利用對(duì)立、互斥事件發(fā)生的概率公式。解析 ：(1)記“甲連續(xù)射擊 4 次至少有一次末中目標(biāo)”為事件 A 1，由題意知，射擊4 次，相當(dāng)于作 4 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，故2465()1P(A1)=1 ().P A1381答：甲連續(xù)射擊 4 次至少有一次末中目標(biāo)的概

22、率為：65 .81（ 2）記“甲射擊 4 次，恰有 2 次射中目標(biāo)”為事件A 2，“乙射擊4 次，恰有3 次射中目標(biāo)”為事件B2，則P(A2 ) C42 (2)2 (12 ) 283327P(B2 ) C43 ( 3 )3 (13 )12744648271 .由于甲乙射擊相互獨(dú)立，故P(A2 B2)P( A2 )P( B2 )27648答：兩人各射擊 4 次，甲恰有 2 次擊中目標(biāo)且乙恰有3 次擊中目標(biāo)的概率為1 .8（ 3）記“乙恰好射擊5 次后被中止射擊”為事件A 3“乙第 i 次射擊末中 ”為事件 Di （ I=1,2,3,4,5 ）,則 A 3= D5D4 D3D2 D11，且 P(

23、D i )4由于各事件相互獨(dú)立，故P(A3) P(D5) P( D4) P(D3) P(D2D1)113114544(14).44102445 .答：乙恰好射擊5 次后被中止射擊的概率為1024 評(píng)析 ：本題主要考查相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生或互斥事件發(fā)生的概率的計(jì)算方法，考查運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。（ 21）（本小題滿分14 分，第一小問滿分6 分，第二、第三小問滿分各4 分）如圖，在五棱錐S ABCDE 中， SA底面 ABCDE ， SA=AB=AE=2,BC=DE=3 , BAE= BCD= CDE=120 .（）求異面直線CD 與 SB 所成的角（用反三角函數(shù)值表示）；（）證明BC

24、 平面 SAB ；（）用反三角函數(shù)值表示二面角B-SC-D 的大小（本小問不必寫出解答過程）.SAEBDC 分析 ：本題是一道立體幾何題,第一問轉(zhuǎn)化在SBE 中 ,由余弦定理求出線線角;第二問證 BC 和平面 SAB 中兩條相交線垂直 ;第三問求二面角 ,可利用空間向量法求解更方便 .解答 ：（ 1）連結(jié) BE，延長(zhǎng) BC、 ED 交于點(diǎn) F，則DCFCDF 60 0 ，CDF 為正三角形 ， CFDF .又 BC=DE ，BFEF ，因此，BFE 為正三角形，F(xiàn)BEFCD600 ，BE CD所以SBE （或其補(bǔ)角）就是異面直線CD 與 SB 所成的角SA底面 ABCDE ，且 SA =AB=

25、AE=2 ，SB22, 同理 SE2 2 ，又 BAE 1200 所以 BE=2 3 ，從而在 SBE 中由余弦定理得：cos SBE6，SBE arccos 6 .44所以異面直線CD 與 SB 所成的角為：（ 2）由題意，ABE 是等腰三角形，6arccos.4BAE1200 ，所以ABE 300 , 又FBE 600 ,ABC900所以 BCBA,S,SA底面 ABCDE, BC底面 ABCDE,AESABC,又SA BAA ,BDBC平面 SAB.C(3) 二面角 B-SC-D 的大小為 :782Farccos.82另解法 - 向量解法 :(1) 連結(jié) BE ，延長(zhǎng) BC、ED 交于點(diǎn)

26、 F，則DCFCDF600 ，CDF 為正三角形 ， CFDF .又 BC=DE ，BFEF ，因此，BFE 為正三角形，因?yàn)锳BE 是等腰三角形且0ABC 900,BAE 120 ,以 A 為原點(diǎn)， AB 、AS 邊所在的直線分別為x 軸、 z 軸，以平面ABC 內(nèi)垂直于 AB 的直線為 y 軸，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），則A （0，0，0）， B（2，0， 0） S（ 0，0，2），且 C（2，3，0）13333,O), BS( 2,0,2)zD(,0) ,于是 CD(,2222CDBS36 ,S則 cosCD, BSCDBS3 224AECD , BSarccos 6 .BD4xyCF

27、6所以異面直線CD 與 SB 所成的角為：arccos.4(2) BC (0, 3,0), AB (2,0,0), SA (0,0, 2) ,BC AB (0,3,0) (2,0,0)0, BCSA(0,3,0) (0,0,2)0,BCAB, BCSA.ABSA A,BC平面 SAB。(3) 二面角 B-SC-D 的大小為arccos 782.82 評(píng)析 : 本小題主要考查了異面直線所成的角,線面垂直 ,二面角等相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí);以及空間線面位置關(guān)系的證明 ,角和距離的計(jì)算,考查空間想象能力 ,邏輯推理能力和運(yùn)算能力 ;同時(shí)設(shè)計(jì)了一道既可以利用傳統(tǒng)的方法求解,又可以利用向量求解的立體幾何題.（ 22）（本小題滿分 1