人教版高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)4《平面向量》教學(xué)建議

1、人教版高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)4平面向量教學(xué)建議 一、向量進(jìn)入中學(xué)數(shù)學(xué)的背景分析1向量的雙重性：向量是一個(gè)具有幾何和代數(shù)雙重身份的概念，同時(shí)向量代數(shù)所依附的線性代數(shù)是高等數(shù)學(xué)中一個(gè)完整的體系，具有良好的分析方法和完整結(jié)構(gòu)通過(guò)向量的運(yùn)用對(duì)傳統(tǒng)問(wèn)題的分析，可以幫助學(xué)生更好地建立代數(shù)與幾何的聯(lián)系，也為中學(xué)數(shù)學(xué)向高等數(shù)學(xué)過(guò)渡奠定了一個(gè)直觀的基礎(chǔ)這方面的案例包括平面幾何、立體幾何和向量解析幾何2認(rèn)識(shí)向量的另外角度：把平面和空間看出是一個(gè)向量場(chǎng)，可以培養(yǎng)學(xué)生對(duì)結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)，而結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展的主要方向這里也可以把向量的引入理解為現(xiàn)代數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的銜接的組成部分之一3.“數(shù)、量與運(yùn)算”的擴(kuò)

2、大：從“數(shù)、量和運(yùn)算”發(fā)展的角度理解“向量”，把向量的加法（減法）、數(shù)乘以向量和向量的數(shù)量積看作新的運(yùn)算，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)、量和運(yùn)算的形式在不斷的發(fā)展更為重要的是在教材和教師教學(xué)的處理上應(yīng)該表現(xiàn)出“數(shù)、量和運(yùn)算”的一個(gè)發(fā)展趨勢(shì)鏈，其中數(shù)的發(fā)展包括正整數(shù)（自然數(shù)）零和自然數(shù)正分?jǐn)?shù)（有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)）非負(fù)有理數(shù)有理數(shù)無(wú)理數(shù)（無(wú)限不循環(huán)小數(shù)）實(shí)數(shù)復(fù)數(shù)，從代數(shù)結(jié)構(gòu)的角度看，經(jīng)歷了整數(shù)環(huán)有理數(shù)域?qū)崝?shù)域復(fù)數(shù)域（1883年hamilton的四元數(shù)域是不滿足乘法交換律的復(fù)數(shù)域的擴(kuò)大，在此意義上說(shuō)復(fù)數(shù)域是最大的數(shù)域），這些“數(shù)”所對(duì)應(yīng)的“量”都是一類的，并且至此“運(yùn)算”的結(jié)構(gòu)沒(méi)有改變，從整體上看“數(shù)”在發(fā)展

3、，而“量”及“運(yùn)算”沒(méi)有本質(zhì)的發(fā)展因此向量不是“數(shù)”的簡(jiǎn)單擴(kuò)大，它所關(guān)注的不是“數(shù)”的擴(kuò)大問(wèn)題，而是“量及運(yùn)算”的擴(kuò)大問(wèn)題因而在向量的引入時(shí)，不宜從代數(shù)方程的角度出發(fā)，可能從力學(xué)的實(shí)際背景出發(fā)更能體現(xiàn)出“量”的發(fā)展同時(shí)還應(yīng)該強(qiáng)調(diào)的是向量代數(shù)是以前所有“數(shù)的運(yùn)算”的一個(gè)發(fā)展（如果我們能夠引入向量的向量積運(yùn)算，將使學(xué)生第一次看到運(yùn)算可以不滿足交換律的真正案例），使學(xué)生對(duì)此問(wèn)題有一個(gè)發(fā)展的理解，由此也為今后引入矩陣及其運(yùn)算做了鋪墊4數(shù)學(xué)和物理學(xué)的關(guān)系在向量中的體現(xiàn)：數(shù)學(xué)和物理學(xué)的關(guān)系在中學(xué)階段應(yīng)該得到重視和發(fā)展，事實(shí)上一個(gè)良好的物理或現(xiàn)實(shí)背景是學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生興趣和學(xué)好數(shù)學(xué)的重要因素，并且數(shù)學(xué)和物理世

4、界是如此的緊密關(guān)聯(lián)。數(shù)學(xué)和物理學(xué)的關(guān)系是有目共睹的而向量在力學(xué)中的應(yīng)用即使在中學(xué)階段也是不難發(fā)現(xiàn)的使學(xué)生盡早地認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)與物理世界的緊密關(guān)系，不僅可以增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，同時(shí)也使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)偉大的社會(huì)性5國(guó)際數(shù)學(xué)教育對(duì)向量的處理：國(guó)際數(shù)學(xué)教育的發(fā)展已全面反映了綜合幾何的學(xué)習(xí)的落后，向量和矩陣進(jìn)入中學(xué)數(shù)學(xué)是一個(gè)大的趨勢(shì)。比如美國(guó)的學(xué)校數(shù)學(xué)的原則和標(biāo)準(zhǔn)、新西蘭數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)和澳大利亞數(shù)學(xué)教學(xué)大綱都在此問(wèn)題上有全面的反映從總體上分析，基本共識(shí)是基于以下的事實(shí)：1899年希爾伯特的幾何學(xué)基礎(chǔ)的發(fā)表，標(biāo)志著幾何學(xué)基礎(chǔ)的徹底革新，也發(fā)展了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的公理化模式以此為推動(dòng)力，數(shù)學(xué)本體上在這個(gè)方面的研究幾乎窮盡

5、中學(xué)的綜合幾何就是擴(kuò)大了公理體系的希爾伯特幾何的簡(jiǎn)單情形如果我國(guó)幾何教學(xué)仍然停留在此不動(dòng)，那么很難說(shuō)我們的數(shù)學(xué)教育反映了數(shù)學(xué)發(fā)展的進(jìn)程，也與國(guó)際數(shù)學(xué)教育的發(fā)展相去甚遠(yuǎn)6向量的教學(xué)實(shí)踐過(guò)程可行性問(wèn)題：在中學(xué)階段引入是完全可以接受的這是因?yàn)?，第一，學(xué)生有初步的平面坐標(biāo)幾何的基礎(chǔ)；第二，教師有良好的立體幾何的教學(xué)背景，教師在把傳統(tǒng)的綜合幾何轉(zhuǎn)移到向量代數(shù)處理立體幾何時(shí)有很好的直觀背景，并可以使之遷移到學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程中去除此之外，現(xiàn)代化技術(shù)（包括多媒體教學(xué)技術(shù)和后pc時(shí)代的掌上技術(shù)）在向量的“教與學(xué)”中可以幫助教師和學(xué)生利用圖形計(jì)算器、計(jì)算機(jī)和動(dòng)態(tài)幾何軟件不僅可以解決幾何“直觀性”的問(wèn)題，同時(shí)也使得學(xué)

6、生的向量學(xué)習(xí)入門更容易理解在國(guó)際上這種案例是很多的二內(nèi)容與課程學(xué)習(xí)目標(biāo)本章主要包括平面向量的實(shí)際背景及基本概念、平面向量的線性運(yùn)算、平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示、平面向量的數(shù)量積、平面向量應(yīng)用五部分內(nèi)容。1通過(guò)力和力的分析等實(shí)例，了解向量的實(shí)際背景，理解平面向量和向量相等的含義，理解向量的幾何表示。2通過(guò)實(shí)例，掌握向量加、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義。3通過(guò)實(shí)例，掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算，并理解其幾何意義，以及兩個(gè)向量共線的含義。4了解向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及其幾何意義。5了解平面向量的基本定理及其意義。6掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示。7會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加、減與數(shù)乘運(yùn)算。8理解用坐標(biāo)表示的平

7、面向量共線的條件。9通過(guò)物理中“功”等實(shí)例，理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義。10體會(huì)平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系。11掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算。12能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系。13經(jīng)歷用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題、力學(xué)問(wèn)題與其他一些實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，體會(huì)向量是一種處理幾何問(wèn)題、物理問(wèn)題等的工具，發(fā)展運(yùn)算能力和解決實(shí)際問(wèn)題的能力。三教材特點(diǎn)：1突出向量的物理背景與幾何背景。注意從豐富的物理背景和幾何背景中引入向量概念。通過(guò)日常生活中確定“位置”中的位移概念，說(shuō)明學(xué)習(xí)向量知識(shí)的意義；通過(guò)物理學(xué)中的重力、浮力、彈力、

8、速度、加速度等作為實(shí)際背景素材，引出向量的概念；利用有向線段給出了向量的幾何背景，并定義了向量的模、單位向量等概念。這樣的安排，可以使學(xué)生認(rèn)識(shí)到向量在刻畫現(xiàn)實(shí)問(wèn)題、物理問(wèn)題以及數(shù)學(xué)問(wèn)題中的作用，使學(xué)生建立起理解和運(yùn)用向量概念的背景支持。借助幾何直觀，并通過(guò)與數(shù)的運(yùn)算的類比引入向量運(yùn)算，以加強(qiáng)向量的幾何背景。例如，關(guān)于向量的減法，在向量代數(shù)中，常有兩種定義方法，第一種是將向量的減法定義為向量加法的逆運(yùn)算，即如果a+x=b，則x叫做向量b與a的差。這樣，作ba時(shí)，可先在平面內(nèi)取一點(diǎn)o，再作，則就是ba。第二種方法是在相反向量的基礎(chǔ)上，通過(guò)向量的加法定義向量的減法，即已知、，定義。在這種定義下，作時(shí)

9、，可先在平面內(nèi)任取一點(diǎn)o，作，則由向量加法的平行四邊形法則知，。由于，即就是。實(shí)踐表明，中學(xué)生理解第一種定義方法存在困難，但能容易地作出；接受第二種定義方法容易，但作較繁。為便于學(xué)生接受，教科書先類比相反數(shù)給出相反向量，再把定義為，然后借助幾何直觀得出的作法（向量減法的幾何意義）。2.強(qiáng)調(diào)向量作為解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題和數(shù)學(xué)問(wèn)題的工具作用。為了強(qiáng)調(diào)向量作為刻畫力、速度、位移等現(xiàn)實(shí)中常見(jiàn)現(xiàn)象的有力的數(shù)學(xué)工具作用，本章特別注意聯(lián)系實(shí)際。特別是在概念引入中加強(qiáng)與實(shí)際的聯(lián)系。例如，在引入向量的概念時(shí)，聯(lián)系了位移、物體在液體中的受力分析、彈簧受力分析等；向量的加法運(yùn)算、平面向量的正交分解、平面向量的數(shù)量積等都與相

10、應(yīng)的物理問(wèn)題建立聯(lián)系；向量加法的三角形法則和平行四邊形法則與位移的合成、力的合成相聯(lián)系。向量也是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的好工具。例如，和（差）角的三角函數(shù)公式、線段的定比分點(diǎn)公式、平面兩點(diǎn)間距離公式、平移公式及正弦定理、余弦定理等都可以用向量為工具進(jìn)行推導(dǎo)；向量作為溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的橋梁，是一個(gè)很好的數(shù)形結(jié)合工具。教科書通過(guò)“平面幾何中的向量方法”進(jìn)行了介紹，并在第三章用向量方法來(lái)推導(dǎo)兩角差的余弦公式。這些處理也都是為了體現(xiàn)向量作為基本的、重要的數(shù)學(xué)工具的地位。3.根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展過(guò)程與學(xué)生的認(rèn)知過(guò)程安排內(nèi)容。向量是高中數(shù)學(xué)課程近年來(lái)引進(jìn)的新內(nèi)容，為了保證其科學(xué)性，同時(shí)又易于被學(xué)生接受，根據(jù)向

11、量知識(shí)的發(fā)展過(guò)程和學(xué)生的思維規(guī)律，根據(jù)“標(biāo)準(zhǔn)”對(duì)向量?jī)?nèi)容的定位，并考慮到學(xué)生在數(shù)及其運(yùn)算中建立起來(lái)的經(jīng)驗(yàn)，本章按照如下次序來(lái)編排：向量的實(shí)際背景及基本概念向量的線性運(yùn)算平面向量基本定理及坐標(biāo)表示向量的數(shù)量積向量應(yīng)用舉例。具體的考慮是：（1）借助力、速度、位移等現(xiàn)實(shí)中的常見(jiàn)現(xiàn)象，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)引進(jìn)向量的必要性，并得出向量是既有大小又有方向的量，給出向量的概念。（2）數(shù)學(xué)中引進(jìn)一個(gè)新的量，自然要看看它的運(yùn)算及其運(yùn)算律的問(wèn)題。（3）受到數(shù)軸上的點(diǎn)表示數(shù)的啟發(fā)，向量能不能用類似于數(shù)軸上的點(diǎn)的形式來(lái)表示呢？（4）從運(yùn)算的角度看，自然要研究?jī)蓚€(gè)向量是否可以相乘，如果可以，那么結(jié)果怎樣？（5）學(xué)習(xí)的目的在于應(yīng)用

12、，應(yīng)用的過(guò)程中可以加深理解相關(guān)知識(shí)，因此安排了“向量的簡(jiǎn)單應(yīng)用”。本章內(nèi)容的這種想法，如果能夠讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中明確起來(lái)，那么對(duì)他們掌握本章內(nèi)容會(huì)有很大幫助。這里需要說(shuō)明的是，向量的坐標(biāo)表示的引入，由于目的不同而有不同的處理方式。高等數(shù)學(xué)教材中，往往采取先介紹向量的概念及各種運(yùn)算，并直接用向量解決有關(guān)幾何問(wèn)題，然后再引進(jìn)坐標(biāo)，并用向量和坐標(biāo)方法討論空間直線、平面、二次曲面及一般的曲面，其目的是突出向量的工具性。本章為了盡早讓學(xué)生知道處理幾何問(wèn)題的另兩種方法向量法和坐標(biāo)法，突出數(shù)形結(jié)合的思想，在平面向量基本定理、平面向量的正交分解后就引進(jìn)向量的坐標(biāo)，并把向量的線性運(yùn)算及向量的共線等用坐標(biāo)表示。4

13、.強(qiáng)調(diào)向量法的基本思想，明確向量運(yùn)算及運(yùn)算律的核心地位。向量具有明確的幾何背景，向量的運(yùn)算及運(yùn)算律具有明顯的幾何意義，因此涉及長(zhǎng)度、夾角的幾何問(wèn)題可以通過(guò)向量及其運(yùn)算得到解決。另外，向量及其運(yùn)算（運(yùn)算律）與幾何圖形的性質(zhì)緊密相聯(lián)，向量的運(yùn)算（包括運(yùn)算律）可以用圖形直觀表示，圖形的一些性質(zhì)也可以用向量的運(yùn)算（運(yùn)算律）來(lái)表示。例如，平行四邊形是表示向量加法和減法的幾何模型，而向量的加法及其交換律（a+b=b+a）又可以表示平行四邊形的性質(zhì)（在平行四邊形abcd中，adbc，abcd，abd ）。這樣，建立了向量運(yùn)算（包括運(yùn)算律）與幾何圖形之間的關(guān)系后，可以使圖形的研究推進(jìn)到有效能算的水平，向量運(yùn)算

14、（運(yùn)算律）把向量與幾何、代數(shù)有機(jī)地聯(lián)系在一起。幾何中的向量方法與解析幾何的思想具有一致性，不同的只是用“向量和向量運(yùn)算”來(lái)代替解析幾何中的“數(shù)和數(shù)的運(yùn)算”。這就是把點(diǎn)、線、面等幾何要素直接歸結(jié)為向量，對(duì)這些向量借助于它們之間的運(yùn)算進(jìn)行討論，然后把這些計(jì)算結(jié)果翻譯成關(guān)于點(diǎn)、線、面的相應(yīng)結(jié)果。如果把解析幾何的方法簡(jiǎn)單地表述為形到數(shù)數(shù)的運(yùn)算數(shù)到形，則向量方法可簡(jiǎn)單地表述為形到向量向量的運(yùn)算向量和數(shù)到形。教科書特別強(qiáng)調(diào)了向量法的上述基本思想，并根據(jù)上述基本思想明確提出了用向量法解決幾何問(wèn)題的“三步曲”。為了使學(xué)生體會(huì)向量運(yùn)算及運(yùn)算律的重要性，教科書注意引導(dǎo)學(xué)生在解決具體問(wèn)題時(shí)及時(shí)進(jìn)行歸納，同時(shí)還明確使

15、用了“因?yàn)橛辛诉\(yùn)算，向量的力量無(wú)限；如果沒(méi)有運(yùn)算，向量只是示意方向的路標(biāo)”的提示語(yǔ)。5通過(guò)與數(shù)及其運(yùn)算的類比，向量法與坐標(biāo)法的類比，建立相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系，突出思想性。向量及其運(yùn)算與數(shù)及其運(yùn)算既有區(qū)別又有聯(lián)系，在研究的思想方法上可以進(jìn)行類比。這種類比可以打開(kāi)學(xué)生討論向量問(wèn)題的思路，同時(shí)還能使向量的學(xué)習(xí)找到合適的思維固著點(diǎn)。為此，教科書在向量概念的引入，向量的線性運(yùn)算，向量的數(shù)量積運(yùn)算等內(nèi)容的展開(kāi)上，都注意與數(shù)及其運(yùn)算（加、減、乘）進(jìn)行類比。例如，向量概念的引入用了這樣一段話：我們可以從一支筆、一棵樹(shù)、一本書抽象出只有大小的數(shù)量“1”。類似地，我們可以對(duì)力、位移這些既有大小又有方向的量進(jìn)行抽象，形成

16、一種新的量。又如，在學(xué)習(xí)向量的運(yùn)算及運(yùn)算律時(shí)，也是從數(shù)談起的：“數(shù)能進(jìn)行運(yùn)算，因?yàn)橛辛诉\(yùn)算而使數(shù)的威力無(wú)窮。與數(shù)的運(yùn)算類比，向量是否也能進(jìn)行運(yùn)算呢？”“數(shù)的加法啟發(fā)我們，從運(yùn)算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法?！薄皵?shù)的運(yùn)算和運(yùn)算律緊密聯(lián)系，運(yùn)算律可以有效地簡(jiǎn)化運(yùn)算。類似的，向量的加法是否也有運(yùn)算律呢？”“我們知道，減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)。向量的減法是否也有類似的法則？”再如，在向量的坐標(biāo)表示中，先提出問(wèn)題：“在平面直角坐標(biāo)系中，每一個(gè)點(diǎn)都可用一對(duì)有序?qū)崝?shù)（即它的坐標(biāo)）表示。對(duì)于直角坐標(biāo)平面內(nèi)的每一個(gè)向量，如何表示呢？”然后再利用平面向量基本定理得出向量的坐標(biāo)表示，并把向

17、量（有向線段）的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)起來(lái)，實(shí)現(xiàn)向量的運(yùn)算到數(shù)的運(yùn)算的轉(zhuǎn)化。6用恰時(shí)恰點(diǎn)的問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。本章充分利用“觀察”“思考”“探究”等欄目設(shè)置了大量問(wèn)題，教科書通過(guò)這些問(wèn)題來(lái)啟發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考，加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過(guò)程，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平。例如，引進(jìn)向量加法運(yùn)算時(shí)，通過(guò)“探究”欄目，創(chuàng)設(shè)從力的合成到向量加法的問(wèn)題情景；討論向量加法的運(yùn)算律時(shí)，提出“數(shù)的加法滿足交換律與結(jié)合律，向量的加法是否也滿足交換律與結(jié)合律？請(qǐng)畫圖進(jìn)行探索?！痹谟懻撓蛄繑?shù)乘運(yùn)算時(shí)，先提出“已知非零向量a，作出a+a+a和（a）（a）（a）。你能說(shuō)明它們的幾何意義嗎？”平面向量基本定理的引入，先讓學(xué)生思考“給定平

18、面內(nèi)任意兩個(gè)向量，請(qǐng)作出向量3e1+2e2，e12e2。平面內(nèi)任一向量是否都可以用形如1e1+2e2的向量表示呢？”引導(dǎo)學(xué)生從具體到抽象，概括出平面向量基本定理。四對(duì)本章教學(xué)的總體要求：1.教學(xué)應(yīng)著眼于學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活以及其他學(xué)科的聯(lián)系。向量具有豐富的現(xiàn)實(shí)背景和物理背景。向量是刻畫位置的重要數(shù)學(xué)工具，在諸如衛(wèi)星定位、飛船設(shè)計(jì)、可運(yùn)動(dòng)機(jī)器人設(shè)計(jì)與操控中有著廣泛應(yīng)用。向量也是刻畫物理量如力、位移、速度、加速度等的數(shù)學(xué)工具，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與物理的天然聯(lián)系。因此，向量的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)與實(shí)際生活以及物理學(xué)科的緊密聯(lián)系，體會(huì)向量在刻畫和解決實(shí)際問(wèn)題中的作用，從中感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。2.教學(xué)要著

19、眼于理解數(shù)學(xué)運(yùn)算的意義與價(jià)值，發(fā)展運(yùn)算能力。向量作為代數(shù)對(duì)象，可以進(jìn)行運(yùn)算。運(yùn)算對(duì)象的不斷擴(kuò)展是數(shù)學(xué)發(fā)展的一條重要線索。數(shù)運(yùn)算，字母、多項(xiàng)式運(yùn)算，向量運(yùn)算，函數(shù)、映射、變換運(yùn)算，矩陣運(yùn)算等是數(shù)學(xué)中的基本運(yùn)算。從數(shù)運(yùn)算，字母、多項(xiàng)式運(yùn)算到向量運(yùn)算，是運(yùn)算的一次飛躍。向量的數(shù)量積運(yùn)算可以刻畫向量的長(zhǎng)度，從而使得我們可以通過(guò)向量的代數(shù)運(yùn)算刻畫長(zhǎng)度、體積、面積等幾何度量問(wèn)題。向量運(yùn)算更加清晰地展現(xiàn)了不同類型的代數(shù)運(yùn)算的特征及其功能，同時(shí)，向量運(yùn)算具有一些數(shù)運(yùn)算不同的運(yùn)算律，這對(duì)于學(xué)生進(jìn)一步理解其他數(shù)學(xué)運(yùn)算、發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力具有重要作用。向量的學(xué)習(xí)，有助于學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)運(yùn)算的意義以及在運(yùn)算在建構(gòu)數(shù)

20、學(xué)系統(tǒng)中的作用，為理解函數(shù)、映射、變換運(yùn)算、矩陣運(yùn)算等奠定了基礎(chǔ)。3.教學(xué)要著眼于讓學(xué)生掌握處理幾何問(wèn)題的代數(shù)方法，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想。向量既是代數(shù)的對(duì)象，又是幾何的對(duì)象。作為代數(shù)的對(duì)象，向量可以進(jìn)行運(yùn)算。作為幾何的對(duì)象，向量有方向，可以刻畫直線、平面、切線等幾何對(duì)象；向量有長(zhǎng)度，可以刻畫長(zhǎng)度、面積、體積等幾何度量問(wèn)題。運(yùn)用向量刻畫幾何對(duì)象和幾何度量問(wèn)題都是通過(guò)向量的代數(shù)運(yùn)算來(lái)實(shí)現(xiàn)的。因此，向量提供了一種通過(guò)代數(shù)運(yùn)算刻畫幾何對(duì)象、位置關(guān)系以及幾何度量問(wèn)題的工具。向量集數(shù)形于一身，是溝通代數(shù)與幾何的天然橋梁。另外，教學(xué)應(yīng)注意突出向量的物理背景和幾何背景，教與學(xué)的重點(diǎn)應(yīng)落實(shí)在向量的代數(shù)性質(zhì)及其幾何意

21、義上，要關(guān)注向量在物理、數(shù)學(xué)、現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)中的應(yīng)用。五教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)要求、重難點(diǎn)：2.1節(jié)內(nèi)容：平面向量的實(shí)際背景及基本概念基本要求：1.理解向量、零向量、向量的模、單位向量、相等向量、平行向量、共線向量的概念。2.理解向量的幾何表示，會(huì)用字母表示向量。3.了解向量平行的概念及表示法，了解相反向量的概念。發(fā)展要求：平面向量的幾何意義及應(yīng)用。重點(diǎn)：向量的概念、相等向量的概念以及向量的幾何表示。難點(diǎn)：正確理解向量的概念和共線向量的概念。2.2節(jié)內(nèi)容：平面向量的線性運(yùn)算基本要求：1.掌握向量加、減法的定義。并理解其幾何意義，會(huì)用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作出兩個(gè)向量的和向量與差向量。2.掌

22、握向量加法的交換律與結(jié)合律，并會(huì)用它們進(jìn)行向量運(yùn)算。3.掌握實(shí)數(shù)與向量積的定義及向量數(shù)乘的運(yùn)算，并理解其幾何意義。4.理解兩個(gè)向量共線的條件。5.了解向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及其幾何意義。發(fā)展要求：掌握向量的運(yùn)算律以及向量運(yùn)算的幾何意義。重點(diǎn)：向量加、減法的定義及運(yùn)算法則，實(shí)數(shù)與向量的積的定義及運(yùn)算性質(zhì)。難點(diǎn)：對(duì)向量加、減法定義的理解。2.3節(jié)內(nèi)容：平面向量的基本定理與坐標(biāo)運(yùn)算基本要求：1.理解平面向量的基本定理及其意義，會(huì)用平面向量基本定理解決簡(jiǎn)單問(wèn)題。2.理解平面向量的坐標(biāo)的概念，掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示。3.掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加、減與數(shù)乘運(yùn)算。4.理解用坐

23、標(biāo)表示的平面向量共線的條件，會(huì)依據(jù)向量的坐標(biāo)判斷向量是否共線。發(fā)展要求：掌握利用向量求分點(diǎn)坐標(biāo)的方法；重視類比思想的培養(yǎng)。重點(diǎn)與難點(diǎn)：平面向量的基本定理。2.4節(jié)內(nèi)容：平面向量的數(shù)量積基本要求：1.理解平面向量數(shù)量積及其幾何意義。2.體會(huì)平面向量數(shù)量積與向量投影的關(guān)系。3.掌握平面向量數(shù)量積的性質(zhì)、運(yùn)算律。4.掌握向量數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算。5.能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角。6.會(huì)用數(shù)量積來(lái)處理有關(guān)的長(zhǎng)度、角度和垂直問(wèn)題。發(fā)展要求：掌握平面向量數(shù)量積的應(yīng)用。重點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的概念，用平面向量的數(shù)量積表示向量的模及向量的夾角。難點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算律的

24、理解，平面向量數(shù)量積的應(yīng)用。2.5節(jié)內(nèi)容：平面向量應(yīng)用舉例基本要求：1.了解向量知識(shí)在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用。2.能運(yùn)用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題、力學(xué)問(wèn)題和其他一些實(shí)際問(wèn)題。發(fā)展要求：合理選擇向量，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。重點(diǎn)：引導(dǎo)學(xué)生分析題意，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，將幾何圖形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系，將物理量之間的關(guān)系抽象為向量關(guān)系。難點(diǎn)：將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題。六教學(xué)中的注意點(diǎn)：1.引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)模型的觀點(diǎn)看待向量?jī)?nèi)容在向量概念的教學(xué)中，要利用學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)、其他學(xué)科的相關(guān)知識(shí)，創(chuàng)設(shè)豐富的情景，例如物理中的力、速度、加速度，力的合成與分解，物體受力做功等，通過(guò)這些實(shí)例是學(xué)生了解向量的物

25、理背景、幾何背景，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)向量作為描述現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型的作用。同時(shí)還要通過(guò)解決一些實(shí)際問(wèn)題或幾何問(wèn)題，使學(xué)生學(xué)會(huì)用向量這一數(shù)學(xué)模型處理問(wèn)題的基本方法。2.加強(qiáng)向量與相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系性，使學(xué)生明確研究向量的基本思路向量既是代數(shù)的對(duì)象，又是幾何的對(duì)象。作為代數(shù)對(duì)象，向量可以運(yùn)算，而且正是因?yàn)橛辛诉\(yùn)算，向量的威力才得到充分的發(fā)揮；作為幾何對(duì)象，向量可以刻畫幾何元素（點(diǎn)、線、面），利用向量的方向可以與三角函數(shù)發(fā)生聯(lián)系，通過(guò)向量運(yùn)算還可以描述幾何元素之間的關(guān)系（例如直線的垂直、平行等），另外，利用向量的長(zhǎng)度可以刻畫長(zhǎng)度、面積、體積等幾何度量問(wèn)題。教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)充分關(guān)注到向量的這些特點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生在代數(shù)、幾何和三角函數(shù)的聯(lián)系中學(xué)習(xí)本章知識(shí)。值得特別注意的是，在本章的教學(xué)之初，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)與數(shù)及其運(yùn)算