初中數(shù)學(xué)圖形與幾何課標(biāo)解讀

1、講 座 （數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)） 題題目目： 初中數(shù)學(xué)圖形與幾何課標(biāo)解讀 目目 錄錄 一、刪除和增加的內(nèi)容一、刪除和增加的內(nèi)容.1 1 （一）刪除的內(nèi)容：.1 1.圖形的認(rèn)識 .1 2.圖形與變換 .1 3.圖形與證明 .1 （二）增加的內(nèi)容.1 1.必學(xué)內(nèi)容： .1 2.選學(xué)內(nèi)容： .2 二、具體內(nèi)容分析二、具體內(nèi)容分析.2 2 （一）圖形的性質(zhì).2 1.關(guān)于“點、線、面、角” .2 2.關(guān)于“相交線與平行線” .3 3.關(guān)于“三角形” .3 4.關(guān)于“四邊形” .4 5.關(guān)于“圓” .5 6.關(guān)于“尺規(guī)作圖” .6 7.關(guān)于“定義、命題、定理” .6 （二）圖形的變化.7 1.圖形的軸對稱、旋轉(zhuǎn)、平移

2、 .7 2.圖形的相似 .8 3.圖形的投影 .10 （三）圖形與坐標(biāo).11 1.坐標(biāo)與圖形位置 .11 2.坐標(biāo)與圖形運動 .11 三、教學(xué)實施建議三、教學(xué)實施建議.1212 1.重視過程，貫穿始終.12 2.整體設(shè)計，逐步實現(xiàn).13 初中數(shù)學(xué)圖形與幾何課標(biāo)解讀初中數(shù)學(xué)圖形與幾何課標(biāo)解讀 一、刪除和增加的內(nèi)容一、刪除和增加的內(nèi)容 （一）刪除的內(nèi)容：（一）刪除的內(nèi)容： 1.圖形的認(rèn)識圖形的認(rèn)識 （1）關(guān)于梯形、等腰梯形的相關(guān)要求 （2）探索并了解圓與圓的位置關(guān)系 （3）關(guān)于影子、視點、視角、盲區(qū)等內(nèi)容，以及對雪花曲線和莫比烏斯帶 等圖形的欣賞等 2.圖形與變換圖形與變換 關(guān)于鏡面對稱的要求 3

3、.圖形與證明圖形與證明 等腰梯形的性質(zhì)和判定定理 （二）增加的內(nèi)容（二）增加的內(nèi)容 增加的內(nèi)容包括兩個部分，一是必學(xué)內(nèi)容，一是選學(xué)內(nèi)容 1.必學(xué)內(nèi)容：必學(xué)內(nèi)容： （1）會比較線段的長短，理解線段的和、差，以及線段中點的意義 （2）了解平行于同一條直線的兩條直線平行 （3）會按照邊長的關(guān)系和角的大小對三角形進行分類 （4）了解并證明圓內(nèi)接四邊形的對角互補 （5）了解正多邊形的概念及正多邊形與圓的關(guān)系 （6）過一點作已知直線的垂線 （7）已知一直角邊和斜邊作直角三角形 （8）作三角形的外接圓、內(nèi)切圓 （9）作圓的內(nèi)接正方形和正六邊形 2.選學(xué)內(nèi)容：選學(xué)內(nèi)容： （1）了解平行線性質(zhì)定理的證明 （2）

4、探索并證明垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦以及弦所對的兩條弧 （3）探索并證明切線長定理：過圓外一點所畫的圓的兩條切線長相等 （4）了解相似三角形判定定理的證明 二、具體內(nèi)容分析二、具體內(nèi)容分析 關(guān)于第三學(xué)段，傳統(tǒng)內(nèi)容主要是運用演繹推理的方法、依據(jù)擴大的公理化 體系證明一些平面圖形的性質(zhì)。 課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版） 把以“圖形的認(rèn)識、 圖形與變換、圖形與坐標(biāo)、圖形與證明”四條線索展開空間與圖形的課程內(nèi)容 調(diào)整為“圖形的性質(zhì)、圖形的變化、圖形與坐標(biāo)”三個部分，其中“圖形的性 質(zhì)”基本上是整合了上述的第一和第四部分，這樣的表述中使“圖形的認(rèn)識” 能夠與“圖形的概念和命題”有機結(jié)合，形成一個完整的認(rèn)

5、識過程?？傮w上看， 圖形與幾何領(lǐng)域的內(nèi)容設(shè)置充分體現(xiàn)了課程目標(biāo)的要求，即以圖形為載體，培 養(yǎng)學(xué)生的空間觀念、推理能力，使學(xué)生更好地認(rèn)識和描述我們生存的現(xiàn)實空間， 運用幾何語言和知識進行交流，分析并解決現(xiàn)實世界中的問題。 與過去的內(nèi)容相比， “圖形與幾何”領(lǐng)域的內(nèi)容結(jié)構(gòu)與具體的內(nèi)容及要求都 有較大的變化。大量使用“探索性質(zhì)”這樣的句型，要求學(xué)生在“做數(shù)學(xué)” 的活動中，通過自主探索知識和掌握圖形性質(zhì)，積累數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗，發(fā)展空 間觀念和推理能力。同時，還大力提倡“動手實驗、自主探索、合作交流”的 學(xué)習(xí)方式。削弱了以演繹推理為主要形式的定理證明，刪去了大量繁難的幾何 證明題，淡化幾何證明的技巧，降低

6、了論證過程形式化的要求和證明的難度。 第三學(xué)段“圖形與幾何”的課程內(nèi)容，分為圖形的性質(zhì)、圖形的變化、圖 形與坐標(biāo)三個部分。 （一）圖形的性質(zhì)（一）圖形的性質(zhì) 包括 9 個基本事實，探索并證明一些基本圖形的性質(zhì)，以及基本作圖和定 義、命題、定理等內(nèi)容。 1.關(guān)于關(guān)于“點、線、面、角點、線、面、角” 這部分內(nèi)容主要介紹了一些最基本的概念，是研究圖形性質(zhì)的基礎(chǔ)。這里， 有兩點應(yīng)當(dāng)予以注意：一是“比較線段的大小” “比較角的大小” ，在運用圖形 運動的方法研究圖形性質(zhì)時會有所應(yīng)用；二是“會對度、分、秒進行簡單的換 算，并會計算角的和、差” ， 課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版） 不要求進行角的倍、分 的計算。

7、 2.關(guān)于關(guān)于“相交線與平行線相交線與平行線” （1）兩條直線的位置關(guān)系有相交、平行兩種， 課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版） 沒有把兩條直線重合作為第三種位置關(guān)系。 （2）兩條直線互相垂直，是兩條直線相交的特殊位置關(guān)系。這里，不僅有 特殊與一般的關(guān)系，而且還蘊涵著數(shù)量變化與位置關(guān)系變化的內(nèi)在聯(lián)系兩 直線相交所成角的大小成為特殊值（900）時，兩直線的位置關(guān)系就是特殊的相 交（垂直） 。 （3） “兩條直線相交，只有一個交點” ， 課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版） 既沒 有把這個顯然的結(jié)論作為基本事實（若作為基本事實，它與基本事實（1）不獨 立） ，也沒有要求根據(jù)基本事實（1）用反證法加以證明。 （4）需要

8、指出：課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版） 沒有把“兩直線平行，同位角 相等”作為基本事實，而把它作為平行線性質(zhì)定理。這樣處理一是為了減少 “基本事實”的個數(shù)，二是避免學(xué)生產(chǎn)生難以證明的結(jié)論就可以作為“基本事 實”的誤解。這個定理的證明要運用反證法完成（參見課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版） 附錄 2 例 59） ，只要求學(xué)生“了解” 。 （5）識別同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角，是研究平行線的基礎(chǔ)。這里，重要 的不是在復(fù)雜圖形中識別同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的訓(xùn)練，而是引導(dǎo)學(xué)生感 受同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的大小關(guān)系（數(shù)量關(guān)系）與兩直線是否平行（位 置關(guān)系）的內(nèi)在聯(lián)系。 3.關(guān)于關(guān)于“三角形三角形” （1）三角形內(nèi)角

9、和定理是一個十分重要的定理。第二學(xué)段要求學(xué)生“了解 三角形內(nèi)角和是 1800” ，第三學(xué)段則應(yīng)在此基礎(chǔ)上注重用演繹推理的方法證明這 個結(jié)論。 （2） 課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版） 表述判定三角形全等的三個基本事實，使 用了對應(yīng)邊或角“分別”相等（不用“對應(yīng)”相等）的表述方式，這是因為 “對應(yīng)相等”的意義難以給出明確定義，又可能與全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng) 角混淆。 另外， “兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等（AAS） ” 的表述中，特別指出“一組等角的對邊相等” ，是為了避免理解這個定理時可能 發(fā)生歧義。 （3）線段垂直平分線、角平分線、等腰三角形的性質(zhì)定理，可以通過圖形 的軸

10、對稱獲得猜想，然后再運用三角形全等證明。這種獲得猜想的過程有助于 學(xué)生找到證明的思路。 （4）關(guān)于直角三角形的性質(zhì)， 課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版） 只要求探索并掌 握“直角三角形的兩個銳角互余” “直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半” 這兩個定理，沒有把“直角三角形中 300角所對的邊等于斜邊的一半”作為定 理；關(guān)于直角三角形的判定，除“兩個角互余的三角形是直角三角形”和勾股 定理的逆定理外，不要求證明其他的判定方法（比如，若一個三角形一邊上的 中線等于這邊的一半，則這個三角形是直角三角形） 。 （5）關(guān)于三角形的“心” ， 課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版） 要求“了解”三角 形的重心， “知道”三

11、角形的內(nèi)心、外心，會“作三角形的外接圓、內(nèi)切圓” ， 不要求再做進一步的延伸（比如，三角形的重心把中線分成的兩條線段之比為 2:1 等） ；課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版） 不要求介紹三角形的“垂心”的概念。 4.關(guān)于關(guān)于“四邊形四邊形” （1）運用歸納的方法可以得到多邊形的外角和公式。多邊形的外角和公式 與三角形的內(nèi)角和定理之間有著密切的聯(lián)系：由三角形內(nèi)角和定理，可以推導(dǎo) 出多邊形內(nèi)角和公式，進而推導(dǎo)出多邊形的外角和等于 3600的結(jié)論；也可以先 推出多邊形的外角和等于 3600的結(jié)論，然后得到多邊形內(nèi)角和公式、三角形內(nèi) 角和定理。 （2） “理解平行四邊形、矩形、菱形、正方形的概念，以及它們之間

12、的關(guān) 系” ，這種“關(guān)系”是特殊與一般的關(guān)系，即圖形越來越特殊，它的性質(zhì)就越來 越多，判定它需要的條件也越來越多，這對于研究平行四邊形、矩形、菱形、 正方形的性質(zhì)和判定有著重要的作用。這部分知識像鏈條一樣環(huán)環(huán)緊扣，這條 “知識鏈”不僅蘊涵著“一般和特殊”的思想，而且也是引導(dǎo)學(xué)生感悟“分類” 思想的好素材。 （3）四邊形與三角形有著緊密的聯(lián)系，研究四邊形性質(zhì)常常借助三角形的 有關(guān)知識。但是，四邊形與三角形有一個本質(zhì)的差異：四邊形不具有穩(wěn)定性， 三角形具有穩(wěn)定性。如果不重視這種差異，就會給理解和掌握相關(guān)的知識帶來 困難。比如，學(xué)生常常不能正確掌握正多邊形的定義，其原因就在于邊數(shù)大于 或等于 4 的

13、多邊形不具有穩(wěn)定性，由各邊相等不能推出各個角相等，所以必須 定義“各邊相等、各角相等的多邊形叫做正多邊形” ；而三角形具有穩(wěn)定性，由 三邊相等可以推出三個角相等，所以只需定義“各邊相等的三角形叫做正三角 形” 。 （4）平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質(zhì)定理和判定定理，除課程 標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版） 列出的條目外，不要求增加其他的判定定理（如“一組對 邊平行、一組對角相等的四邊形是平行四邊形”等） 。 平行四邊形中的數(shù)學(xué)思想方法平行四邊形中的數(shù)學(xué)思想方法 一、分類討論思想一、分類討論思想 當(dāng)某個問題有多種可能時，應(yīng)將所有的情況逐一寫出來，再進行討論，決 定取舍，例如：已知 a=5cm，b=1

14、0cm，c=20cm，以其中兩條對角線，另一條為 一邊，能作出幾個不同的平行四邊形呢？就是要運用分類討論的思想，進行分 情況來討論解決 例 1把邊長為 3cm，5cm 和 7cm 的兩個三角形拼成一個四邊形，一共能拼 成幾種不同的四邊形？其中有幾種是平形四邊形？ 分析：由于要拼成四邊形，故兩個三角形一定有兩條邊重合在一起，這條 重合的邊即為四邊形的對角線因此找出問題的突破口，分三種情況討論不難 得出正確的答案 （1）以 3cm 長的邊為對角線，有兩種拼法，得到兩個四邊形中有一個是平行四 邊形 如圖 1（1）所示： （2）以 7cm 長的邊為對角線，也有兩種拼法，得到兩個四邊形，其中有一個平 行

15、四邊形如圖所示 1（2）： （3）以 5cm 長的邊為對角線，也有兩種拼法，得到兩個四邊形，其中也有一個 是平行四邊形，如圖所示 1（3）： 答：總共拼成 6 種不同的四邊形，其中有 3 種是平行四邊形 二、構(gòu)造思想二、構(gòu)造思想 學(xué)了平行四邊形后，有不少題目，利用根據(jù)所給圖形的形狀及特點通過添 加輔助線構(gòu)造平行四邊形，然后利用平行四邊形的性質(zhì)使問題得到解決 例 2已知：ABC 中，AB=AC，E 是 AB 上一點，F(xiàn) 是 AC 延長線 上一點，BE=CF，EF 交 BC 于 D，請問：DE 與 DF 有何等量關(guān)系？ 理由如下：如 2，過 E 作 EMAC 交 BC 于 M，連 EC、MF， A

16、B=AC，B=ACB，又ACB=EMB，B=EBM， 則 BE=EM，BE=CF，EM=CF，則四邊形 EMFC 為平行四邊形， DE=DF 例 3如 3，正方形 ABEF 和 ACGH 在ABC 外側(cè)，M 是 BC 邊的中點 試說明：FH=2AM A B C E M D F 圖 2 M A B EF D C G H 圖 3 圖 1（1） 圖 1（2） 圖 1（3） 證明：以 AB、AC 為邊作一 ABCD，連 MD，M 為 BC 中點，則 AM=DM，在 FAH 和ABD 中，AB=AF，BD=AC=AH， ABD=180BAC，F(xiàn)AH=360FABCAHBAC= 180BAC，ABD=FA

17、H，ABDFAH，故 FH=AD=2AM 三、轉(zhuǎn)化（變換）思想三、轉(zhuǎn)化（變換）思想 體現(xiàn)最為突出的是將梯形問題轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形問題來解決， 而這種轉(zhuǎn)化又通常是利用平移、旋轉(zhuǎn)引輔助線來實現(xiàn)的 例 4如圖 4 所示：已知六邊形 ABCDEF 的 6 個內(nèi)角均為 120， CD2cm，BC8cm，AB8cm，AF=5cm，試求此六邊形的周長 分析：分別求出六條邊的長度，再求六邊形的周長顯然不可能，從圖中可 以發(fā)現(xiàn) AF 分別繞 A 點，F(xiàn) 點旋轉(zhuǎn) 60后分別與 BA，EF 在同一直線上同理 DC 分別繞 D，C 旋轉(zhuǎn) 60后，分別與 ED,BC 在同一直線上，如圖所示，得到一個 平行四邊形

18、EMBN，MFA 與DCN 都為等邊三角形，所以六邊形的周長應(yīng)等于 平行四邊形的周長減去 AF+DC 解：由已知可得MN60，又BE120 所以 ENMB，EMNB，所以四邊形 MBNE 為平行四邊形又因為 AMF，CDN 為等邊三角形所以 MA=AFMF5cm，CDCNDN2cm MBEN8+513cm，MEBN8+210cm 故 ED13-211cm，EFME-MF10- 55cm 得六邊形的周長為 8+8+2+11+5+539cm 四、歸納探索思想四、歸納探索思想 例 5如圖 5，ABC 中 ABAC，點 P 在 BC 上任一點， PEAC，PFAB 分別交 AB，AC 于 E、F， 試

19、問線段 PE，PF，AB 之間有什么關(guān)系？試證明你的結(jié)論 分析：對于由給定條件尋求結(jié)論的這類探索性問題，其解題思路一般是從 給的條件出發(fā)探索、歸納、猜想出結(jié)論，然后對猜想的結(jié)論進行證明 答：由線段 PE，PF，AB 之線段長度，不難得出三線段之間的關(guān)系為 PE+PFAB 證明：PEAC EPBC 又ABAC BC EPBB PEEB PEAC PFAB 四邊形 AEPF 是平行四邊形 PFAE 由+得 PE+PFEB+AE，即 PE+PFAB 五、實際應(yīng)用思想五、實際應(yīng)用思想 圖 4 圖 5 例 6如圖 6，田村有一口呈四邊形的池塘，在它的四個角 A、B、C、D 處 均有一棵大核桃樹，田村準(zhǔn)備

20、開挖池塘養(yǎng)魚，想使池塘面積擴大一倍，又想保 持核桃樹不動，并要求擴建后的池塘為平行四邊形，請問田村能否實現(xiàn)這一設(shè) 想， 若能，請你畫出圖形，若不能，請說明理由 （畫圖要留下痕跡，不寫作法） 分析：由平行四邊形的特征可知，四棵樹應(yīng)在平行四邊形 的邊上，面積要擴大一倍，則把BOA、BOC、COD、AOD 的面積擴一 倍即可，分別過點 B，點 D 作 AC 的平行線；過點 A，點 C 分別 BD 的平行線，不 難證明四邊形 ABCD就是符合條件的平行四邊形的池塘 答：能，畫法如圖 （5）三角形的中位線定理的探索和證明，可以完整地展示“合情推理提 出猜想演繹推理”的過程，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷這樣的過程，有利于

21、他們體會兩種 推理功能不同，但相輔相成。 三角形中位線定理的教學(xué) 問題：怎樣把一個三角形紙片剪成兩部分，使分成的兩部分能拼成一個平 行四邊形？ B A F E D C 操作：1.沿ABC 的中位線 DE 將ABC 剪成兩部分 2.將ADE 繞點 E 旋轉(zhuǎn) 180到CFE 的位置。 BCFED 是四邊形嗎？如果是，它是怎樣的四邊形？ 圖 6 運用圖形的運動方法探索并得到猜測： 因為 DE 繞點 E 旋轉(zhuǎn) 180到 EF，所以 DEF 是一條直線，所以 BCFED 是四邊 形。 因為圖形的旋轉(zhuǎn)不改變圖形的大小，所以 CF=AD,DAC=FCA,于是 CFAD,可 知四邊形 BCFD 是平行四邊形。

22、于是 DFBC,DF=BC,可知 DE= BC。 2 1 運用演繹推理證明上述結(jié)論：延長 DE 到點 F，使 EF=DE，連結(jié) FC .可證 AEDCEF ，得 CF=AD,CFAD.再證四邊形 BCFD 是平行四邊形，可得 DEBC, DE= BC 2 1 明晰結(jié)論：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半。 不難看出，上述演繹推理的思路源于圖形的旋轉(zhuǎn)變換。 5.關(guān)于關(guān)于“圓圓” （1） 課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版） 把“探索并證明垂徑定理” “探索并證明切 線長定理”作為選學(xué)內(nèi)容，主要是出于控制教學(xué)和考試難度的考慮，同時又為 學(xué)有余力的學(xué)生提供了進一步學(xué)習(xí)的空間。這兩個定理的探索和證明過

23、程，同 樣可以展示合情推理和演繹推理相輔相成的過程。 課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版） 要 求“了解圓周角定理及其推論的證明” ，這個定理的證明需要對圖形的位置關(guān)系 進行分類，這在幾何定理的證明中并不多見。 （2）點與圓的位置關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系，比較典型地體現(xiàn)了“形” 與“數(shù)”的內(nèi)在聯(lián)系圖形的位置關(guān)系確定了相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，反之亦然。 這樣的課程內(nèi)容，有關(guān)的結(jié)論固然重要，但更重要的是其中蘊涵的數(shù)形結(jié)合的 思想。 （3）關(guān)于“探索切線與過切點的半徑的關(guān)系” ， 課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版） 只要求知道這種關(guān)系，并“會用三角尺過圓上一點畫圓的切線” ，沒有把圓的切 線的性質(zhì)和判定作為定理。 （4）對于

24、“正多邊形與圓的關(guān)系” ， 課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版） 只要求知 道通過等分圓周可以作正多邊形，并且只要求“作圓的內(nèi)接正方形和正六邊” ， 不要求進行有關(guān)半徑、 （半）邊長、弦心距三者之間的有關(guān)計算；對于“正多邊 形的概念” ，要防止“正三角形”的概念對“正多邊形”概念教學(xué)的負(fù)遷移。 6.關(guān)于關(guān)于“尺規(guī)作圖尺規(guī)作圖” （1）用尺規(guī)作一條線段等于已知線段、作一個角等于已知角，是完成其他 尺規(guī)作圖（如作三角形、作圓）的基礎(chǔ)。 （2）像證明要做到“言必有據(jù)”一樣， 課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版） 要求 “在尺規(guī)作圖中，理解作圖的道理，保留作圖的痕跡” ，即作圖也要做到有根有 據(jù)。 課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年

25、版） 的這種要求有助于發(fā)展學(xué)生的理解精神，應(yīng)當(dāng)予 以重視。 不同的尺規(guī)作圖，其“道理”可能是一樣的。比如，用尺規(guī)作一個角的平 分線、過一點作已知直線的垂線、做線段的垂直平分線，這三者本質(zhì)上沒有區(qū) 別：作圖過程都是構(gòu)造等腰三角形， “道理”都是線段垂直平分線的判定（或者 說是等腰三角形的性質(zhì)） 。 尺規(guī)作圖與圖形的判定有著本質(zhì)的聯(lián)系。比如，已知三邊、兩邊及其夾角、 兩角及其加邊，可以作出（確定）一個三角形，這與判定兩個三角形全等的 “SSS，SAS，ASA”在本質(zhì)上是一致的。已知兩邊和一角，作出的三角形不唯一， 判定三角形全等也沒有所謂的“SSA” 。 7.關(guān)于關(guān)于“定義、命題、定理定義、命題、

26、定理” （1）對于命題的條件和結(jié)論、互逆命題等有關(guān)內(nèi)容， 課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年 版） 的要求是：“結(jié)合具體事例，會區(qū)分命題的條件和結(jié)論，了解原命題及其 逆命題的概念。會識別兩個互逆的命題，知道原命題成了其逆命題不一定成立。 ”不要求學(xué)生自己編制一個命題的逆命題，特別是條件和結(jié)論多于一個的命題 的逆命題。 事實上，學(xué)生在這部分內(nèi)容學(xué)習(xí)中的困難主要源于對文字語言的理解、表 述和句式的變換（簡單句變換為復(fù)合句） 。加強文字語言與結(jié)合圖形的符號語言 之間的“翻譯” ，是幫助學(xué)生克服這種困難的有效途徑。 （2） 課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版） 要求學(xué)生“知道證明的意義和證明的必要 性，知道證明要合乎邏輯”

27、 。應(yīng)當(dāng)通過生活中、數(shù)學(xué)中的實例，使學(xué)生知道由合 情推理發(fā)現(xiàn)的結(jié)論不一定正確，通過演繹推理才能確認(rèn)其正確性，因而證明是 必要的，并且證明必須合乎邏輯。 “知道證明的過程可以有不同的表達(dá)形式，會綜合法證明的格式。 ”用三段 論形式證明命題時，可以有不同的表達(dá)形式（參見課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版） 例 62） ，對此應(yīng)讓學(xué)生了解。在此基礎(chǔ)上，可以讓學(xué)生學(xué)會簡化的三段論表達(dá) 形式。 （3）對于“反例” ， 課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版） 的要求是“了解反例的作 用，知道利用反例可以判斷一個命題是錯誤的” 。反例，有助于加深學(xué)生對命題 的條件和結(jié)論之間關(guān)系的認(rèn)識，但是構(gòu)造反例往往是困難的， 課程標(biāo)準(zhǔn)（201

28、1 年版） 不要求學(xué)生自己構(gòu)造反例。 （4）對于“反證法” ， 課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版） 的要求是“通過實例體會 反證法的含義” ，不要求學(xué)生獨立運用反證法證明命題。反證法是一種間接證法， 它在思維方式上與直接證法有所不同。雖然用反證法證明命題的過程可以歸納 成“作出反設(shè)、推出矛盾、肯定結(jié)論”三個步驟，但是真正掌握反證法需要一 個長期的過程：通過實例體會反證法的含義借助相當(dāng)數(shù)量的實例感悟反證法 的思想，不斷積累經(jīng)驗，然后在適當(dāng)?shù)臅r機結(jié)合有關(guān)課程內(nèi)容正式呈現(xiàn)反證法 及其步驟在反復(fù)應(yīng)用的過程中不斷加深對反證法的認(rèn)識。把反證法作為一種 操作步驟進行訓(xùn)練，是難以取得好的教學(xué)效果的。 順便指出兩點：一

29、是反證法與舉反例是有區(qū)別的。前者用于證明一個命題 為真，其過程是先否定命題的結(jié)論，再由此推出與已知事項矛盾的結(jié)果，從而 肯定結(jié)論成立；后者是通過舉出“命題的條件成立，結(jié)論卻不成立”的例子， 斷定一個命題為假。二是反證法的依據(jù)不是原命題與逆否命題的同真同假，原 命題與逆否命題的同真同假卻是運用反證法加以證明的。 （二）圖形的變化（二）圖形的變化 1.圖形的軸對稱、旋轉(zhuǎn)、平移圖形的軸對稱、旋轉(zhuǎn)、平移 （1）對于軸對稱、旋轉(zhuǎn)、平移的概念， 課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版） 的要求 是“了解”或“認(rèn)識” ，這種要求借助圖形直觀不難達(dá)到，義務(wù)教育階段不可能 也不必要給出圖形變換的嚴(yán)格定義。 （2）對于軸對稱、

30、旋轉(zhuǎn)、平移的基本性質(zhì)， 課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版） 要 求通過“探索”得到，即通過圖形的運動變化去發(fā)現(xiàn)這些性質(zhì)，而不是單純地 把這些性質(zhì)作為現(xiàn)成的結(jié)論呈現(xiàn)給學(xué)生。進行這樣的探索活動，有助于學(xué)生感 受圖形運動變化過程中的不變量和不變關(guān)系，從而為運用圖形運動的方法研究 圖形性質(zhì)奠定基礎(chǔ)。 （3） “探索等腰三角形、矩形、菱形、正多邊形、圓的軸對稱性質(zhì)” “探索 線段、平行四邊形、正多邊形、圓的中心對稱性質(zhì)”的含義，不僅是知道這些 圖形是軸對稱圖形或中心對稱圖形，而且還包括運用軸對稱性或中心對稱性探 索這些圖形的其他性質(zhì)。 （4）軸對稱與軸對稱圖形（中心對稱與中心對稱圖形）是兩個有聯(lián)系又易 混淆的概

31、念。 “軸對稱（中心對稱） ”的意義是兩個圖形關(guān)于一條直線（一個點） 對稱，它揭示的是兩個圖形所具有的一種特殊位置關(guān)系；“軸對稱圖形（中心 對稱圖形） ”揭示的是一個圖形自身具有的特殊性質(zhì)（對稱性） 。 （5） 課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版） 還要求：能畫出簡單平面圖形（點、線段、 直線、三角形等）關(guān)于給定對稱軸的對稱圖形；認(rèn)識并欣賞自然界和現(xiàn)實生活 中的軸對稱圖形、中心對稱圖形，認(rèn)識并欣賞平移在自然界和現(xiàn)實生活中的應(yīng) 用；運用圖形的軸對稱、旋轉(zhuǎn)、平移進行圖案設(shè)計。這些畫圖和設(shè)計圖案的活 動，既可以加深學(xué)生對圖形對稱性的理解，又能激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣，感悟數(shù) 學(xué)的美及其應(yīng)用價值，應(yīng)當(dāng)認(rèn)真落實課程標(biāo)準(zhǔn)

32、（2011 年版） 的這些要求。 2.圖形的相似圖形的相似 （1）相似，是不同于軸對稱、旋轉(zhuǎn)、平移的另一種圖形變換，相似變換改 變圖形的大小，不改變圖形的形狀（即改變兩點間距離的大小，不改變角的大 ?。?，也稱為“保角變換” 。 相似圖形的性質(zhì)在現(xiàn)實生活中和數(shù)學(xué)中都有著廣泛的應(yīng)用。但是，若要用 演繹推理的方法研究相似形的判定和性質(zhì)，則需要許多相應(yīng)的知識作基礎(chǔ)。為 了降低探索相似三角形性質(zhì)和判定的難度， 課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版） 把“兩條 直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例”作為基本事實，且只要求 “了解”相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理的證明，不要求運用這些定理證明 其他命題。 三角形

33、相似與三角形全等有著緊密的內(nèi)在聯(lián)系（兩個相似三角形的相似比 k=1 時，這兩個三角形全等） ，可通過與三角形全等的判定定理進行類比，引導(dǎo) 學(xué)生探索相似三角形的判定定理，進一步感受特殊與一般的關(guān)系。 （2） “比例的基本性質(zhì)、線段的比、成比例的線段”是研究相似形的基礎(chǔ)。 課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版） 除“比例的基本性質(zhì)”外，不要求研究比例的其他 性質(zhì)（如合比定理、分比定理等） 。 對于“黃金分割” ， 課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版） 要求“通過建筑、藝術(shù)上的 實例了解黃金分割” ，感悟數(shù)學(xué)的美。線段的“黃金比” ，可以作為一元二次方 程求根公式的應(yīng)用給予介紹。 （3）圖形的相似， 課程標(biāo)準(zhǔn)（2011

34、年版） 要求“通過具體實例認(rèn)識圖 形的相似” ， “了解相似多邊形的相似比” 。對于相似形的定義，可以用“各角相 等，各邊成比例”來定義相似多邊形。三角形的相似要特殊一些，它的相似條 件的獲得由課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版） 的一條基本事實加以保證，即“兩條直 線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例” 。相似比，在解決有關(guān)圖形的計 算問題時常有應(yīng)用，應(yīng)當(dāng)予以關(guān)注。 圖形的位似， 課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版） 只要求“了解圖形的位似，知道利 用位似可以將一個圖形放大或縮小” 。借助實際生活經(jīng)驗，學(xué)生不難達(dá)到課程 標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版） 的這個要求，不必進一步介紹關(guān)于“圖形的位似”的其他 知識。 （4

35、）對于“會利用圖形的相似解決一些簡單的實際問題”這個要求，應(yīng)當(dāng) 予以足夠的重視。利用圖形的相似解決一些簡單的實際問題，必然經(jīng)歷“把實 際問題抽象成為數(shù)學(xué)問題解決數(shù)學(xué)問題對解得的結(jié)果作出符合實際意義的 解釋”的過程，學(xué)生經(jīng)歷這樣的過程，有助于他們感悟模型思想，感受數(shù)學(xué)的 價值。 上述要求中“簡單”的意義，通常是指：當(dāng)實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題后， 就可以直接運用相似形的有關(guān)知識予以解決。 （5） 課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版） 要求“利用相似的直角三角形，探索并認(rèn) 識銳角三角函數(shù)（sinA，cosA，tanA） ” 。不難探索發(fā)現(xiàn)：相似的直角三角形的 邊與邊的比值，隨銳角大小的變化而變化，隨銳角大小的確

36、定而唯一確定，利 用相似的直角三角形定義銳角三角函數(shù)便順理成章。 （6）銳角三角函數(shù)進一步豐富了直角三角形的邊與角之間的關(guān)系。對于 課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版） “能用銳角三角函數(shù)解直角三角形，能用相關(guān)知識解 決一些簡單的實際問題”的要求，不應(yīng)簡單把“解直角三角形”分為幾種類型 進行訓(xùn)練，而應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生在全面掌握直角三角形邊角關(guān)系的基礎(chǔ)上，根據(jù) 實際情況選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼?。在用解直角三角形的相關(guān)知識“解決一些簡單 的實際問題”的過程中，應(yīng)當(dāng)注重引導(dǎo)學(xué)生感悟模型思想，感受數(shù)學(xué)的價值。 需要指出：課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版） 中“會使用計算器由已知銳角求它 的三角函數(shù)值，由已知三角函數(shù)值求它的對應(yīng)銳

37、角”的要求，應(yīng)當(dāng)認(rèn)真加以落 實。如果不掌握用計算器進行計算的技能，那么上述“解直角三角形” “解決一 些簡單的實際問題”的要求將難以真正落實。 3.圖形的投影圖形的投影 （1）日常生活中，有許多關(guān)于中心投影、平行投影的實例，可以“通過豐 富的實例” ，引導(dǎo)學(xué)生“了解中心投影和平行投影的概念” 。 （2）平行投影是學(xué)習(xí)三視圖的基礎(chǔ)。畫一個物體的三視圖、根據(jù)視圖描述 幾何體，有助于發(fā)展學(xué)生的空間觀念。 課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版） 要求“會畫直 棱柱、圓柱、圓錐、球的主視圖、左視圖、俯視圖，能判斷簡單物體的視圖， 并會根據(jù)視圖描述簡單的幾何體” ，這里的“簡單物體”應(yīng)是直棱柱、圓柱、圓 錐、球，或它

38、們的組合。 課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版） 沒有給出“三視圖”的概念，其要求也與機械 制圖中的三視圖有一定的區(qū)別，機械制圖中畫三視圖有其自身的規(guī)定。比如， 左視圖應(yīng)畫在主視圖的右面，俯視圖應(yīng)畫在主視圖的下面，且主視圖與俯視圖 應(yīng)“長對正” ，主視圖與左視圖應(yīng)“高平齊” ，左視圖與俯視圖應(yīng)“寬相等” 。但 課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版） 的要求主要是“會畫直棱柱、圓柱、圓錐、球的主 視圖、左視圖、俯視圖，能判斷簡單物體的視圖，并會根據(jù)視圖描述簡單的幾 何體” ，主要目標(biāo)還是對學(xué)生空間觀念的培養(yǎng)。 （3）畫直棱柱、圓錐的側(cè)面展開圖，根據(jù)展開圖想象和制作實物模型，有 助于學(xué)生感受三維空間與二維平面的相互轉(zhuǎn)換

39、，可以有效地發(fā)展學(xué)生的空間觀 念。通過制作包裝盒這樣的實踐活動，有助于學(xué)生感受數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，以 及數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值。 （三）圖形與坐標(biāo)（三）圖形與坐標(biāo) 1.坐標(biāo)與圖形位置坐標(biāo)與圖形位置 （1） 課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版） 把平面直角坐標(biāo)系的有關(guān)內(nèi)容安排在“圖 形與幾何”的課程內(nèi)容里，更好地體現(xiàn)了數(shù)與形的緊密聯(lián)系。結(jié)合實例“用有 序數(shù)對表示物體的位置” ，能有效地引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)與形的這種聯(lián)系。 （2） 課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版） 要求“理解平面直角坐標(biāo)系的有關(guān)概念， 能畫出直角坐標(biāo)系；在給定的直角坐標(biāo)系中，能根據(jù)坐標(biāo)描出點的位置、由點 的位置寫出它的坐標(biāo)” 。對于平面直角坐標(biāo)系，不僅應(yīng)要求學(xué)生

40、理解和掌握有關(guān) 知識，更應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生感悟“有序數(shù)對”與“點的位置”的對應(yīng)關(guān)系， “數(shù)量 關(guān)系”與“圖形位置關(guān)系”的內(nèi)在聯(lián)系，這對于“數(shù)與代數(shù)”中相關(guān)內(nèi)容（如 函數(shù)的圖象）的學(xué)習(xí)有著重要的作用。 （3） 課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版） 要求“在實際問題中，能建立適當(dāng)?shù)闹苯?坐標(biāo)系，描述物體的位置” 。建立坐標(biāo)系的難度應(yīng)當(dāng)控制，但應(yīng)使學(xué)生知道：在 不同的坐標(biāo)系中，描述圖形或物體位置的結(jié)果也不同。 （4） “在平面上，能用方位角和距離刻畫兩個物體的相對位置” ，蘊涵了極 坐標(biāo)的思想。在日常生活中，人們用“從這里往東南方向走 3 千米”來描述某 個村莊的位置，實際上就是用方位角和距離刻畫兩個物體的相對位

41、置。 2.坐標(biāo)與圖形運動坐標(biāo)與圖形運動 （1） 課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版） 要求“在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)軸為對稱 軸，能寫出一個已知頂點坐標(biāo)的多邊形的對稱圖形的頂點坐標(biāo)，并知道對應(yīng)頂 點坐標(biāo)之間的關(guān)系” ，這實際上是圖形的軸對稱（反射）變換。畫一個圖形的軸 對稱圖形，關(guān)鍵是畫一些點的軸對稱點， 課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版） 規(guī)定“以對 稱軸為坐標(biāo)軸”就控制了畫圖的難度。知道關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的“對應(yīng)頂點坐標(biāo) 之間的關(guān)系” ，有助于學(xué)生學(xué)習(xí)“數(shù)與代數(shù)”中函數(shù)（如二次函數(shù)）圖象的畫法， 以及判斷函數(shù)圖象是否具有軸對稱性。 （2） 課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版） 要求“在直角坐標(biāo)系中，能寫出一個已知 頂點坐標(biāo)

42、的多邊形沿坐標(biāo)軸方向平移后圖形的頂點坐標(biāo)，并知道對應(yīng)頂點坐標(biāo) 之間的關(guān)系” ，這實際上是圖形的平移變換。知道沿坐標(biāo)軸方向平移后“對應(yīng)頂 點坐標(biāo)之間的關(guān)系” ，有助于學(xué)生掌握一次函數(shù) y=ax+b 與正比例函數(shù) y=ax 圖象 之間的關(guān)系，二次函數(shù) y=ax2與 y=ax2+c 圖象之間的關(guān)系。 （3） 課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版） 要求“在直角坐標(biāo)系中，探索并了解將一 個多邊形依次沿兩個坐標(biāo)軸方向平移后所得到的圖形與原來的圖形具有平移關(guān) 系，體會圖形頂點坐標(biāo)的變化” 。一個圖形依次沿兩個坐標(biāo)軸方向平移，可以看 成它沿某個方向的一次平移（課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版） 不要求沿非坐標(biāo)軸方 向的平移）

43、。體會經(jīng)過這樣的兩次平移后“圖形頂點坐標(biāo)的變化” ，有助于學(xué)生 掌握二次函數(shù) y=ax2與 y=a（x-h）2+k 圖象之間的關(guān)系。 （4） 課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版） 要求“在直角坐標(biāo)系中，探索并了解將一 個多邊形的頂點坐標(biāo)（有一個頂點為原點、有一條邊在橫坐標(biāo)軸上）分別擴大 或縮小相同倍數(shù)時所對應(yīng)的圖形與原圖形是位似的” ，這實際上是圖形的位似變 換，有助于學(xué)生體會如何在坐標(biāo)系中畫一個圖形的位似圖形。經(jīng)過這種變換， “對應(yīng)頂點的坐標(biāo)之間的關(guān)系”是顯然的，但給出的多邊形的頂點坐標(biāo)以整數(shù) 為宜，以避免給畫圖帶來不便。 三、教學(xué)實施建議三、教學(xué)實施建議 1.重視過程，貫穿始終重視過程，貫穿始終 數(shù)

44、學(xué)課程目標(biāo)的整體實現(xiàn)，是通過教學(xué)過程展開的。數(shù)學(xué)教學(xué)活動要重視 過程，突出重點?；顒邮求w現(xiàn)過程載體之一，活動的基本特點之一是“動” ，手 動、體動、腦動；另一個是“活” ，多樣才能活，對比才能活，需要根據(jù)學(xué)生和 數(shù)學(xué)內(nèi)容的特點設(shè)計相應(yīng)的教學(xué)活動，注意教學(xué)要求的層次性，讓學(xué)生去經(jīng)歷、 去體驗、去猜測、去驗證、去交流討論等。 例如例如全等三角形的學(xué)習(xí)，可以組織學(xué)生開展如下活動： 先把兩張全等的三角形紙板擺好，改變其中一個三角形的位置（平移，或 翻折，或旋轉(zhuǎn)） ，說出這兩個全等三角形的對應(yīng)邊和對應(yīng)角。 判定兩個三角形全等，直接可用的條件由多到少；論證由一次全等過渡到 兩次全等；圖形由簡單到復(fù)雜；論證的結(jié)論由“全等”遞進到“邊或角相等， 兩線平行或垂直” ；