理論力學第十五章機械振動基礎

1、理論力學多媒體課件,第十五章 機械振動基礎,理論力學,理論力學,機械振動基礎,振動是日常生活和工程實際中常見的現(xiàn)象。 例如：鐘擺的往復擺動，汽車行駛時的顛簸，電動機、機床等工作時的振動，以及地震時引起的建筑物的振動等。,利：振動給料機 弊：磨損，減少壽命，影響強度 振動篩 引起噪聲，影響勞動條件 振動沉拔樁機等 消耗能量，降低精度等。,3. 研究振動的目的：消除或減小有害的振動，充分利用振動為人類服務。,2. 振動的利弊：,1. 所謂振動就是系統(tǒng)在平衡位置附近作往復運動。,當前位置：理論力學 動力學第十五章機械振動基礎,理論力學,當前位置：理論力學 動力學第十五章機械振動基礎,機械振動基礎,本

2、章重點討論單自由度系統(tǒng)的自由振動和受迫振動。,理論力學,當前位置：理論力學 動力學第十五章機械振動基礎,機械振動基礎,第十五章 機械振動基礎,單自由度系統(tǒng)的自由振動 計算固有頻率的能量法 單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動 單自由度系統(tǒng)的無阻尼受迫振動 單自由度系統(tǒng)的有阻尼受迫振動 轉子的臨界轉速 隔振,理論力學,當前位置：理論力學 動力學第十五章機械振動基礎,單自由度系統(tǒng)的自由振動,1.自由振動微分方程,l0 彈簧原長； k 彈簧剛度系數(shù)；,st 彈簧的靜變形；,取靜平衡位置為坐標原點，x 向下為正，則有：,恢復力：物體偏離平衡位置后受到的與偏離距離成正比且與偏離方向相反的合力,理論力學,當前位置

3、：理論力學 動力學第十五章機械振動基礎,單自由度系統(tǒng)的自由振動,只在恢復力作用下維持的振動稱為無阻尼自由振動,令 ，則,無阻尼自由振動微分方程的標準形式。二階齊次線性常系數(shù)微分方程，其通解為,理論力學,無阻尼自由振動是簡諧振動,2. 無阻尼自由振動的特點,（1）固有頻率,無阻尼自由振動是簡諧振動，是一種周期振動,f 稱為振動的頻率，單位為1/s或Hz,w0 稱為圓頻率（固有頻率），表示每2p秒內振動的次數(shù)，單位為rad/s，只與系統(tǒng)的質量m和剛度系數(shù)k有關。,當前位置：理論力學 動力學第十五章機械振動基礎,單自由度系統(tǒng)的自由振動,理論力學,當前位置：理論力學 動力學第十五章機械振動基礎,單自由

4、度系統(tǒng)的自由振動,只要知道重力作用下的靜變形，就可求得系統(tǒng)的固有頻率。,（2）振幅與初相位,A相對于振動中心O的最大位移，稱為振幅。 0 t + q 決定了質點在某瞬時 t 的位置，稱為相位。 q 決定質點運動的初始位置，稱為初相角。,振幅A和初相角q 兩個待定常數(shù)由運動的初始條件確定。,理論力學,當前位置：理論力學 動力學第十五章機械振動基礎,單自由度系統(tǒng)的自由振動,理論力學,當前位置：理論力學 動力學第十五章機械振動基礎,單自由度系統(tǒng)的自由振動,例 題 15.1 提升重物系統(tǒng)中，鋼絲繩的橫截面積A2.89104m2，材料的彈性模量E200GPa。重物的質量m6000kg，以勻速 v 0.2

5、5m/s 下降。當重物下降到 l 25m 時，鋼絲繩上端突然被卡住。,求：（1）重物的振動規(guī)律； （2）鋼絲繩承受的最大張力。,解：（1）重物的振動規(guī)律 鋼絲繩重物系統(tǒng)可以簡化為彈簧質量系統(tǒng)，彈簧的剛度為,理論力學,當前位置：理論力學 動力學第十五章機械振動基礎,單自由度系統(tǒng)的自由振動,設鋼絲繩被卡住的瞬時t0，這時重物的位置為初始平衡位置；以重物在鉛垂方向的位移x作為坐標，則系統(tǒng)的振動方程為,方程的解為,利用初始條件,求得,重物的運動方程為,理論力學,（2）鋼絲繩承受的最大張力。,取重物為研究對象,靜平衡位置,當前位置：理論力學 動力學第十五章機械振動基礎,單自由度系統(tǒng)的自由振動,理論力學,

6、當前位置：理論力學 動力學第十五章機械振動基礎,單自由度系統(tǒng)的自由振動,例題15.2 均質等截面懸臂梁，長度為 l，彎曲剛度為EI。梁的自由端放置一質量為m的物塊，其靜撓度為dst。若不計梁的質量，物塊在梁未變形位置處無初速釋放，求系統(tǒng)的振動規(guī)律。,解：此無重彈性梁相當于一個彈簧，其靜撓度相當于彈簧的靜伸長，則梁的剛度系數(shù)為,理論力學,當前位置：理論力學 動力學第十五章機械振動基礎,單自由度系統(tǒng)的自由振動,分析物塊運動到任意位置(坐標為x)時的受力，有,設 ，則,上述振動微分方程的解為,理論力學,當前位置：理論力學 動力學第十五章機械振動基礎,單自由度系統(tǒng)的自由振動,初始條件為,振幅為,初相角

7、為,系統(tǒng)的自由振動規(guī)律為,理論力學,當前位置：理論力學 動力學第十五章機械振動基礎,單自由度系統(tǒng)的自由振動,3. 彈簧的并聯(lián)與串聯(lián),（1）彈簧并聯(lián),并聯(lián),則此并聯(lián)系統(tǒng)的固有頻率為,理論力學,當前位置：理論力學 動力學第十五章機械振動基礎,單自由度系統(tǒng)的自由振動,串聯(lián),（2）彈簧串聯(lián),則此串聯(lián)系統(tǒng)的固有頻率為,理論力學,當前位置：理論力學 動力學第十五章機械振動基礎,單自由度系統(tǒng)的自由振動,（3）多個彈簧的并聯(lián)和串聯(lián),n個彈簧并聯(lián)后的等效剛度系數(shù),n個彈簧并聯(lián)系統(tǒng)的固有頻率,n個彈簧串聯(lián)后的等效剛度系數(shù),n個彈簧串聯(lián)系統(tǒng)的固有頻率,理論力學,當前位置：理論力學 動力學第十五章機械振動基礎,單自由

8、度系統(tǒng)的自由振動,例題15.3 圖示系統(tǒng)中有四根鉛直彈簧，它們的剛度系數(shù)分別為 k1 、 k2 、 k3 、 k4 且k1 =2 k2 =3 k3=4 k4 。假設質量為m的物塊被限制在光滑鉛直滑道中作平動。試求此系統(tǒng)的固有頻率。,解：（1）計算3、4的等效剛度,（2）計算2、3、4的等效剛度,理論力學,當前位置：理論力學 動力學第十五章機械振動基礎,單自由度系統(tǒng)的自由振動,（3）計算系統(tǒng)的等效剛度,（4）計算系統(tǒng)的固有頻率,理論力學,當前位置：理論力學 動力學第十五章機械振動基礎,單自由度系統(tǒng)的自由振動,4.其他類型的單自由度振動系統(tǒng),工程上很多振動系統(tǒng)都可以用相同形式的運動微分方程表示,扭

9、振系統(tǒng),由剛體轉動微分方程有,令 ，則,理論力學,當前位置：理論力學 動力學第十五章機械振動基礎,單自由度系統(tǒng)的自由振動,例題15.4 圖示結構中，不計質量的桿OA在水平位置處于平衡，若k、m、a、l 等均為已知。求：系統(tǒng)微振動的固有頻率。,解：取靜平衡位置為其坐標原點，由剛體轉動微分方程，有,在靜平衡位置處，有,考慮到微轉角，則,理論力學,當前位置：理論力學 動力學第十五章機械振動基礎,單自由度系統(tǒng)的自由振動,在靜平衡位置處，有,考慮到微轉角，則,理論力學,當前位置：理論力學 動力學第十五章機械振動基礎,計算固有頻率的能量法,物塊的動能為,取靜平衡位置為零勢能點，有,在靜平衡位置處，有,理論

10、力學,當前位置：理論力學 動力學第十五章機械振動基礎,物塊在平衡位置處，其動能最大,物塊在偏離平衡位置的極端處，其勢能最大,無阻尼自由振動系統(tǒng)是保守系統(tǒng)，系統(tǒng)的機械能守恒,計算固有頻率的能量法,理論力學,當前位置：理論力學 動力學第十五章機械振動基礎,計算固有頻率的能量法,解：設OA桿作自由振動時， 其擺角 的變化規(guī)律為,系統(tǒng)的最大動能為,系統(tǒng)的最大勢能為,由機械能守恒定律有,例題15.5 由能量法解 例題15.4,理論力學,當前位置：理論力學 動力學第十五章機械振動基礎,計算固有頻率的能量法,理論力學,（用第二類拉格朗日方程解）,由運動學可知：,解：取擺角 為廣義坐標，則系統(tǒng)的動能,系統(tǒng)的勢

11、能,拉格朗日函數(shù)為,當前位置：理論力學 動力學第十五章機械振動基礎,計算固有頻率的能量法,當前位置：理論力學 動力學第十五章機械振動基礎,計算固有頻率的能量法,微振動固有頻率為,理論力學,例15.7 用能量法求固有頻率,解：設擺角 的變化規(guī)律為,系統(tǒng)的最大動能為,取平衡位置處為零勢能點，則系統(tǒng)的勢能為,考慮到微轉角，則,計算固有頻率的能量法,當前位置：理論力學 動力學第十五章機械振動基礎,理論力學,計算固有頻率的能量法,當前位置：理論力學 動力學第十五章機械振動基礎,由機械能守恒定律有,理論力學,當前位置：理論力學 動力學第十五章機械振動基礎,單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動,阻尼振動過程中的阻力

12、。 干摩擦力，潤滑表面阻力，液體或氣體等介質的阻力、材料內部的阻力。,當振動速度不大時，由介質粘性引起的阻力近似地與速度的一次方成正比，這種阻尼稱為粘性阻尼。,c粘性阻力系數(shù)（阻力系數(shù)）,1. 阻尼,理論力學,單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動,當前位置：理論力學 動力學第十五章機械振動基礎,2. 振動微分方程,取平衡位置為坐標原點，在建 立此系統(tǒng)的振動微分方程時， 可以不再計入重力的影響。,物塊的運動微分方程為,彈性恢復力,粘性阻尼力,令,阻尼系數(shù),理論力學,單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動,當前位置：理論力學 動力學第十五章機械振動基礎,本征方程,本征根,本征根為實數(shù)或復數(shù)時，通解的形式不同，運動規(guī)

13、律有很大的不同。,設其解為,振動微分方程的通解為,理論力學,單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動,當前位置：理論力學 動力學第十五章機械振動基礎,3. 欠阻尼狀態(tài),振動微分方程的解為,利用初始條件,求得,或,當 d 0 時，阻力系數(shù) ，這時阻尼較小，稱為欠阻尼狀態(tài)。本征方程的兩個根為共軛復數(shù)，即：,理論力學,單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動,當前位置：理論力學 動力學第十五章機械振動基礎,衰減振動的周期：,引入阻尼比：,得有阻尼自由振動和相應的無阻尼自由振動間的關系：,衰減振動,A2,A1,理論力學,單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動,當前位置：理論力學 動力學第十五章機械振動基礎,兩個相鄰振幅之比稱為減縮因數(shù)

14、,振幅,對上式兩端取自然對數(shù)，得到對數(shù)減縮,理論力學,單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動,當前位置：理論力學 動力學第十五章機械振動基礎,理論力學,單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動,當前位置：理論力學 動力學第十五章機械振動基礎,4.臨界阻尼和過阻尼狀態(tài),當 d = 0 時，阻力系數(shù) ，稱為臨界阻力系數(shù)。本征方程有兩個相等的實根，即：,振動微分方程的解為,C1和C2兩個積分常數(shù)由運動的初始條件決定。,物體的運動隨時間的增長無限地趨向平衡位置，運動已經不具備振動的特點。,理論力學,單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動,當前位置：理論力學 動力學第十五章機械振動基礎,當 d 0 時，阻力系數(shù) ，稱為過阻尼狀態(tài)。本征

15、方程有兩個不等的實根，即：,振動微分方程的解為,C1和C2兩個積分常數(shù)由運動的初始條件決定。,理論力學,單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動,當前位置：理論力學 動力學第十五章機械振動基礎,例題15.8 質量彈簧系統(tǒng)，P=150N，st=1cm , A1=0.8cm, A21=0.16cm。求阻尼系數(shù)c 。,解：,由于 很小，,理論力學,當前位置：理論力學 動力學第十五章機械振動基礎,單自由度系統(tǒng)的無阻尼受迫振動,受迫振動的概念 受迫振動：在外加激振力作用下的振動。 簡諧激振力： H力幅； 激振力的角頻率 ；j 激振力的初相位。,無阻尼受迫振動微分方程的標準形式，二階常系數(shù)非齊次線性微分方程。,1、振

16、動微分方程,理論力學,單自由度系統(tǒng)的無阻尼受迫振動,當前位置：理論力學 動力學第十五章機械振動基礎,為對應齊次方程的通解 為特解,3、受迫振動的振幅大小與運動初始條件無關，而與振動系統(tǒng)的固有頻率、激振力的頻率及激振力的力幅有關。,2. 受迫振動的振幅,1、簡諧激振力下，單自由度系統(tǒng)受迫振動亦為簡諧振動。,2、受迫振動的頻率等于簡諧激振力的頻率，與振動系統(tǒng)的質量及剛度系數(shù)無關。,理論力學,單自由度系統(tǒng)的無阻尼受迫振動,當前位置：理論力學 動力學第十五章機械振動基礎,(1) 0時,(2) 時，振幅b隨 增大而增大；當 時，,(3) 時，振動相位與激振力相位反相，差 。,b 隨 增大而減?。?理論力

17、學,單自由度系統(tǒng)的無阻尼受迫振動,當前位置：理論力學 動力學第十五章機械振動基礎,3、共振現(xiàn)象,，這種現(xiàn)象稱為共振。,此時，,理論力學,當前位置：理論力學 動力學第十五章機械振動基礎,單自由度系統(tǒng)的有阻尼受迫振動,將上式兩端除以m ，并令,有阻尼受迫振動微分方程的標準形式，二階常系數(shù)非齊次微分方程。,理論力學,單自由度系統(tǒng)的有阻尼受迫振動,當前位置：理論力學 動力學第十五章機械振動基礎,x1是齊次方程的通解,欠阻尼：,（A、q 積分常數(shù)，取決于初始條件）,振動微分方程的全解為,理論力學,當前位置：理論力學 動力學第十五章機械振動基礎,單自由度系統(tǒng)的有阻尼受迫振動,振動開始時，二者同時存在的過程瞬態(tài)過程。 僅剩下受迫振動部分的過程穩(wěn)態(tài)過程（需著重討論部分）,因此：,阻尼對受迫振動的影響,1、振動規(guī)律 簡諧振動。 2、頻率： 有阻尼受迫振動的頻率，等于激振力的頻率。 3、振幅,理論力學,當前位置：理論力學 動力學第十五章機械振動基礎,單自由度系統(tǒng)的有阻尼受迫振動,(1),共振頻率,此時：,理論力學,當前位置：理論力學 動力學第十五章機械振動基礎,單自由度系統(tǒng)的有阻尼受迫振動,相位差： 有阻尼受迫振動相位總比激振力滯后一相位角， 稱為相位差。,(1) 總在0至 區(qū)間內